高中数学立体几何

1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

[基础·初探]
教材整理1 空间几何体的定义、分类及相关概念
阅读教材P
2
～P
3
的内容，完成下列问题．
1．空间几何体的定义及分类
(1)定义：如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑 其他因素，那么由
这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
2．多面体与旋转体
类别 多面体
由若干个平面多边形围成的几何
体
旋转体
由一个平面图形绕它所在平面
内的一条定直线旋转所形成的
封闭几何体
定义
图形


相关
概念
面：围成多面体的各个多边形；
棱：相邻两个面的公共边；
顶点：棱与棱的公共点

例、下列物体不能抽象成旋转体的是________．
①篮球；②日光灯管；③电线杆；④金字塔．
【答案】 ④
轴：形成旋转体所绕的定直线
1

教材整理2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
阅读教材P
3
～P
4
的内容，完成下列问题．
1．棱柱的结构特征
名
称
结构特征
有两个面互相平行，其余各 面
都是四边形，并且每相邻两个
四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的多面体 叫做
棱
柱
棱柱．
棱柱中，两个互相平行的面叫
做棱柱的底面， 简称底；其余
各面叫做棱柱的侧面；相邻的
侧面的公共边叫做棱柱的侧
棱；侧面与底面 的公共顶点叫
做棱柱的顶点
2.棱锥的结构特征
名
称
结构特征
有一个面是多边形，其余各
面都是有一个公共顶点的三
角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形
棱面叫做棱锥的底面或底；有
用顶点和底面各
顶点的字 母表
示，如上图中棱
锥可表示为棱锥
S-ABCD
依据底面多边形
的边数．
例如：三棱锥(底

面是三角形)，
四棱锥(底面是
四边形)，
…
图形及表示法 分类

用表示底面各顶点的
依据底面多边
形的边数．
例如：
图形及表示法 分类
字母表示棱柱，如上、
三棱柱(底面
下底面分别是四边形
是三角形)， A′B′C′D′、四边
四棱柱(底面
形ABCD的四棱柱，
可记为棱柱ABCD －
A′B′C′D′
是四边形)，
…
锥 公共顶点的各个三角形面叫< br>做棱锥的侧面；各侧面的公
共顶点叫做棱锥的顶点；相
邻侧面的公共边叫做棱锥的
侧棱
3．棱台的结构特征
2

名
称
结构特征 图形及表示法 分类
用一个平行于棱
锥底面的平面去
截棱锥，底面与截
棱面之间的部分叫

用上下底面的顶点表示棱
台．如：上、下底面分别
是四边形A′B′C′D′、
四边形ABCD的四棱台，
可记为棱台
ABCD-A′B′C′D′

例1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有一个底面为多边形，其余各面都是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所
围成的几何体是棱锥．( )
(2)用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台．( )
(3)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．( )
(4)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
按照棱台底面
多边形的边数
分类．例如：
三 棱台(由三
棱锥截得)，四
棱台，…
台 做棱台．原棱锥的
底面和截面分别
叫做棱台的下底
面和上底面

[小组合作型]

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

(1)
下列命题中正确的是
________
．
(
填序号
)
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱的一对互相平行的平面均可看做底面；
③三棱锥的任何一个面都可看做底面；
④棱台各侧棱的延长线交于一点．
(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
3

< br>①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三
棱柱截去一个三棱 柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
【精彩点拨】 根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断．
【自主解答】 (1)结合有关多面体的定义及性质判断．对 于①，还可能是
棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；
④显然符合定义．故填③④.
(2)①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．
②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．
③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．
④⑤都正确．如图所示．
【答案】 (1)③④ (2)①③④⑤

解决关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的判 断题，需要准确理解三类几何体的
意义，把握几何体的结构特征，通过作图、比较或举一些反例来作出正 确的判断.

[再练一题]
1．下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的 侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面
围成的封闭图形只能是三棱锥；④ 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
【答案】 ①②③

给出两个几何体，如图

(1)画出两个几何体的平面展开图；
(2)图①是侧棱长为23的正三棱锥D- ABC，∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝40°，过
多面体的平面展开图
4

A作截面AEF分别交BD，CD于E，F，求截面三角形AEF周长的最小值．
【精彩点拨】 (1)将几何体沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．
(2)把点A、D所在侧棱剪开展平，再利用平面几何知识或解三角形知识求解．
【自主解答】 (1)展开图如下图所示．

(2)将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，

线段 AA
1
的长为所求△AEF周长的最小值，取AA
1
的中点G，则DG⊥AA
1
，
又∠ADG＝60°，可求得AG＝3，则AA
1
＝6，即截面 三角形AEF周长的最小值
为6.

1．本题(2)实际上是求多面体侧面上两点间 的最短距离问题，常常要归纳为
求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把多面 体侧面
展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解．
2．解答展开与折叠问题，要结合多面 体的定义和结构特征，发挥空间想象
能力．必要时可制作平面展开图进行实践．

[再练一题]
2．已知正方体ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
的棱长为2，P是AA
1
的中点，E是BB
1< br>上的点，
则PE＋EC的最小值是________.
【解析】 将正方体的侧面A BB
1
A
1
，BCC
1
B
1
放在同一平面 内，如图，则
PE＋EC的最小值为PC＝PA
2
＋AC
2
＝12
＋4
2
＝17.
【答案】 17
[探究共研型]
5

棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究1 若一个几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这个几何
体是否是棱柱？
【提示】 如图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但
这个几何体不是 棱柱而是两个棱柱组合的几何体．其原因是不具备条件“每相邻
两个四边形的公共边都互相平行”．

探究2 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
【提示】 未必是棱锥．如图所示的几何体，满足各面都是三角形，但这个几何
体不是棱锥，因为它不满足条件“其 余各面都是有一个公共顶点的三角形”．

探究3 若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台
吗？
【提示】 未必是棱 台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用
一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体 ，截面与底面之间的几何体虽
有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否是 棱台，
不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否是梯形，还要看其侧棱延长后是否交
于一点．

1-3
，
A
1
B
1
C
1
D
1
被平面
BCEF
所截得的两部分分别是 如图
1-
四 棱柱
ABCD-
A
1
FED
1
是棱柱，指出它的底面和侧面 ．

怎样的几何体？若几何体
ABCD-





6

【精彩点拨】 根据棱柱的定义作出判断．
【自主解答】 所截两部分分别是四棱柱和三棱柱．几何体ABCD-A
1
FED1
是四棱柱，它的底面是平面ABFA
1
和平面DCED
1
，侧 面为平面ABCD，平面BCEF，
平面ADD
1
A
1
和平面A1
D
1
EF，侧面均为平行四边形．

正确判断几何体类型的方法
要正确判断几何体的类型，就要熟练掌握各类简单几何体的结构特 征．对于
有些四棱柱，互相平行的平面不只是两个，所以对于底面来说并不固定．棱柱的
概念中 两个面互相平行，指的是两个底面互相平行．但由于棱柱的放置方式不同，
两个底面的位置就不一样，但 无论如何放置，都应该满足棱柱的定义．

[再练一题]
3．如图，能推断这个几何体是三棱台的是( )
A．A
1
B
1
＝2，AB＝3，B
1
C
1
＝3，BC＝4
B．A1
B
1
＝1，AB＝2，B
1
C
1
＝1.5， BC＝2，A
1
C
1
＝2，AC＝4
C．A
1
B
1
＝1，AB＝2，B
1
C
1
＝1.5，BC＝3，A1
C
1
＝2，AC＝4
D．A
1
B
1
＝AB，B
1
C
1
＝BC，C
1
A
1
＝ CA
【解析】 因为三棱台的上下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则△
A
1
B
1
B
1
C
1
A
1
C
1
A
1
B
1
C
1
∽△ABC，所以
AB＝
BC
＝
AC
，C正确．
【答案】 C

1．下列几何体中是棱柱的个数有( )
A．5个
C．3个
B．4个
D．2个
【解析】 由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.
【答案】 D
2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
7

C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
C [四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．]
3．如图所示，在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已
知△ BCD的周长是18，则△EFG的周长为________．
【解析】 由已知得EF∥BD，FG∥CD，EG∥BC，
∴△EFG∽△BCD，
∴
△EFG的周长
EF
＝.
△BDC的周长
BD
△EFG的周长
1EFAE1
又∵
BD
＝
AB
＝
3
，∴＝，
△BCD的周长
3
1
∴△EFG的周长＝18×
3
＝6.
【答案】 6
4．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有_____ ___个顶点，有
________条棱.
【解析】 面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．
【答案】 5 6 9
5．如图1-1-7是三个几何体的侧面展开图，请问：各是什么几何体？

图1-1-7
【解】 ①五棱柱；②五棱锥；③三棱台．
如图所示：



8

第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征

[基础·初探]
教材整理1 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
阅读教材P
5
～P
6
“探究”以上部分，完成下列问题．
旋转体 结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴，
其余三边旋转形成的面所围成的 旋
转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的
圆
柱
轴；垂直于轴的边旋转而成的圆 面
叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋
转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无
论旋转到什么位 置，不垂直于轴的
边都叫做圆柱侧面的母线

我们用表示圆柱
轴的字母表示圆
柱，左图可表示为
圆柱OO′
图形 表示
圆
锥
以直角三角形的一条直角边所在直
线为旋转轴，其余两边旋转 形成的
面所围成的旋转体叫做圆锥

我们用表示圆锥
轴的字母表示圆
锥，左图可表示为
圆锥SO
我们用表示圆台
轴的字母表示圆
台，左图可表示为
圆台OO′
圆
台
用平行于圆锥底面的平面去截圆
锥，底面与截面之间的部分叫做圆
台 < br>以半圆的直径所在直线为旋转轴，
半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球常用球心字母
进行 表示，左图可

表示为球O
球 球体，简称球．半圆的圆心叫做球
的球心，半圆的半径叫做球的半径，
半圆的直径叫做球的直径

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．( )
9

(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．( )
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( )
【解析】 (1)错误．应 以直角三角形的一条直角边为轴；(2)错误．应以直角梯
形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是 平面与圆锥底面平行时．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 简单组合体的结构特征
阅读教材P
6
～P
7
“练习”以上部分，完成下列问题．
1．简单组合体的概念
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简 单几何体
截去或挖去一部分而成的．

如图所示的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
【解析】 由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个
棱锥．
【答案】 C


下列命题中正确的是
(

)
A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
【精彩点拨】 根据圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征进行判断．
10
旋转体的结构特征

【自主解答】 A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所 在直线旋转得到
的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合
体 ．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与
底面平行时正确，其他情况 则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一
条母线，故选C.
【答案】 C

1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几
何体， 必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．
2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生 的母线、轴、底面
等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．

[再练一题]
1．下列结论：
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线相互平行．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
D [①所取的两点与圆柱的轴
OO
′的连线所构成的 四边形不一定是矩形，
若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于< br>一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．]

简单组合体的结构特征

如图
1-1-16
所示，
AD< br>∥
BC
，已知梯形
ABCD
中，且
AD当梯 形
ABCD
绕
AD
所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描 述该几何体的
结构特征．



【精彩点拨】 关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成．
11

【自主解答】 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后
剩余部分而成的组合体．


本题是不规则图形的旋转问题.对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要
对原平面 图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆?半圆或四分
之一圆?等基本图形，然后结合圆 柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.

