2019年高考数学压轴题 专题11 隐圆问题(解析版)

专题11 隐圆问题

直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有 些时候，在条件
中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆 的方程），
从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题


类型一
利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆

典例1
如果圆
(x?2a)
2
?(y?a?3)
2< br>?4
上总存在两个点到原点的距离为1，则实数
a
的取值范围是
___ _____
6
【答案】
??a?0

5
【解析】
到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解
6
2?1?(0?2a)
2
?(0?a?3)
2
?2?1?
??a?0

5

类型二 由圆周角的性质确定隐形圆
22
典例2 已知圆
O:x?y?5,A,B
为圆
O
上的两个动点，且
AB?2, M
为弦
AB
的中点，
C22,a,D22,a?2
.当
A ,B
在圆
O
上运动时，始终有
?CMD
为锐角，则实数
a< br>的取值范围
为__________．
【答案】
?
??,?2
?
?
?
0,??
?

【解析】由题意得
OM?5?1?2
，
∴点
M
在以
O
为圆心，半径为2的圆上．
设
CD
的中点为
N
，则
N22,a?1
，且
CD?2
．
∵当
A,B
在圆
O
上运动时，始终有
?CMD
为锐 角，
∴以
O
为圆心，半径为2的圆与以
N22,a?1
为圆心，半 径为1的圆外离．
∴
????
??
??
?
22
?
2
?
?
a?1
?
?3
，
2

整理得
?
a?1
?
?1
，
解得
a??2
或
a?0
．
∴实数
a
的取 值范围为
?
??,?2
?
?
?
0,??
?
．

类型三 两定点
A
、
B
，动点
P
满足
2
PA
?
?
(
?
?0,
?
?1)
确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）
PB
典例3
一缉私艇巡航至距领海边界线
l
（一条南北方向的直线）3.8 海里的
A
处，发现在其北偏东30°
方向相距4 海里的
B
处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大
航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉 私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参
考数据：
sin17?
?
3
,
6
33?5.7446
）
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

【答案】（1）略（2）能
【解析】：（1）略
（2）如图乙，

以
A
为原点，正北方向所在的直线为
y
轴建立平面直角坐标系
xOy
．则
B(2,23)
，设缉私艇在< br>P
(
x
，

y
)处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则
PA
?3

PB
9
??
9
?
9
?
即
3
?
?

?3
,
?
x?
?
?
?< br>y?
22
4
??
4
?
4
?
(x?2 )?(y?23)
因为圆心
?
x
2
?y
2
223
?
99
?
,3
?
到领海边界线
l
：
x
??3.8
的距离为1.55，大于圆半径
2
?
44
?
所以缉私艇能在领海内截住走私船．

1．已知
?ABC
中，
AB?AC?3
，
?ABC所在平面内存在点
P
使得
PB
2
?PC
2
?3 PA
2
?3
，则
?ABC
面积的最大值为__________．
【答案】
523

16
【解析】设
BC?2a
，以
BC
所在直线为
x
轴、其中垂线
OA
所在直线为
y
轴建立直角坐标系（如图
所示），

则
B
?
?a ,0
?
,C
?
a,0
?
,A0,3?a
2
?
?
，设
22
，得
3PA?3
P
?
,x< br>?
y
，由
PB
2
?PC?
(
x
?y
2
?(
x
?y
2
?3
{
，即
{
2y
x?(?1
x
2
?y
2
?
3
?a
2
2

，
x
2
?y
2
?2 3?a
2
y?3?a
2
?1

， 则
{
7
?2a
2
?23?a
2
y
2
3?a
2?1?y?3?a
2
?1
则
23?a
?
2
?< br>?2
?
3?a
2
?23?a
2
y?23?a
2
?23?a
2
，
7
?2a
2
?23?a
2
?23?a
2
，
2
??
即
23?a
2
?23?a
2
????

