高中数学经典例题—点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

高中数学经典例题-点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知过点
M(?3,?3)
的直线
l
被圆
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修二P
127
例
2．
【母题评析】本题 根据直线与圆相交所得
弦长求相关参数直线方程，体现逆向思维
的应用，方程思想的应用． < br>【思路方法】本题解答时主要是利用圆心
到直线的距离
d
、圆的半径
r
、弦长
L
之
间的勾股关系
L
2
?2r
2< br>?d
2
，通过建立
方程来解决．
∴圆心到直线
l
的距离为
x
2
?y
2
? 4y?21?0
所截得的弦长为
45
，求直线
l
的方
程．
【解析】将圆的方程写成标准形式，得
x
2
?(y?2)
2
?25
，
∴圆心的坐标是
(0,?2)
，半径
r?5
．
设直线
l
的方程为
y?3?k(x?3)
，即
kx?y?3 k?3?0
，
d?
|2?3k?3|
k
2
?1
? 5
2
?(
45
2
1
)?5
，解得
k??< br>或
2
2
1
k?2
，∴直线
l
的方程为
y?3??(x?3)
或
2
y?3?2(x?3)
，即
x?2y? 9?0
或
2x?y?3?0
．
【例2】已知圆
C
1
：
x?y?2x?8y?8?0
，圆
C
2
：
22
【试题来源】人教版A版必修二P
129
例
x
2
?y
2?4x?4y?2?0
，试判断圆
C
1
与圆
C
2
的位置关
3．
系．
【解析】解法一：圆
C
1
与圆C
2
的方程联立得到方程组
22
?
?
x?y?2x?8 y?8?0,
?
22
?
?
x?y?4x?4y?2?0.
【 母题评析】本题判断已知方程的两个圆
的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆
心距的大小，然 后与两圆的半径和与差进
行比较来解答的．对于高考对两圆位置关
①
②

①-②得
x?2y?1?0
， ③

由③得< br>y?
2
1?x
．把上式代入①并整理得
系考查难度不大前提下，此类题 具有较强
2
的代表性，命题人常常以此为母题加以改
造命制新的高考试题．
【思路方法】本题解答主要是利用几何法
判断两个圆的位置关系，即直接法求出两
x?2x?3 ?0
．④
方程④的判别式
??
?
?2
?
?4?1 ?
?
?3
?
?16?0
，
2
所以方程④有两个不 等的实数根，即圆
C
1
与圆
C
2
相交．
22解法二：把圆
C
1
：
x?y?2x?8y?8?0
，圆
C
2
：
x
2
?y
2
?4x?4y?2?0
，化为标准方程，得
圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与
?
x?1
??
?
y?4
?
22
?25
与
?
x?2
?
?
?
y?2
?
?10
．
22
差进行比较．
圆
C
1
的圆心是点
?
?1,?4
?
，半径长
r
1
?5
；
圆
C
2
的圆心是点
?
2,2
?
，半径长
r
2< br>?10
．
圆
C
1
与圆
C
2
的连心 线的长为
(?1?2)
2
?(?4?2)
2
?35
， 圆
C
1
与圆
C
2
的半径长之和为
r
1
?r
2
?5?10
，半径长之差
为
r
1
? r
2
?5?10
．
而
5?10?35?5?10
，即r
1
?r
2
?35?r
1
?r
2
，
所以圆
C
1
与圆
C
2
相交，它们有两个公共点A、B
．
II．考场精彩·真题回放
【例
1
】【
2 017
高考江苏卷】在平面直角坐标系
xOy
22
中，点
A
?
?12,0
?
，
B
?
0,6
?
，点P
在圆
O:x?y?50


【命题意图】本类题主要考查点与 圆、直
线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑
思维能力、运算求解能力、数形结合的能
力、方程思想的应用．
上．若
PA?PB?20
，则点
P
的横坐 标的取值范围
是

．

?
【答案】
?
?
?52,1
?

【考试方 向】这类试题考查根据给定直
22
【解析】不妨设
P
?
x
0
,y
0
?
，则
x
0
?y
0
?50
，且易知
线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与

?
x
0
?
?
?
?52,52
?
．

因为PA?PB?AP?BP
?
?
x
0
?12,y
0
?
?
?
x
0
,y
0
?6
?
?< br>
22
x
0
?12x
0
?y
0
?6 y
0
?50?12x
0
?6y
0
?20
，故
圆的位置关系，同时考查通过数形结合思
想、充分利用圆的几何性质解决圆的切
线、圆的弦长 等问题．在考查形式上，主
要要以选择题、填空题为主，也有时会出
现在解答题中，中档题．
【难点中心】
1．直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的 距离
d
与半
径长
r
的大小关系来判断．
若
d?r
，则直线与圆相离；
2x
0
?y
0
?5?0
．

22
所以点
P
?
x
0
,y
0
?
在圆
O :x?y?50
上，且在直线
2x?y?5?0
的左上方（含直线）．联立
?
x
2
?y
2
?50
，得
x
1
?? 5
，
x
2
?1
，如图所示，结合
?
?
2x ?y?5?0
?
图形知
x
0
?
?
?
?52 ,1
?
．

?
故填
?
?
?52,1
?
．

y
若
d?r
，则直线与圆相切；
若
d?r
，则直线与圆相交．
B(1,7)

O
A(-5,-5)
52
x
（2）代数法
2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方
法，类似的也有几何法和代数法两种；
2x-y+5=0
22
评注

也可以理解为点
P
在圆
x
0
?y
0
?12x
0
?6y
0?20
的内部来解决，与解析中的方法一致．

【例2】【2016高考新课标I I】圆
x
2
?y
2
?2x?8y?13?0
3．比较圆心距 与两个圆的半径和与半径
差的大小关系，特别是遇到参数问题时，
如何建立等式或不等式是一个 难点．
的圆心到直线
ax?y?1?0
的距离为1，则
a?

