高中数学空间几何体知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学空间几何体知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

知识点：
1、柱、锥、台、球的结构特征












（1）棱柱：定义：有两 个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，由这些面所围成的几何 体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用 各顶点字母，如五棱柱
ABCDE?ABCDE
或用对角线的端点字母，如五棱柱
'' '''
AD
'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面 都是平行四边形；侧棱平行且
相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何
体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
P?ABCDE

几何特征：侧面、对角面都 是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到
截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
P?ABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几
何体 < br>几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图
是一个 矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何
体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
'''''
'''''

3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
'

S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch'

S
圆锥侧面积
?
?
rl

2
S
正 棱台侧面积
?
1
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
r
2
?rl?Rl?R
2< br>
S
圆柱表
??
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
1
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
2
r

h

V
锥
?Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
'
1
1
'
'
'
V?(S? SS?S)h?
?
(r
2
?rR?R)
2
h

V
台
?(S?SS?S)h

圆台
33
3









（4）球体的表面积和体积公式：
V
球
=< br>4
?
R
3

3
； S
球面
=
4
?
R
2



常考题：
一．选择题（共32小题）

1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

A．2+ B．4+ C．2+2 D．5

2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）


A． B． C． D．1

3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截 去部分
体积与剩余部分体积的比值为（ ）


A． B． C． D．

4．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三< br>棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）

A．36π B．64π C．144π D．256π

5．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是
（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4

6．长方体的一个顶点上三条棱长为3 、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，
这个球的表面积是（ ）

A．20π B．25π C．50π D．200π

7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）


A．10cm
3
B．20cm
3

C．30cm
3
D．40cm
3

8．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积
为（ ）

A．+π B．+π C．+π D．1+π

9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）


A．8cm
3
B．12cm
3
C． D．

10．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（ ）


A．20π B．24π C．28π D．32π

11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为

A． B． C． D．

12．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（

A．1+ B．2+ C．1+2 D．2

13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

，则h=（ ）

）

A．60 B．30 C．20 D．10

14．一个棱 锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单
位：m
2
）．（ ）
A． B． C． D．


15．已知底面边长为1，侧棱长为
球的体积为（ ）

A． B．4π C．2π D．
的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该

16．某几何体的三视图 如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm
3
）
是（ ）


A．+1 B．+3 C．+1 D．+3

17．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）

A．1 B． C． D．2

18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（

A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15

19．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（

A． B． C．8 D．4

20．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ）
）



）

A．80 B．40 C． D．

21．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形 ，俯视图是
半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）


A． B． C． D．

22．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）


A． B． C． D．3

23．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）

A．3 B．2 C．2 D．2

，则该24 ．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=
三棱锥外接球的表面 积为（ ）

A．5π B． C．20π D．4π

25．如图，网格 纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后 所得，则该几何体的体积为（ ）


A．90π B．63π C．42π D．36π

26．已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2
高为（ ）

A．1 B． C．2 D．3

，那么当该棱锥的体积最大时，它的
27．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

28．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）


A． B． C． D．

29．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）


A．1 B． C． D．

30．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值
是（ ）

A．2 B． C． D．3

3 1．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣
ABC的体积为（ ）

A． B． C． D．

32．已知等腰直角三角形的直角边的长为2 ，将该三角形绕其斜边所在的直线旋
转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）

A．


二．填空题（共10小题）

33．已知OA为球 O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到
圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积 等于 ．

B． C．2π D．4π


34．设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为
m
3
．

35．设甲、乙两个 圆柱的底面积分别为S
1
，S
2
，体积分别为V
1
，V2
，若它们的
侧面积相等，且=，则的值是 ．

36．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ．

37．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′
的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，
1]，给出 以下五个命题：

①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；

③多面体ABCD﹣MENF的体积为

④四棱锥C′﹣MENF的体积V=V（x）为常函数；

⑤直线MN与直线CC′的夹角正弦值的范围是[，1]

