高中数学新课标直线与圆复习

直线与圆复习

一、基础知识：
1．圆的定义：________ ______________________________________

2. 圆的标准方程 ：____________________ 圆心为______，半径为
r
，
王新敞
若圆心在坐标原点上，这时
a?b?0
，则圆的方程就是
x
2
?y
2
?r
2

王新敞
3、圆的一般方程：研究形如
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
①的表示表示的曲线：
（1）当
D
2
?E
2
?4F?0
时，①表示以________为圆心,___________ 为半径的圆；
（2）当
D
2
?E
2
?4F?0
时 ，方程只有实数解
x??
DE
，
y??
，即只表示一个点___;< br>22
（3）当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方 程①没有实数解，因而它不表示任何图形
王新敞
22
4、直线与圆的位置关系：设 圆
C:
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，直线
l:Ax?By?C?0
，设圆
心到直线的距离为d
，则有几何特征：
（1）
d?r
?
直线与圆相离（2）
d?r?
直线与
?
?
Ax?By?C?0
圆相切（3）
d ?r?
直线与圆相交。代数特征：
?
消去
y
得
x
2 2
2
?
????
x?a?y?b?r
?
?
1
?
??0
?直线与圆相交
的一元二次方程判别式为
?
，
?
2
?
??0

?直线与圆相切

?
3?
??0
?直线与圆相离
5、判断点与圆的位置关系：设
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，点
M
?
x
0
,y
0
?
，
几何特征：设点
M
?
x
0
,y
0
?
到圆心的距离为
d
，则有：（1）____________
?M
在圆上（2）_________
?M
在圆外（3）
d?r?M
在圆内。 代数特征：将点
22
则有：（1）
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
?M
在
M< br>?
x
0
,y
0
?
代入方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，
圆__ _____。 （2）____________
?M
在圆上。（3）
?
x ?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
?M
在圆内。
6、圆与圆的位置关系：设圆
C
1
:(x? a
1
)
2
?(y?b
1
)
2
?r
1
2
，
C
2
:(x?a
2
)
2
? (y?b
2
)
2
?r
2
2
，设两圆心之间的距离为 d，则有几何特征：（1）
d?r
1
?r
2
?
______ ___；（2）___________
?
两圆外切；（3）
r
1
? r
2
?d?r
1
?r
2
?
两圆相交；（4）
d?r
1
?r
2
?
_______；（5）
d?r
1
?r
2
?
两圆内含。思考：如

222
?
?
(x?a
1
)?(y?b
1
)?r
1
何 从代数的角度判断两圆相交并求出交点？
?
，转化成关
222
?
?< br>(x?a
2
)?(y?b
2
)?r
2
于
x< br>的一元二次方程判别式，则
??0



一.圆的方程
例题
1．方程
y??25?x
2
表示的曲线是（ ）
Ａ、一条射线 Ｂ、一个圆 Ｃ、两条射线 Ｄ、半个圆
2、已知实数
x,y
满足
x?y?4x?1?0

22
y
的最大值和最小值；
x
3．已知A（－4，－5）、B（6 ，－1），则以线段AB为直径的圆的方程是
_______．
4．已知圆C的半径为
2
，圆心在
x
轴的正半轴上，直线
3x?4y?4?0
与圆C相切 ，则圆
（1）求
C的方程为（ ）
A．
x?y?2x?3?0

C．
x?y?2x?3?0

22
22
B．
x?y?4x?0

D．
x?y?4x?0

22
22
5.求与圆C：
x
2
?y
2
?x?2y?0
关于直线l：x-y+1=0对称的圆 的方程。



练习:
1．圆
x?y?2x?4y?6?0
的圆心和半径分别是（ ）
Ａ、
(1,?2),11
Ｂ、
(1,2),11
Ｃ、
(?1,?2),11
Ｄ、
(?1,2),11

2、一条直线过点P（-3，
?
线的方程为（ ）
A、
x??3
B、
x ??3或y??
22
3
22
），且圆
x?y?25
的圆心到 该直线的距离为3，则该直
2
3

2
C、
x??3或3x?4y?15?0
D、
3x?4y?15?0

3． 方程
x?1?1?(y?1)
表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
4．圆
(x?2)?y?5
关于原点
P(0,0)
对称的圆的方程为 ( )
22
2

A．
(x?2)?y?5

22
22




B．
x?(y?2)?5

D．
x?(y?2)?5

22
22
C．
(x?2)?(y?2)?5

二.直线与圆的位置关系
例题:
1、已知圆
C:(x?1)?(y?2) ?25
，直线
l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0
(m?R)