解得
a?
1523
23224
，即
S
?ABC
??2a?3?a?3a?a?
，
216
4
523
.
16
22
即
?ABC
面积的最大值为

2．在平面直角坐标系
xOy
中，已知
B
，
C
为圆
x?y?4
上两点， 点A(1,1)，且
AB
⊥
AC
，则线段
BC
的长的取值范围为_______
【答案】
[6?2,6?2]

【解析】

设BC的中点为M (x,y)， ,


因为
OB
2
?OM
2
?BM
2
?OM2
?AM
2
，
所以
4?x?y?(x?1)?(y?1)
，
22
2222

1
??
1
?
3?
化简得
?
x?
?
?
?
y?
?
?
，
2
??
2
?
2
?
所以点M的轨迹是以
?
?
6?26?2
?
32
?
11
?
,
?
为圆心，为半径的圆，所以AM的取值范围是
?
,
?
，
2
22
?
22
?
??
所以BC的取值范围是
[6?2,6?2]
．
3．在平面直角坐标 系
xOy
中，已知圆
C:
?
x?1
?
?y?26< br>2
??
2
?1
和两点
A
?
a,2?a
?
,B
?
?a,a?2
?
，
且
a?1
， 若圆
C
上存在两个不同的点
P,Q
，使得
?APB??AQB?90 ?
，则实数
a
的取值范围为
__________．
【答案】
1?7?a?1?17

【解析】
原问题等价于以
A,B
为圆心的圆与圆
C
有两个交点，

AB
中点坐标为< br>?
0,0
?
，以
A,B
为圆心的圆的半径
R
1
?a
2
?
?
a?2
?
，

且圆
C
的圆心为
1,26
，半径为
R
2
?1
，

两圆的圆心距为：

d?1?24?5
，

2
??

结合
a?1
可得关于实数
a
的不等式组：

{a
2
?
?
a?2
?
?1?5
a
2?
?
a?2
?
?1?5
2
2

，

求解关于实数
a
的不等式组可得实数
a
的取值 范围为
1?7?a?1?17
.

4．在平面直角坐标系
xOy中，已知点
A
（
?1
，0），
B
（1，0）均在圆C
：
?
x?3
?
?
?
y?4
??r
2
外，且圆
C
上存在唯一一点
P
满足
AP ?BP
，则半径
r
的值为____．
【答案】4
【解析】根据题 意,点A(?1,0),B(1,0)，若点
P
满足
AP?BP
，
则点P在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M,则M的坐标为 (0,0)， |AB|=2，
22
则圆M的方程为
x?y?1
，
22
若圆
C
上存在唯一一点
P
满足
AP?BP
，则圆C与圆M只 有一个交点，即两圆外切，
则有r+1=|MC|=
3?4?5
，解可得r=4.
5．已知等边
?ABC
的边长为2，点
P
在线段
AC
上，若满足等式
PA?PB?
?
的点
P
有两个，则实数
2 2
?
的取值范围是_____．
【答案】
?
1
?
?
?0

4
【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则
A?
?1，0
?
,B
?
1，0
?
,C0,3,P
?
x,y
?
，AC：
y?3x?3,
?
?1?x?0
?

??
?3
?
22
?
?1??
1
,
?
?
?
?1
?
2
?0?1?0??
1
?
?
? 0
由
PA?PB?
?
得
x?1?y?
?
，
?
?
?
?
?
2
?
44
??
6.已知圆O：x＋y＝1，圆M：(x－a)＋(y－a＋4)＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两 条切线，
切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
?
2－
2222
2
?
?
22?
，2＋
?

22
?
1
x＋y
22< br>【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x＋y＝4 ①.又P在圆M上，则(x －a)＋(y
222
4－24＋2
222
－a＋4)＝1 ②.由①②得1≤a＋（a－4）≤3，所以≤a≤.
22
7.在平面直角坐标系xOy中 ，已知过原点O的动直线l与圆C：x＋y－6x＋5＝0相交于不同的两点A，
B，若点A恰为线段O B的中点，则圆心C到直线l的距离为____________．
22

