高一数学圆与方程同步练习

第四章 圆与方程
一、选择题
1．圆C
1
: x
2
＋y
2
＋2x＋8y－8＝0与圆C
2
: x
2
＋y
2
－4x＋4y－2＝0的位置关系是( )．
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
2．两圆x
2
＋y
2
－4x＋2y＋1＝0与x
2
＋y
2
＋4x－4y －1＝0的公共切线有( )．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．若圆C与圆(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1关于原 点对称，则圆C的方程是( )．
A．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
C．(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝1






B．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1
D．(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝1
4．与直线l : y＝2x＋3平行，且与圆x
2
＋y
2
－2x－4y＋4＝0相切的直线方程 是( )．
A．x－y±
5
＝0
C．2x－y－
5
＝0










B．2x－y＋
5
＝0
D．2x－y±
5
＝0
5．直线x－y＋4＝0被圆x
2
＋y
2
＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于( )．
A．
2
B．2 C．2
2
D．4
2

6．一圆过圆x
2
＋y
2
－2x＝0与 直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在
y
轴上，则这个圆的
方程是( )．
A．x
2
＋y
2
＋4y－6＝0
C．x
2
＋y
2
－2y＝0








B．x
2
＋y
2
＋4x－6＝0
D．x
2
＋y
2
＋4y＋6＝0
7．圆x
2＋y
2
－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差 是
( )．
A．30 B．18 C．6
2
D．5
2

8．两圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
和(x－b)
2
＋(y－a)
2
＝r
2相切，则( )．
A．(a－b)
2
＝r
2

C．(a＋b)
2
＝r
2











B．(a－b)
2
＝2r
2

D．(a＋b)
2
＝2r
2

9．若直线3x－y＋c＝0 ，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x
2
＋y
2
＝10 相切，则c的值为( )．
A．14或－6 B．12或－8 C．8或－12 D．6或－14
10．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M 到点C的距离|CM| ＝
( )．
A．

二、填空题
53

4
B．
53

2
C．
5313
D．
22

11 ．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般
方程为__ __________________．
12．已知直线x＝a与圆(x－1)
2
＋y
2
＝1相切，则a的值是_________．
13．直线x＝0被圆x
2
＋y
2
―6x―2y―15＝0所截得的弦长为_________．
14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．
15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆(x－1)
2
＋( y－1)
2
＝1的两条
切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小 值为 ．
三、解答题
16．求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；
(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．
< br>17．棱长为1的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是AB的中点，F是BB
1
的中点，G是
AB
1< br>的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．

18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．
19．已知圆C :(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝2，点P坐标为 (2，－1)，过点P作圆C的切线，切
点为A，B．
(1)求直线PA，PB的方程；
(2)求过P点的圆的切线长；
(3)求直线AB的方程．
20．求与x轴相切， 圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为2
7
的
圆的方程．
参考答案
一、选择题
1．A
解析：C
1
的标准方程为 (x＋1)
2
＋(y＋4)
2
＝5
2
，半径r
1< br>＝5；C
2
的标准方程为(x－2)
2
＋
(2 － 4)
2
＝
13
． (y＋2)
2
＝(
10
)
2
，半径r
2
＝
10
．圆心距d＝
(2 ＋ 1)
2
＋
因为C
2
的圆心在C
1
内部，且r< br>1
＝5＜r
2
＋d，所以两圆相交．
2．C
解析：因为两 圆的标准方程分别为(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4，(x＋2)
2
＋(y－2)
2
＝9，