[再练一题]
2．描述下列几何体的结构特征．

图1-1-17
【解】 图①所示的 几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几
何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图 ③所示的几何体是在一个圆柱
中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．
[探究共研型]

几何体的截面
探究1 圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
【提示】 圆面．
探究2 圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
【提示】 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
探究3 经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
【提示】 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面 的平面所截得到的几何
体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是< br> 12

以这两条母线为腰的等腰梯形．
1-18
所示，用一个平行于圆锥
SO
底面的平面截这个圆锥，截得 如图< br>1-
圆台上、下底面的面积之比为
1
∶
16
，截去的圆锥的母 线长是
3 cm
，求圆台
O
′
O
的母线长．


图1-1-18
【精彩点拨】 过圆锥的轴作截面，利用三角形相似来解决．
【自主解答】 设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶
16，可设截得圆 台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
SA′O′A′
3r1
∴
SA
＝
OA
，∴＝
4r
＝
4
.
3＋l
解得l＝9(cm)，
即圆台的母线长为9 cm.


用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质?与底
面全等或相似?，同 时结合旋转体中的经过旋转轴的截面?轴截面?的性质，利用相
似三角形中的相似比，建立相关几何变量 的方程组求解.

[再练一题]
3．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴
13

截面的面积．
【解】 如图，设圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠
ASO＝30°.
在Rt△SOA中，
23
AO＝SO·tan 30°＝
3
(cm)．
SO243
SA＝
cos 30°
＝＝
3
(cm)．
3
2
143
∴S
△
ASB
＝
2
SO·2AO＝
3
(cm
2
)．
4343
∴圆锥的母线长为
3
cm，圆锥的轴截面的面积为
3
cm
2
.

1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥
【解析】 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一
周形成两个圆锥．
【答案】 D
2．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的平行于轴的截面是矩形 B．圆锥的过轴的截面是等边三角形
C．圆台的平行于底面的截面是圆面 D．球的任意截面都是圆面
【解析】 圆锥的过轴的截面是等腰三角形，B错．
【答案】 B
3．如图1-1-19所示的几何体是由简单几何体________构成的．

图1-1-19
【答案】 四棱台和球
4．如图1-1-20所示，下列几何体中，图(1)是圆柱，图(2)是圆锥，图(3)是圆台，
14

图1-1-20
上述说法正确的个数有________个．
【解析】 图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该几何体不是由矩
形绕其一边所在直线旋转一周得到的；
图(2)不是圆锥，因为该几何体不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转
一周得到的； < br>图(3)不是圆台，因为该几何体的上、下底面所在的平面不平行，不是由平
行于圆锥底面的平面 截得的．
【答案】 0
5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.
【解】 设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得
?
2r＝l，
Q
?
解得r＝
2
.
l＝Q，
?
2r·
Q
所以此圆柱的底面半径为
2
.

















15

1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图


[基础·初探]
教材整理1 投影的概念
阅读教材P
11
～P
12
第二行内容，完成下列问题．
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种< br>现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
投影 定义 特征
投影线交于一点
分类

正投影和斜投
影
中心 光由一点向外散射形成的
投影 投影
平行 在一束平行光线照射下形
投影 成的投影
投影线互相平行

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)矩形的平行投影一定是矩形．( )
(2)平行四边形的平行投影可能是正方形．( )
(3)两条相交直线的平行投影可能平行．( )
(4)如果一个三角形的投影仍是三角形 ，那么它的中位线的平行投影，一定是这
个三角形的平行投影的中位线．( )
【解析】 利用平行投影的概念和性质进行判断．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√

教材整理2 三视图
阅读教材P
12
第三行～P
14
内容，完成下列问题．
16

三视图
正视图
概念
光线从几何体的前面向后面正投影得
到的投影图
光线从几何体的左面向右面正投影得
到的投影图
光线从几何体的上面向下面正投影得
到的投影图

规律
一个几何 体的正视图
和侧视图高度一样，正
视图和俯视图长度一
样，侧视图与俯视图宽
度一样
侧视图
俯视图
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A．棱柱
C．圆柱
B．棱台
D．圆台
D [先观察俯视图， 再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆
环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形 可排除C，故选D.]


中心投影与平行投影
2-2
，点E
，
F
分别是正方体的面
ADD
1
A
1
和面
BCC
1
B
1
的中心，则 如图
1-
四边形
BFD
1
E
在该正方体的面上的正投影可能是图中的
_______ _
．
(
要求把可能
的序号都填上
)

图1-2-2

【精彩点拨】 利用点B，F，D
1
，E在正方体各面上的正投影的位置来判断．
【自主解答】 其 中(2)可以是四边形BFD
1
E在正方体的面ABCD或在面
A
1
B
1
C
1
D
1
上的投影．
(3)可以是四边形B FD
1
E在正方体的面BCC
1
B
1
上的投影．
17

【答案】 (2)(3)

画投影图的关键及常用方法 1．关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶
点，端点等)及这 些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影．
2．常用方法：投影问题与垂直关系紧 密联系，投影图形的形状与投影线和投射
图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求 解题方法．
[再练一题]
1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是A′ A、C′C的中点，则下
列判断正确的是________．
①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；
②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；
③四边形BFD′E在面A′D′D A内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的
平行四边形．
【解析】 ①四边形BFD′ E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、
D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的 边长为2，则AE＝1，取D′D的
中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形A GD′E，由AE
∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E ＝
5，故四边形AGD′E不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行
四边形，从而 ③正确．
【答案】 ①③

画出下列几何体的三视图．

画空间几何体的三视图

(1) (2) (3)
【精彩点拨】 确定正前方→画正视图→画侧视图→画俯视图
【自主解答】 三视图如图(1)(2)(3)所示．
18

画三视图的注意事项
1．务必做到长对正，宽相等，高平齐．
2．三视图的安排方 法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，
侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．
3．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，
要注意实、虚线的画法．
[再练一题]
2．画出如图1-2-5所示几何体的三视图.


图1-2-5
【解】 图①为正六棱柱，正视图和侧视图都是矩形，正视图中有两条竖线，侧
视图中有一条竖线，俯视图是正六边形．图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，
按圆锥、圆台的 三视图画出它们的组合形状．三视图如图所示．
19

[探究共研型]

由三视图还原空间几何体
探究1 如图1-2-6是一 个立体图形的三视图，请观察三视图，由三视图，你能
知道该几何体是什么吗？并试着画出图形．

图1-2-6
【提示】 由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．

探究2 若某空间几何体的正视图和侧视图均为正三角形，请探究该几何体的形
状．
【提示】 若该几何体的正视图和侧视图均为正三角形，则该几何体为轴截面为
等边三角形的圆锥，如图所示．

2-7
所示
)
想象物体原形，指出其结构特征，并画出物 根据三视图
(
如图
1-
体的实物草图．

20

图1-2-7
【精彩点拨】 由正视图、侧视图确定几何体为锥体 ，再结合俯视图确定其
是四棱锥，由俯视图可知其底面形状，再结合正视图、侧视图所给信息画直观图．
【自主解答】 由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；再由正视图和
侧视图知，该几何体 是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如图所
示．

由三视图还原几何 体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定
几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对 应实物部分的形状.

[再练一题]
3．如图1-2-8是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何
体？( )

图1-2-8

【解析】 由俯视图可知该几何体为旋转体，由正视图、侧视图、俯视图可
知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成．
【答案】 D
21

1．一条直线在平面上的正投影是( )
A．直线 B．点 C．线段 D．直线或点
【解析】 当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置时其正投影均为
直线，故选D.
【答案】 D
2．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是( )
A．长方体
B．圆柱
C．立方体
D．圆锥
【解析】 俯视图是圆，所以为旋转体，可排除A、C，
又正、侧视图为矩形，所以不是圆锥，排除D.故选B.
【答案】 B
3．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是______(填序号).

① ② ③ ④
图1-2-10
【解析】 ①③④的正视图为长方形，②的正视图为等腰三角形．
【答案】 ①③④
4．一物体及其正视图如图1-2-11：

① ② ③ ④
图1-2-11
则它的侧视图与俯视图分别是图形中的________．
22

【解析】 侧视图是矩形中间有条实线，应选③；俯视图为矩形中间有两条实线，
且为上下方向，应选②.
【答案】 ③②
5．如图1-2-12所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．

图1-2-12
【解】 该三视图表示的是一个四棱台，如图．



























23

1.2.3 空间几何体的直观图

[基础·初探]
教材整理 斜二测画法
阅读教材P
16
～P
18
的内容，完成下列问题．
1．直观图的概念
(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得 既富有立体
感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂 直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，
把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且 使∠x′O′y′＝45°(或
135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知 图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′
轴或y′轴的线段．
(3) 取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的
线段，长度为原来的一半．
3．立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′ 垂直的轴
O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同．( )
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．( )
(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．( )
(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.( )
【解析】 平行于y轴的线段在直观图 中变为原来的一半，故(3)错误；由
斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．
24

【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√


画平面图形的直观图
2-23
的建系方法，画水平放置的正五边形
ABCDE
的直观图．

按图
1-

图1-2-23
【精彩点拨】 按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
【自主解答】 画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′
1
＝OH，y′轴上取O′E′＝
2
OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相
11
应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
22
(4)连接A ′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，
x′轴与y′轴，便得到 水平放置的正五边形ABCDE的直观图
A′B′C′D′E′(如图(3))．


1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使
得平面多边形尽 可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行 性不变)，与坐标轴
不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
[再练一题]
1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图1-2-24所示．
25

图1-2-24
【解】 画法：(1)如图所示，取AB所在直线 为x轴，AB中点O为原点，
建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45 °.

1
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′ ＝
2
OE，
以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
< br>(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等
腰梯形ABC D的直观图．

画空间几何体的直观图
画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

【精彩点拨】 画轴→画底面→画顶点→成图
【自主解答】 画法：(1)画轴：

(1) (2)
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．
(2)画底面：
以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图：顺次连接 PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改
为虚线，得四棱锥的直观图如图(2)．
26

1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放 置的平面图形，再画
z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不
变．”
[再练一题]
2．由如图1-2-25所示几何体的三视图画出直观图．

图1-2-25
【解】 (1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠ xOy
＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱．过A，B ，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别
截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝B B′＝CC′.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．

[探究共研型]

直观图的还原和计算问题
探究1 如图1-2-26，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观
27

图，能否判断△ABC的形状？

图1-2-26
【提示】 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
探究2 若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的
实际长度是多少？
【提示】 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC
2
＋BC
2
＝10.
探究3 如图1-2-27所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观 图，则在△
ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？

图1-2-27
【提示】 由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最
长．
2-28
是四边形的直观图为腰和上底长均为
1
的等腰梯形，∠
B
′ 如图
1-
＝∠
C
′＝
45°
，求原四边形的面积
.