（ ）

A．
?
43
B．
?
C．
3

D．2
34
【答案】A
【解析】圆的方程可化为
(x?1)
2
? (y?4)
2
?4
，所以圆心

坐标为
(1,4)，由点到直线的距离公式得：
d?
a?4?1
a
2
?1
4
?1
，解得
a??
，故选A．
3



例3】【2016高考山东卷】已知圆M：
x
2
+y
2< br>-2ay=0(a>0)
截直线
x+y=0
所得线段的长度是
22，
则圆
?
与圆
?
：
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】由
x
2
?y
2
?2ay?0
（
a?0
）得
x
2
?
?
y?a
?
?a
2
（
a?0
），所以圆
?
的圆心为
?
0,a
?
，
2< br>
?
22
?
a
半径为
r
1
?a，因为圆
?
截直线
x?y?0
所得线段的长度是
22
， 所以
，
?a
2
?
??
??
22
1?1?
2
?
解得
a?2
，圆
?
的圆心为
?
1,1
?
，半径为
r
2
?1
，所以
???
2
?
0?1
?
?
?
2?1
?
22
?2
，
r
1
?r
2
?3
，
r1
?r
2
?1
，因为
r
1
?r
2????r
1
?r
2
，所以圆
?
与圆
?
相交，故选B．
【例4】【2016高考新课标III】已知直线
l
：
m x?y?3m?3?0
与圆
x
2
?y
2
?12
交于
A,B
两点，
过
A,B
分别做
l
的垂线与
x
轴交于
C,D
两点，若
AB?23
，则
|CD|?
________________．
【答案】4

【解析】因为
|AB|?23
，且圆的半径为
23
，所以圆心
(0,0)
到直线< br>mx?y?3m?3?0
的距离为
R
2
?(
|AB|
2
33
|3m?3|
)?3
，则由
x?23
，，代入直线< br>l
的方程，得
y?
?3
，解得
m??
2
2< br>33
m?1
|AB|
?4
．
cos30?
所以直线
l
的倾斜角为
30?
．由平面几何知识知在梯形
ABDC
中 ，
|CD|?
【例5】【2016高考湖南卷】若直线
3x?4y?5?0
与 圆
x
2
?y
2
?r
2
?
r?0
?
相交于
A,B
两点，且
?AOB?120
o
（
O< br>为坐标原点），则
r
=___________．
【答案】2
2< br>r＞0）
【解析】如图直线
3x?4y?5?0
与圆
x
2?y
2
?r（
交于
A,B
两点，
O
为坐标原 点，且
1
51
?AOB?120
o
，则圆心
(0，0)到直线
3x?4y?5?0
的距离为
r
，
?r，?r=2
．
22
2
2
3?4

【例6】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知以
M
为圆心的圆
M
:
x
2
?y
2
?12x?14y? 60?0
及其上一点
A(2，4)


（1）设圆
N
与
x
轴相切，与圆
M
外切，且圆心
N
在直线
x? 6
上，求圆
N
的标准方程；
（2）设平行于
OA
的直线< br>l
与圆
M
相交于
B、C
两点，且
BC?OA
，求直线
l
的方程；

（3）设点
T(t,0)
满足 ：存在圆
M
上的两点
P
和
Q
，使得
TA?TP?T Q
，求实数
t
的取值范围．
【答案】（1）
?
x?6?
?
?
y?1
?
?1
；
22
（2）
?
2
?
221,2
?
221
?

??
【解析】圆
M
的标准方程为
?
x?6
?
??
y?7
?
?25
，
22
所以圆心
M(6，7)
，半径为5．
（1）由圆心在直线x?6
上，可设
N
?
6,y
0
?
．
因为
N
与
x
轴相切，与圆
M
外切，
所以
0?y
0
?7
，于是圆
N
的半径为
y
0< br>，
从而
7?y
0
?5?y
0
，解得
y0
?1
．
因此，圆
N
的标准方程为
?
x?6
?
?
?
y?1
?
?1
．
22
（ 2）因为直线
lOA
，所以直线
l
的斜率为
4?0
?2．
2?0
设直线
l
的方程为
y?2x?m
，即
2x?y?m?0
，
则圆心
M
到直线
l
的距离
d?
2?6?7?m
5
?
m?5
5
.

?
BC
?
因为
BC?OA?2
2
?4
2
? 25,

而
MC
2
?d
2
?
??
,
< br>2
??
2
?
m?5
?
所以
25?
5
2
?5
，解得
m?5
或
m??15
．
故 直线
l
的方程为
2x?y?5?0
或
2x?y?15?0
．

（3）设
P
?
x
1
,y
1
?
,Q
?
x
2
,y
2
?
.
< br>?
x
2
?x
1
?2?t
因为
A
?< br>2,4
?
,T
?
t,0
?
,TA?TP?TQ
，所以
?
①
y?y?4
?
21
因为点
Q
在圆
M
上，所以
?
x
2
?6
?
?
?
y
2
?7
?
?25.
②
22
将①代 入②，得
?
x
1
?t?4
?
?
?
y
1
?3
?
?25
．
22
于是点
P
?< br>x
1
,y
1
?
既在圆
M
上，
又在 圆
?
?
x?
?
t?4
?
?
?
?< br>?
y?3
?
?25
上，从而圆
2
2
?x?6
?
?
?
y?7
?
22
?25
与 圆
?
?
x?
?
t?4
?
?
?
?< br>?
y?3
?
?25
没有公共点，
2
2
22
?5?5?
?
?
?
t?4
?
?6
?
?
?
?
3?7
?
?5?5
，
解得
2?221?t?2?221
，所以实数
t
的取值范围是
?
2?
221,2
?
221
?
．
??
【例7】【 2016高考新课标Ⅰ】设圆
x
2
?y
2
?2x?15?0
的圆心为
A
，直线
l
过点
B
且与
x
轴不重
（1,0）
合，
l
交圆
A
于
C，D
两点， 过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
．
（1）证明
EA?EB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
（2）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M,N
两点，过
B
且与
l
垂直的 直线与圆
A
交于
P,Q
两
点，求四边形
MPNQ
面 积的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
[12,83)
．
【解析】（1）因为
|AD|?|AC|
，
EBAC
，
故
?EBD??ACD??ADC
，所以
|EB|?|ED|
，
故
|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|
．

