高中数学-直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
直线的方程
斜截式 斜率k y=kx+b 不包括垂直于x轴的直线
纵截距b
点斜式 点P
1
(x
1
,y
1
)
y?y
1
=k（
x?x
1
） 不包括垂直于x轴的直线
斜率k
两点式 点P
1
(x
1
,y
1
)
y

?

y

1

x

?

x
不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线
1
和P
2
(x
2
,y
2
)
y

1

x

2

?

x

1

y

2

?
截距式 横截距a
线
纵坐标b
一般式 Ax+By+C=0 A、B不同时为0
圆的方程
标准式：
(x?a)?(y?b)?r
，其中
r
为圆的半径，
(a,b)
为圆心．
222
?
xy
??1
不包括坐标轴，平行于坐标 轴和过原点的直
ab
DE
?
22
22
一般式：
x? y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0
）.其中圆心为
?
?< br>?,?
?
，
2
??
2
1
半径为
D< br>2
?E
2
?4F

2
?
x?rcos
?
?
x?a?rcos
?
参数方程:
?
，
?(
?
是参数）. 消去
θ
可得普通方程
y?b?rsin
?
y?rsin
?
?
?

典型例题
例1.已知一个圆和
y
轴相切，在直线
y?x
上 截得的弦长为
27
，且圆心在直线
x?3y?0
上，求圆的方程。







练习：求过点
A
?
1,2
?
和
B
?
1,10
?
且与直线x?2y?1?0
相切的圆的方程。




练习： 已知圆
C
和
y
轴相切，圆心在直线
x?3y?0
上，且被直 线
y?x
截得的弦长为
27


，求圆
C
的方程。
1 6

点与圆的位置关系：
已知点
M
?
x
0
,y
0
?
及圆
C：
?
x-a
?
?
?
y?b
?
?r
2
?
r?0
?
，
（1）点M在圆C外
?CM?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2
； < br>（2）点M在圆C内
?
CM?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2
；
（3）点M在圆C上
?CM?r?
?
x
0
?a
?< br>?
?
y
0
?b
?
?r
2

圆的切线
(1)切线：①过圆
x
2
?y
2
?R< br>2
上一点
P(x
0
,y
0
)
圆的切线方程是 ：
xx
0
?yy
0
?R
2
，过圆
2222
22
22
(x?a)
2
?(y?b)
2
? R
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
圆的切线方 程是：
(x?a)(x
0
?a)?(y?a)(y
0
?a)?R2
，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的
距离等于半径）；②从圆外一点引 圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条
件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于 半径）来求；③过两切点的直线（即“切点
弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点 的圆，该圆与已知圆的公共弦
就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆
x?y?Dx?Ey? F?0
（
(x?a)
2
?(y?b)
2
?R
2）外一点
P(x
0
,y
0
)
所引圆的切线的长为
22
x
0
2
?y
0
2
?Dx
0
?Ey
0
?F
（
(x
0
?a)
2
?(y< br>0
?b)
2
?R
2
）；
222
例2. 已知圆的方程为
x?y?r
，
P(x
0
.y
0
)
是圆外一点，经过P点作圆的切线两切线，
切点分别为A,B,求直线AB的方程。





22
练习：写出过圆
x?y?10
上的一点
M(2,6)
的切线方程




练习：设A为圆
(x?1)?y?1
上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨 迹方程为---





2 6
22

直线与圆的位置关系：
直线
l:Ax?By ?C?0
和圆
C：
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
?
r?0
?
有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况） ：
??0?
相交；
??0?
相离；
??0?
相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为
d
，则d?r?
相交；
d?r?
相离；
d?r?
相切。提醒：判断直线 与圆的位置关系一般用几
何方法较简捷
22
x?y?m?0
圆方程为
(x?1)?y?1
则当m为何值时，直线与圆例3.已知直线方程为
22
（1）相切 (2)相离 （3）相交







2 2
例4.已知⊙C：(x-1)+(y-2)=2，P( 2,-1)，过P作⊙C的切线，切点为A、B。求切线直线
PA、PB的方程








22
练习：若直线
(1?a)x?y?1?0
与圆
x?y?2x?0
相切，则
a
的值为（ d）
A. 1或-1 B. 2,或-2 C. 1 D. -1
练习：已 知过
A(?1,0),B(0,2)
的直线与圆
(x?1)?(y?a)?1
相切，则a=?


练习：已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的
方程为



弦长求法
22
3 6

?
l
?
（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则
d?
??
?r
2
．或者
AB?2r
2
?d
2
.

?
2
?
（2）解析法：用韦达定理，弦长公式. 直线
y?kx?b
与圆
(x?a)?(y?b)?r
相交两
2
222
2
点A,B.
AB?1?kx
A
?x
B
?(1+k)
?
(x
A
?x
B
)? 4x
A
x
B
?

222
例5.已知直线
l :y?kx?1
，圆C：
(x?1)?(y?1)?9
.
(1) 试证明：不论
k
为何实数，直线
l
和圆C总有两个交点；
(2) 当
k
取何值时，直线
l
被圆C截得的弦长最短，并求出最短弦的长。






练习：已知圆C：
x?y? 2x?4y?3?0
和直线
l
：
x?y?1?0
，则圆C到直线l
的距离
为
2
的点共有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个




例6.已知直线
l:y?kx?2
和曲线C:
y?





练习：圆
x?y?8
内有一点
P(?1,2 )
，AB为经过点P且倾斜角为
?
的弦。
（1） 当
?
?




练习：已知直线
y?mx
与圆
x?y?8x?6y?21?0
交于
P,Q
两点，
O< br>为坐标原点，求
22
22
22
22
2?x
2
有两个交点,求实数
k
的取值范围.
3
?
时，求弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时求直线AB的方程。
4
OP?OQ
的值。

4 6

课后练习:
22
1．设
m?0
，则直线
2(x?y)?1 ?m?0
与圆
x?y?m
的位置关系为
A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切
3．设直线过点
(0,a)
，其斜率为1, 且与圆
x?y?2
相切,则
a
的值为
A．±2 B．±2 C．±22 D．±4
4．“a?b
”是“直线
y?x?2
与圆
(x?a)?(y?b)?2
相切”的
A充分而不必要条件． B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.若直线
2ax?by?2?0(a?0,b?0)
始终平分圆
x?y?2 x?4y?1?0
的周长,则
22
22
22
11
?
的最小值为
ab
11
A． B． C．
4
D．
?4

42
8．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．若圆（x－3）
2
＋（y+5）
2
＝r
2< br>上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径
r的范围是
A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］
（二）填空题：
11．设
P
为圆
x
2< br>?y
2
?1
上的动点，则点
P
到直线
3x?4y?1 0?0
的距离的最小值为 _ .
12．已知圆
C:(x?5)
2
?y
2
?r
2
(r?0)
和直线
l:3x?y?5?0< br>. 若圆
C
与直线
l
没有公共
点，则
r
的取值范围是 .
13．设直 线
ax?y?3?0
与圆
(x?1)?(y?2)?4
相交于
A、
B
两点，且弦
AB
的长为
22
23
，则
a?
___．
14．过点（1，2）的直线 l将圆(x－2)
2
＋y
2
＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，< br>直
线l的斜率k＝ ．
5 6

（三）解答题
１．求过点
A(2,4)
向圆
x?y?4
所引的切线方程。



２．求直线
2x?y?1?0
被圆
x?y? 2y?1?0
所截得的弦长。


３．已知实数
x,y
满足
x?y?1
，求

22
22
22
y?2
的取值范围。
x?1
6 6