图1-2-28
【精彩点拨】 可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连
线画出原四边形，再求其面积．
【自主解答】 取B′C′所在直线为x′轴，因为∠
A′B′C′＝45°，所以取B′A′ 为y′轴，过D′点作
D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′
＝A′D ′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，
所以E′C′＝2.再建立一 个直角坐标系xBy，如图：在x轴上截取线段BC＝
B′C′＝1＋2，在y轴上截取线段BA＝2B ′A′＝2，过A作AD∥BC，截取
28

AD＝A′D′＝1.连接CD ，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图
形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝ 1，下底BC＝1＋2，高AB＝2，所
11
以四边形ABCD的面积S＝
2
AB·(AD＋BC)＝
2
×2×(1＋1＋2)＝2＋2.

1．还原图 形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线
段．平行于x′轴的线段长度 不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，
由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用
公式求解．
3．原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝22S′.
[再练一题]
3．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原
平面图形的面积为( )
2
A.
4
a
2

C．a
2

B．22a
2

D．2a
2

【解析】 由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面
积．
所以S＝a·22a＝22a
2
.
【答案】 B

1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
【解析】 由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标
29

系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．
【答案】 D
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画
成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
A [平行于
z
轴(或在
z
轴上)的线段，在直观图中的方向和长度 都与原来保
持一致．]
3．如图1-2-30所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐 标系xOy中，点B
的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的 距
离为________．

图1-2-30
【解析】 画出直观图，B C对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝
2
45°，故顶点B′到x′轴的距离为
2
.
2
【答案】
2

4．如图1-2-31所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.

图1-2-31
【解析】 由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝ 90°，OB＝3，
1
OA＝4，∴S
△
AOB
＝
2
OA·OB＝6.
【答案】 6
5．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
30

【解】 (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高 线AO所
在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′
＝ 45°.

(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，
在y′轴上截取O′A′＝
1
AO＝
3
24
cm，连接A′B′，A′C′
A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．































31
，则△

1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

[基础·初探]
教材整理1 柱体、锥体、台体的表面积
阅读教材P
23
～P
25
“例2”以上内容，完成下列问题．
1．多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．
2．旋转体的表面积
名称 图形 公式
底面积：S
底
＝2πr
2

圆柱

侧面积：S
侧
＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr
2

底面积：S
底
＝πr
2

圆锥

侧面积：S
侧
＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr
2

上底面面积：S
上底
＝πr′
2

圆台

下底面面积：S
下底
＝πr
2

侧面积：S
侧
＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′
2
＋r
2
＋r′l＋rl)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( )
(3)圆台的高就是相应母线的长．( )
(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．( )
【解析】 (1)正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和．
(2)错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形．
(3)错误．圆台的高是指两个底面之间的距离．
32

(4)错 误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但
是，不论怎么剪，同一个多面体表面 展开图的面积是一样的．
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
教材整理2 柱体、锥体与台体的体积公式
阅读教材P
25
“例2”以下～P
26
“思考”以上内容，完成下列问题．
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
1
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝
3
Sh.
1
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋S′S＋
3S)h.

圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( )
A．15π B．30 C．12π D．36π
1
【解析】 圆锥 的高h＝5
2
－3
2
＝4，故V＝
3
π×3
2×4＝12π.
【答案】 C


空间几何体的表面积和侧面积

一个直角梯形的两底边长分别为
2
和
5
，高为
4.
将其绕较长底所在直线
旋转一周，求所得旋转体的表面积．

【精彩点拨】 旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体．
【自主解答】 旋转所得几何体如图．
由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面
积之和，
∴S＝S
圆柱底
＋S
圆柱侧
＋S
圆锥侧
＝π×4
2
＋2π×4×2＋π×4×5＝16π＋16π＋20π＝
52π.

33

1．求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过< br>这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．
2．组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积．
[再练一题]
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面
积为( )
A．81π B．100π C．168π D．169π
C [圆台 的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的
母线长为l＝h
2
＋ ?R－r?
2
＝?4r?
2
＋?3r?
2
＝5r＝10，所 以r＝2，R＝8.
故S
侧
＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S
表
＝S
侧
＋πr
2
＋πR
2
＝ 100π＋4π＋64π＝168π.]

空间几何体的体积
3-1
所示 ，在长方体
ABCD-A
′
B
′
C
′
D
′ 中，用截面截下一个棱 如图
1-
A
′
DD
′，求棱锥
C- A
′
DD
′的体积与剩余部分的体积之比．

锥
C-

图1-3-1
【精彩点拨】 先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比．
【自主解答】 法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，
则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V＝abc，
1
又S
△
A
′
DD
′
＝
2
bc，
且三棱锥C-A′DD′的高为CD＝a.
11
∴V
三棱锥
C-
CD＝
6
abc.
A
′
DD
′
＝S
△
A
′
D
′D
·
3
15
则剩余部分的几何体体积V
剩
＝abc－< br>6
abc＝
6
abc.
15
故V
棱锥
C- A
′
DD
′
∶V
剩
＝abc∶abc＝1∶5.
66
法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱
34

ADD′A′-BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为
V＝Sh .
1
而棱锥C-A′DD′的底面面积为
2
S，高为h，
111
因此棱锥C-A′DD′的体积V
C-A
′
DD
′
＝×Sh ＝Sh.
326
15
剩余部分的体积是Sh－
6
Sh＝
6
Sh.
所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为
15
Sh∶
66
Sh＝1∶5.

1．常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高易求
的形式即可．
(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高， 要充分利用截面、
轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
[再练一题]2．如图所示 ，正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的 棱长为a，过顶点B，D，A
1
截下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积；
(2)求三棱锥A-A
1
BD的高.
1111
3
【解】 (1)V
三棱锥
A
1
-
＝S·AA＝×·AB·AD·AA＝
△
ABD1
3
ABD1
326
a.
故剩余部分的体积
V＝V
正方体
－V
三棱锥
A
1
3
1
3
5
3
＝a－
6
a＝
6
a.
-ABD
(2)由(1)知V
三棱锥
A-A
1
1
3
＝V＝< br>三棱锥
BDA
1
-ABD
6
a，
1
BD< br>＝设三棱锥A-A
1
BD的高为h，则
V
三棱锥
A-A

1
S
△
ABD
·h
3
·
1
35

1133313
＝
3
×
2
×
2
(2a)
2
h＝
6
a< br>2
h，故
6
a
2
h＝
6
a
3
，解得h＝
3
a.
[探究共研型]

与三视图有关的表面积和体积
探究1 一个几何体的三视图如图1-3-3所示，请说出该几何体的结构特征．

图1-3-3
【提示】 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形．
探究2 试根据图1-3-3中数据求该几何体的表面积．
【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和 4，斜边长为5，三棱
?
1
?
柱的高为5，如图所示，所以表面积为2
?
2
×3×4
?
＋(3＋4＋5)×5＝72.
??

探究3 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？
【提示】 首先根据三视图确定几何体的结构特征，再根据相应的表面积公式计
算．
3-4
，已 知某几何体的三视图如图
(
单位：
cm)
．

如图
1-
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．


36

【精彩点拨】 由三视图确定
→选择表面积及体积公式求解
几何体的形状
【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示．

( 2)这个几何体可看成是正方体AC
1
及三棱柱B
1
C
1
Q -A
1
D
1
P的组合体．
由PA
1
＝PD
1
＝2，A
1
D
1
＝AD＝2，
可得PA
1
⊥PD
1
.
故所求几何体的表面积
1
S＝5×2
2
＋2×
2
×2×2＋2×2×2＝22＋42(cm
2
)，
所求几何体的体积
1
V＝2
3
＋
2
×(2)
2
×2＝10(cm
3
)．

1． 解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数
据在直观图中求出计算体积所 需要的数据．
2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，根据
需要先将几何体分割分别求解，最后求和．
[再练一题]
3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
( )
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
C [由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面
37

积为2π×2×4＝16π，底面积为π·2
2
＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23， 所
以圆锥的母线长为?23?
2
＋2
2
＝4，所以圆锥的侧面积为π ×2×4＝8π.所以该几
何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]

1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm
3
B．60 cm
3
C．64 cm
3
D．125 cm
3

B [长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm
3
.]
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧
面积是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
【解析】 旋转所得几何体为圆柱，底 面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh
＝2π×1×1＝2π.故选C.
【答案】 C
3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
1
【解析】 由已知得4π＝
πr
2
×4，解得r＝3.
3
【答案】 3

4．一个几何体的三视图如图1-3-6所示(单位：m )，则该几何体的体积为
________m
3
.


图1-3-6
【解析】 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径1
为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V
长方体
＋V
圆锥
＝ 3×2×1＋
3
π×1
2
×3＝(6
38

＋π)m
3
.
【答案】 6＋π
5．如图1-3 -7所示，正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>的棱长为1，E，F分别为线段AA
1
，
B
1
C上的点，求三 棱锥D
1
-EDF的体积．

图1-3-7
1111
【解】 VD
1
-EDF＝VF-DD
1
E＝3
S△D
1
DE·AB＝
3
×
2
×1×1×1 ＝
6
.






























39

1.3.2 球的体积和表面积

[基础·初探]
教材整理 球的表面积与体积公式
阅读教材P
27
“练习”以下至P
28
“练习”以上内容，完成下列问题．
1．球的体积
4
设球的半径为R，则球的体积V＝
3
πR
3
.
2．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR
2
，即球的表面 积等于它的大圆面积
的4倍．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)球的体积之比等于半径比的平方．( )
(2)长方体既有外接球又有内切球．( )
(3)球面展开一定是平面的圆面．( )
(4)球的三视图都是圆．( )
【解析】 (1)错误．球的体积之比等于半径比的立方．
(2)错误．长方体只有外接球，没有内切球．
(3)错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误．
(4)正确．球的三视图都是圆．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√


球的表面积和体积

(1)
已知球的表面积为
64π
，求它的体积；

500
(2)已知球的体积为
3
π，求它的表面积．
【精彩点拨】 借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解．
40

【自主解答】 (1)设球的半径为r，则由已知得
4πr
2
＝64π，
r＝4.所以球的体积：V＝
4
×π ×r
3
＝
256
33
π.
(2)设球的半径为R，由已知得
4
3
500
3
πR
＝
3
π，所以R＝5，
所以球的表面积为：S＝4πR
2
＝4π×5
2
＝100π.

1．一个关键
抓住球的表面积公式S
4
球
＝4πR2
，球的体积公式V
球
＝
3
πR
3
是计算球的 表面
积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积
计算的相关 题目也就迎刃而解了．
2．两个结论
(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；
(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
[再练一题]
1．(1)球的体积是
32π
3
，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π C.
16π64π
3
D.
3

(2)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
A.
32π
B.
8π
3

3
C．82π D.
82π
3

【解析】 (1)设球的半径为R，则 由已知得V＝
4
32π
3
πR
3
＝
3
，R ＝2.
∴球的表面积S＝4πR
2
＝16π.
(2)设截面圆的半径为r ，则πr
2
＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为1＋1
＝2，所以球的体积为
4
π(2)
3
＝
82π
33
.
【答案】 (1)B (2)D

与球有关的组合体的表面积与体积
41

(1)
如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
(

)
9
A.
2
π＋12
9
B.
2
π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
(2)一个几何体的三视图(单位：cm)如图 1-3-16所示，则该几何体的表面积是
________cm
2
.