又圆
A
的标准方程为
(
x?
1)
2
?y
2
?
16
，
从而
|AD|?4
，所以
|EA|?|EB|?4
．
由题 设得
A(?1,0)
，
B(1,0)
，
|AB|?2
，
x
2
y
2
??
1
（
y?0
）． 由椭圆定义可得点
E
的轨迹方程为
43
（2）当
l
与
x
轴不垂直时，
设
l
的方程为
y?k(x?1)(k?0)，
M
(
x
1
,
y
1
)
，N(x
2
,y
2
)
．
?
y?k(x?1)< br>?
由
?
x
2
y
2
，得
(4
k
2
?
3)
x
2
?
8
k
2
x?
4
k
2
?
12
?
0
，
? 1
?
?
3
?
4
8k
2
4k
2?12
则
x
1
?x
2
?
，
x
1
x
2
?
，
22
4k?34k?3
12(k2
?1)
所以
|MN|?1?k|x
1
?x
2
|?
．
4k
2
?3
2
过点
B(1,0)
且与
l
垂直的直线
m
：
y??
(
x?
1)
，
A
到
m
的距离为
2
1
k
2k?1
2
，
?
2
?
4k
2
?3
2
，
?PQ?24?
??
?4
2
2
k?1?
k?1
?
11
MN?PQ?121?
2
；
24k?3
故四边形
MPNQ
的面积
S?
可得当
l
与
x
轴不垂直时，四边形
MPNQ
面积的取值范围为
[12,83)
；当
l
与
x
轴垂直时，其方程为
x?1
，
|MN|?3
，
|PQ|?8
，四边形
MPNQ
的面积为12．
综上，四边形
MPNQ
面积的取值范围为
[12,83)
．

III．理论基础·解题原理
考点一 几何法判断直线与圆的位置关系
判断圆心
C
到直线
l
的距离
d
与圆的半径
r
的大小关系
图形
r
d
O
l
r
d
O
l
r


d
O
l

量的关系
位置关系
交点个数
d?r

相离
0
d?r

相切
1
d?r

相交
2
考点二 代数法判断直线
l
与圆C的方程组解的个数
①若有两组实数解，则直线
l
与圆
C
相交；

②若有一组实数解，则直线
l
与圆
C
相切；
③若无实数解，则直线
l
与圆
C
相离．
考点三 几何法判断圆与圆的位置关系
判断圆心距
d
与两圆半径
R
，
r
（
R
＞
r
）的和与差的大小关系
图形




量的关系
位置关系
交点个数
d?r
1
?r
2

外离
0
d?r
1
?r
2

外切
1
|r
2
?r
1
|?d?r
1
?r
2

d?|r
2
?r
1
|

d?|r
2
?r
1
|

相交
2
内切
1
内含
0
考点四 代数法判断两圆位置关系
22
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
判断圆
C
1
与圆
C
2
的方程组
?
2
解的个数：
2
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
①若有两组实数解，则圆
C
1
与圆
C
2
相交；
②若有一组实数解，则圆
C
1
与圆
C
2
相切（外切与内切）；
③若无实数解，则圆
C< br>1
与圆
C
2
相离（外离与内含）．
考点五 圆系方程 方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?
0< br>表示圆的充要条件是：
B?0
且
A?C?0
且
D
2< br>?E
2
?4AF?0
．

过圆
C
1< br>：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1y?F
1
=0
与
C
2
：
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
＝0的交点的圆系方程
C
：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
(
?
??1
)．当
?
??1
时，
(D1
?D
2
)x
＋
(E
1
－
E
2
)y?F
1
?F
2
＝0
表示两圆的公共弦所在直线方程．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
高考对本部分知识的考查主要以选择题、 填空题的形式出现，主要体现的思想方法有待定系数法，
化归与转化的思想、函数与方程思想．对直线与 圆的位置关系的考虑主要考查直线与圆相切问题，且
以求相关的参数为主，其次考查直线与圆相交所得弦 的中点问题和弦长问题，有时也兼顾考查动点的
轨迹．
对圆与圆位置关系的考查，通常考查两 个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公
共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的 轨迹等主要问题．
【技能方法】
因为从圆的定义可以看到圆的半径圆的两个基本要素之一， 其大小与点到直线的距离相关，而直线与
圆的位置关系也是与圆心到直线的距离相关，因此处理直线与圆 的位置关系（相切、相交涉及的弦长等）
主要是围绕圆心到直线的距离来处理．
若判断两圆位 置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离
d
，然后比较与两圆半径和
r
1
?r
2
与差
r
1
?r
2
的大小 关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式
（组）求解．
【易错指导】
（1）过圆外一点与圆相切的直线有两条，但解答时易忽视斜率不存在的哪一条；
（2）涉及 到与圆方程相关的最值问题时，在建立函数关系后忽视圆方程中变量
x,y
的取值而致
错；

（3）求与圆相关的轨迹问题时，常常会忽视变量
x,y
的限制 条件，造成多解．
（4）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错；
（5）将由几何法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；
（6）?
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?
?0
表示过圆
C
1
：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
和
C
2
：
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y ?F
2
?0
的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆
C
2
的方程．如果在解题
中不注意对圆
C
2
的方程进行验证．
V．举一反三·触类旁通
考向1 直线与圆位置关系判断
【例1】【2018陕西 高三高考全真四】直线
l:x?ky?1?0
与圆
C:x
2
?y2
?2
的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．与
k
的取值有关
【答案】C

