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高中数学专题讲义-直线与圆相交

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 06:37
tags:高中数学圆

教师证高中数学通过率多少-高中数学课程标准2017版百度云

2020年9月21日发(作者:季德基)














板块四.直线与圆相交
典例分析


?
3
?
x?3?3cos
?
【例1】 直线
y?x ?2
与圆心为
D
的圆
?
?
?
?
?
0,2π
?
?
交与
A

B

3
?
?
y?1?3sin
?
点,则直线
AD

BD的倾斜角之和为( )
754
A.
π
B.
π
C.
π

643


2

5
D.
π
3

【例2】

P
?
2,?1
?
为圆
?
x?1
?
?y
2
?25
的弦
AB
的中点,则直线
AB
的方程
为 .




【例3】
直线
x ?2y?5?0
与圆
x
2
?y
2
?8
相交于
A

B
两点,则
AB?
________.


【例4】 已知
P
是圆
O:(x?5)
2
?(y?5)2
?16
上的一点,关于点
A(5,0)
的对称点是
Q
,将
半径
OP
绕圆心
O
依逆时针方向旋转
90
o< br>到
OR
,求
RQ
的最值.


【例5】
直线
y?kx?3
与圆
?
x?3
?
?
?< br>y?2
?
?4
相交于
M

N
两点,若
MN≥23
,则
22
k
的取值范围是

?
3?
0
?
A.
?
?,
?
4
?

?
33
?

?
C.
?
?
3
??
3









3
??
B.
?
??,?
?

?
0,??
?
4
??

?
2
?
0< br>?
D.
?
?,
?
5
?

【例6】 直线
2ax?by?1
与圆
x
2
?y
2
?1
相交于
A

B
两点(其中
a,b
是实数),且
? AOB
是直角三角形(
O
是坐标原点),则点
P
?
a,b< br>?
与点
?
0,1
?
之间距离的最大值为



( )
A.
2?1
B.
2
C.
2
D.
2?1




【例7】 直线
x?y?2? 0
截圆
x
2
?y
2
?4
所得劣弧所对圆心角为( )
A.



【例8】 圆
x
2
?y
2
?4
被直线
为 .



【例9】 已知直线
l:y?kx?22
3x?y? 23?0
截得的劣弧所对的圆心角的大小
πππ

B. C. D.
6323
??
?
k?0
?
与圆
O

x
2
?y
2
?4
相交于
A

B
两点,
O
为坐
标原点,
?AOB
的面积为S

⑴试将
S
表示为
k
的函数
S
?
k
?
,并求出它的义域;⑵求
S
的最大值,并求出此时
的< br>k
值.


【例10】 经过点
P(2,?3)
作 圆
(x?1)
2
?y
2
?25
的弦
AB
, 使点
P
为弦
AB
的中点,则弦
AB

在直线方程为 ( )
A.
x?y?5?0

C.
x?y?5?0



B.
x?y?5?0

D.
x?y?5?0



【例11】 某圆拱桥的水面跨度是
20m
,拱高为
4m
,现有一船宽
9m
,在水面以上部分高
3m

故通行无阻.近日水位 暴涨了
1.5m
,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至
少应降低
m
时,船才能通过桥洞.(结果精确到
0.01m



【例12】 过点
P
?
2,0
?
与圆
x
2
?y
2
?2y?3?0
相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直
线方程是_________.



【例13】 若直线
2ax ?by?2?0(a,b?0)
始终平分圆
x
2
?y
2
?2 x?4y?1?0
的周长,则
11
?
的最小值为____________.
ab



2
(x?a)?y
2< br>?4
所截得的弦长等于
23
,则
a
的为 . 【例14】 直线
x?2
被圆


【例15】 若过定点
M (?1,0)
且斜率为
k
的直线与圆
x
2
?4x?y
2
?5?0
在第一象限内的部分
有交点,则
k
的取值范围是( )
A.
0?k?5



【例16】 已知圆
C :(x?1)
2
?(y?2)
2
?25
,直线
l:(2m? 1)x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)

⑴证明直线
l
与圆相交;
⑵求直线
l
被圆
C截得的弦长最小时,求直线
l
的方程.


【例17】 已知 圆
C
的圆心与点
P(?2,1)
关于直线
y?x?1
对称. 直线
3x?4y?11?0
与圆
C
相交于
A,B
两点,且< br>|AB|?6
,则圆
C
的方程为 .


【例18】 求过直线
x?3y?7?0
与已知圆
x
2< br>?y
2
?2x?2y?3?0
的交点,且在两坐标轴上的
四个截距之和 为
?8
的圆的方程.


【例19】
已知圆
C :
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?25
及直线
l:
?
2m?1
?
x?
?
m?1
?
y?7m?4(m?R)

⑴证明:不论
m
取什么实数,直线l
与圆
C
恒相交;
⑵求直线
l
与圆
C
所截得的弦长的最短长度及此时直线
l
的方程.