图1-3-16
【精彩点拨】 先根据三视图还原组合体，再利用有关数据计算．
【自主解答】 (1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为3的球，
下面一个底面为正 方形且边长为3，高为2的长方体所构成的几何体，则其体积
49
?
3
?3
??
为：V＝V
1
＋V
2
＝
3
×π ×
2
＋3×3×2＝
2
π＋18.
??
(2)由三视图知 该几何体为一个四棱柱，一个半圆柱和一个半球的组合体，其中
1
π
四棱柱上表面与半 球重合部分之外的面积为1×2－
2
×π×1
2
＝2－
2
， 四棱柱中不
ππ
重合的表面积为2－
2
＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12 －
2
，半圆柱中不重合的表面
1151
积为
2
×2π×2＋
2
π＝
2
π，半球的表面积为
2
×4π＝2π，所以该几何 体的表面积为
4π＋12.
【答案】 (1)B (2)4π＋12

1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还
42

原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合
体的结 构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直
径相同的圆．
2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠或交
叉．
[再练一题]
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )

A．18π
C．33π
B．30π
D．40π
【解析】 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等
于3，圆锥的母 线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×3
2
＋π×3×5＝33π.
答案】 C
[探究共研型]
接问题

有关球的切、
探究1 若球的半径为R，则球的内接正方体的棱长是多少？
【提示】 设正方体的棱长为a，由于正方体的体 对角线长等于球的直径，
2323
所以3a＝2R，故a＝
3
R，即球的内接 正方体的棱长为
3
R.
探究2 正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量关系？
【提示】 设正方体的棱长为a，外接球、内切球的半径分别为R、r，则
2R＝3a,2r＝a.
一 个高为
16
的圆锥外接于一个体积为
972π
的球，在圆锥里又有一个内切球．求：
(1)
圆锥的侧面积；
(2)
圆锥里内切球的体积．

【精彩点拨】 有关球的切、接问题，作出轴截面求解．
【自主解答】 (1)如图所示，作 出轴截面，则等腰△SAB内接于⊙O，而⊙
O
1
内切于△SAB.
4
3
设⊙O的半径为R，则有
3
πR
＝972π，
∴R
3
＝729，R＝9.∴SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.
43

连接AE，又∵SE是直径，∴SA⊥AE，
SA
2
＝SD·SE＝16×18＝288，∴SA＝122.∵AB⊥SD， ∴AD
2
＝SD·DE＝16×2＝32，∴AD＝42.∴S
圆锥侧
＝ π×42×122＝96π.
(2)设内切球O
1
的半径为r，
∵△SAB的周长为2×(122＋42)＝322，
11
∴
2
r×322＝
2
×82×16.∴r＝4. 4256
∴内切球O
1
的体积V
球
＝
3
πr< br>3
＝
3
π.

1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一 般要通过作一适当的截面，将立体
问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的 大圆等．
2．几个常用结论
(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；
(2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的
直径；
(3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面
圆的直径；
11
(4)球与棱锥相切，则可利用V
棱锥
＝
3
S
底
h＝
3
S
表
R，求球的半径R.
[再练一题]
3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为( )
711
A．πa
2
B.
3
πa
2
C.
3
πa
2
D．5πa
2

B [由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，如
2331
图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝
3
×
2
a＝
3
a，OP＝
2
a，
77
?
3
?
?
1
?
所以球的半径R＝OA满足R
2
＝
?
a
?2
＋
?
2
a
?
2
＝
12
a< br>2
，故S
球
＝4πR
2
＝
3
πa
2
.]
?
3
?
??
44

1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A．144π，144π B．144π，36π C．36π，144π D．36π，36π
4
【解析】 R＝3，S＝4πR
2
＝36π，V＝
3
πR
3
＝36π.
【答案】 D
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的
表面积为( )
A．3πa
2
B．6πa
2
C．12πa
2
D．24πa
2

【解析】 设该球的半 径为R，∴(2R)
2
＝(2a)
2
＋a
2
＋a
2
＝6a
2
，
即4R
2
＝6a
2
.∴球的 表面积为S＝4πR
2
＝6πa
2
.
【答案】 B
4
3．已知一个球的体积为
3
π，则此球的表面积为________．
44
【解析】 设球的半径为R，则V＝
3
πR
3
＝
3
π，
∴R＝1，∴球的表面积S＝4π.
【答案】 4π
4．某几何体的三视图如图1-3-18所示，则其表面积为________．

图1-3-18
【解析】 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半< br>1
个球面面积与截面面积的和，即
2
×4π＋π＝3π.
【答案】 3π
5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r，圆柱、圆锥的高都是2r，
(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比；(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比．
45

【解】 (1)V
圆柱
＝πr
2
·2r＝2πr
3
，
12
V
圆锥
＝
3
·πr
2
·2r＝
3
πr
3
，
4
V
球
＝
3
πr
3
，
所以V
圆柱
∶V
圆锥
∶V
球
＝3∶1∶2. (2)S
圆柱
＝2πr·2r＋2πr
2
＝6πr
2
，
S
圆锥
＝πr·4r
2
＋r
2
＋πr
2< br>＝(5＋1)πr
2
，
S
球
＝4πr
2
，
所以S
圆柱
∶S
圆锥
∶S
球
＝6∶(5＋1)∶4 .
[学业达标]
一、选择题
1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )
4
8π
A.
3
π B.
3
C．43π D．323π
【解析】 设正方体边长为a，由题意可知，6a
2
＝24，∴a＝2.
设正方体外接球的半径为R，则
4
3a＝2R，∴R＝3，∴V
球
＝
3
πR
3
＝43π.
【答案】 C
2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9 C.2∶3 D.8∶27
?
4
??
4
?
【解析】
?
3
π r
3
?
∶
?
3
πR
3
?
＝r3
∶R
3
＝8∶27，
????
∴r∶R＝2∶3，∴S1
∶S
2
＝r
2
∶R
2
＝4∶9.
【答案】 B
3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
32
A．12π B.
3
π C．8π D．4π
A [设正方体棱长为a，则a
3
＝8，所以a＝2.
所以正方体的体对角 线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球
的表面积为4π·(3)
2
＝12 π，故选A.]
46

4．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则
该球的体积是( )
100π208π500π
41613π
3
A.
3
cm
3
B.
3
cm
3
C.
3
cm
3
D. cm
3
【解析】 根据球的截面性质，有R＝r
2
＋d
2
＝3
2
＋4
2
＝5，
4500
∴V
球
＝
3
πR
3< br>＝
3
π(cm
3
)．
【答案】 C
5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小
关系是( )
A．S
球
圆柱
正方体

C．S
圆柱
球
正方体

B．S
正方体
球
圆柱

D．S
球
正方体
圆柱

【解析】 设等边圆柱底面圆半径为r，
球半径为R，正方体棱长为a，
4
?
R?
3
?
a
?
则πr
2
·2r＝
3πR
3
＝a
3
，
?
r
?
3
＝
2
，
?
r
?
3
＝2π，
????
S
圆柱
＝6πr
2
，S
球
＝4πR
2
， S
正方体
＝6a
2
，
S
球
4πR
22
?
R
?
2
3
2
??
＝＝
2
＝·
3
<1，
S
圆柱
6πr
3
?
r
?
S
正方体
6a
2
1
?
a
?
2
3
4
??
＝＝
2
＝·
π
>1， 故选A.
S
圆柱
6πrπ
?
r
?
【答案】 A
二、填空题
6．一个几何体的三视图(单位：m)如图1-3-19所示，则该几何体的体积 为
________m
3
.

图1-3-19
47

3
【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为
2
；
上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，
4
?
3
?
所以V＝
3
π×
?
2
?
3
×2＋1×3×6＝9 π＋18.
??
【答案】 9π＋18
7．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，
深为1 cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm
2
.
【解析】 设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，
冰面截球得到的小圆圆心为D，AB 为小圆D的一条直径，设
球的半径为R，则OD＝R－1，
则(R－1)
2
＋3
2
＝R
2
，
解得R＝5 cm，
所以该球表面积为S＝4πR
2
＝4π×5
2
＝100π(cm
2
)．
【答案】 5 100π
三、解答题
8．如图1-3-20，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，
将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径．

图1-3-20
【解】 设球的半径为R，由题意可得
4
32
πR
＝π×3×0.5，
3
解得R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.
9．如图1-3- 21所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB
旋转一周所成几何体的表面 积和体积．

11
【解】
2
S
球
＝
2
×4π×2
2
＝8π(cm
2
)，
48

S
圆台侧
＝π(2＋5)?5－2?
2
＋4
2
＝ 35π(cm
2
)，
S
圆台下底
＝π×5
2
＝25π(cm
2
)，
即该几何体的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm
2
)． π
又V
圆台
＝
3
×(2
2
＋2×5＋5
2
)×4＝52π(cm
3
)，
1
4π16π
V
半球
＝
2
×
3
×2
3
＝
3
(c m
3
)．
所以该几何体的体积为
16π140π
V
圆台
－V
半球
＝52π－
3
＝
3
(cm
3)．
[能力提升]
10．如图1-3-22，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及 每个圆中两条互相垂
28π
直的半径．若该几何体的体积是
3
，则它的表面积 是( )

图1-3-22
A．17π
C．20π
B．18π
D．28π
1
A [由三视图可知其对应几何体应为一个切去 了
8
部分
47
28π
的球，由
3
πr
3< br>×
8
＝
3
，得r＝2，所以此几何体的表面积为
71
4πr
2
×
8
＋3×
4
πr
2
＝17π， 故选A.]

11．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的
体积.
【解】 如图所示，作出轴截面，
因为△ABC是正三角形，
49

1
所以CD＝
2
AC＝2，
3
所以AC＝4，AD＝
2
×4＝23，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，
OECD
所以
AO
＝
AC
.
设OE＝R，则AO＝23－R，
所以
R123
＝
2
，所以R＝
3
.
23 －R
44
?
23
?
3
323π
?
＝所以V
球
＝
3
πR
3
＝
3
π·
?
27
.
?
3
?
323π
所以球的体积等于
27
.

























50

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面

[基础·初探]
教材整理1 平面
阅读教材P
40
～P
41
“思考”以上的内容，完成下列问题．
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象< br>出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画 成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长
等于其邻边长的2倍．如图2-1-1①. < br>(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用
虚线画出来．如 图2-1-1②.

图① 图②
图2-1-1
3．平面的表示法
图2-1-1①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.

