高中数学立体几何专题复习——真题卷

数学立体几何测试卷

一、选择题


1．一条直 线与一个平面所成的角等于
?
，另一直线与这个平面所成的角是
?
. 则这两条直
3
6
线的位置关系


A．必定相交

B．平行
（ ）
C．必定异面 D．不可能平行
2．下列说法正确的是 。
A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线
B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线
C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线
D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M

3．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是 。
A．梯形 B．圆外切四边形 C．圆内接四边形 D．任意四边形
< br>4．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA
1
、BB
1
、CC
1< br>、DD
1
分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于 。
A．6 B．5 C．4 D．3

5．二面角α—EF—β是直二面角，C∈EF，AC
?
α，B C
?
β,∠ACF=30°,∠ACB=60°，则cos∠BCF等于 。
A．
23

3
B．
6

3
C．
2

2
D．
3

36．把∠
A
=60°，边长为
a
的菱形
ABCD
沿对角 线
BD
折成60°的二面角，则
AC
与
BD
的距离为（ ）
3

4
?

?
3
4

?
3

2
?

??
6
4

7．|
a
|＝|
b
| ＝4，〈
a
，
b
〉＝60°，则|
a
－
b
|＝ 。
A. 4 B. 8 C. 37 D. 13
8．三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，M、N分别是
BB
1
、
AC
的 中点，设
AB?a
，
AC?b
，
AA
则
NM
等于 。
1
?c
，
（A）
1
(a?b?c)
（B）
1
(a?b?c)
（C）
1
(a?c)
（D）
a?
2
2
2
1
(c?b)

2
9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的
边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各
面）是 。
A．258 B．234 C．222 D．210
10．已知
O
是三角形
ABC
外一点，且
OA,OB,OC
两两垂直，则三角形
ABC
一定是
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）都有可能
二、填空题
11．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD ，如果AB与平面α的距离为
2
，则AC与平面α所成
角的大小是 。

12．已知空间四形OABC的各边和对角线的长均为1，则OA与平面ABC所成角的 余弦值的大小是___________

13．已知AB是异面直线a、b的公垂线段，A B=2，且a与b成30°角，在直线a上取AP=4，则点P到直线b
的距离为 。
14 P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA
?
平面ABCD，P到B、C、 D三点的距离分别为
5
，
17
，
13
，
则P点到A 点的距离为
15．已知a、b是直线，
?
、
?
、
?
是平面，给出下列命题：

①若
?
∥
?
，a
?
?
，则a∥
?
②若a、b与
?
所成角相等，则a∥b
③若
?
⊥
?
、
?
⊥
?
，则
?
∥
?
④若a⊥
?
, a⊥
?
，则
?
∥
?

其中正确的命题的序号是________________。


三、解答题
16.已知ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=
a
，E、F是侧棱PD、PC的中点。
（1）求证：EF∥平面PAB ；
（2）求直线PC与底面ABCD所成角
?
的正切值；









17.在正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，
O为底面ABCD的中心,F为CC
1
的中点,求证:
A
1
O?平 面BDF
。












18．在△ABC所在平面外有点S，斜线SA⊥AC，S B⊥BC，且斜线SA、SB与平面ABC所成角相等.
（1）求证：AC=BC；
（2）又设点S到平面ABC的距离为4c
m
，AC⊥BC且AB=6c
m
， 求S与AB的距离.



S




A

C

O B






19．平面E
F
GH分别平行空间四边形ABCD中 的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、
F
、G、=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证E
F
GH为矩形；
（2）点E在什么位置，S
E
F
GH
最大?

20．如图：直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C1
，底面三角形ABC中，
CA?CB?1
，
?BCA?90?
，棱
AA
1
?2
，M、N
分别为A
1
B
1
、AB的中点
（1）求证：平面A
1
NC∥平面BMC
1
； （2）求异面直线A
1
C与C
1
N所成角的大小；
（3）求直线 A
1
N与平面ACC
1
A
1
所成角的大小。
















21．已知四边形ACED和四边形CBFE都是矩形，且二面角
A-CE- B是直二面角，AM垂直CD交CE于M。
（1）求证：AM
?
BD
（2）若AD=
6
，BC=1，AC=
3
，求二面角M-AB- C的大小。













22.如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形， 平面MCD
?
平面BCD，AB
?
平面BCD，
AB?23
。
（1） 求点A到平面MBC的距离；
（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

23.如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?
底面ABCD，PA=AB=
6
，点E是棱PB的中点。
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
（2）若AD=
3
，求二面角A- EC-D的平面角的余弦值。








