高一数学常考立体几何证明题及答案

高一数学常考立体几何证明题
1、如图，已知空间四边形
ABCD
中 ，
BC?AC,AD?BD
，
E
是
AB
的中点。
求证：（1）
AB?
平面CDE; （2）平面
CDE?
平面
ABC
。



2、如图，在正方体
求证：



3、已知
?A BC
中
?ACB?90
,
SA?
面
ABC
,
AD?SC
,
B
S
A
E
B
C
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，E
是
AA
1
的中点，
B
1
A
C
D
D
1
A
1
C
平面
BDE
。
E
A
D
C
求证：
AD?
面
SBC
．


4、已知正方体
D
A
B
C
D
1
C
1
B
1
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
AB
1
D
1
；(2)
，
O
是底
ABCD
对角线的交点.
求证：(１) C1O∥面



AC?
1
面
AB
1
D
1
．
A
1
D
O
A
C
B
5、正方体
ABCD?A' B'C'D'
中，求证：
AC?平面B'D'DB
；
D
1


A
1

6、正方体ABCD—A1B1C1D1中．
E
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
D
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
A



7、四面体
ABCD
中，
AC?BD,E, F
分别为
AD,BC
的中点，且
C
1
B
1
F
G
B
C
EF?
2
AC
2
，
?BDC?90
，

求证：
BD?
平面
ACD




8、如图，在正方体
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
D
1
EF
中，
E
、
F
、
G
分别是
AB
、
AD
、
C
1
D
1



的中点.求证：平面∥平面
BDG
.
9、如图，在正方体
（1）求 证：
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
AA
1
的中点.
A
1
C
平面
BDE
；
平面
BDE
. （2）求证：平面



A
1
AC?
10、已知
ABCD
是矩形，
PA?
平面
ABCD
，
AB?2
，
PA?AD?4
，
E
为< br>BC
的中点．
求证：
DE?
平面
PAE
；（2）求 直线
DP
与平面
PAE
所成的角．



11、如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是
?DAB ?60
且边长
为
a
的菱形，侧面
PAD
是等边三角形，且平 面
PAD
垂直于底面
ABCD
．
（1）若
G
为< br>AD
的中点，求证：
BG?
平面
PAD
；
（2）求证：
AD?PB
．

12、如图1,在正方体
0
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，
M
为
CC
1
的中点，AC交BD

于点O，求证：
AO?
1
平面MBD．



13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．
求证：AH⊥平面BCD．




14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得
的截面是平行四边形．
已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.
求证：截面EFGH是平行四边形．



15．(12 分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC
2
a，如 图．
3
(1)求证：MN∥面BB1C1C；

上的点，A1M＝AN＝


16．(12分)(2009·浙江高考)如图 ，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝
EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别 为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；



17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)直线EF∥面ACD. （2）平面EFC⊥平面BCD .



D
1
C
1
AA
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
20、如图，在正方体中，
E
是
1
的中点，
B
1
A
1
A
1
C
求证： 平面
BDE
。

D
O
AB
C

25、如图
P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA ?PB,CB?
平面
PAB
，
M
是
PC
的中点，< br>N
是
AB
上的点，
AN?3NB
求证：
MN?AB
；


C
N
M
PA
B
26、如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
、
G分别是
AB
、
AD
、
C
1
D
1
的中点.求证：平面
D
1
EF
∥平面
BDG
.



27、如图，在正方体
（1）求证：
ABCD?A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，
E
是
A A
1
的中点.
A
1
C
平面
BDE
；
平面
BDE
. （2）求证：平面
A
1
AC?




