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人教版高中数学必修二圆的标准方程教学设计

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 06:41
tags:高中数学圆

妙算高中数学-高中数学评职称答辩题

2020年9月21日发(作者:张云川)



4.1.1圆的标准方程
教学目标:
(1)掌握圆的标准方程,会由标准方程得出圆心与半径,能根据圆
心、半径写出圆的标准方程.
(2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程.
(3)培养学生用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,
(4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美.
教学重点:圆的标准方程的得出与应用.
教学难点:根据不同的已知条件,求圆的标准方程
教学方法: 启发、引导、讨论.
教学过程:
一、新课引入
1.引入语:
通过上一章的学习,我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中
的二 元一次方程来表示,称此方程为直线的方程。从而,通过方程利用
代数的方法研究了直线的性质与特点。 事实上,这种方法是解析几何解
决问题的基本方法,我们还可以采用它研究其他的一些平面图形,比如:
圆。
在直角坐标系中,两点确定一条直线,或者一点和倾斜角也能确定
一条直线。圆 作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?
(圆心,半径。圆心决定位置,半径决定大小)
那么我们能否在圆心与半径确定的条件下,找 到一个方程与圆对应
呢?这就是我们这节课的主要任务。(书写标题)
回顾直线方程得出的 过程:在直线l上任取一点P(x,y),找到该点
的横纵坐标满足的一个关系式,通过验证,称此方程 为直线的方程。
类似的,我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。
二、讲授新课 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为
A(a,b)
,半径

r
(其中
a

b

r
都是常数,
r?0
).设
M(x,y)
为这个圆上任意一点,



那么点
M
满足的条件是(引导学生自己列出)
P?{MMA?r}
,由两点间
的距离公式让学生写出点
M
适合的条件
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r

引导学生自己证明
(x?a)
2
?( y?b)
2
?r
为圆的方程,得出结论.
1.若点
M(x
0
,y
0
)
在圆上,由上述讨论可知,点
M
的坐标适用方 程①.
2.若
(x
0
,y
0
)
是方程①的一组解 ,则以这组解为坐标的点
M(x
0
,y
0
)
到圆心
A
的距离为
r

即点
M
在圆心为
A
的圆上.

故方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
为圆的一个方程。

方程①可等价变为:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
② 方程②形式较①式更为
和谐美观。
方程②也是圆心为
A(a,b)
,半径为
r
的圆的方程,我们把它叫做圆的
标准方程.
特别地,若圆心为
O
(0,0),则圆的标准方程为:
x
2
?y
2
?r
2

练习1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、
x
2
?y
2
?4
(2)、
(x?1)
2
?y
2
?1

练习2、写出下列圆的方程
(1)、圆心在原点,半径为3;
x
2
?y
2
?9

(2)、圆心在(-3、4),半径为
5

(x?3)
2
?(y?4)
2
?5

三、例题解析
例1 已知两点A(4,9)、B(6,3),求以AB为直径的圆的方程

M
1
(8,7),M
2
(3,5)是否在这个圆上?并判断点
分析:可 以从计算圆心与半径.
解:解:圆心C(5,6)半径r=
10

所求的圆的标准方程是
(x?5)
2
?(y?6)
2
?10

把点
M
1
(8,7)
的坐标代入方程
(x?5)
2
?(y?6)
2
?10
,左右两边相等,点
M
1
的 坐标适合圆的方程,所以点
M
1
在这个圆上;把点
M
2
(3 ,5)
的坐标代入
方程
(x?5)
2
?(y?6)
2
?10
,左右两边不相等,点
M
2
的坐标不适合圆的方
程,所以点
M
2
不在这个圆上.



2
探究:点M(x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)
2
?(y?b)?r
2
的内部的条件是什么?在
圆的外部呢?
2
点< br>M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)?r
2
的位置关系的判断方法:
(1)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2,点在圆外
(2)
(x
0
?a)
2
?(y0
?b)
2
?r
2
,点在圆上
(3)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
,点在圆内
练习3.已知圆O的标准方程为
(x?1)
2
?( y?2)
2
?4
判断A(0,3);
B(-3,2);C(2,1)与圆O的位置关系。
(A点在圆内,B点在圆上,C点在圆外)
例2:
?ABC
的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,?3),C(2,?8)
,求它的外接
圆的方程.
2
分析:外接圆过三角形的三个顶点,从圆的方程
(x?a)
2
?(y?b)? r
2
可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定
a

b

r
三个参数.
解:设所求圆的方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
. ①
因为
A(5,1),B( 7,?3),C?(2,
都在
8
圆上,所以它们的坐标都满足方程
①.于是

解此方程组, 得a=2, b=-3, r=5
所以
?ABC
的外接圆的方程是
(x?2)
2
?(y?3)
2
?25

解法二: 分析:圆心为弦AB的中垂线与弦AC的中垂线的交点。半
径为圆心到A,B,C三点中任一点的距离
设外接圆圆心为O,半径为r
弦AB的中点为(6,1),所在直线的斜率为:-2
则,弦AB的中垂线方程为:
y?1?
弦AB的中点为(
1
(x?6)
x?2y?8?0

2
77
,?
),所在直线的斜率为:3
22



则,弦AB的中垂线方程为:
y?
717
??(x?)

2x?6y?14?0

232
?
x?2y?8?0
?< br>x?2
联立
?
解得
?

2x?6y?14? 0
y??3
?
?
则,外接圆圆心坐标为(2,-3)半径r=|OA|=5
所以
?ABC
的外接圆圆O的方程是
(x?2)
2
?(y?3)
2
?25

练习4、 已知△ABO的顶点坐标分别为A(8,0);B(0,6);O(0,0),求△
ABO外接圆的方程 .
(x?4)
2
?(y?3)
2
?25

总结归 纳:(教师启发,学生自己比较、归纳)比较例2的两种解
法,可得出圆的标准方程的两种求法: < br>①待定系数法:根据题设条件,列出关于
a

b

r
的方程组,解方
程组得到
a

b

r
得值,写出圆 的标准方程.
②数形结合法:确定圆的要素,圆心坐标和半径大小,然后再写出
圆的标准方程.
四、课堂小结
(1)、牢记: 圆的标准方程:
(x?a)
2
? (y?b)
2
?r
2

(2)、明确:三个条件a、b、r确定一个圆。
(3)、方法:①待定系数法
②数形结合法
五、课后作业
P120,练习1,2,3,4 P124习题1,2,3























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