（1）证明：不论
m
取什么实数时，直线
l
与圆恒交于两点； （2）求直线
l
被圆
C
截得的线段的最短长度以及此时直线
l< br>的方程。











2、若直线
y??x?b
与曲线
x??1? y
恰有一个公共点，则
b
的取值范围是 。






2
22
3圆
x?y?2x?4y ?3?0
上到直线
x?y?1?0
的距离为
2
的点共有 个






22
4．M（x
0
，y
0
）为圆x+y=a（a>0）内异于圆心的一点，则直线x
0x+y
0
y=a与该圆的位置关
系是（ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
1)相交
22
1．直线
l
经过点
P(5,5)
，且与圆
C: x?y?25
相交，截得弦长为
45
，求
l
的方程。
2222

2．若
P(2,?1)为圆
(x?1)?y?25
的弦
AB
的中点，则直线
AB
的方程是（ ）
A.
x?y?3?0

C.
x?y?1?0

B.
2x?y?3?0

D.
2x?y?5?0

22
3、过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心 在直线
x?y?2?0
上的圆的方程是（ ）
A、
(x?3)?(y?1)?4
B、
(x?1)?(y?1)?4

C、
(x?3)?(y?1)?4
D、
(x?1)?(y?1)?4


2222
2222
4 ．由圆
x?y?4
外一点
P
?
3,2
?
向圆引割线
PAB
，求
AB
中点的轨迹方程．
22



2)相切
1、已知圆
x?y?25
，求：
（1）过点
A
（4，-3）的切线方程； （2）过点
B
（-5，2）的切线方程。
2．过点
M
?
3 ,2
?
作圆
O:x?y?4x?2y?4?0
的切线方程是 ． < br>22
22
3
(
05
全国Ⅲ)圆心为
?
1,2
?
且与直线
5x?12y?7?0
相切的圆


4（
05
北京）从原点向圆
x?y?12y?27?0
作两条切线，则该圆夹 在两条切线间的
劣弧长为
A.
?

B.2
?
C.4
?

D.6
?




5（
07
湖北文）由直线
y?x?1
上的一点 向圆
(x?3)?y?1
引切线，则切线长的最小值
为
A.
1
B.
22


22
22
C.
7

D.
3

3)相离
1．圆
x?y?2x?2y?1?0< br>上的点到直线
x?y?2
的距离最大值是（ ）
22
A．
2
B．
1?2
C．
1?
三.圆与圆位置关系
2
D．
1?22

2

1.已知圆
C
1
:x
2
?y
2
?2x?8y?8?0
，圆
C
2:x
2
?y
2
?4x?4y?1?0
，判断这两个圆的位置关系 ；
2.过圆x+y-x+y-2=0和x+y=5的交点，且圆心在 直线3x+4y-1=0上的圆的方程
为 .
3.已知圆C:(x- 1)+(y-2)=2,过点P作圆C的切线，切点是A,B.（1）求直线PA,PB的方程；
（2） 求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程。










练习:
22
2222
1．对于任意实数
k
，直线
(3k?2)x?ky?2?0
与圆
x ?y?2x?2y?2?0
的位置关系是
____ _____
2.点
(1,1)在圆(x?a)
2
?(y?a)
2
?4
的内部，则
a
的取值范围是（ ）
A.
?1?a?1
B.
0?a?1
C.
a??1或a?1
D.
a??1

3．直线
3x?y?5?0
与圆
2x?2y?4 x?2y?1?0
的位置关系是（ ）
Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相交但直线不过圆心 Ｄ、相交且直线过圆心
4．将直线
2x?y?
?
?0
沿
x
轴负方向平移1个单位，所得直线与圆
x?y?2x?4y?0< br>
相切，则实数
?
的值为 （ ）
（A）－3或7 （B）－2或8 （C）0或10 （D）1或11
5（
07
安徽文）若圆
x?y?2x?4y?0
的 圆心到直线
x?y?a?0
的距离为
的值为
A.
?2
或
2
B.
22
22
22
22
2
,则
a
2
13
或
C.
2
或
0
D.
? 2
或
0

22
22
6．若过定点
M(?1,0)
且斜率为
k
的直线与圆
x?4x?y?5?0
在
第一象限内的部分有交点，则
k
的取值范围是（ ）

A.
0?k?5
B.
?5?k?0

C.
0?k?13
D.
0?k?5

7．圆
x?y?4x?4y?6?0
截直线
x?y?5?0
所得弦长 为（ ）
22
Ａ、
6
Ｂ、
52
Ｃ、１ Ｄ、５
2
0
22
8．直线
3x?y?23?0
截圆
x?y?4
得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A．
30
B．
45