以上命题中正确的有 （天上所有正确命题的序号）


38．如图，在三棱柱A
1
B1
C
1
﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA
1
的中 点，
设三棱锥F﹣ADE的体积为V
1
，三棱柱A
1
B
1< br>C
1
﹣ABC的体积为V
2
，则V
1
：
V< br>2
= ．

39．如图，在圆柱 O
1
O
2
内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
记 圆柱O
1
O
2
的体积为V
1
，球O的体积为V
2< br>，则的值是 ．


40．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于
cm
3
．


41．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积
V= ．

42．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆 测雨”题：在下雨时，用一个圆
台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸 ，盆深
一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）



三．解答题（共8小题）

43．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的 形状是正四棱锥P﹣
A
1
B
1
C
1
D
1< br>，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
（如图所示），并要求正四
棱柱的高O
1
O是正四棱锥的高PO< br>1
的4倍．

（1）若AB=6m，PO
1
=2m，则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO
1
为多少时，仓库的容积最大？


44．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成
一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角
形的面积相等，请设计 一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简
要说明；

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

（3）如果给出的是一块 任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，

使它的全面积与给 出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在
图3中，并作简要说明．


45．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x
的 圆柱．

（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；

（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．


46．如图①，有一 个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，
高为30cm，内有20cm深的溶液 ．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜
时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截 面）．


（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；

（2）现需要倒出不少于3000cm
3
的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请 说明
理由．

47．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ 的高均为
32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，
E
1
G
1
的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水 深均为
12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC
1
上，求l

没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一 端置于点E处，另一端置于侧棱GG
1
上，求l
没入水中部分的长度．


48．如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．

（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积及体积．


49．如图，△ABC中，∠AC B=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一
个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、 AB分别相切于点C、M，与BC交于
点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．


50．已知一个几何体的三视图如图所示．

（Ⅰ）求此几何体的表面积；

（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何
体侧面上从点A到点B的最短路径的长．

必修二第一章空间几何体知识点与常考题(附解析)

参考答案与试题解析



一．选择题（共32小题）

1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）


A．2+ B．4+ C．2+2 D．5

【解答】解：根据三视图可判断直观图为：

OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，

EA=2，EC=EB=1，OA=1，

∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，

由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=
∴S
△
ABC=
S
△
BCO
=
2×2=2，S
△
OAC=S
△
OAB
=
2×=．

，

×1=．

，OE=

故该三棱锥的表面积是2
故选：C．

2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）


A． B． C． D．1

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，

棱锥的底面面积S=×1×1=，

高为1，

故棱锥的体积V=
故选：A．



3．一个正方体被一个 平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分
体积与剩余部分体积的比值为（ ）

=，

A． B． C． D．

【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱
锥，

∴正方体切掉部分的体积为
∴剩余部分体积为1﹣=，

∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．

故选：D．

×1×1×1=，




4．已知A，B是球O的球面上 两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三
棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表 面积为（ ）

A．36π B．64π C．144π D．256π

【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣
ABC的体积最大，设球 O的半径为R，此时V
O
AOB
=
﹣
ABC
=V
C
﹣
==36，故R=6，则球O的表面积为4πR
2
=144π，

故选：C．

5．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是
（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由题设及图知，此几何体 为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为
2的正方形，故其底面积为=2

由三视图知 其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线
组成一个直角三角形

由于此侧棱长为
此棱锥的体积为
故选：B．



6．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，
这个球的表面积是（ ）

，对角线长为2，故棱锥的高为
=2

=3

A．20π B．25π C．50π D．200π

【 解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）
2
=32
+4
2
+5
2
=50，

．

∴R=
∴S
球
=4π×R
2
=50π．

故选：C．



7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）


A．10cm
3
B．20cm
3

C．30cm
3
D．40cm
3

【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：


棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，

∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm
3
）．

故选：B．



8．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积
为（ ）

A．+π B．+π C．+π D．1+π

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四
棱锥，

半球的直径为棱锥的底面对角线，

由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=
故R=，故半球的体积为：
．

=π，

棱锥的底面面积为：1，高为1，

故棱锥的体积V=，

故组合体的体积为：+
故选：C．



9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）

π，

A．8cm
3
B．12cm
3
C． D．

【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱 长为2的正方体，上部是底面为边
长2的正方形高为2的正四棱锥，