下列说法：
①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的
长是100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 ①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③错误，因为
51

平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念．
【答案】 B
教材整理2 平面的基本性质
阅读教材P
41
“思考”以下至P
4 3
“例1”以上的内容，完成下列问题．
公理 内容
如果一条直线上的两点
公理1 在一个平面内，那么这条
直线在此平面内
过不在一条直线上的三
点，有且只有一个平面
如果两个不重合的平面
公理3
有一个公共点，那么它们
有且只有一条过该点的
公共直线


判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三点可以确定一个平面．( )
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．( )
(3)四边形是平面图形．( )
(4)两条相交直线可以确定一个平面．( )
【解析】 (1)错误．不共线的三点可以 确定一个平面．(2)错误．一条直线和直
线外一个点可以确定一个平面．(3)错误．四边形不一定是 平面图形．
(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
P∈α，P∈β?α∩β
＝l，且P∈l


图形 符号
A∈l，B∈l，且A∈
α，B∈α?l?α
A，B，C三点不共
线?存在惟一的α
使A，B，C∈α
公理2

文字语言、图形语言、符号语

言的相互转化
根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相
52

应的图形：

(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A ?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.
【精彩点拨】 解答本题要正确理解立体几何中表示 点、线、面之间位置关
系的符号“∈”，“?”，“?”，“?”，“∩”的意义，在此基础上，由已知
给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形．
【自主解答】 (1)点A在平面α内，点B不在平面α内；
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．

图(1) 图(2) 图(3)

1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几< br>条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号 语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示，直线
与平面的位置关系只能用“?”或 “?”表示．
3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[再练一题]
1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC； (4)点A
1
与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A
1
B与平面AC.
【解】 (1)点P∈直线AB；(2)点 C?直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A
1
?平
面AC；(5)直线AB∩ 直线BC＝点B；(6)直线AB?平面AC；
(7)平面A
1
B∩平面AC＝直线AB.

点、线共面问题
已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．

53

【精彩点拨】 四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条
直线 共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．
【自主解答】 已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，
b，c，d四线共面．
证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O?d，
∴经过d与点O有且只有一个平面α.
∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，
∴A、B、C三点在平面α内．
由公理1知a、b、c都在平面α内，
故a、b、c、d共面．
(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A，
∴经过a、b有且仅有一个平面α，
∴B、C∈α.由公理1知c?α.
同理，d?α，从而有a、b、c、d共面．
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．

证明点线共面常用的方法
1．纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．
2．重合法：先 说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再
证明两个平面重合．
[再练一题]
2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
【证明】 如图所示，由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l
＝A，b∩ l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l?α.即过a，b，l有且只有
一个平面．

[探究共研型]
54

点共线与线共点问题
探究1 如图2-1-3，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，设A
1
C∩平面ABC
1
D
1
＝E.能
否判断点E在平面A
1
BCD
1
内？

图2-1-3
【提示】 如图，连接BD
1
，
∵A
1
C∩平面ABC
1
D
1
＝E，
∴E∈A
1
C，E∈平面ABC
1
D
1
.
∵A
1
C?平面A
1
BCD
1
，
∴E∈平面A
1
BCD
1
.
探究2 上述问题中，你能证明B，E，D
1
三点共线吗？
【提示】 由于平面A
1
BCD
1
与平面ABC
1
D
1
交于直线BD
1
，又E∈BD
1
，根
据公理3可知B，E，D
1
三点共 线．
1-4
，在正方体
ABCD-A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，点
M
，
N
，
E
，
F
分别是棱
CD
， 如图
2-
AB
，
D D
1
，
AA
1
上的点，若
MN
与
EF交于点
Q
，求证：
D
，
A
，
Q
三点共 线
.

图2-1-4
【精彩点拨】 欲证D、A、Q三点共线，只需说 明三点均在平面AD
1
和平
面AC的交线DA上即可．
【自主解答】 ∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理，可得EF? 平面ADD
1
A
1
.∴Q∈平面ADD
1
A
1，
55

又∵平面ABCD∩平面ADD
1
A
1
＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．

点共线与线共点的证明思路
1．点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面
的交线上．
2．线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．
[再练一题]3． 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，
DC分别与平面α相交于点E， G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.
【证明】 ∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，
又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A．A∈l，l?α B．A∈l，l?α C．A?l，l?α D．A?l，l?α
【解析】 点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或?”和“?或?”表示．
【答案】 B
2．下列说法中正确的个数为( )
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交 于一点，则该四边形是平
面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ③中若圆心和圆上两点共线时，可以作出无数个平面，故①②④正确，
故选C.
【答案】 C
3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β
＝ ________.
【解析】 ∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.
56

【答案】 C
4．有以下三个说法：
①平面外的一条直线与这个平 面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以
用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若 平面α内的一条直线a与平
面β内的一条直线b相交，则α与β相交．其中正确的序号是_______ _．
【解析】 若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故
①正确；直线 l在平面α内用符号“?”表示，即l?α，②错误；由a与b相交，
说明两个平面有公共点，因此一定 相交，故③正确．
【答案】 ①③
5．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形AB CD中，AD∥BC，且AB?α，
CD?β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
【证明】 ∵梯形ABCD，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．
如图，设AB∩CD＝M.
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
即AB，CD，l共点．













57

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

[基础·初探]
教材整理1 空间直线的位置关系
阅读教材P
44
～P
45
“探究”以上的内容，完成下列问题．
1．异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)

图2-1-10
2．空间两条直线的位置关系
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.
??
共面直线
?
?
?
平行直线：同一平面内，没有公共点.
?
?
?
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )
(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )
(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直
线．( )
(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )
【解析】 (1)错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．
(2)正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．
(3)错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直
线．
(4)错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
58

教材整理2 公理4及等角定理
阅读教材P
45
“探究”以 下至P
46
倒数第7行的内容，完成下列问题．
1．公理4
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行
线的传递性．
a∥b
?
?
?a∥c. 符号表述：
b∥c
?
2．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对
【解析】 因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.
【答案】 B
教材整理3 异面直线所成的角
阅读教材P
46
下面的两个自然段至P47
“探究”以上的内容，完成下列问题．
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空 间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角)．
2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ_≤90°.
3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

如图，正方体ABCD-A ′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为
________．异面直线AD′与BC所成的 角为________．


【解析】 ∵A′B′∥AB，
∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°，∴A′B′与BC所成的角
59

为90°.
∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角，因 为∠D′AD＝45°，故AD′
与BC所成的角为45°.
【答案】 90° 45°


空间两直线位置关系的判定

A
1
B
1
C
1
D
1
中，判断下列直线的位置关系：

如图，正方体
ABCD-
①直线A
1
B与直线D
1
C的位置 关系是________；
②直线A
1
B与直线B
1
C的位置关系是________；
③直线D
1
D与直线D
1
C的位置关系是________；
④直线AB与直线B
1
C的位置关系是________．
【精彩点拨】 判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．
【自主解答】 根据题目条件知道直线A
1B与直线D
1
C在平面A
1
BCD
1
中，
且没 有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A
1
、B、B
1
在一 个
平面A
1
BB
1
内，而C不在平面A
1
BB1
内，则直线A
1
B与直线B
1
C “异面”．同
理，直线AB与直线B
1
C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直 线D
1
D与
直线D
1
C相交于D
1
点，所以③应该 填“相交”．
【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面

1．判定两条直线平 行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可
以用公理4判断．
2．判定两条直 线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故
常用排除法，即说明这两条直线不平行、 不相交，则它们异面．
[再练一题]
1．(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )
A．a∥c B．a、c是异面直线 C．a、c相交 D．a、c平行或相交或异面
(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
60

C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
【解析】 (1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可
以相交，可以异面．
(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.
【答案】 (1)D (2)C

公理4、等角定理的应用
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
M
1
分别是棱
AD
和
A
1
D
1
的 中点．

如图，在正方体
ABCD-
(1)求证：四边形BB
1< br>M
1
M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B
1
M
1
C
1
.
【自主解答】 (1)∵ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体．
∴AD＝A
1
D
1
，且AD∥A
1
D
1
，
又M、M
1
分别为棱AD、A
1
D
1
的中点， < br>∴AM＝A
1
M
1
且AM∥A
1
M
1
，
∴四边形AMM
1
A
1
为平行四边形，
∴M
1
M＝AA
1
且M
1
M∥AA
1
.
又 AA
1
＝BB
1
且AA
1
∥BB
1
， < br>∴MM
1
＝BB
1
且MM
1
∥BB
1
，
∴四边形BB
1
M
1
M为平行四边形．
(2)法一 由(1)知四边形BB
1
M
1
M为平行四边形，
∴B
1
M
1
∥BM.
同理可得四边形CC
1
M
1
M为平行四边形，
∴C
1
M
1
∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠ B
1
M
1
C
1
都是锐角．
∴∠BMC＝∠B
1
M
1
C
1
.
法二 由(1)知四边形BB
1
M
1
M为平行四边形，
∴B
1
M
1
＝BM.
同理可得四边形CC
1
M
1
M为平行四边形，
∴C
1
M
1
＝CM.
又∵B
1
C
1
＝BC，∴△BCM≌△B
1
C
1
M
1
，
∴∠BMC＝∠B
1
M
1
C
1
.
61

1．空间两条直线平行的证明
一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关
于平行的性质；
三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2．求证角相等
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
[再练一题]
2．如图，已知在棱长 为a的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N分别是棱CD，
AD的中点．
求证：(1)四边形MNA
1
C
1
是梯形；
(2)∠DNM＝∠D
1
A
1
C
1
.
【证明】 (1)如图，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
1
∴MN∥AC，MN＝
2
AC.
由正方体的性质得：
AC∥A
1
C
1
，AC＝A
1
C
1
.
1
∴MN∥A
1
C
1
，且MN＝
2
A
1
C
1
，
即MN≠A
1
C
1
，
∴四边形MNA
1
C
1
是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A
1
C
1
.
又∵ND∥A1
D
1
，∴∠DNM与∠D
1
A
1
C
1
相等或互补．
而∠DNM与∠D
1
A
1
C
1
均为锐角，
∴∠DNM＝∠D
1
A
1
C
1
.
[探究共研型]


求异面直线所成的角
62

探究1 已知直线a，b是两条异面直线，如图2-1-15，如何作出这两条异面直
线所成的角？

图2-1-15
【提示】 如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条
相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)角θ即两条异面直线a，b所成的角．

探究2 异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常
点O取在什么位置？
【提示】 异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点
O的位置选择无关， 一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一
条上．
1-16
，在空间四 边形
ABCD
中，
AD
＝
BC
＝
2
，E
、
F
分别是
AB
、 如图
2-
CD
的中点，若
EF
＝
3
，求异面直线
AD
、
BC所成角的大小．


图2-1-16
【自主解答】 如图，取BD的中点M，连接EM、FM.
因为E、F分别是AB、CD的中点，
11
所以EM綊
2
AD，FM綊
2
BC，
则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．
因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H，
13
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝
2
EF＝
2
，
63

3
则sin∠EMH＝
2
，于是∠EMH＝60°，
则∠EMF＝2∠EMH＝120°.
所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角， 即异面直线AD、BC所
成的角为60°.