【方法点拨】判断直线
l
与圆
C
的位置关系三法：（1）几何法：设圆心到直线的距离为
d
，则①
d?r?
l
与
C
相交；②
d?r?
l与
C
相切；③
d?r?
l
与
C
相离；（2）代 数法：将直线方程代
入圆的方程可得到关于
x
或
y
的一元二次方程， 则①
??0?
l
与
C
相交；②
??0?
l
与
C
相切；
③
??0?d?r?
l
与
C
相 离；（3）如果直线上存在的特殊点在圆内，则直线与圆必相交．
【跟踪练习】【2018贵州遵义模 拟】直线
x?y?m?0
与圆
x
2
?y
2
?2x? 1?0
有两个不同交点的一
个充分不必要条件是（ ）
A．
0?m?1
B．
?4?m?2
C．
m?1
D．
?3?m?1

【答案】A
【解析】圆标准方程为
(x?1)
2
?y
2
?2
，
d?
分不必要条件，故选A．
考向2 直线与圆相切问题
1?0?m2
?2
??3?m?1
，这是充要条件，A是充
【例2】【2015高考 广东卷】平行于直线
2x?y?1?0
且与圆
x
2
?y
2< br>?5
相切的直线的方程是
（ ）
A．
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0
B．
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0

C．
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0
D．
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0

【答案】A
【解析】设所求直线方程为
2x?y?b?0
，则所以
程为
2x?y?5?0
或
2x?y?5?0
，故选A．
|0?0?b|
2?1
2 2
?5
，所以
b??5
，所以所求直线方
【例3】【2015高考山 东卷】一条光线从点
?
?2,?3
?
射出，经
y
轴反射后与 圆
?
x?3
?
?
?
y?2
?
?1
相
22
切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．
?
或
?
B．
?
5
3
3
5
325443
或
?
C．
?
或
?
D．
?
或
?

234534
【答案】D

【题型归纳】直线与圆相切问题主要有两种题型：（1）根据条件判断直线与 圆的位置关系；（2）根
据直线与圆相切条件求相关的参数问题．这两种题型的解答都必须用 “圆心到 直线的距离等于半
径”；（3）求切线长，主要利用勾股定理，或利用结论：过
P(x
0
,y
0
)
与圆
C
：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
相切于点
A
的切线长
|P A|?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
．
（1，3）
【跟踪练习】【2015高考山东卷】过点
P
作圆
x
2
?y
2
?1
的两条切线，切点分别为A,B
，则
PA?PB?
___________．
【答案】
3

2
3
，
cos?APB
＝< br>3
【解析】连接
PO
，在直角三角形
PAO
中，
OA ?1,PA?3,
所以
tan?APO?
3
2
)

13
1?tan?APO1
3
??
PA?PB?|PA|?|PB| cos?APB?3?3??
． ，故
1?tan
2
?APO
22< br>3
2
2
1?()
3
2
1?(

考向3 直线与圆相交弦的中点问题

【例4】【2018黑龙江省哈尔滨六中 模拟】直线
l
与圆
x
2
?y
2
?2x?4y?a? 0
（
a?3
）交于
A,B
两
点，且弦
AB
的中点为
(0,1)
，则直线
l
的方程是（ ）
A．
y??2x?1
B．
y?2x?1
C．
y??x?1
D．
y?x?1

【答案】D

【方法归纳】求解直线与圆相交所得弦的中点问题主要题型：（1）已知弦中点求直线方程或圆的方程；（2）已知直线斜率或过定点的直线与圆相交所得弦的中点的轨迹方程．求解此类问题主要是利
用垂径定理，即圆心与中点所在直线与弦垂直．
【跟踪练习】【2018江西上高二中模拟】已知圆< br>?
x?2
?
?
?
y?1
?
?16
的 一条直径通过直线
22
x?2y?3?0
被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程 为（ ）
A．
3x?y?5?0
B．
x?2y?0
C．
x?2y?4?0
D．
2x?y?3?0

【答案】D
【解析】由题意知，直线
x?2y?3?0
的斜率为
1
已知圆的圆心 坐标
(2,?1)
，被圆所截弦的中点与圆
2
心的连线与弦的直线垂直斜率乘 积等于
?1
得，则该直径所在的直线方程斜率为
?2
，所以该直线方程
为
y?1??2(x?2)
，所以所求的直线方程
2x?y?3?0
，故选 D．
考向4 直线与圆相交所得弦长问题
【例5】【2016高考新课标I】设直线
y?x?2a
与圆
C
：
x
2
?y
2
?2 ay?2?0
相交于
A，B
两点，
若
|AB|?3
，则圆< br>C
的面积为___________．
【答案】
3
?

【解析】圆
C:x
2
?y
2
?2ay?2?0< br>，即
C:x
2
?(y?a)
2
?a
2
?2< br>，圆心为
C(0,a)
，由
|AB|?23,C
到直线
y?x ?2a
的距离为
面积为
?
(a
2
?2)?3
?．
【方法点拨】直线与圆相交所得弦长问题主要有两种题型：(1)求直线与圆相交弦的长；(2 )已知相交
弦长求直线方程与圆方程及相关的参数．解答此类问题一般根据[半径
r
]
2
＝[圆心到弦的距离
d
]
2
＋
(半弦长
|0?a?2a|
23
2
|0?a?2a|
2
，所以由
() ?()?a
2
?2
得
a
2
?1,
所以圆的
2
2
2
1
2
L
)
求解．
2
【跟 踪练习】【2014高考福建卷】直线
l:y?kx?1
与圆
O:x
2
?y
2
?1
相交于
A,B
两点，则
k?1
是“< br>?OAB
的面积为
1
”的（ ）
2
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件
【答案】A