所求几何体的体积为：2
3
+×2×2×2=
故选：C．



10．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（ ）

．


A．20π B．24π C．28π D．32π

【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，

上面是 一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
∴在轴截面中圆锥的母线长是
∴圆锥的侧面积是 π×2×4=8π，

下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，

∴圆柱表现出来的表面积是π×2
2
+2π×2×4=20π

=4，

，

∴空间组合体的表面积是28π，

故选：C．



11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ）


A． B． C． D．

【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩 形，一条侧棱垂直底
面高为h，

所以四棱锥的体积为：
故选：B．



12．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

，所以h=．


A．1+ B．2+ C．1+2 D．2

【解答】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；

∴该几何体的表面积为

S
表面积
=S
△
PAC< br>+2S
△
PAB
+S
△
ABC

=×2×1+2××+×2×1

=2+．

故选：B．




13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（

A．60 B．30 C．20 D．10

【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，

该三棱锥的体积==10．

故选：D．


）

14．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长 度单位为m），则该棱锥的全面积是（单
位：m
2
）．（ ）
A． B． C． D．


【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底 面与垂直
于底面的侧面全等的三棱锥

由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2， 底面边长为2，故它们的面积皆
为=2，

由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高 ，由等面积法可以算出，此二高线的
长度相等，为，

将垂足与顶点连接起来即得此两 侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为
2，同理可求出侧面底边长为，

=
+=
，

，

可求得此两侧面的面积皆为
故此三棱锥的全面积为2+2+
故选：A．



15．已知底面边长为1，侧棱长为
球的体积为（ ）

A． B．4π C．2π D．

的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该
【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为
∴正四棱柱体对角线的长为=2

，

又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，

∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1

根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR
3
=π．

故选：D．



16．某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm
3
）
是（ ）


A．+1 B．+3 C．+1 D．+3

【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，

圆锥 的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的
高和棱锥的高相等均为3，< br>
故该几何体的体积为××π×1
2
×3+××
故选：A．

××3=+1，




17．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）

A．1 B． C． D．2

【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，

底面为正方形如图：

其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形

∴PB=1，AB=1，AD=1，

∴BD=
PC═
，PD=


=．

该几何体最长棱的棱长为：
故选：C．




18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15

【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，

底面的梯形上底1，下底2，高为1，

∴侧面为（4
底面为
）×2=8，

（2+1）×1=，

=11，

故几何体的表面积为8
故选：B．



19．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）


A． B． C．8 D．4

【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：


该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，

四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，

三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，

故这个几何体的体积V=
故选：A．



+=，

20．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ）


A．80 B．40 C． D．

【解答】解：由三视图可知该几何体是 如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，
AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．
从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4，

体积为V=
故选：D．

．



21．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是
半径为1的半圆， 则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，

又∵正视图是腰长为2的等腰三角形

∴r=1，h=
∴
故选：D．



22．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）




A． B． C． D．3

【解答】解：由三视图 可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，
四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形B CDE是边长为1的正方形，

则S
△
AED
=
故选：B．

=，S
△< br>ABC
=S
△
ABE
==，S
△
ACD
== ，




23．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）

A．3 B．2 C．2 D．2

【解答】解：由三视图可得直观图，

再四棱锥P﹣ABCD中，

最长的棱为PA，

即PA=
=2，

=

故选：B．




24．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平 面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=
三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．5π B． C．20π D．4π

