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高一数学圆的方程知识点教学文案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 06:37
tags:高中数学圆

高中数学难点解读-北京民办学校高中数学教师最新招聘信息

2020年9月21日发(作者:安力夫)






高一数学圆的
识点
程知方


精品文档
高一数学圆与方程知识点
一、标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
22
? r
2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心
?
a,b
?
和半径
r

2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解)
条件 方程形式
圆心在原点
x
2
?y
2
?r
2
?
r?0
?

22
过原点
?< br>x?a
?
?
?
y?b
?
?
x?a
?
2
?a
2
?b
2
?
a
2
?b2
?0
?

圆心在
x
轴上
?y
2
?r
2
?
r?0
?

2
圆心在
y
轴上 x
2
?
?
y?b
?
?r
2
?
r?0
?

圆心在
x
轴上且过原点
?
x?a
?
2
?y
2
?a
2
?< br>a?0
?

2
圆心在
y
轴上且过原点
x
2
?
?
y?b
?
?b
2
?b?0
?


x
轴相切
?
x?a
?
?
?
y?b
?
2
22
?b
2
?
b?0
?


y
轴相切
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?a
2
?
a?0
?

2
与两坐标轴都相切
二、一般方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
22
?a
2
?
a?b?0
?

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
?
D
2
?E
2
?4F?0
?

1.
Ax
2
?By
2
?Cxy?Dx?Ey?F?0
表示圆方程则
?
?
?
A? B?0
?
A?B?0
??
?
?
C?0

?
C?0
??
D
2
?E
2
?4AF?0
22
?
DEF
????
?
??
?
??
?4?? 0
?
A
?
?
A
??
A
?
2.求圆 的一般方程一般可采用待定系数法:
3.
D
2
?E
2
?4 F?0
常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法:点到圆心的距离
d
与半径
r
的大小关系
d?r?
点在圆内;
d?r?
点在圆上;
d?r?
点在圆外
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2.涉及最值:
(1)圆外一点
B
,圆上一动点
P
,讨论
PB
的最值
PB
min
?BN?BC?r

PB
max
?BM?BC?r


(2)圆内一点


A
,圆上一动点
P
,讨论
PA
的最值
PA
min
?AN?r?AC

PA
max
?AM?r?AC


思考:过此
A
点作最短的弦?(此弦垂直
AC

四、直线与圆的位置关系
1.判断方法(
d
为圆心到直线的距离)
(1)相离
?
没有公共点
?
??0?d?r

(2)相切
?
只有一个公共点
?
??0?d?r

(3)相交
?
有两个公共点
?
??0?d?r

这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2.直线与圆相切
(1)知识要点
①基本图形
②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等
问题:直线
l
与圆
C
相切意味着什么?
圆心
C
到直线
l
的距离恰好等于半径
r

(2)常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数:点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点

...
i)点在圆外
如定点
P
?
x
0
,y
0
?
,圆:
?
x ?a
?
?
?
y?b
?
22
?r
2
,[
?
x
0
?a
?
?
?
y
0?b
?
?r
2
]
22
第一步:设切线
l方程
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
第二 步:通过
d?r?k
,从而得到切线方程
特别注意:以上解题步骤仅对
k
存在有效,当
k
不存在时,应补上
如:过点
P
?
1,1
?
作圆
x
2
?y
2
?4x?6y?12?0
的切线,求切线方程.答案:
3x?4y?1 ?0

x?1

y
0
?
在圆
x
2
?y
2
?r
2
上,则切线方程为
x
0
x? y
0
y?r
2

?
x
0

ii)点在圆上
1) 若点
会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目.
2) 若点
y
0?
在圆
?
x?a
?
?
?
y?b
??
x
0

22
?r
2
上,则切线方程为
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?
x
0
?a
??
x?a
?
?
?
y
0< br>?b
??
y?b
?
?r
2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果.
由上述分析,我们知道 :过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系,得出切线的条数.
③求切线长:利用基本图形,
AP?CP?r
2
?AP?
22
CP? r
2
2