求两异面直线所成的角的三个步骤
1．作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．
2．证：证明作出的角就是要求的角．
3．计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值的范围
是0°< θ ≤90°.
[再练一题]
3．在正方体ABCD-A
1
B
1C
1
D
1
中，求A
1
B与B
1
D1
所成的角．
【解】 如图，连接BD、A
1
D，
∵ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体，
∴DD
1
綊BB
1
，
∴四边形DBB
1
D
1
为平行四边形，
∴BD ∥B
1
D
1
.
∵A
1
B、BD、A
1
D是全等的正方形的对角线，
∴A
1
B＝BD＝A
1
D，△A
1
BD是正三角形，
∴∠A
1
BD＝60°.
∵∠A
1
BD是锐角，
∴∠A
1
BD是异面直线A
1
B与B
1
D
1所成的角，
∴A
1
B与B
1
D
1
所成的角为60°.

1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线
【解析】 不论l∥α，l?α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.
64

【答案】 C
2．下列命题中，正确的结论有( )
①如果一个 角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两
条相交直线和另两条相交直线分别平 行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相
等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么 这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 由公理4及等角定理知，只有②④正确．
【答案】 B
3．已知角α和角β的两边分别平行 且一组边方向相同，另一组边的方向相反，
若α＝45°，则β＝________.
【解析】 由等角定理可知β＝135°.
【答案】 135°
4．在长方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，与棱AA< br>1
垂直且异面的棱有________.
【解析】 如图，与棱AA
1垂直且异面的棱有DC，BC，D
1
C
1
，B
1
C1
.
【答案】 DC，BC，D
1
C
1
，B
1
C
1
5．如图2-1-17所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为
BC 、AD的中点，求EF和AB所成的角．

图2-1-17
【解】 取AC的中点G，连接EG，FG，
则FG∥CD，EG∥AB，
所以∠FEG即为EF与AB所成的角，
11
且FG＝
2
CD，EG＝
2
AB，
所以FG＝EG.
又由AB⊥CD得FG⊥EG，
所以∠FEG＝45°.故EF和AB所成的角为45°.
65

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系

[基础·初探]
教材整理1 直线与平面的位置关系
阅读教材P
48
～P
49
的内容，完成下列问题．
位置直线a在平面α直线a与平面α相
交
有且只有一个公共
点
a∩α＝A
直线a与平面α平
行
没有公共点
关系 内
公共
点
符号
表示
图形
表示

有无数个公共点
a?α a∥α



判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( )
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．( )
(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．( )
(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．( )
【解析】 (1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，
故(1)错．
(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．
(3 )错误．由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直
线有无数条，故(3)错．
(4)错误．过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所
以过平面外一 点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
66

教材整理2 平面与平面的位置关系
阅读教材P
50
“探究”以上的内容，完成下列问题．
位置关系
两平面平行
图示 表示法
α∥β
公共点个数
0个

两平面相交

α∩β＝l 无数个点(共线)

三棱锥的四个面中，任两个面的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
【解析】 三棱锥的任两个面都相交，选A.
【答案】 A


下列说法正确的是
(

)
A．如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线
C．如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥b
D．如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α
【精彩点拨】 解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，结
合相关图形，依据位置关系的定义作出判断．
【自主解答】 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，
故选项A不正确；
AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，
故选项B不正确；
AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，
但AA′与A′D′相交，
所以选项C不正确；
67
直线与平面的位置关系

选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，
所以a与α相交，这与a∥α矛盾，
故b∥α，即选项D正确．故选D.
【答案】 D

空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直
线与 平面平行在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避
免疏忽或遗漏.另外，我们可以借 助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面
放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭 空臆断.
[再练一题]
1．下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相
交；
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条 与平面平行，另
一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.
【答案】 C
[探究共研型]

平面与平面的位置关系
探究1 如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？
【提示】 如果两个平面有一个公共点，那么由公理3 可知：这两个平面相
交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．
探究2 若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之
间有什么位置关系？
【提示】 因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面
与另一平面没有公共 点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
68

探究3 平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？
【提示】 不正确．如图，设α∩β＝l ，则在平面α内与l平行的直线可以
有无数条a
1
，a
2
，…，a< br>n
，它们是一组平行线，这时a
1
，a
2
，…，a
n
与平面β都
平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.
已知下列说法：

①两平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．
其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．
【精彩点拨】 由平面间的位置关系逐一判断．
【自主解答】 ①错．a与b也可能异面．
②错．a与b也可能平行．
③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a?α，b?β，∴a 与b无公共点．
④对．由已知及③知：a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面．
⑤错．a与β也可能平行．
【答案】 ③④

1．仔细分析题目条件，将 符号语言或自然语言转化为图形语言，通过图形
借助定义确定两平面的位置关系．
2．线、面 之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置
关系的判断要注意利用这一熟悉的图形 找到反例或对应的关系．
[再练一题]
2．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位
置关系是( )
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．既不平行也不相交
【解析】 如果两平面的直线互相平行，可以有以下两种情况：
69

【答案】 C

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
C．无数条直线不相交
B．两条直线不相交
D．任意一条直线不相交
【解析】 直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．
【答案】 D
2．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l
B．α∥β，l∈α
C．l∥β，l?α
D．α∥β，l?α
D [显然题干图中
α
∥
β
，且
l
?
α
.]
3．如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D< br>1
中判断下列位置关系：
(1)AD
1
所在的直线与平面B
1
BCC
1
的位置关系是________．
(2)平面A
1BC
1
与平面ABCD的位置关系是________．
【解析】 (1)AD
1
所在的直线与平面B
1
BCC
1
没有公共点，所以平行．
(2)平面A
1
BC
1
与平面ABCD有公共点B，故相交．
【答案】 (1)平行 (2)相交
4．a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a ∥b∥c，a?α，b?β，c?β
那么平面α与平面β的位置关系是__________．
平行或相交 [由正方体模型易知
α
∥
β
或
α
与< br>β
相交．]
5．作出下列各题的图形．
(1)画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α.
(2)画平面α，β，γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n.
【解】 如图所示：

70

2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定

[基础·初探]
教材整理1 直线与平面平行的判定定理
阅读教材P
54
～P
55
“例1”以上的内容，完成下列问题．
自然语言
符号语言
图形语言


能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b?α，a∥b B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD D．a?α，b?α，a∥b
【解析】 A错误，若b?α，a∥b，则a∥α或a?α；B错误，若 b?α，c
∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a?α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a?α或a与α相交；D正确．
【答案】 D
教材整理2 平面与平面平行的判定定理
阅读教材P
56
～P
57
“例2”以上的内容，完成下列问题．
自然语言
符号语言
图形语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两
个平面平行
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直
线与此平面平行
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
71

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )
(3)平行于同一平面的两条直线平行．( )
(4)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.( )
【解析】 (1)错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行．
(2)正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平
行或异面．
(3)错误．两条直线平行或相交或异面．
(4)错误．直线a∥β或直线a?β.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×


直线与平面平行的判定
P
， 已知公共边为
AB
的两个全等的矩形
ABCD
和
ABEF
不在同一平面内，
Q
分别是对角线AE
，
BD
上的点，
2-1)
．
PQ
∥平面< br>CBE.
且
AP
＝
DQ(
如图
2-
求证：

图2-2-1
【精彩点拨】 在平面CBE中找一条直线与PQ平行，从而证明PQ∥平面CBE.
【自主解答】 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，
如图，
PMEPQNB Q
则PM∥QN，
AB
＝
EA
，
CD
＝
B D
.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN.又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
72

1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直
线平行的直线．
2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段
成比例定理、平 行公理等．
[再练一题]
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一 点，M为SC的中
点，求证：SA∥平面MDB.
【证明】 连接AC交BD于点O，连接OM.
∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA，
∵OM?平面MDB，SA?平面MDB，
∴SA∥平面MDB.

平面与平面平行的判定
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
、
E
、
F
、
N
分别是
A
1
B
1
、
B
1
C
1、 如图，在正方体
ABCD-
C
1
D
1
、
D
1
A
1
的中点．

求证：(1)E、F、B、D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
【精彩点拨】 (1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．
(2)要证平面MAN∥平面EFDB， 只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即
可．
【自主解答】 (1)连接B
1
D
1
，
∵E、F分别是边B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点，
∴EF∥B
1
D
1
.
而BD∥B
1
D
1
，∴BD∥EF.
∴E、F、B、D四点共面．
(2)易知MN∥B
1
D
1
，B
1
D
1
∥BD，∴MN∥BD.
又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连接MF .∵M、F分别是A
1
B
1
、C
1
D
1
的 中点，
73

∴MF∥A
1
D
1
，MF ＝A
1
D
1
.
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.

1．要证明面面 平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平
面平行，而要证明线面平行，还要通过证 明线线平行，注意这三种平行之间的转
化．
2．解决此类问题有时还需添加适当的辅助线(或辅助面)使问题能够顺利转化．
[再练一题]
2．如图所示，已知四棱锥P- ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，
CD，PD的中点．
求证：平面AFH∥平面PCE.
【证明】 因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC，
因为PC?平面PCE，FH?平面PCE，所以FH∥平面PCE.
又由已知得AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，而CE?平面PCE，AF?平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.
[探究共研型]

线面平行、面面平行的综合应用
探究1 如图，在正方 体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，S是 B
1
D
1
的中点，E，F，G分别
是BC，DC，SC的中点．你能 证明直线EG∥平面BDD
1
B
1
吗？
【提示】 如图，连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，
74

∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD
1
B
1，EG?平面BDD
1
B
1
.
∴直线EG∥平面BDD
1
B
1
.
探究2 上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD
1
B
1
.
【提示】 连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵S D?平面BDD
1
B
1
，FG?平面BDD
1
B
1
，
∴FG∥平面BDD
1
B
1
.
又EG∥平面BDD
1
B
1
，
且EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD
1
B
1
.
ABCD
， 点
E
在
PD
上，且
PE
∶
ED
＝ 已知底 面是平行四边形的四棱锥
P-
2
∶
1
，在棱
PC
上 是否存在一点
F
，使
BF
∥平面
AEC
？证明你的结论，并 说出
点
F
的位置．

【精彩点拨】 解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于
平面AEC，再确定F的位置．
【自主解答】 如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的
平行线交PD于点G ，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.
∴平面BGF∥平面AEC.∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.

解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
1．立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行
75

关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
判定判定
2.线线平行――→线面平行――→面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
[再练一题]
3.如图2-2-6，在四棱锥O- ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA
的中点，N为BC的中点．
证明：直线MN∥平面OCD.
【证明】 如图，取OB中点E，连接ME，NE，则ME∥AB.
又∵AB∥CD，
∴ME∥CD.
又∵ME?平面OCD，CD?平面OCD，
∴ME∥平面OCD.
又∵NE∥OC，且NE?平面OCD，OC?平面OCD，
∴NE∥平面OCD.
又∵ME∩NE＝E，且ME，NE?平面MNE，
∴平面MNE∥平面OCD.
∵MN?平面MNE，∴MN∥平面OCD.