，则该
【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；

∵Rt△PBA中，AB=，PA=

∴PB=，可得外接球半径R=PB=

∴外接球的表面积S=4πR
2
=5π

故选：A．




25．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）


A．90π B．63π C．42π D．36π

【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的
一半，

V=π?3
2
×10﹣?π?3
2
×6=63π，

故选：B．

26．已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2
高为（ ）

A．1 B． C．2 D．3

=，所以体积
，那么当该棱锥的体积最大时，它的
【解答】 解：设底面边长为a，则高h=
V=a
2
h=，

设y=12a4
﹣a
6
，则y′=48a
3
﹣3a
5
，当y 取最值时，y′=48a
3
﹣3a
5
=0，解得a=0或
a=4时， 当a=4时，体积最大，

此时h=
故选：C．



27．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

=2，


A． B． C． D．

【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角

形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右
侧是半圆柱，底面 半径为1，高为2，

所求几何体的体积为：
故选：A．



28．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

=．


A． B． C． D．

【解答】解：由题意可 知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，
左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成 的组合体，

几何体的体积为：
故选：B．



29．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

=．


A．1 B． C． D．

【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，

四棱锥的底面是一个平行四边形，有 两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的
平行四边形，

四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，

∴四棱锥的体积是
故选：B．



．

30．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值
是（ ）


A．2 B． C． D．3

【解答】解：由三视图可知： 原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、
高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂 直于底面．

则体积为
故选：C．



31．将 边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣
ABC的体积为（ ）

A． B． C． D．

=，解得x=．

【解答】解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，

△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，

DO=BO==，BD=a，

△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，

DO就是三棱锥D﹣ABC的高，

S
△
ABC
=a
2
三棱锥D﹣ABC的体积：
故选：D．

，

32．已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋
转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）

A． B． C．2π D．4π

【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．

V=2×S?h=2×πR
2
?h

=2×π×（
故选：B．

）
2
×=．




二．填空题（共10小题）

33．已知OA为球O的半径，过 OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到
圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于 16π ．


【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=
设球的半径为R，

，

由图可知，R
2
=R
2+3，∴R
2
=3，∴R
2
=4．

∴S
球
=4πR
2
=16π．

故答案为：16π



34．设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为 4
m
3
．


【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，

体积等于×2×4×3=4

故答案为：4



35．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S
1
，S
2
，体积分别为V
1
，V
2
，若它们的
侧面积相等，且=，则的值是 ．

【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；

∵
∴
∴
∴=
=，

，它们的侧面积相等，
，

==．


故答案为：．



36．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 2 ．

【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则 BE⊥AC，且
AE=CE=1；

由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，

在Rt△BCE中，BC=
在 Rt△BCD中，BD=
在Rt△ACD中，AD=2
，

，

．

．

则三棱锥中最长棱的长为2
故答案为：2．




37．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′
的 中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，
1]，给出以 下五个命题：

①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；

③多面体ABCD﹣MENF的体积为

④四棱锥C′﹣MENF的体积V=V（x）为常函数；

⑤直线MN与直线CC′的夹角正弦值的范围是[，1]

以上命题中正确的有 ②③④⑤ （天上所有正确命题的序号）


【解答】 解：①因为EF⊥MN，所以 四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，
EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小 变大．所以当x=0或x=1
时周长都为最大值．所以①错误．

②连结MN，因为E F⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线
EF是固定的，所以要使面积最小， 则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱
的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MEN F的面积最小．所
以②正确．

③因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM =D'N，DN=B'M，所以被
截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是 相同的．所
以③正确．

④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三 棱锥，它们以C'EF为底，
以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数． M，N
到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函
数，所以④正确．

⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，正弦值为直线MN与直线CC′的夹角最大，正弦值为1，所以⑤正确．