考向5 直线与圆相位置关系中的轨迹问题
1
引两条切线
PA、 PB
，切点
【例6】【2017山西长治二中等五校上期联考】由动点
P
向圆
x
2
＋y
2
＝
分别为
A、B
，
? APB＝60?
，则动点
P
的轨迹方程为（ ）
A．
x
2
?y
2
?4
B．
x
2
?y
2
?2
C．
2x?y?4?0
D．
x?y?4?0

【答案】A < /p>

【解析】数形结合，由平面几何可知△ABP是等边三角形，∴
OP?2
，则
P
的轨迹方程为
x
2
?y
2
?4
，< br>故选A．

【方法总结】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方 法：（1）直接法：根据题目条
件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．(2 )定义法：根据直线、圆等定义列
方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法： 找到要求点与已知点的关系，代入已知点
满足的关系式等．
22
【跟踪练习】如图， 在直角坐标系
xoy
中，
AB
是半圆
O
：
x?y? 1(y?0)
的直径，
C
是半圆
O
上
任一点，延长
AC
到点
P
，使
CP?CB
，当点
C
从点
B
运动到点
A
时，动点
P
的轨迹的长度是（ ）
A．
2
?
B．
2
?
C．
?
D．
42
?

【答案】B

y
C
x
B
P
A
O

考向6 关于特殊点与直线的对称问题
【例7】【2017成都市高中毕业班 摸底】已知圆
C:x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
上存在 两点关于直线
l:x?my?1?0
对称，经过点
M(m,m)
作圆
C
的切线，切点为
P
，则
MP?
_____________．
【答案】
3

【解析】因为圆
C:x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
的圆心为
?
1,2
?
，且圆上存 在两点关于直线
l:x?my?1?0
对称，所以
x?my?1?0
过点?
1,2
?
，所以
1?2m?1?0
，得
m??1,M C?13,r
2
?4
，所以
MP?13?4?3
．
【方法 点睛】圆的对称性主要体现在两个方面：(1)圆的自对称性：圆心为对称中心，任一条直径所
在直线都 为对称轴；(2)圆关于点或直线的对称性．解答时主要从两个方面进行考虑：一是转化归结
为点的对称 ，利用中点坐标公式；二是根据轴对称的垂直关系，利用其斜率关系．
【跟踪练习】【2018海南中 学模拟】圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?1
关于直线y?x
对称的圆的方程为
（ ）
A．
(x?2)
2
?(y?1)
2
?1
B．
(x?1)
2
?(y?2)
2
?1

C．
(x?2)
2
?(y?1)
2
?1
D．
(x?1)
2
?(y?2)
2
?1

【答案】A
【解析】因为圆心
(1,2)
关于直线
y?x
的对称点为
(2,1)
，所以圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?1
关于直线
y?x
对称的圆的方程为
(x?2)
2?(y?1)
2
?1
，故选A．
考向7 直线与圆位置关系中的最值问题
【例8】【2018河南豫北重点中学模拟】已知直线
2mx ?y?8m?3?0
和圆
(x?3)
2
?(y?6)
2
?2 5
相
交于
A,B
两点，当弦
AB
最短时，
m
的值为（ ）
2

A．
?
11
B．-6 C．6 D．
66
【答案】A

【方法归纳】 求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：（1）将已知条件与所求问题充分展示在
图形上，利用图形 的直观性来解决；（2）根据条件关于得到某一个几何量的函数，通过求函数的最
值来处理．求直线上的 点与圆上的点的最大与最小距离，由于两点分别是直线和圆上的动点，因此要
用代数知识求解难度较大， 一般采用数形结合较为简单．一般地，圆上的点到直线最大距离为
d?r
，
最小距离< br>d?r
（
d
为圆心到直线的距离，
r
为圆的半径）．
【跟踪练习】【2018山东实验中学高三一模】若圆
C:(x?1)
2
?(y?2 )
2
?1
关于直线
2ax?by?2?0
对称，则由点
(a ,b)
向圆
C
所作切线长的最小值为（ ）
A．1 B．
2
C．
5
D．
7

【答案】D
【解析】由题意得，圆心
C(1,2)
，半径
r?1< br>，因为圆
C:(x?1)
2
?(y?2)
2
?1
关于 直线
2ax?by?2?0
对称，所以直线
2ax?by?2?0
过圆心C(1,2)
，代入得
a?b??1
，则
a??1?b
，
又因为点
(a,b)
到圆心的距离为
d?(a?1)
2
?(b?2 )
2
，所以
(a,b)
向圆作切线，切线长为
l?d
2?r
2
?(a?1)
2
?(b?2)
2
?1
， 代入
a??1?b
，得
l?(a?1)
2
?(b?2)
2< br>?1?2b
2
?7?7
，故选D．
考向8 圆与圆的位置关系的判断

【例9】【2018江苏南京模拟】在平面直角坐标系
xOy
中，圆M ：
?
x?a
?
?
?
y?a?3
?
?1?
a?0
?
，
22
点N为圆
M
上任意一点．若 以
N
为圆心，
ON
为半径的圆与圆
M
至多有一个公共点，则
a
的最小值
为___________．
【答案】3
【解析】由 题意得圆
N
与圆
M
内切或内含，即
MN?ON?1?ON?2
，又
ON?OM?1
，所以
，因此
a
的最小值为3．
0
OM?3
，
a
2
?(a?3)
2
?3?a?3或a ?（舍）
【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离
d
，然后比较与
两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立 方程(组)求解．
【跟踪练习【2018黑龙江大庆一中模拟】在平面直角坐标系
xOy中，圆
C
的方程为
x
2
?y
2
?8x?15? 0
，
若直线
y?kx?2
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆 与圆
C
有公共点，则
k
的最大值
是（ ）
A．
3
4
11
B． C． D．