高二立体几何测试卷答案
一、将选择题答案（3’×12=36’）
题
号
答
案
1
D
2
B
3
B
4
C
5
D
6
A
7
A
8
D
9
B
1
0
A
二、填空题答案（4’×5=20’）
11．
30?
； 12
3
．；13．
22
14．2； 15．（1）（4）
3
三、解答题（10’×4=40’）
16.证明：（1）

证明：（2）
连结AC，因为PA
?
平面ABC D，所以
?PCA
就为直线PC与平面ABCD所成的角
?
。即
?< br>??PCA

又因为正方形ABCD的边长为
a
，所以AC=
2a
，
所以。
tan
?
?tanPCA?
17.证明：
PAa2

??
AC2
2a
，
DB?AB?AD< br>DF?DC?CF?AB?
1
AA
1

2
1
1
OA
1
?AA
1
?AO?AA
1
?
AB
?
AD

2
2
不妨设正方体的棱长为1，那么
11
AB
?
AD)
?(AB?AD)

22
111
1
AB?ABAB?ADAD?ABAD?AD
=AA
1
?AB?AA
????
?AD
1
2222
11
?0?0??0?0??0

22
所以，
OA
1?DB
，
OA
1
?DB
。
11
1
A B
又
OA
1
?DF?
(AA
+
??
AD) ?(ABAA
11
)

2
22
1111
1
AB?ABAD?AB
=
AA
1
?AB
?
AA
?? ??
?AAAB?AAAD?AA
1

111
22222
11
?0???0?0?0?0

22< br>所以，
OA
1
?DF
，
OA
1
?DF
。
又
DB?DF?F
，所以
OA
1
?平面DBF
。
OA
1
?DB?
(AA
1
?

18．（1）证明：过S作SO⊥面ABC于O


19．解：

又∵AB⊥CDE
F
⊥
F
GE
F
GH为矩形.
（2）AG=
x
，AC=
m
，
a
GHx
?
，GH=
x

m
am
b
GFm?xm?x
G
F
=（
m
－
x
）

??
m
bmm
ab
S
E
FGH
=GH·G
F
=
x
·（
m
－
x< br>）
mm
m
2
m
2
ababab
m
2
m
2
22
=
2
（
mx
－
x
）=
2
（－
x
+
mx
－+）=
2
［－（
x
－）+］
4 44
2
mmm
abm
2
ab
m
?.
当
x
=时，S
E
F
GH最大
=
2
?
44
2
m

20、建系：A（1,0，0），B（0,1，0），C（0，0,0）

A
1
(1,0,2)
，
B
1
(0,1,2)
，C
1
(0,0,2)
，
M(,,2)
，
N(,
（1）
CN?(,
11
22
11
,0)

221111
,0)
，
C
1
M?(,,0)
，
CN ?C
1
M
，
?CNC
1
M

22221111
A
1
N?(?,,?2)
，
MB?(?,,?2)，
A
1
N?MB
，
?A
1
NMB
< br>2222
?A
1
N?CN?N,C
1
M?MB?M
，
?
平面A
1
NC∥平面BMC
1

（2）
A
1
C?(?1,0,?2)
，
C
1
N?(,
11
,?2)

22
1
?4
710
2
cos< br>?
??

30
11
5???4
44
?
异面直线A
1
C与C
1
N所成角的大小为
arccos
7 10

30
（3）平面ACC
1
A
1
的法向量为< br>n?(0,1,0)
，
A
1
N?(?
11
,,?2)

22
sin
?
?
|A
1
N?n|
|A
1
N|?|n|
?
1
2
2
?

6
11
??4?1
44
2

6
直线A1
N与平面ACC
1
A
1
所成角的大小为
arcsin

21．22、（1）
?
四边形ABCD是矩形，
?
BC< br>?
EC。
又二面角A-EC- B是直二面角，
?
BC
?
平面AE。
?
DC是直线DB在平面AE上的射影。
又AM
?
CD，AM?
平面AE，
?
AM
?
BD。
（2）设CD交直线AM于点N，因为在Rt
?
ABC中，AC=
3
AD=
6

?
CD=3。
ANAC
AC
2
3
?
又AN
?
CD
?
AN=
2

?
cosCAN=
?AM?

?
ACAM
AN
2
96
?CM ?AM
2
?AC
2
??3?

22
在平面ABC内过C作CP
?
AB，垂足为P，连结MP。
因 为EC
?
BC，EC
?
AC，所以EC
?
平面ABC，所以 CP是MP在平面ABC上的射影。
所以AB
?
MP，
?
MPC就是二面角M-AB-C的平面角。 < br>3
因为Rt
?
ABC中，
AC?3
，
BC?1
，所以
AB?2

CP?

2
CM63
???2
，所以二面角M-AB- C的大小为
arctna2
。 所以
tanMPC?
CP22

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