【例20】
已知圆
C

?
x?1
?
?y
2
? 9
内有一点
P(2,2)
,过点
P
作直线
l
交圆< br>C

A

B

2
22
B.
?5?k?0
C.
0?k?13
D.
0?k?5

点.

⑴当
l
经过圆心
C
时,求直线
l
的方程;
⑵当弦
AB
被点
P
平分时,写出直线
l
的方程;
⑶当直线
l
的倾斜角为
45?
时,求弦
AB
的长.


【例21】 已知点
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)(x
1
x
2
?0)
是抛物线
y
2
?2px(p?0)
上的两个动点,
O
uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
是坐标原点,向量< br>OA

OB
满足
OA?OB?OA?OB
.设圆
C< br>的方程为
x
2
?y
2
?(x
1
?x
2
)x?(y
1
?y
2
)y?0

⑴证明:线段
AB
是圆
C
的直径;
⑵当圆
C
的圆心到直线
x?2y?0
的距离的最小值为


25
时,求
p
的值.
5





【例22】 已知两圆
x
2
?y
2
? 4x?2y?0

x
2
?y
2
?2y?4?0
的交 点分别为
A、B

⑴ 求直线
AB
的方程及线段
AB
的长;
⑵ 求经过
A、B
两点,且圆心在直线
2x?4y?1
上的圆的方程.


【例23】 已知
acos
?
?bsin
?
?c

acos
?
?bsin
?
?c

(ab ?0,
?
?
?
?kπ,k?Z)
,求证:
cos


2
?
?
?
2
c
2

?
2
a?b
2
【例24】 求过直线
2x?y?4?0和圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
的交点,且满足 下列条件之一的
圆的方程.
⑴ 过原点;
⑵ 有最小面积.


【例25】 直线
l

x
轴、
y
轴的正半轴分别交 于
A、B
两点,
OA、OB
的长分别是关于
x
的方

x
2
?14x?4(AB?2)?0
的两个根
(OA?OB)
P
为直线
l
上异于
A、B
两点之间
的一动点 . 且
PQOB

OA
于点
Q

⑴ 求直线
l
AB
斜率的大小;
1
⑵ 若
S
?PAQ
?S
四OQPB
时,请你确定
P
点在
AB
上的位置 ,并求出线段
PQ
的长;
3
⑶ 在
y
轴上是否存在点M
,使
?MPQ
为等腰直角三角形,若存在,求出点
M

坐标;若不存在,说明理由.



【例26】 已知圆
x2
?y
2
?x?6y?m?0
与直线
l:x?2y?3?0相交于
P

Q
两点,
O
为原点,

O P?OQ
,求实数
m
的值.


3
??
【例27】 直线经过点
P
?
?3,?
?< br>被圆
x
2
?y
2
?25
截得的弦长为
8,求此弦所在直线方程.
2
??



【例28】 过点
P(1,2)
的直线将圆
x
2
?y
2
?4x? 5?0
分成两个弓形,当这两个弓形面积之差
最大时,这条直线的方程为( )
A.
x?1
B.
y?2
C.
y?x?1

D.
x?2y?3?0





【例29】 过点
(1,2)的直线
l
将圆
(x?2)
2
?y
2
?4
分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小
时,直线
l
的斜率
k?




【例30】 已知圆
C:x
2
?y2
?2x?4y?4?0
,问最否存在斜率为
1
的直线
l
,使
l
被圆
C
截得
的弦
AB
为直径的圆过原点, 若存在,写出直线方程;若不存在,说明理由.

【例31】 已知直线
ax?by ?c?0
与圆
O

x
2
?y
2
?1
相交于
A

B
两点,且
|AB|?3
,则
uuu ruuur
OA?OB?



【例32】 已知直 线
l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4
,圆
C:(x?1)
2?(y?2)
2
?25
,则
m
为任意
实数时,
l

C
是否必相交?若必相交,求出相交的弦长的最小值及此时
m
的 值;
若不一定相交,则举一个反例.


【例33】 已知圆
C< br>和
y
轴相切,圆心在直线
x?3y?0
上,且被直线
y?x< br>截得的弦长为
27

求圆
C
的方程.

【例34】 直线
l
与圆
x
2
?y
2
?2 x?4y?a?0
(a?3)
相交于两点
A

B
,弦
AB
的中点为
1
?
,则直线
l
的方程为 .
?
0,


【例35】 已知圆的方程为
x
2
?y
2
?6x?8y?0
.设该圆过点
(3,5)
的最长弦 和最短弦分别为
AC

BD
,则四边形
ABCD
的面积为( )
A.
106

B.
206

C.
306

D.
406



【例36】 直线
x?2y?3?0
与圆
x
2
?y
2
?4
相交弦中点
M
与点
N(1,2)
的距离为_____ __.

【例37】 若过定点
M(?1,0)
且斜率为
k
的直线与圆
x
2
?4x?y
2
?5?0
在第一象限内的部 分
有交点,则
k
的取值范围是_________.

【例38】 如果直线
l
将圆
x
2
?y
2
?2x?4y?0平分,且不通过第四象限,那么直线
l
的斜率
的取值范围是________.




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