求切点坐标:利用两个关系列出两个方程
?
3.直线与圆相交
(1)求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用
....
弦长公式:
l
?AC?r

?
k
AC
?k
AP
??1
?1?k
2
x
1
?x
2
?
2
2
?
(暂作了解,无需掌握)
1?kx? x
??
??
?
12
?4x
1
x
2
?
?
(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点,而定点恰好在圆内.
(3)关于点的个数问题
例:若圆
?
x?3
?
?
?
y?5
?
22
?r
2
上有且仅有两个点到直线
4 x?3y?2?0
的距离为1,则半径
r
的取值范围是
__________ _______. 答案:
4.直线与圆相离
五、对称问题(举例)
1.若圆
x
2
?
4,6
?

?y
2
?
?
m
2
?1
?
x?2my?m?0
, 关于直线
x?y?1?0
,则实数
m
的值为____.
答案:3( 注意:
m??1
时,
D
2
?E
2
?4F?0
,故舍去)
变式:已知点
A
是圆
C
:
x
2?y
2
?ax?4y?5?0
上任意一点,
A
点关于直线
x?2y?1?0
的对称点在圆
C
上,则实数
a?
_______ __.
2.圆
?
x?1
?
?
?
y?3
?
22
?1
关于直线
x?y?0
对称的曲线方程是_________ _______.
22
变式:已知圆
C
1

______ _________.
3.圆
?
x?4
?
?
?
y ?2
?
2
?1
与圆
C
2

?
x? 2
?
?
?
y?4
?
?1
关于直线
l
对称,则直线
l
的方程为
22
?
x?3
?
??
y?1
?
2
?1
关于点
?
2,3
?
对称的曲线方程是__________________.
六、最值问题
方法主要有三种:(1)数形结合;(2)代换;(3)参数方程
1.已知实数
x< br>,
y
满足方程
x
2
?y
2
?4x?1?0< br>,求:
y
的最大值和最小值;——看作斜率
x?5
(2)
y?x
的最小值;——截距(线性规划)
(1)(3)
x
2
?y
2
的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
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2.已知?AOB
中,
OB?3

OA?4

AB?5
,点
P

?AOB
内切圆上一点,求以
PA

PB

PO
为直径的
三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可!
3.设
P
?
x,y
?
为圆
x
2
?
?
y?1
?
2
?1
上 的任一点,欲使不等式
x?y?c?0
恒成立,则
c
的取值范围是_____ _______. 答案:
c?2?1
(数形结合和参数方程两种方法均可!)
七、圆的参数方程
?
x?rcos
?

?
为参数
x
2
?y
2
?r
2
?
r?0
?< br>?
?
?
y?rsin
?
?
x?a
?
?
?
y?b
?
八、圆与圆的位置关系
22
?
x?a?rcos
?

?
为参数
?r
?
r?0
?
?
?
y?b?rsin
?
?
2
1.判断方法:几何法(
d
为圆心距)
(1)
d(3)
r
1
(5)
d
?r
1
?r
2< br>?
外离 (2)
d?r
1
?r
2
?
外切
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
相交 (4)
d?r
1
?r
2
?
内切
?r
1
?r
2
?
内含
2.两圆公共弦所在直线方程

C
1

x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1< br>?0
,圆
C
2

x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0

?< br>D
1
?D
2
?
x?
?
E
1
?E
2
?
y?
?
F
1
?F
2
?< br>?0
为两相交圆公共弦方程.
补充说明:

C
1

C
2
相切,则表示其中一条公切线方程;若
C
1

C
2
相离,则表示连心线的中垂线方程.
3. 圆系问题
(1)过两圆
C
1

x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

C
2

x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F2
?0
交点的圆系方程为
x
2
?y
2
?D1
x?E
1
y?F
1
?
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2?
?0

?
??1

说明:1)上述圆系不包括C
2
;2)当
?
??1
时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦 )
(2)过直线
Ax?By?C?0
与圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
交点的圆系方程为
x
2
?y
2< br>?Dx?Ey?F?
?
?
Ax?By?C
?
?0

(3)两圆公切线的条数问题
①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相 交时,有两条公切线;④相离时,有四条公切线
九、轨迹方程
(1)定义法(圆的定义):略
(2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这 种等量关系,建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
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例:过圆
x
迹方程.
分析:
2
?y
2
?1
外一点
A
?
2,0
?
作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨
OP?AP?OA
222

(3)相关点法(平移转换法):一点随另一点的变动而变动
?