1．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不可能作出 B．只能作出一个C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在
【解析】 设直线外两点为A、B，若 直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与
l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行 ；若直线AB与l相交，
则过A、B没有平面与l平行．
【答案】 D
2．在正方 体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，M是 棱CD上的动点，则直线MC
1
与平面AA
1
B
1
B
的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．异面

D．相交或平行
76

B [如图，
MC
1
?平面
DD
1
C
1
C
，而平面
AA
1< br>B
1
B
∥平面
DD
1
C
1
C
，故
MC
1
∥
平面
AA
1
B
1
B
.]
3．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命
题． < br>a∥c
?
a∥γ
?
α∥c
?
α∥γ
?
????
?α∥β；⑤①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；④
b∥c
?
b∥γ
?
β∥c
?
β∥γ
?


a ∥c
?
a∥γ
?
?
?a∥α；⑥
?
?a∥α，其中 正确的命题是________．(填序号)
α∥c
?
α∥γ
?

【解析】 ①是平行公理，正确；②中a，b还可能异面或相交；③中α、β还可
能相交；④是 平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a?α；⑥也是忽略了a?α
的情形．
【答案】 ①④
4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α的
位置 关系是________.
【解析】 因为AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由线面平行的判定定理可
得CD∥α.
【答案】 CD∥α
5．如图2-2-7，三棱锥P- ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：
平面GFE∥平面PCB.

图2-2-7
【证明】 因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF
∥CP.
因为EF，GF?平面PCB，BC，CP?面PCB.
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.


77

2.2.3 直线与平面平行的性质
2.2.4 平面与平面平行的性质


[基础·初探]
教材整理1 直线与平面平行的性质定理
阅读教材P
58
～P
59
“例3”以上的内容，完成下列问题．
自然语言
符号语言
图形语言

作用 证明两直线平行

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．( )
(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．( )
(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．( )
(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α
内．( )
【解析】 由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；
由直线与平面平行的定义知(2)正确；
因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，
而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
教材整理2 平面与平面平行的性质定理
阅读教材P
60
“思考 ”以下至P
61
“练习”以上的内容，完成下列问题．
自然语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的
交线平行
78
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b

符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
图形语言

作用 证明两直线平行

已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线
为直 线b，则a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【解析】 由面面平行的性质定理可知a∥b.
【答案】 A


线面平行性质定理的应用
2-15
，四边形
EFGH
是空间四边形
ABCD
的一个截面，若截面为 如图
2-
平行四边形，求证：
AB
∥平面
EFGH.

图2-2-15
【精彩点拨】 要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH 内
的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证
题的目的．
【自主解答】 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC，
平面ABC∩平面ABD＝AB，
79

∴EF∥AB.
∵AB?平面EFGH，
EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.

运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找 过已知直线的平面
与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互
转化关系.
[再练一题]
1．如图，在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，过AA
1
作一平面交平面BCC
1
B< br>1
于EE
1
.
求证：AA
1
∥EE
1
.
【证明】 在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，AA
1
∥BB
1
，
∵AA
1
?平面BCC
1
B
1
，BB
1
?平面BCC
1
B
1
，
∴AA
1
∥平面BCC
1
B
1
.
∵AA
1
?平面AEE
1
A
1
，
平面A EE
1
A
1
∩平面BCC
1
B
1
＝EE< br>1
，
∴AA
1
∥EE
1
.

面面平行性质定理的应用
如图，已知
α
∥
β
，点
P
是平面
α
，
β
外的一点
(
不在
α与
β
之间
)
，直线
PB
，
PD
分别与
α
，
β
相交于点
A
，
B
和
C，
D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.
【精彩点拨】 (1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．
(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.
【自主解答】 (1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，∴AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD，
80

PAPC4315
∴
AB
＝
CD
，∴
5
＝
CD
，∴CD＝< br>4
，
27
∴PD＝PC＋CD＝
4
.

1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两
个平面分别经过这两 条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平
面，使这两条直线都在这个平面上；( 4)由性质定理得出线线平行．
2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面， 但辅助平面不
可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．
[再练一题]
2．如图2 -2-18，在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，M是A< br>1
C
1
的中点，平面AB
1
M∥平面
BC
1
N，AC∩平面BC
1
N＝N.求证：N为AC的中点．

图2-2-18
【证明】 因为平面AB
1
M∥平面BC
1
N，平面ACC
1
A
1
∩平面AB
1
M＝AM，
平面BC
1
N∩平面ACC
1
A
1
＝C
1
N，所以C
1
N∥AM，又AC∥A
1
C
1
，
所以四边形ANC
1
M为平行四边形，
所以AN∥C
1
M且AN＝C
1
M，
1
又C1
M＝
2
A
1
C
1
，A
1
C
1
＝AC，
1
所以AN＝
2
AC，所以N为AC的中点．
[探究共研型]

平行关系的综合应用
探究1 应用线面平行性质定理有什么技巧？
【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时 为了得到
交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来
81

使用，扩大应用的范畴．
探究2 面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？
【提示】 两个平面平行的判定定理与性质定理的作用 ，关键都集中在“平
行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平
行的一种方法；后者 给出了判定两条直线平行的一种方法．
探究3 你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？
【提示】 三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：


如图2-2-19， 在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，点N在BD上，点M在B
1
C
上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA
1
B
1
B.

图2-2-19
【精彩点拨】 用判定定理 证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面
AA
1
B
1
B平行，得 到MN∥平面AA
1
B
1
B.
【自主解答】 如图，作MP∥BB
1
交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB
1
，
CMCP
∴
MB
＝
PB
.
1
∵BD＝B
1
C，DN＝CM，
∴B
1
M＝BN，
CMDN
∴
MB
＝
NB
，
1
CPDN
∴
PB
＝
NB
，
82

∴NP∥CD∥AB.
∵NP?平面AA
1
B
1< br>B，AB?平面AA
1
B
1
B，
∴NP∥平面AA
1
B
1
B.
∵MP∥BB
1< br>，MP?平面AA
1
B
1
B，BB
1
?平面AA1
B
1
B，
∴MP∥平面AA
1
B
1
B.
又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA
1
B
1
B.
∵MN?平面MNP，∴MN∥平面AA
1
B
1
B.

1．三种平行关系的转化
要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化． 在解决
立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类
问题的最 有效的方法．
2．面面平行的性质定理的几个推论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．
(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
[再练一题]
3． 如图，在四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB
＝2CD，E，E
1
分别是棱A D，AA
1
上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线
EE
1
∥平面 FCC
1
.
【证明】 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以AFCD为平行四边形．
所以FC∥AD.
又FC?平面ADD
1< br>A
1
，AD?平面ADD
1
A
1
，
所以FC∥平面ADD
1
A
1
.
83

因为CC
1
∥DD
1
，CC
1
?平面ADD
1
A
1
，DD
1
?平面ADD
1
A
1< br>，
所以CC
1
∥平面ADD
1
A
1
，又F C∩CC
1
＝C，
所以平面ADD
1
A
1
∥平面FCC
1
.
又EE
1
?平面ADD
1
A
1
，
所以EE
1
∥平面FCC
1
.

1．正方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F，G 分别是A
1
B
1
，CD，B
1
C
1
的中点 ，则正
确命题是( )
A．AE⊥CG
B．AE与CG是异面直线
C．四边形AEC
1
F是正方形
D．AE∥平面BC
1
F
【解析】 由正方体的几何特征知，AE与平面BCC
1
B
1
不垂直 ，则AE⊥CG
不成立；由于EG∥A
1
C
1
∥AC，故A，E，G ，C四点共面，所以AE与CG是异
面直线错误；在四边形AEC
1
F中，AE＝EC
1
＝C
1
F＝AF，但AF与AE不垂直，
故四边形AEC
1
F是正方形错误；由于AE∥C
1
F，由线面平行的判定定理，可得
AE∥ 平面BC
1
F.故选D.
【答案】 D
2．如图，四棱锥P- ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，
则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
B [∵
MN
∥平面
PAD
，平面
PAC
∩平面< br>PAD
＝
PA
，
MN
?平面
PAC
，∴MN
∥
PA
.]
3．已知直线l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.
【解析】 由直线与平面平行的性质定理知l∥m.
【答案】 平行
84

4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C
两 点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．
【解析】 两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平
PAAC
面 与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以
PB
＝
BD
，又PA＝6，AC ＝9，PB＝
8，故BD＝12.
【答案】 12
5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.
【证明】 因为AB∥α，AB?β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.
同理可证AB∥EF，
所以CD∥EF.
学业分层测评
一、选择题
1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行
的( )
A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．没有
【解析】 过a 和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平
面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交 线可能不是这n条直线中的一条，
也可能是．故选B.
【答案】 B
2．设a，b 是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则α内与
b相交的直线与a的位置关 系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
【解析】 条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，
又a与α无公共点，故选C.
【答案】 C
3．下列命题中不正确的是( )
A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面
85

与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线
【解析】 选项A中直 线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正
确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平 面，那么三角形所在的平
面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，< br>选项B，D也正确，故选A.
【答案】 A
4．如图，在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别是棱AA
1
和BB
1
的中点，过
EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则 GH与AB的位置关系是( )
A．平行
C．异面
B．相交
D．平行或异面
【解析】 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，
∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.
【答案】 A
5．设平 面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，
β内运动时，动点C( )
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
【解析】 无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距 离始终相等，故
点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．
【答案】 D
二、填空题
6．如图，正方体ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD
上，若EF∥平面 AB
1
C，则线段EF的长度等于________．
【解析】 因为EF∥平面AB
1
C，EF?平面ABCD，
平面AB
1
C∩平面ABCD＝AC，
所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，
86

1
所以点F是CD的中点，所以EF＝
2
AC＝2.
【答案】 2
7．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α 两侧，点B，
C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF ＝
________.

图2-2-26
【解析】 EF可看成直线a 与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，
由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝ AF＋CF＝3＋5＝8.
AF×BC3×4
3EFAF
又
BC
＝
AC
，∴EF＝
AC
＝
8
＝
2
.
3
【答案】
2

三、解答题
8．如图所示，四边形AB CD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP
于点E，交DP于点F，求证：四边形B CFE为梯形．
【证明】 ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.
∵AD?平面APD，BC?平面APD，
∴BC∥平面APD.
又平面BCFE∩平面APD＝EF，
∴BC∥EF，∴AD∥EF.
又E，F是△APD边上的点，
∴EF≠AD，∴EF≠BC.
∴四边形BCFE是梯形．
9．如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别 是SA，BD上的点，
AMDN
且
SM
＝
NB
，求证：MN ∥平面SBC.
87

APAM
【证明】 在AB上取 一点P，使
BP
＝
SM
，连接MP，NP，
则MP∥SB.
∵SB?平面SBC，MP?平面SBC，∴MP∥平面SBC.
AMDNAPDN
又
SM
＝
NB
，∴
BP
＝
NB
，∴NP∥ AD.
∵AD∥BC，∴NP∥BC.
又BC?平面SBC，NP?平面SBC，
∴NP∥平面SBC.
又MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面SBC，而MN?平面MNP，
∴MN∥平面SBC.
[能力提升]
10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是( )
A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
【解析】 对于A，如图(1)所示，此 时n与α相交，故A不正确；对于B，
如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不 正确；对于D，如
图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.