C．
60
D．
90

9．已知圆
C
的方程为
x?y?2y ?3?0
，过点
P(?1,2)
的直线
l
与圆
C

交于
A,B
两点，若使
AB
最小，则直线
l
的方程 是________________。
10、若直线
l
过点
M(?3,? )
且被圆
x?y?25
所截得的弦长是8，则
l
的方程为
22
0
00
3
2
22
11、已知圆C：
( x?a)
2
?(y?2)
2
?4
（
a?0
），有直 线
l
：
x?y?3?0
，当直
线
l
被圆C截得弦长 为
23
时，
a
等于（ ）
A、
2?1
B、2-
2
C、
2
D、
2?1
< br>12．直线
x?2y?3?0
与圆
(x?2)?(y?3)?9
交于< br>E,F
两点，则
?
EOF
（
O
是原
22点）的面积为（ ） Ａ．
65
33
Ｂ． Ｃ．
25
Ｄ．
5
24
22
13（
05
全国Ⅰ）已知直线
l
过点，当直线
l
与圆
x?y?2x
有 两个交点时，其斜
（?2，0）
?
22
?
?
11
?
?22，22?2，2
率
k
的取值范围是
A.

B.

D.
?
?，
?
14
?
5< br>?
过
?，
C.
??
?
44
?
?88
?
??
????
点
P
?
1,3
?
引圆
x?y?4x?4y?10?0
的弦， 则所作的弦中最短的弦长为
22
A.
22

B.
4

C.8

D.
4
2
2

2
14（
04
天津）若
P(2,?1)
为圆
(x?1)?y?25
的 弦
AB
的中点，则直线
AB
的方程是
A.

x?y?3?0

B.

2x?y?3?0
C.
x?y?1?0
D.

2x?y?5?0

15.过点P(-1,6)且与圆
(x?3)
2
?(y?2)
2
?4
相切的直线方程是 _.
16（
06
湖北）若直线
5x?12y?a?0
与圆
x?2x?y?0
相切，则
a
的值为
17.自点
A (?1,4)作圆(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
的切线，则切线 长为（ ）
22

A.
5
B. 3 C.
10
D. 5
18．(
05
全国Ⅰ)设直线
l
过点
(?2,0)
，且与圆
x?y?1
相切，则
l
的斜率是
22
A.
?1

B.
?
1

2
C.
?
3

3

D.
?3

22
19（
04
全国）圆
x? y?4x?0
在点
P(1,3)
处的切线方程为

A.
x? 3y?2?0
B.
x?3y?4?0
C.
x?3y?4?0
D.x?3y?2?0

20.下列方程中圆心在点
P(?2,3)
，并且与
y
轴相切的圆是（ ）
Ａ、
(x?2)?(y?3)?4
Ｂ、
(x?2)?(y?3)?4

Ｃ、
(x?2)?(y?3)?9
Ｄ、
(x?2)?(y?3)?9

21在圆
(x?1)?(y?2)?2< br>上求一点
P
，使
P
到直线
l:x?y?1?0
的距离 最小。
22.设A为圆
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
上一动点，则A到直线
x?y?5?0
的最大距离
为 .
23．圆：
x?y?4x?6y?0
和圆：
x?y?6x?0
交 于
A,B
两点，
则
AB
的垂直平分线的方程是（ ）
A.
x?y?3?0
B．
2x?y?5?0

C．
3x?y?9?0
D．
4x?3y?7?0

2 4．过圆
x?(y?2)?4
外一点
A(2,?2)
，引圆的两条切线，切点 为
T
1
,T
2
，
则直线
T
1
T
2
的方程为________。
2 5．已知
P
是直线
3x?4y?8?0
上的动点，
PA,PB
是圆
x?y?2x?2y?1?0
的切
线，
A,B
是切点，
C
是圆心，那么四边形
PACB
面积的最小值是________________ 。
26．已知两圆
x?y?10x?10y?0,x?y?6x?2y?40?0
，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。

27（
04湖北文）两个圆
C
1
：
x?y?2x?2y?2?0
与
C
2
x?y?4x?2y?1?0

的公切线有且仅有
A.
1
条
B.
2
条
C.