?

动点 主动点
特点为:主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动.
例1.如图,已知定点
A
?
2,0
?
,点
Q
是圆
x
2< br>?y
2
?1
上的动点,
?AOQ
的平分线

AQ

M
,当
Q
点在圆上移动时,求动点
M
的轨迹 方程.
分析:角平分线定理和定比分点公式.
例2.已知圆
O

x
2
?y
2
?9
,点
A
?
3,0
?

B

C
是圆
O
上的两个动点,
A
B

C
呈逆时针方向排列,且
?BAC?
法1:Q
?
3
,求
?ABC
的重心
G
的轨迹方程.
?BAC?
?
3

?BC
为定长且等于
33

x
A
?x
B
?x
C
3?x
B
?x
C
?
x??
?
?
33

G
?
x,y
?
,则
?
?
y?
y
A
?y
B
?y
C
?
y
B
?y
C
?
33
?
QOE?CE?OC
222

BC
的中点为
x
E
?
333
?
?
33
?
?
?
?,
?

y
E
?
?
?,
?

?
24
??
?
42
?

?x
E
2
?y
E
2
?
9
LL
4
(1)
3?2x
E
x
B
?x
C
3x?3
?
?
?
x?
x?x?
?
?
?
?
x
B
?x
C
?2x
E
?
E
??
E< br>3
22


?
?
?
?
?
? ?
?
y
B
?y
C
?2y
E
?
y?
y
B
?y
C
?
y?
2y
E
?y?
3
y
E
E
?
?
?
?2
3
?2
?
22
?
3
?
2
?
3x?3
??
3
?
9
?
3
?
2
?y??x ?1?y?1x?0,,y??,1
?

故由(1)得:
?
???
????
?
?
4
?
2
??
2
??
2
?
?
2
?
法2:(参数法)

B
?
3cos
?
,3sin
?
?
,由
?B OC?2?BAC?
2
?
?
?
??
,3sin
?< br>?
???
?

3
???
?
2
?
3
,则
?2
?
?
C
?
3cos
?
?
?
3
??

G
?
x,y
?
,则
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?2
?
??
3?3cos
?
?3cos
?
?
??
?
x
A
?x
B
?x
C
2
?
?< br>3
?
?
?
?
x???1?cos
?
?cos
?
?
?
?
L
?
1
?
333
???

?
2
?
??
?
3sin
??3sin
?
?
?
?
?
y
A
?yB
?y
C
2
?
?
3
?
?
?< br>y???sin
?
?sin
?
?
?
??
LL
?
2
?
333
??
?
?
2
3?
2
2
?
?
4
?
?
?
3?
2
?
?
?
,
1?1?2
,由
得:< br>x?1?y?1x?0,,y??,1
?

??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
33
?< br>?
2
?
?
2
?
参数法的本质是将动点坐标

x

得到动点轨迹方程,通过参数的范围得
?
x,y
?中的
x

y
都用第三个变量(即参数)表示,通过消参
..y
的范围.
x
1
?x
2
?
x?
?< br>?
2
②中点
P
?
x,y
?

?
?
y?
y
1
?y
2
??2
(4)求轨迹方程常用到得知识
x
A
?x
B
?x
C
?
x?
?
?
3
①重心
G
?x,y
?

?
?
y?
y
A
?y
B
?y
C
?
3
?
③内角平分线定理:

BDAB
?
CDAC


④定比分点公式:
⑤韦达定理.
x?
?
x
B
AM
?
?
,则
x
M
?
A
MB1?
?< br>,
y
M
?
y
A
?
?
y
B< br>1?
?

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