图(1) 图(2) 图(3)
【答案】 C
11．如图，三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别
88

是棱CC
1
，BB
1
上的点，点M是线段AC上的动 点，EC＝2FB＝2，当点M在何
位置时，BM∥平面AEF.


【解】 如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.

因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB
∥EF .又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF，
所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AE F.又BQ?平面PBQ，所以BQ∥平面
AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，B M∥平面AEF.

















89

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定

[基础·初探]
教材整理1 直线与平面垂直的定义
阅读教材P
64
倒数第1行以上的内容，完成下列问题．
文字语言
如果直线l与平面α内的任意一条直线都
垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直
线l叫做平 面α的垂线，平面α叫做直线
l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足

直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直

l⊥α
图形语言
符号
语言
【解析】 由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，
但不可能平行．
【答案】 A
教材整理2 直线与平面垂直的判定定理
阅读教材P
65
“例1”以上的内容，完成下列问题．
文字语言 图形语言 符号语言
90

一条直线与一个平面内的
两条相交直线都垂直，则该
直线与此平面垂直


?
?
a?α
?
?l⊥α
b?α
?
a∩b＝P
?
l⊥b

l⊥a
一 条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是
( )
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定
【解析】 直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三
角形所在平面，则直线垂直第三边．
【答案】 B
教材整理3 直线与平面所成的角
阅读教材P
66
“探究”以下至“例2”以上的内容，完成下列问题．
1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
2．范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.
3．画法：如图2-3-1所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO.

图2-3-1

若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为( )
A．60° B．45° C．30° D．90°
【解析】 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．
如图所示，∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角．
又AB＝2BO，
OB1
所以cos ∠ABO＝
AB
＝
2
，
所以∠ABO＝60°.
【答案】 A
91

线面垂直的定义及判定定理的理解
下列说法中正确的个数是
(

)
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【精彩点拨】 利用线面垂直的定义及判定定理准确判断．
【自主解答】 由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，
②正确；当l与α不垂直时，l可能与α 内的无数条直线垂直，故③不对；④正
确．
【答案】 D

1．对于线面 垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直
于平面内无数条直线”不是一回事 ，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面
斜交、平行或直线在平面内．
2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
[再练一题]
1．下列说法中，正确的是( )
A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也
可能平行
C．若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
C [当
l
与
α
内的任何一条直线都垂直时，
l
⊥
α< br>，故A错；当
l
⊥
α
时，
l
与
α
内 的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，
a
可
能在
α
内，所以D错误．]
92

线面垂直判定定理的应用
如图，在△
ABC
中，∠
ABC
＝
90°
，
D
是
AC
的中点，
S
是△< br>ABC
所在平
面外一点，且
SA
＝
SB
＝
S C.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【精彩点拨】 题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC
的中点，要证(1 )需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底
边的中线是可以利用的垂直关系，要证 (2)，需设法在平面SAC内找两条相交直
线与BD垂直，而(1)的结论可利用．
【自主解答】 (1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
连接BD.
在Rt△ABC中，
有AD＝DC＝DB，
∴△SDB≌△SDA，
∴∠SDB＝∠SDA＝90°，
∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，
∴BD⊥平面SAC.

证线面垂直的方法
1．线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线 垂直)；
②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平
面图 形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线
中一条垂直也与另一条垂直 等结论来论证线线垂直．
2．平行转化法(利用推论)
(1)a∥b，a⊥α?b⊥α；(2)α∥β，a⊥α?a⊥β.
[再练一题]
93

2．如图所示，在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，侧棱AA
1
⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA
1
＝2，∠B
1
A
1
C
1
＝90°，D为BB
1的中点．
求证：AD⊥平面A
1
DC
1
.
【证明】 ∵AA
1
⊥底面ABC，
平面A
1
B
1
C
1
∥平面ABC，
∴AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，
∴A
1
C
1
⊥AA
1
.又∠B
1
A
1
C
1
＝90°，
∴A
1
C
1
⊥A
1
B
1
.而A
1
B
1
∩AA
1
＝A
1
，
∴A
1
C
1
⊥平面AA< br>1
B
1
B.又AD?平面AA
1
B
1
B，
∴A
1
C
1
⊥AD.
由已知计算得AD＝2，A
1
D＝2，AA
1
＝2.
∴A D
2
＋A
1
D
2
＝AA
2
1
，
∴A
1
D⊥AD.∵A
1
C
1
∩A
1D＝A
1
，∴AD⊥平面A
1
DC
1
.
[探究共研型]

直线与平面所成的角
探究1 若图2-3-4中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条
件？

图2-3-4
【提示】 需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就
是斜线PO与平面α所成的角．
探究2 根据线面角的定义，我们可以如何求线面角的大小？
【提示】 作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角转化为平面角，放在
三角形内求解．
探究3 求线面角的关键是什么？
【提示】 确定斜线在平面内的射影．
A
1
B
1
C
1
D
1
中，

在正方体
ABCD-
94

(1)求直线A
1
C与平面ABCD所成的角的正切值；
( 2)求直线A
1
B与平面BDD
1
B
1
所成的角．
【精彩点拨】 解答本题关键是结合正方体的性质．
【自主解答】 (1)∵直线A
1
A⊥平面ABCD，
∴∠A
1
CA为直线A
1
C与平面ABCD所成的角，
设A
1
A＝1，则AC＝2，
2
∴tan∠A
1
CA＝
2
.
(2)连接A1
C
1
交B
1
D
1
于O，在正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
C
1
⊥B
1
D
1
，
∵BB
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
A
1
C
1
?平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
∴BB
1
⊥A
1
C
1
，
又BB
1
∩B
1
D
1
＝B
1
，
∴A
1
C
1
⊥平面BDD
1
B
1
，垂足为O.
∴∠A
1
BO为直线A
1
B与平面BDD
1
B
1
所成的角，
11
在Rt△A
1
BO中，A< br>1
O＝
2
A
1
C
1
＝
2
A
1
B，
∴∠A
1
BO＝30°.
即A
1
B与平面BDD
1
B
1
所成的角为30°.

求直线和平面所成角的步骤
1．寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．
2．连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即
为所求的角．
3．把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
[再练一题]
3．如 图所示，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，E是棱DD
1
的中点．求直线BE与
平面ABB
1
A1
所成的角的正弦值.
95

【解】 取AA
1
的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD
1
的中点，四 边形ADD
1
A
1
为正方形，
所以EM∥AD.
又在正 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，A D⊥平面ABB
1
A
1
，
所以EM⊥平面ABB
1
A
1
，
从而BM为直线BE在平 面ABB
1
A
1
上的射影，∠EBM即为直线BE与平面
ABB1
A
1
所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝2
2
＋2
2
＋1
2
＝3，
EM2
于是在Rt△BEM中，sin ∠EBM＝
BE
＝
3
，
2
即直线BE与平面ABB
1
A
1
所成的角的正弦值为
3
.

1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定
【解析】 梯形的两腰所在直线相交，由线面 垂直的判定定理知，垂直于梯
形两腰的直线与梯形所在平面垂直，故选A.
【答案】 A
2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆有可能
D [在正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
A
，
B
1
B
与底面
ABCD
所成的角相 等，
此时两直线平行；
A
1
B
1
，
B
1< br>C
1
与底面
ABCD
所成的角相等，此时两直线相交；
A1
B
1
，
BC
与底面
ABCD
所成的角相等， 此时两直线异面．故选D.]
3．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，E C⊥平面ABC，且
EC＝12，则ED＝________.
【解析】 如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，
96

EC＝12，∴ED＝5
2
＋12
2
＝13.

【答案】 13
4．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成角为60°，则该 四棱锥的高为
________.
【解析】 如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，
3
∴SO＝sin 60°·SC＝
2
×23＝3.
【答案】 3
5．在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：A
1
C⊥平面BC
1
D.
【证明】 如图，连接AC，
∴AC⊥BD
又∵BD⊥A
1
A，AC∩AA
1
＝A，
AC，A
1
A?平面A
1
AC，
∴BD⊥平面A
1
AC
∵A
1
C?平面A
1
AC，∴BD⊥A
1
C.
同理可证BC
1
⊥A
1
C.
又∵BD∩BC
1< br>＝B，BD，BC
1
?平面BC
1
D，
∴A
1
C⊥平面BC
1
D.










97

2.3.2 平面与平面垂直的判定

[基础·初探]
教材整理1 二面角
阅读教材P
67
“练习”以 下至P
68
“观察”以上的内容，完成下列问题．
1．定义
从一条直线出 发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图2-3-13)．直线
AB叫做二面角的棱，半平面α和 β叫做二面角的面．
记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P- AB-Q；当棱记为
l时，可记作α-l-β或P-l-Q.

图2-3-13
2．二面角的平面角
(1)定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图2-3-1 4所示，以点O为垂足，
在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成 的
∠AOB叫做二面角的平面角．
(2)直二面角：平面角是直角的二面角．
98

图2-3-14

如图，三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B- PA-C
的大小等于________．

【解析】 ∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，故∠BAC为二面角B-PA- C的平面角，又∠BAC＝90°.
∴二面角B-PA-C的大小为90°.
【答案】 90°
教材整理2 平面与平面垂直的判定
阅读教材P
68
“观察”以下 至P
69
“例3”以上的内容，完成下列问题．
1．平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平
面互相垂直．
(2)画法：

图2-3-16
记作：α⊥β.
2．判定定理
文字语言
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平
面垂直

图形语言 符号语言

l⊥β
?
?
?α⊥β
l?α
?
99

对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
C．m∥n，n⊥β，m?α
B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
【解析】 因为m∥n，n⊥β，则m⊥β，
又m?α，故α⊥β，所以C正确．
【答案】 C


二面角

3-17
，在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，求二面角
B -A
1
C
1
-B
1
的正切 如图
2-
值．


图2-3-17
【精彩点拨】 解答本 题的关键是作出二面角的平面角，利用△BA
1
C
1
与△
B
1
A
1
C
1
均为等腰三角形，根据二面角的平面角定义可作出平面角 求解．
【自主解答】 取A
1
C
1
的中点O，连接B
1< br>O，BO.由题意知B
1
O⊥A
1
C
1
，又
BA
1
＝BC
1
，O为A
1
C
1
的中点，
所以BO⊥A
1
C
1
，
所以∠BOB
1
是二面角B-A
1
C
1
-B
1
的平面角．
因为B B
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1< br>，OB
1
?平面A
1
B
1
C
1
D< br>1
，所以BB
1
⊥OB
1
.
设正方体的棱长为a，
2
则OB
1
＝
2
a，
BB
1
a
在Rt△BB
1
O中，tan ∠BOB
1
＝
OB
＝＝2，
1
2
2
a< br>所以二面角B-A
1
C
1
-B
1
的正切值为2.
100