36
【答案】
4
【解析】∵ 圆C
1
：x＋y－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)＋y＝4，∴ 圆C
1
的圆心坐标为
(3，0)；设直线l的方程为y＝kx，A(x
1
，y< br>1
)，B(x
2
，y
2
)，联立(x－3)＋y＝4，y＝k x，消去y可得(1
11315
222
＋k)x－6x＋5＝0，由题知x
1
＝x
2,
y
1
＝y
2
，由韦达定理化简可得k＝ ，即k＝±，直线l的方程
2255
为y＝±
1536
x，由点到直线的距离 公式知，所求的距离为.
54
2222
22
2222
8.在平面直 角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x＋y＝1相切于点T，与圆(x－a)＋(y－3)
＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为____________．
【答案】4
【解析】圆x＋y＝1半径为1，PO＝2，则直线PT的倾斜角为30°，则直线方程为x－3y＋2 ＝0，
PT＝3，RS＝3，圆(x－a)＋(y－3)＝3的半径为3，则圆(x－a)＋(y－3) ＝3的圆心(a，3)
3
到直线PT的距离为，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数 a＝4.
2
9.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)＋(y＋a－3)＝1(a ＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N
为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小 值为__________．
【答案】3
【解析】根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位 置关系是内切或内含．则d
MN
≤d
ON
－1，即1≤d
ON
－1.所
以d
ON
≥2恒成立．因为N在圆M上运动，所以d
ON
的最小值为d
OM
－1，即d
OM
－1≥2，所以a＋（3－a）
≥ 3，解得a≥3，所以a的最小值为3.
1
→→
10.已知线段AB的长为2，动 点C满足CA·CB＝λ(λ为常数)，且点C总不在以点B为圆心，为半径
2
的圆内，则实数 λ的最大值是__________．
3
【答案】－
4
→→
2
【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x，y)，则CA·CB＝x(x －2)＋y＝λ，则(x
－1)＋y＝λ＋1，得（x－1）＋y＝λ＋1，点C的轨迹是以(1，0) 为圆心λ＋1为半径的圆且
113
22
与x＋y＝外离或相切．所以λ＋1≤，λ的最 大值为－.
424
11.在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x＋y＝r (r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一
→
5
→
3
→
点C ，满足OC＝OA＋OB，则r的值为________．
44
【答案】10
2
5
→
3
→
9
→
2
25
2
15
2
9
2
→
2
?
5
→
3
→
?
25
→
22
【解析】OC＝
?
OA＋OB< br>?
＝OA＋2·OA·OB＋OB，即r＝r＋rcos∠AOB＋r，整理化简
4?

?
4
222
2222
22
22
22 22
22

33
22
得cos∠AOB＝ －，过点O作AB的垂线交AB于D，则cos∠AOB＝2cos∠AOD－1＝－，得cos∠AOD
55
121OD2
22
＝.又圆心到直线的距离为OD＝＝2，所以cos∠AOD ＝＝
2
＝
2
，所以r＝10，r＝10.
55rr
2< br>12.已知圆M：(x－1)＋(y－1)＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上 存在两点B，
C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．
【答案】[1，5]
【解析】圆M：(x－1)＋(y－1)＝4上存在两点B，C，使得 ∠BAC＝60°，说明点A(x，y)到M (1，1)
的距离小于等于4，即(x－1)＋(y－1 )≤16，而y＝6－x，得x－6x＋5≤0，即1≤x≤5.点A横坐标
的取值范围为[1，5]．
13.已知点A(0，2)为圆M：x＋y－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T使 得∠MAT＝45°，则
实数a的取值范围是________________．
【答案】3－1≤a＜1
【解析】点A(0，2)在圆M：x＋y－2ax－2ay＝0( a＞0)外，得4－4a＞0，则a＜1.圆M上存在点T使
得∠MAT＝45°，则
AM2
≤r＝2a，即AM≤2a，(a－2)＋a≤4a(a＞0)，解得3－1≤a.综上，实数a
222
22
22
222
22
22
2
的取值 范围是3－1≤a＜1.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O
1
，圆O< br>2
均与x轴相切且圆心O
1
，O
2
与原点O共线，O
1
，O
2
两点
的横坐标之积为6，设圆O
1
与圆O
2
相交于P，Q两点，直线l：2x－y－8＝0，则点P与直线l上任意一
点M之间的距离的 最小值为____________．
85
【答案】－6
5
?
6
??
6k
?
36k
【解析】设圆O
1
的方程为(x －a)＋(y－ka)＝ka ①，圆O
2
的方程为
?
x－
?
＋
?
y－
?
＝
2
②，②
a
?
a
?
a
??
2222
22
2
121236
2
6
22
－①，得2ax－x＋2aky－ky＋
2
－a＝0，即2 x＋2y－a－＝0.设P(x
0
，y
0
)，则(x
0
－a )＋(y
0
－ka)
aaaa
6
22222222
＝ka， 即x
0
＋y
0
＝2ax
0
＋2ay
0
－a ，又2x
0
＋2y
0
－a－＝0，可得2ax
0
＋2ay< br>0
－a＝6，故x
0
＋y
0
＝6，即
a
85
点P的轨迹是以原点为圆心，半径为6的圆，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为
5
－6.
15.已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x＋y＝2相交于A，B两点， △ABC的面积为1，则直线l的方
程为________________．
【答案】x－1＝0，3x－4y＋5＝0
1
【解析】由S
△ABC
＝×2×sin∠ACB＝1，sin∠ACB＝1，∠ACB＝90°，则点C(0，0)到直线l的距离为
2
22