3
条
D.
4
条
22
28．（
07
山东）与直线
x?y?2?0
和曲线
x?y?12x?12y?54?0
都 相切的半径最
小的圆的标准方程是
29．已知一个圆经过直线l:2x+y+4=0 与圆C:x+y+2x-4y+1=0的两个交点， 并且面积最小，
22
2222
2222
22
2222
22< br>22
2222

2222

则此圆的方程是

课外作业
1、已知方程x
2
+y
2
+kx+( 1-k)y+
13
=0表示圆，则k的取值范围 ( )
4
A k>3 B
k??2
C -23或k<-2
22
2、
若
P(2,?1)
为圆
(x ?1)?y?25
的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ ）


A、
x?y?3?0
B、
2x?y?3?0

C、
x?y?1?0
D、
2x?y?5?0

22
3．若直线
x?y?2
被圆
(x?a)?y?4
所截得的弦长为22
,则实数
a
的值为（ ）
A．
?1
或
3
B．
1
或
3
C．
?2
或
6
D．
0
或
4

222
4、若圆(x-3)+(y+5)=r 上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r取值范
围是（4，6） B、[4，6） C、（4，6] D、[4，6]
5．圆：
x?y?4x?6y?0
和圆：
x?y?6x?0
交于
A,B
两点，
则
AB
的垂直平分线的方程是（ ）
x?y?3?0
B．
2x?y?5?0

C．
3x?y?9?0
D．
4x?3y?7?0

6．圆
x?y?1
上的点到直线
3x?4y?25?0
的距离的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．5 D．1

7．已知圆C的半径为
2
，圆心在
x
轴的正半轴上，直线
3x?4y?4?0
与
圆C相切，则圆C的方程为（ ）


A．
x?y?2x?3?0

C．
x?y?2x?3?0

2
22
22
222222
B．
x?y?4x?0

D．
x?y?4x?0

22
22
8． 方程
x?1?1?(y?1)
表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆
9、设集合
M?
?< br>x,y
?
x
2
?y
2
?1,x?R,y?R
，
N?
?
x,y
?
x?y?0,x?R,y?R
，则
集合
M?N
中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D ．4条
11．若
A(1,?2,1),B (2,2,2),
点
P
在
z
轴上，且
PA?PB
， 则点
P
的坐标为
12.对于任意实数
k
，直线(3k?2)x?ky?2?0
与圆
x?y?2x?2y?2?0
的位置关系是< br>22
??
??

13．动圆
x?y?(4m?2)x?2 my?4m?4m?1?0
的圆心的轨迹方程是 .
14.求圆心在直线
x
-
y
-4=0上，且经过两圆
x?y?4x?3?0
和
x ?y?4y?3?0
的
交点的圆的方程为________________________ ___。
15．若曲线
y?1?x
2
与直线
y?x?b
始 终有交点，则
b
的取值范围是___________；
若有一个交点，则
b
的取值范围是________；若有两个交点，则
b
的取值范围是_______ ；
16．已知圆
C
的方程为
x?y?2y?3?0
，过点
P(?1,2)
的直线
l
与圆
C

交于
A,B两点，若使
AB
最小，则直线
l
的方程是______________ __。
17．如果实数
x,y
满足等式
(x?2)?y?3
，那么
22
22
222
2222
22
y
的最大值是___ _____。
x
18．过圆
x?(y?2)?4
外一点
A(2,? 2)
，引圆的两条切线，切点为
T
1
,T
2
，则直线
T
1
T
2
的
方程为________。
19．设
x?y?1?0,
求
d?
的最小值。

20．如图4,圆O
1
与圆O
2
的半径都是1,O
1
O2
=4,过动点P分别作圆O
1
、圆O
2
的切线PM、
PN（M、N分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
x< br>2
?y
2
?6x?10y?34?x
2
?y
2
?4x?30y?229


图4
6．已知圆
⊙C
1< br>：
x?y?2x?2y?8?0
与
⊙C
2
：
x?y? 2x?10y?24?0

相交于
A,B
两点，
?
1
?
求公共弦
AB
所在的直线方程；
2222
?
2
?
求圆心在直线
y??x
上，且经过
A,B
两点的圆的方程；
?
3
?
求经过
A,B
两点且面积最小的圆的方程.
15.圆
(x?1)
2
?y
2
?8
内有一点P(-1,2 ),AB过点P,
① 若弦长
|AB|?27
，求直线AB的倾斜角
?
；
② 若圆上恰有三点到直线AB的距离等于

2
，求直线AB的方程.