高中人教版数学圆的一般方程听课记录

高中人教版数学圆的一般方程听课记录
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程 解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那
么这个问题有没有其它的 解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的 另一
种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取
①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
得
② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表
示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当
- ）为圆心, 为半径的圆；
时，表示以（- ，
（2）当
一个点（-
（3）当
综上所述，方程
只有当
，-
时，方程只有实数解
）；
， ，即只 表示
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
表示的曲线不一定是圆
时，它表示的曲线才是圆，我们把形如
的表示圆的方程称为圆的一般方程
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
(2)圆 的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确
定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程 ，代数特征明显，圆的标准
方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
知识应用与解题研究：
例1 ：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

学生自己分 析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般
方程的判断方法求解。但 是，要注意对于 来说，这里的
.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（ 4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆
心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆 的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条
件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵
的方程，可以得到关于

在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面
的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：



；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将
而求出圆的半径

左边配方化为圆的标准方程，
，圆心坐标为(4,-3)
,从
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
1. 根据提议，选择标准方程或一般方程；
2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
3. 解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

例3 、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上
动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
运
。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐 标满足的条
件，求出点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是



,即
②
把①代入②，得

①
上运动，所以点A的坐标满足方程

课堂练习：课堂练习
小结 ：
1．对方程
第1、2、3题
的讨论(什么时候可以表示圆)。
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业： 习题4.1第2、3、6题
课后反思：本节课是在学习了圆的标准方程的基础上继续学习圆的一般方程 ，难度不大，学
生接受起来容易，但要理解方程 表示圆是有条件的，这是学
生容易忽略的；同 时要让学生明白标准方程与一般方程的几何特征与代数特征，能根据题目
条件正确选择。
听课点评: 成功之处：
“圆的一般方程”一节课是高二数学中圆锥曲线的一个重要内容。通 过对这一节课的学习，
既可以让学生接受、理解圆的一般方程的求法及圆的一般方程圆的特点,又可使学 生加深对
圆的一般方程同圆的标准方程间的相互转化，还为日后解决解析几何综合题的教学做好准备,< br>起到承上启下的重要作用。
根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取提出问题引导发现式教 学方法,提出问题让学
生思考得出答案,并让学生自己动手操作解决问题。
教学过程本文来自 优秀教育资源网中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手
操作来达到对知识的“发现”和 接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成 教师注入知识的“容器”，通过自己动脑和动手
解决了问题,体验到成功的快乐和喜悦采取这种形式，可 以极大提高学生的学习兴趣，使教
学目标更完美地体现。
不足之处：
本节课教学内 容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指
点学生将方程配方也可以而 这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。