32、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC， 且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，
求证：平面ABC⊥平面BSC．




BC?AC
?
?
?CE?AB
AE?BE
?
1、 证明：（1）
AD?BD
?
?
?DE?AB
AE?BE
?
同理，
又∵
CE?DE?E
∴
AB?
平面
CDE

（2）由（1）有
AB?
平面
CDE

又∵
AB?
平面
ABC
， ∴平面
CDE?
平面
ABC

2、证明：连接
AC
交
BD
于
O
，连接
EO
，
∵
E
为
AA
1
的中点，
O
为
AC
的中点
∴
EO
为三角形
A
1
AC
的中位线 ∴
EOAC
1

又
EO
在平面
BDE
内，
A
1
C
在平面
BDE
外 ∴
A
1
C
平面
BDE
。
3、证明：
∵?ACB?90
°
?BC?AC

又
SA?
面
ABC

?SA?BC

?BC?
面
SAC

?BC?AD


又
SC?AD,SC?BC?C
?AD
?
面
SBC

4、证明：（1）连结
∵
A
1
C
1
，设
A
1
C
1
?B
1
D
1
?O
1?A
1
ACC
1
，连结
AO
1

AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体 是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又
A
1
C
1
?AC
A
1
C
1
,AC

O
1
,O
分别是的中点，∴O1C1∥AO且
O
1
C
1
?AO

?AOC
1
O
1
是平行四边形
面
?C
1
O∥AO
1
,AO
1
?
AB
1
D
1
，
C
1
O?
面
AB< br>1
D
1
∴C1O∥面
AB
1
D
1


6、证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD 平面B1D1C，B1D1
?
平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B 1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥ 平
面FBD．
7、证明：取
CD
的中点
G
，连 结
EG,FG
，∵
E,F
分别为
AD,BC
的中点，∴
EG
1

?
AC
2

1
1

1
BDFG
?
FG?AC
EG
2
?FG
2
?AC
2
?EF
2
22
2
，又
AC?B D,
∴，∴在
?EFG
中，


∴
EG?FG< br>，∴
BD?AC
，又
?BDC?90
，即
BD?CD
，
AC?CD?C

∴
BD?
平面
ACD
8、证明：∵
E
、
F
分别是
AB
、
AD
的中点，
?
EF
∥
BD

又
EF?
平面
BDG
，
BD?
平面
BDG
?
EF
∥平面
BDG

∵
又
D
1
G
D
1
E?
EB
?
四边形
D
1
GBE
为平行四边形，< br>D
1
E
∥
GB

平面
BDG
，GB?
平面
BDG
?
，
?
平面
D
1< br>E
∥平面
BDG

EF?D
1
E?ED
1
EF
∥平面
BDG

9、证明：（1）设
AC?BD?O
，
∵
E
、
O
分别是
又
AA
1
、
AC
的中点，
?
A
1
C
∥
EO

A
1
C?
平面
BDE
，
EO?
平面
BDE
，
?
A
1
C
∥平面
BDE

（2）∵
AA
1
?
平面
ABCD
，
BD?
平面
ABCD
，
A A
1
?BD

AC?AA
1
?A
?
BD?
AAC
BD?
?
平面
BDE?
平面
A
1< br>AC
又
BD?AC
，，平面
1
，平面
BDE
，

10、证明：在
?ADE
中，
AD?AE?DE
，
?
AE ?DE

∵
PA?
平面
ABCD
，
DE?
平面
ABCD
，
?
PA?DE

又
PA?AE?A
，
?
DE?
平面
PAE

（2）
?DPE
为
DP
与平面
PAE
所成的角 < br>在
Rt?PAD
，
PD?42
，在
Rt?DCE
中，
DE?22

在
Rt?DEP
中，
PD?2DE
，
?
?DPE?30

11、证明：（1）
?ABD
为等边三 角形且
G
为
AD
的中点，
?
BG?AD

0
222

又平面
PAD
?
平面
ABCD，
?
BG?
平面
PAD

（2）
PAD
是等边三角形且
G
为
AD
的中点，
?
AD?PG

且
AD?BG
，
PG?BG?G
，
?
AD?
平面
PBG
，
PB?
平面
PBG
，
?
AD?PB

12 、证明：连结MO，
∴DB⊥平面
A
1
M
，∵DB⊥
A1
A
，DB⊥AC，
A
1
A?AC?A
A
1< br>O
．
，

A
1
ACC
1
， 而
A
1
O?
平面
A
1
ACC
1
∴DB⊥
设正方体棱长为
a
，则
A
1
O
2
?
3
2
3
aMO
2
?a
2
2
，< br>4
．
在Rt△
∴
A
1
C
1
M
中，
．
A
1
M
2
?
9
2
a
22
?MO
2
?AM
4
．∵
AO
11
，
AO?OM
1
∵OM∩DB=O，∴
A
1
O
⊥平面MBD．