24
4
3
【答案】A

考向9 两圆的公共弦问题

【例10】【2018湖南高三六校联考】已知圆
x
2
?y
2
?4x?2y?5?a
2
?0
与圆
x
2
?y< br>2
?(2b?10)x?2by?2b
2
?10b?16?0
相交于< br>A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
两点，且满足
22
x
1
2
?y
1
2< br>?x
2
?y
2
，则
b?
________．
【答案】
5

3
【解析】两圆公共弦
AB
所在直线 方程为
(2b?14)x?(2?2b)y?5?a
2
?2b
2
?1 0b?16?0
，设其中
一圆的圆心为
C(2,?1)
．∵
OA?O B
，∴
OC?AB
，∴
k
OC
?k
AB
? ?
1
，得
b?
5
．
3
【方法点睛】本题解答的要 点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转
22
?y
2< br>化为直线与圆的位置关系；二是对条件“
x
1
2
?y
1
2
?x
2
”的理解和应用，考查考生数形结合的意
识，实质上表达了
A,B
两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了．
【跟踪练习 【2017重庆五区开学抽测】若圆
x
2
?y
2
?4
与圆< br>x
2
?y
2
?2ay?6?0
（
a?0
）的 公共弦
长为23，则a＝__________．
【答案】1
【解析】由已知两个 圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为
y?
1
，利用圆心（0，0）到直线的a
1
a
?2
2
?(3)
2
=1
，解得
a?1
．
距离
d
＝
1
考向10 两圆公切线问题
【例11】【2018江苏清江中学模拟】已知圆
C:x
2
?(y?2)2
?1
，
D
为
x
轴正半轴上的动点，若圆
C< br>与圆
D
相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆
D
的方程是 ___________．
【答案】
(x?23)
2
?y
2
?9

【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线； （2）根据公切线方程求
相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，并求角相关问题．求解 此类题的方法与求解
直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题．
考向11 两圆位置关系中的最值问题
【例12】【2018浙江诸暨教学质检】）已知圆< br>C
:(
x?
1)
2
?y
2
?r
2< br>(
r?
0)
与直线
l:y?x?3
，且直
线
l
上有唯一的一个点
P
，使得过
P
点作圆
C
的两条 切线互相垂直，则
r?
_________；设
EF
是直线
l
上的一条线段，若对于圆
C
上的任意一点
Q
，
?EQF?
【答案】
42?4

?
2
，则
EF
的最小值是________．
【解析】根 据圆的对称性知直线
l
上的唯一点
P
与圆心
C
所在直线必与 直线
l
垂直，则
PC
所在直线的
方程为
y??(x?1)< br>，即
y??x?1
，与直线
y?x?3
联立求解得
P(?1, 2)
，再根据对称性知过点
P(?1,2)
的两条切线必与坐标轴垂直，即为
x??1
，
y?2
，易得
r?2
；由题意，知
EF
取得最小值
时，一定关于直线
y??x?1
对称，如图所示，因此可设以点
P (?1,2)
为圆心，以
R
为半径的圆，即
(x?1)
2
? (y?2)
2
?R
2
与圆
C
内切时，
EF
的最小值即为
2R
，由相切条件易知
2R?2(22?2)?42?4
．

【名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所 涉及到的几何量及其相
互间的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案．
【跟踪练习】【2018海南文昌中学模拟】在平面直角坐标系中，过动点
P
分别作圆
C
1
:x
2
?y
2
?4x?6y?9?0
与圆C
2
:
x
2
?y
2
?2x?2y?1?0的切线
PA与PB(A,B为切点)
，若
PA?PB
若
O
为原点，则
OP
的最小值为（ ）
43
C． D．
5

55
A．
2
B．
【答案】B

【例13】点P在圆
x
2
?y
2
?
8
x?
4
y?
11
?
0
上， 点Q在圆
x
2
?y
2
?4x?2y?1?0
上，则
|PQ|
的最
小值是（ ）
A．5 B．0 C．3
5
－5 D．5－2
5

【答案】C
【解析 】圆
x
2
?y
2
?
8
x?
4
y?
11
?
0
的圆心坐标为
M(4,2)
，半径为
R< br>1
?3
；圆
x
2
?y
2
?4x?2y?1? 0
的圆心坐标为
N(?2,?1)
，半径为
R
2
?2
，且
|MN|?35
，则
|PQ|
的最小值
为
35?5< br>，故选C．
【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识 分析直线、圆心
之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就是通过建立某 些变量的关
系表达式，然后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值．

【 跟踪练习】已知圆
C
1
:
?
x?2
?
?
?
y?3
?
?1
，圆
C
2
:
?
x? 3
?
?
?
y?4
?
?9
，
M,N
分别是圆
C
1
,C
2
2222
上的动点，
P
为
x
轴上的动点，则
PM?PN
的最小值为（ ）
A．
52?4
B．
17?1
C．
6?22
D．
17

【答案】A
?3
?
，半径为1，圆
C
2
的圆心坐标
?
3，4
?
，
【解析】如图：如图圆
C
1
关于
x
轴 的对称圆的圆心坐标
A
?
2，
半径为3，|
PM?PN
的最 小值为圆
A
与圆
C
2
的圆心距减去两个圆的半径和，即：
?
3?2
?
2
?
?
4?3
?
2
?1 ?3?52?4
，故选A．

考向12 与圆有关的轨迹问题
【例14】 已知圆
C
1
:
?
x?2
?
?y
2
?1
，圆
C
2
:x
2
?y
2
?4x?77 ?0
，动圆
P
与圆
C
1
外切，与圆
C
2< br>内
2
切，则动圆圆心
P
的轨迹方程是___________．
x
2
y
2
??1