故答案为：②③④⑤．

=，x=时，

38．如图，在三棱柱A
1
B
1
C
1
﹣ ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA
1
的中点，
设三棱锥F﹣ADE的体积 为V
1
，三棱柱A
1
B
1
C
1
﹣ABC的 体积为V
2
，则V
1
：V
2
=
1：24 ．


【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S
△
ADE
：S
△
ABC
=1：4，

又F是AA
1
的中点，所以A
1
到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．

即三 棱柱A
1
B
1
C
1
﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2 倍．

所以V
1
：V
2
=
故答案为1：24．



39．如图，在圆柱O
1
O
2
内有一个球O，该球与圆柱 的上、下底面及母线均相切，
记圆柱O
1
O
2
的体积为V
1
，球O的体积为V
2
，则的值是 ．

=1：24．

【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：
圆柱的体 积为：πR
2
?2R=2πR
3
．

则==．

R
3
，

故答案为：．



40．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于 24
cm
3
．


【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥 后的几何体，底面是直角三角形，
直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：

V=V
棱柱
﹣V
棱锥
=
故答案为：24．

=24（cm
3
）




41．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积
V= ．

【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，

其底面面积S=×（1+2）×2=3，

又∵左视图是等边三角形，

∴高h=，

=，

故棱锥的体积V=
故答案为：



42．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个 圆
台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深
一尺八寸．若 盆中积水深九寸，则平地降雨量是 3 寸．

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，

下底面半径为6寸，高为18寸．

因为积水深9寸，所以水面半径为
则盆中 水的体积为
所以则平地降雨量等于
故答案为3．

（寸）．

寸．

（立方寸）．

三．解答题（共8小题）

43．现需要设计一个仓库，它 由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
（如图所示），并要求正四
棱柱的高O
1
O是正四棱锥的高PO
1
的4倍．

（1）若AB=6m，PO
1
=2m，则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO
1
为多少时，仓库的容积最大？


【解答】解：（1）∵PO
1
=2m，正四棱柱的高O
1
O是正四棱锥的高PO
1
的4倍．

∴O
1
O=8m，

∴仓库的容积V=×6
2
×2 +6
2
×8=312m
3
，

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，

设PO
1
=xm，

则O
1
O=4xm，A
1
O
1
=
则仓库的 容积V=×（
＜x＜6），

∴V′=﹣26x
2
+312，（0＜x＜6），

当0＜x＜2
当2
时，V′＞0，V（x）单调递增；

?
m，A
1
B
1
=?
?
m，
< br>）
2
?4x=x
3
+312x，（0）
2
?x+（< br>＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；

时，V（x）取最大值；

m时，仓库的容积最大．

故当x=2
即当PO
1
=2


44．（1）给出 两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成
一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个 正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角

形的面积相等，请设计一种剪拼方 法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简
要说明；

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

（3）如果给出的是一块 任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，
使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请 设计一种剪拼方法，用虚线标示在
图3中，并作简要说明．


【解答】解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．

如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三
角形边长的，有一组对角 为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正
三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正 三棱锥的上底．



（2）依上面剪拼方法，有V
柱
＞V
锥
．

推理如下：

设给出正三角形纸片的边长为2，

那么，正三棱锥与 正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为
现在计算
．
所以V
柱＞V
锥
．


．

，

它们 的高：
（3）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的

< br>
中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点
向原三 角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，
余下部分按虚线折起，成为一 个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．




45．如图，已 知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x
的圆柱．

（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；

（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．


【解答】解：（1）设圆柱的半径为r，则，∴r=2﹣x，0＜x＜2．

∴S圆柱侧
=2πrx=2π（2﹣x）x=﹣2πx
2
+4πx．（0＜x＜2）．

（2）
∴当x=1时，S
圆柱侧
取最大值2π，

此时，r=1，所以


46．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器， 底面是边长为20cm的正方形，
高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（ 图②），且倾斜
时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