13、 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵
AC?BC
，∴
CF?AB
．
∵
AD?BD
，∴
DF?AB
．
又
CF

DF?F
，∴
AB?
平面CDF．
∵
CD?
平面CDF，∴
CD?AB
．
又
CD?BE
，
BE?AB?B
，
∴
CD?
平面ABE，
CD?AH
．
∵
AH?CD
，
AH?BE
，
CD?BE?E
，
∴
AH?
平面BCD．
14．证明：∵SC∥截面EFGH，SC?平面 EFGH，SC?平面ASC，且平面ASC∩平面EFGH＝GH，
∴SC∥GH.

同理可证SC∥EF，∴GH∥EF. 同理可证HE∥GF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
15．解：(1)证明：作NP⊥AB于P，连接∥BC，
APANA1M
∴＝＝，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C.
ABACA1B
MN?面MPN，∴MN∥面BB1C1C.
16．解：(1)证明 ：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ?平面ACD，从而PQ∥平面ACD.

17．证明：(1)在△ABD中，
∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.
又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直线EF∥面ACD.
(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.
∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，
又∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
18.证明：在
?ABD中，∵
E,H
分别是
AB,AD
的中点∴
EHBD,EH?1
BD
2

FGBD,FG?
同理，

1BD
2
∴
EHFG,EH?FG
∴四边形
EFGH
是平 行四边形
20证明：连接
AC
交
BD
于
O
，连接
EO
，
∵
E
为
AA
1
的中点，
O
为
AC
的中点
∴
EO
为三角形
A
1
AC
的中位线 ∴
EOAC
1

又
EO
在平面
BDE
内，
∴
A
1
C
在平面
BDE
外
A
1
C
平面
BDE
。

考点：线面平行的判定


21证明：
∵?ACB?90
°
?BC?AC

又
SA?
面
ABC

?SA?BC


?BC?
面
SAC


?BC?AD


又
SC?AD,SC?BC?C
?AD
?
面
SBC


考点：线面垂直的判定
25、证明：（1）取
PA
的中点
Q
，连结
MQ,NQ
，∵
M
是
PB
的中点，
∴
MQBC
，∵
CB?
平面
PAB
，∴
MQ?
平面
PAB

∴
QN
是
MN
在平面
PAB
内的射影 ，取
AB
的中点
D
，连结
PD
，∵
PA?PB,∴
PD?AB
，
又
AN?3NB
，∴
BN?ND
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∴
QNPD
，∴
QN?AB
，由三垂线定理得
MN?AB

26、证明：∵
E
、
F
分别是
AB
、
AD
的中点，
?
EF
∥
BD


又
E F?
平面
BDG
，
BD?
平面
BDG
?
E F
∥平面
BDG


∵
又
D
1
G
D
1
E?
EB
?
四边形
D
1
GB E
为平行四边形，
D
1
E
∥
GB

平面< br>BDG
，
GB?
平面
BDG
?
，
?
平面
D
1
E
∥平面
BDG

EF?D
1
E?ED
1
EF
∥平面
BDG


考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
27、证明：（1）设
AC?BD?O
，

∵
E
、
O
分别是
又

（2 ）∵
AA
1
、
AC
的中点，
?
A
1
C
∥
EO

A
1
C?
平面
BDE
，
EO?
平面
BDE
，
?
A
1
C
∥平面
BDE

AA
1
?
平面
ABCD
，
BD?
平面
ABCD
，
AA
1
?BD

AC?AA
1
?A
?
BD?
AAC
BD?
?
平面
BDE?
平面
A
1
AC
又
BD? AC
，，平面
1
，平面
BDE
，
考点：线面平行的判定（利 用三角形中位线），面面垂直的判定

32、证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC =60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，
则AO⊥BC，SO⊥BC，
∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=
2
a ，
2
SO=
2
a，
11
AO2=AC2－OC2=a2－
2
a2=
2
a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平 面ABC⊥平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）