【答案】
2521

【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题， 通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常
与椭圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合 圆锥曲线的定义来解．
【跟踪练习】已知动圆
M
与圆
C
1
：
(x?5)
2
?y
2
?16
外切，与圆
C
2
：
(x?5)
2
?y
2
?16
内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________．
x
2
y
2
??1(x?0)

【答案】
1 69
【解析】设动圆圆心
M
?
x,y
?
，半径为
r
，由圆
C
1
方程可知圆心
C
1
?
?5,0
?
，半径
r
1
?4
，由圆
C
2
方
程可知圆心
C
2
?
5,0
?
，半径
r2
?4
．因为圆
M
与圆
C
1
外切，所以
MC
1
?r?r
1
．因为圆
M
与圆
C
2
内
切，所以
MC
2
?r?r
2
，所以
MC
1
?MC
2
?
?
r?r
1
?
?< br>?
r?r
2
?
?r
1
?r
2
?8< br>，即
MC
1
?MC
2
?8
，又
因为
8?C
1
C
2
?10
，所以点
M
的轨迹是以
C
1
,C
2
为焦点的双曲线的右支，此时
2a?8,c?5
，所以
x
2
y
2
a?4
，
b?c?a?9
，所以点
M
的轨迹方程是
??1(x?0)
．
169
222
考向13 圆系方程的应用
【例15】圆心在直线
x ?y?4?0
上，并且经过圆
x
2
?y
2
?6x?4?0< br>与圆
x
2
?
y
2
?6y
?28
?< br>0
交点
的圆的方程为___________．
【答案】
x
2
?y
2
?x?7y?32?0
< br>【解析】设经过两圆交点的圆的方程为
x
2
?y
2
?
6
x?
4
?
?
(
x
2
?y
2?
6
y?
28)
?
0
，即
?3?3
?
(1?
?
)x
2
?(1?
?
)y
2
?6x?6
?
y?28
?
?4?0
，圆心坐标为
(,)< br>，将其代入直线
1?
?
1?
?
x?y?4?0
解得< br>?
??7
，所以圆的方程为
x
2
?y
2
?x ?7y?32?0
．
【跟踪练习】经过点
M
以及圆
x
2< br>?y
2
?6x?0
与圆
x
2
?y
2
?4
交点的圆的方程为___________．
（2，?2）
【答案】
x
2
?y
2
?3x?2?0

【解析】设过圆
x
2
?y
2
?6x?0
与圆
x
2
?y
2
?4
交点的圆的方程为
x
2
?y
2
?6x?
?
（x
2
?y
2
?4）?0
…①．把点< br>M
的坐标代入①式得
?
?1
，把
?
?1
代入 ①并化
（2，?2）
简得
x
2
?y
2
?3x?2? 0
，∴所求圆的方程为：
x
2
?y
2
?3x?2?0
．
考向14 点与圆、直线与圆、圆与圆位置与其它知识的交汇
【例16】若圆
C
1
:x
2
+y
2
+ax=0
与圆
C2
:x
2
+y
2
+2ax+ytanq=0
都关于直线
2x-y-1=0
对称，
则
sinqcosq=
（ ）
A．
2262
B．
-
C．
-
D．
-

55373
【答案】B

【思维点睛】解答圆与 其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化
与之交汇相关的数学结论， 再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的
数学结论，再求解．
【例17】【2018河北定州中学12月月考】）已知直线
x?y?k?0
(k?0)
与圆
x
2
?y
2
?4
交于不同
的两点
A
、
B
，
O
是坐标原点，且有
|OA?OB|
≥3
|AB|
，那么
k
的取值范围是（

3

）
A．
[2,??)

B．
[2,22)

C．
(3,??)

D．
[3,22)

【答案】B

【解析】设
AB
中点为
D
，则
OD?AB
．∵
|OA?OB|
≥
33
|AB|
， ∴
|2OD|
≥
|AB|
，∴
33
|AB|?23|OD|
．∵
|OD|
2
?
1
2
AB?4
，∴|OD|
2
?1
．∵直线
x?y?k?0
(k?0)
与 圆
x
2
?y
2
?4
4
2
??k?
22
交于不同的两点
A
、
B
，∴
|OD|?4
，∴
4?|OD|?1
，∴
4?
??
?1
．∵
k?0< br>，∴
?
2
?
2?k?22
，故选B．
【例18】【 2018海南师大附中模拟】已知直线
l
与圆
x
2
?y
2< br>?2x?4y?1?0
相交于
A,B
两点．若弦
AB
的中点为 抛物线
x
2
?4y
的焦点，则直线
l
的方程为（ ）
A．
2x?3y?3?0
B．
x?y?1?0
C．
x?y?1?0
D．
x?y?1?0

【答案】B

【题型点睛】圆与其它知识的交汇主要涉及：（1）通过圆中相关线段对应的向量满足的条件 与平面
向量发生联系；（2）由于圆可以围成一定的区域，因此常常与几何概型发生联系；（3）圆的线 段间
的大小关系、多个参数之间的等量关系等形式均可能与不等式知识发生联系．
【例19】 【2018河北衡水中学调研】已知
P
为圆
A
：
(x?1)
2
?y
2
?8
上的动点，点
B(1,0)
，线段
P B
的垂直平分线与半径
PA
相交于点
M
，记点
M
的 轨迹为
?
的方程；
（1）求曲线
?
的方程；
（2）当点
P
在第一象限，且
cos?BAP?
22
时，求点
M
的坐标．
3