．

，

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；

（2）现需要倒出 不少于3000cm
3
的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明
理由．

【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，
过C作CF∥BP，交AD所在直 线于F，

在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，

且点F在线段AD上，AF=30﹣20tanα，

此时容器内能容纳的溶液量为：

S
梯形
ABCF
?20=?20


=（30﹣20tanα+30）?20?10

=2000（6﹣2tanα）（cm
3
）；

而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm
3
），

令2000（6﹣2tanα）≥8000，

解得tanα≤1，

所以α≤45°，

即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；

（2）如图b所示，当α=60°时，

过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，

在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，

∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，

∵ S
△
ABF
=BC?BF=150
容器内溶液量为150
cm
2
，

×20=3000cm
3
，

）cm
3
＜3000cm
3
，

倒出的溶液量为（8000﹣3000
∴不能实现要求．




47．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为
3 2cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，
E
1
G
1
的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为
12 cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1） 将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC
1
上，求l
没入水中部 分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG
1
上，求l
没入水中部分的长度．


【解答】解：（1）设玻璃棒在 CC
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，

在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，

∵ABCD﹣A
1< br>B
1
C
1
D
1
为正四棱柱，∴CC
1
⊥平面ABCD，

又∵AC?平面ABCD，∴CC
1
⊥AC，∴NP⊥AC，

∴NP=12cm，且AM
2
=AC
2
+ MC
2
，解得MC=30cm，

∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，

∴=，，得AN=16cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．

（2）设玻璃棒在GG
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，

在平面E
1
EGG
1
中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
< br>过点E作EQ⊥E
1
G
1
，交E
1
G
1于点Q，

∵EFGH﹣E
1
F
1
G
1
H
1
为正四棱台，∴EE
1
=GG
1
，EG∥E
1
G
1
，

EG≠E
1
G
1
，

∴EE
1
G
1
G为等腰梯形，画出平面E
1
EGG
1
的平面图，

∵E
1
G
1
=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，N P=12cm，

∴E
1
Q=24cm，

由勾股定理得：E
1
E=40cm，

∴sin∠EE
1< br>G
1
=，sin∠EGM=sin∠EE
1
G
1
=， cos∠EGM=﹣，

根据正弦定理得：=，∴sin∠EMG=，cos∠EMG=，

∴sin∠GEM =sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠
EMG= ，

∴EN===20cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．

48．如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．

（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积及体积．


【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示．


（2）这个几何体可 看成是正方体AC
1
及直三棱柱B
1
C
1
Q﹣A
1
D
1
P的组合体．

由PA
1
=PD
1< br>=，A
1
D
1
=AD=2，

可得PA
1
⊥PD
1
．

故所求几何体的表面积

S=5×2
2
+2×
=22+4
2×1+2××2

（cm
2
），

）
2
×2=10（cm
3
）．

所求几何体的体积V=2
3
+×（

49．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=， 在三角形内挖去一
个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．


【解答】解：（1）连接OM，则OM⊥AB


设OM=r，OB=
∴S=4πr
2
=π．

﹣r，在△BMO中，sin∠ABC==?r=

（2）∵△ABC中，∠ACB= 90°，∠ABC=30°，BC=
∴V=V
圆锥
﹣V
球
=π×AC
2
×BC﹣πr
3
=π×


50．已知一个几何体的三视图如图所示．

（Ⅰ）求此几何体的表面积；

﹣π×
，∴AC=1．

=π．

（Ⅱ）在如图的正视图中 ，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何
体侧面上从点A到点B的最短路径的长．

【解答】解：（Ⅰ）由三视图知：该几何体是一个圆锥与圆柱的组合体，

其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和；

则S
圆 锥侧
=×（2π×2）?（2
S
圆柱侧
=（2π×2）×4=16π，

S
圆柱底
=π?2
2
=4π，

所以S
表面积
=4π+16π+4π=4π+20π；…（6分）

）=4π，

（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示：

则AB===2，

．…（12分）

所以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2