(－ 1 － 2)
2
＝5． 所以两圆的圆心距d＝
(2 ＋ 2)
2
＋
因为r
1
＝2，r
2
＝3，
所以d＝r
1
＋r
2
＝5，即两圆外切，故公切线有3条．
3．A
解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1．
4．D
解析：设所求直线方程为y＝2 x＋b，即2x－y＋b＝0．圆x
2
＋y
2
―2x―4y＋4＝0的标准< br>方程为(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝1．由
2 － 2 ＋ b
2 ＋ 1
22
＝1解得b＝±
5
．
故所求直线的方程为2x－y±
5
＝0．
5．C
解析：因为圆的 标准方程为(x＋2)
2
＋(y－2)
2
＝2，显然直线x－y＋4＝0经过 圆心．
所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于2
2
．
6．A
解析：如图，设直线与已知圆交于A，B两点，所求圆的圆
心为C．
依条件可知过已知圆的圆心与点C的直线与已知直线垂直．
因为已知圆的标准方程为(x－1 )
2
＋y
2
＝1，圆心为(1，0)，
所以过点(1，0)且与已 知直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程
为y＝2x－2．令x＝0，得C(0，－2)．
联 立方程x
2
＋y
2
－2x＝0与x＋2y－3＝0可求出交点A(1，1)． 故所求圆的半径r＝|AC|
＝
1
2
＋ 3
2
＝
10
．
所以所求圆的方程为x
2
＋(y＋ 2)
2
＝10，即x
2
＋y
2
＋4y－6＝0．
7．C
解析：因为圆的标准方程为(x－2)
2
＋(y－2)
2< br>＝(3
2
)
2
，所以圆心为(2，2)，r＝3
2
．
设圆心到直线的距离为d，d＝
10
2
(第6题)

＞r，
所以最大距离与最小距离的差等于(d＋r)－(d－r)＝2r＝6
2
．
8．B
解析：由于两圆半径均为|r|，故两圆的位置关系只能是外切，于是有
(b－a)
2
＋(a－b)
2
＝(2r)
2
．

化简即(a－b)
2
＝2r
2
．
9．A
解析：直线y＝3x＋c向右平移1个单位长度再向下平移1个单位．
平移后的直线方程为y＝3(x－1)＋c－1，即3x－y＋c－4＝0．
由直线平移后与圆x
2
＋y
2
＝10相切，得
0 － 0 ＋ c － 4
3 ＋ 1
22
＝
10
，即|c－4|＝10，
所以c＝14或－6．
10．C
3
??
， 3
?
， 解析：因为C(0，1，0)，容易求出AB的中点M
?
2，
2
??
53
?
3
?
所以|CM|＝
(2 － 0) ＋
?
－ 1
?
＋
．
(3 － 0)
2
＝
2
?
2
?
2
2
二、填空题
11．x
2
＋y
2
＋4x－3y＝0．
解析：令y＝0，得x＝－4，所以直线与x轴的交点A(－4，0)．
令x＝0，得y＝3，所以直线与y轴的交点B(0，3)．
3
??

?
． 所以AB的中点，即圆心为
?
－ 2，
2
??
3
?
25
?
因为|AB|＝
4 ＋ 3
＝5，所以所求圆的方程为(x＋2)＋
?
y －
?
＝．
2
4
??
22
2
2
即x
2
＋y< br>2
＋4x－3y＝0．
12．0或2．
解析：画图可知，当垂直于x轴的直线x＝a经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切，
所以a的值是0或2．
13．8．
解析：令圆方程中x＝0，所以y
2
―2y―15＝0．解得y＝5，或y＝－3．
所以圆与直线x＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．
所以直线x＝0被圆x
2
＋y
2
―6x―2y―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8．
14．7或－5．
解析：由
(6 － 4)
2
＋ (2 ＋ 7)
2
＋ (z － 1)
2
＝11得(z－1)
2
＝36．所以z＝7，或－5．

15．
22
．
解析：如图，S
四边形
PA CB
＝2S
△
PAC
＝
1
|PA|·|CA|·2
2
＝|PA|，又|PA|＝
|PC|
2
－1
，故求|PA|最小值 ，只需求
|PC|最小值，另|PC|最小值即C到直线3x＋4y＋8＝0的
距离，为
|3＋4＋8|
3＋4
22
＝3．
(第15题)

于是 S
四边形
PACB
最小值为
3
2
－1
＝
2 2
．
三、解答题
16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x－a)
2
＋y
2
＝r
2
，于是依题意，得
22
?
a ＝ － 1，
?
(1 － a)＋16 ＝r，
?
?
解得
?