3
1，设直线l的方程为y－2 ＝k(x－1)，利用距离公式可得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋5＝0，
4
当k不 存在时，x－1＝0满足题意．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x＋(y－1)＝5 ，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C
的弦AB，记线段AB的中点为M.若OA＝OM，则直线 AB的斜率为________．
【答案】2
【解析】设点B(x
0
， y
0
)，则M
?
22
22
?
x
0
－2
，
y
0
?
，圆x
2
＋(y－1)
2< br>＝5与x轴负半轴的交点A(－2，0)，OA＝OM
2
?
?
2
?
22
＝2＝
?
x
0
－2
?
＋
?
y
0
?
，
?
x
0
－2
??y
0
?
2
两式相减得y
0
＝2x
0
＋ 4.而A(－2，
?
2
??
2
?
即
?
2< br>?
＋
?
2
?
＝4.又 x
2
0
＋( y
0
－1)＝5，
????????
22222
0)也满足y
0
＝2x
0
＋4，即直线AB的方程为y
0
＝2x
0＋4，则直线AB的斜率为2.
17.在平面直角坐标系xOy中，圆C
1
： (x＋1)＋(y－6)＝25，圆C
2
：(x－17)＋(y－30)＝r.若圆C
2
上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C
1
依次交于点A、B，满足PA＝2 AB，则半径r的取值范围
是______________．
【答案】[5，55] < br>【解析】在圆C
2
上任取一点P，过点P可作一条射线与圆C
1
依次交 于点A、B，当AB过圆心时，此时
PA
PA在该点处最小，AB在该点情况下最大，此时在P 点情况下最小，当P，A，B三点共线时，如图1，
PB
PAPA
2，PA为所有位置 最小，且是所有位置中最小，所以只要满足≤2，即满足题意，
ABAB
错误!
5≤r≤55.

18.直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)＋(y－1 )＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A、B两
点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径 的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．
22
?
3
?
【答案】
?
－，＋∞
?

?
4
?【解析】以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则C点到直线l的距离小于1，即d＝
|k ＋2|
k＋1
2
≤

3
1，解得k≤－.
4
19平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－ a)＋(y－a＋2)＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满
足MA＋MO＝10，则实数a的 取值范围是________．
【答案】[0，3]
【解析】设M(x，y)，由MA＋ MO＝10，A(0，2)，得x＋(y－1)＝4，而(x－a)＋(y－a＋2)＝1，它
们有公共 点，则1≤a＋(a－3)≤9，解得实数a的取值范围是[0，3]．
20.平面直角坐标系xO y中，圆C的方程为(x－1)＋y＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P
作圆M的两条切线 PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的
方程为__ ____________．
【答案】(x－1)＋y＝1
【解析】∵ 当P在圆C上运动时∠APB恒为60°，∴ 圆M与圆C一定是同心圆，∴ 可设圆M的方程
1
222
为(x－1)＋y＝r.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MH＋ HP＝2，MH＝r，AB
2
＝2×




3133
22
r，所以r＋2×r×＝2，解得r＝1，所以所 求圆M的方程为(x－1)＋y＝1.
2222
22
22
22
2 22222
22
22
1、一知
多识广有本领的人，一定谦虚。——谢觉哉
2、人若勇敢就是自己最好的朋友。
半解的人，多不谦虚；见
3、尺有所短；寸有所长。物有所不足；智有所不明。——屈原
4、功有所不全，力有所不任，才有所不足。——宋濂
5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。
6、游手好闲会使人心智生锈。