【解析】（1）圆
A
的圆心为
A(? 1,0)
，半径等于
22
，由已知
|MB|?|MP|
，于是
|MA|?|MB|?|MA|?|MP|?22
，故曲线
?
是以
A,B< br>为焦点，以
22
为长轴长的椭圆，且
x
2
a?2,b?1,c ?1
，故曲线
?
的方程为
?y
2
?1
．
2
（2）由点
P
在第一象限，
cos?BAP?
22522
)
， ，
|AP|?22
，得
P(,
333
于是直线
AP
方程为
y?
2
7
(x?1)
，代入椭圆方程，消去< br>y
可得
5x
2
?2x?7?0
，∴
x
1?1,x
2
??
．
4
5
由于点
M
在 线段
AP
上，所以点
M
的坐标为
(1,
2
)
．
2
【名师点睛】直线与圆的位置关系综合题，通常涉及到直线与圆相切，或相交，或相离 ，涉及到的有
最值问题、弦长问题、轨迹问题、探索性问题、三角形面积问题等，解答时一般首先明确圆 的圆心到
半径，然后根据已知中或所求问题中涉及到的位置关系，将问题转化为方程，或不等式，或函数 等问
题来处理，特别要注意数形结合思想的应用．
【跟踪练习】
1．两个圆
C
1
：x
2
?y
2
?2ax?a
2
?4 ?0(a?R)
与
C
2
：x
2
?y
2
?2 by?1?b
2
?0(b?R)
恰有三条公切
线，则
a?b
的最小值为（ ）
A、
?6
B、
?3
C、
?32
D、
3

【答案】C
【解析】圆的方程 知，圆
C
1
的圆心为
(?a,0)
，半径为2，圆
C
2
的圆心为
(0,b)
，半径为1．因为两圆
有三条公切线，则两圆外切， 所以
|C
1
C
2
|?a
2
?b
2
?3
，即
a
2
?b
2
?9
．因为
a
2
?b
2
?2ab
，所以
2(a
2
?b
2
)?a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2
，所以
?32?a?b?32
，故选C．

2．【2018福建厦门一中模拟 】已知直线
l
n
:y?x?2n
与圆
C
n
:x2
?y
2
?2a
n
?n
交于不同的两点
An
、B
n
，
n?N
?
，数列
?
an
?
满足：
a
1
?1,a
n?1
?
【 答案】
a
n
＝2
n?1

1
2
A
n
B
n
，则数列
?
a
n
?
的通项公式为< br>a
n
?
_______．
4

3．【2015高考 广东卷】已知过原点的动直线
l
与圆
C
1
：
x
2< br>?y
2
?6x?5?0
相交于不同的两点
A
，
B．
（1）求圆
C
1
的圆心坐标；
（2）求线段
??
的中点
?
的轨迹
C
的方程； < br>（3）是否存在实数
k
，使得直线
L:
y?k
?
x? 4
?
与曲线
C
只有一个交点？若存在，求出
k
的取值范围；
若不存在，说明理由．
2525
3
3
?
9
??k?
【答案】（1）
?
3,0
?
；（2）
?
x?
?
?y
2
?
；（3）
?
或
k??．
77
4
2
?
4
?
【解析】（1）圆
C
1
:
x
2
?y
2
?6x?5?0
化为
?
x?3
?
?y
2
?4
，所以圆
C
1
的圆心坐标为
?
3,0
?
．
2
2
（ 2）设线段
AB
的中点
?(x
0
,y
0
)
，由圆的性质可得
C
1
?
垂直于直线
l
．
设直线
l
的方程为
y?mx
（易知直线
l
的斜率存在），所以k
C
1
?
?m??1
，
y
0
?mx< br>0
，所以
y
0
y
3
?
9
?
?
0
??1
，所以
x
0
2
?
3
x
0
?y
0
2
?
0
，即
?
x
0
?
?
?y
0
2
?
．
x
0< br>?3x
0
2
?
4
?
2

因为动 直线
l
与圆
C
1
相交，所以
3m
m
2?1
?2
，所以
m
2
?
4
．
5所以
y
0
?m
2
x
0
?
22
4
2
4
2
5
2
x
0
，所以
3x< br>0
?x
0
?x
0
，解得
x
0
?或
x
0
?0
，
553
2
5
3
?
9
?
2
又因为
0
?x
0
?
3
，所以
?x
0
?3
，所以
M(x
0
,y< br>0
)
满足
?
x
0
?
?
?y
0
?
3
2
?
4
?
?
5
?
?
?x
0
?3
?
，
?
3
?
3< br>?
9
?
即
?
的轨迹
C
的方程为
?< br>x?
?
?y
2
?
．
2
?
4
?
（3）由题意知直线
L
表示过定点
T
(4,0)
，斜率 为
k
的直线．
2
?
525
?
3
?
9
?
5
?
?
2
?
按逆
x
?x? 3
结合图形，
?
x?
?
?y?
?
,?
?< br>表示的是一段关于轴对称，起点为
?
?
3
?
2
?4
?
3
?
?
?
3
?
2
时针方 向运动到
?
,
?
525
?
?
x
?
33
?
的圆弧．根据对称性，只需讨论在轴对称下方的圆弧．
??
?
525
?
?
，则
k
PT
设
P
?
,?
?
33
?
??
3k
25
?4k
325
2
?
3
?
?
，解得
，而当直线
L
与轨迹
C
相切时，
5
7
k
2
?1
2
4?
3
253
33
?
，所以
k
???k
．结合图形，可得对于
x
轴对称下方
k??
．在这里暂取< br>k?
，因为
74
44
的圆弧，当
0?k?
25
3
或
k?
时，直线
L
与
x
轴对称下方的圆弧有且 只有一个交点，根据对称
7
4
性可知：当
?
25
3
?k?0
或
k??
时，直线
L
与
x
轴对称上方的圆 弧有且只有一个交点．
7
4
2525
3
?k?
或
k??
时，直线
L:
y?k
?
x?4
?
与曲线C
只有一个交点．
77
4
综上所述，当
?

L
y

?
O
C
x
?