?
2
22
?
?
(3 － a)＋4 ＝r．
?
r ＝ 20．
?
故所求圆的方程为(x＋1)
2
＋y
2
＝20．
(2)因为圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)，
所以圆心必在过点M(2，－1)且垂直于x＋y－1＝0的直线l上．
则l的方程为y＋1＝x－2，即y＝x－3．
??
?
y ＝x－ 3，
?
x ＝ 1，
由
?
解得
?

??
?
2x＋y＝0．
?
y ＝ － 2．
(－ 1 ＋ 2)
2
＝
2
． 即圆心为O
1
(1，－2)，半径r＝
(2 － 1)
2
＋
故所求圆的方程为(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝2．
1 7．解：以D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD
1
的方向为正方向，以线段DA，DC，DD
1
的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz，E点在平面xDy中，且EA ＝
?
1
?
， 0
?
， 所以点E的坐标为
?
1，
2
??
1
．
2
又B和B
1
点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，
?
11
?
1
??
，
?
．
1，
?
，同理可得G点的坐标为
?
1，
所以点F的坐标为
?
1，
2
?
22
?
?
?
18．解：设所 求圆的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，
因为圆与两坐标轴相切，
所以圆心满足|a|＝|b|，即a－b＝0，或a＋b＝0．
又圆心在直线5x―3y―8＝0上，

?
?
5a－3b－8 ＝0，
?
?
5a－3b－8＝0，
所以5a―3b―8＝0．由方程组
?
或
?

??
?
a－b＝0，
?
a＋ b＝0，
?
?
a＝1，
?
a＝4，
?
解得
?
或
?
所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．
?
?
b＝－1．
?
b＝4，
?
故所求圆的方程为(x－4)
2
＋ (y－4)
2
＝16，或(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝1 ．
19．解：(1)设过P点圆的切线方程为y＋1＝
k
(x－2)，即
k
x―y―2
k
―1＝0．
因为圆心(1，2)到直线的距离为
2
，
－ k － 3
k ＋ 1
2
＝
2
， 解得
k
＝7，或
k
＝－1．
故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x＋y－1＝0．
(－ 1 － 2)
2
＝
10
，|CA|＝
2
， (2)在Rt△PCA中，因为|PC|＝
(2 － 1)
2
＋
所以|P A|
2
＝|PC|
2
－|CA|
2
＝8．所以过点P的圆的 切线长为2
2
．
1
(3)容易求出
k
PC
＝－3 ，所以
k
AB
＝．
3
2
CA
2
如图，由CA＝CD·PC，可求出CD＝＝．
PC
10
2
1
设直线AB的方程为y＝x＋b，即x－3y＋3b＝0．
3
由
1 － 6 ＋ 3b
2
7
＝解得b＝1或b＝(舍)．
3
10
1 ＋ 3
2
(第19题)

所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0．
(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．


20．解：因为圆心C在直线3x－y＝0上，设圆心坐标为(a，3a)，
圆心(a，3a)到直线x－y＝0的距离为d＝
又圆与x轴相切，所以半径r＝3|a|，
－ 2a
2
．

设圆的方程为(x－a)
2＋(y－3a)
2
＝9a
2
，
设弦AB的中点为M，则|AM|＝
7
．
在Rt△AMC中，由勾股定理，得
?
－ 2a
?
?
2
?
?
?
＋(
7
)
2
＝(3|a|)2
．
?
?
2
解得a＝±1，r
2
＝9． < br>故所求的圆的方程是(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝9，或(x＋1)
2
＋(y＋3)
2
＝9．