(完整word版)高中数学立体几何讲义(一)

平面与空间直线
(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论
1、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法）
点
A
在直线
a
上。
点
A
不在直线
a
上。
点
A
在平面
?
内。
A
a


A?a

A?a

A?
?

A
a
?
A
?
A

A

A?
?

aIb?A

a?
?


点
A
不在平面
?
内。
直线
a
、
b
交于
A
点。
直线
a
在平面
?
内。
b
a

?
?
a
a

aI
?
??

直线
a
与平面
?
无公共点。
?
a
A

aI
?
?A

直线
a
与平面
?
交于点
A
。
?
I
?
?l


平面
?
、
?
相交于直线
l
。
a?
?
（平面
?
外的直线
a
）表示
aI
?
? ?
或
aI
?
?A
。

2、平面的基本性质
公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面
内 A?
?
?
推理模式：
?
?AB
?
?
。 如图示：
B?
?
?
?
A
B
应用：是判定直线是否 在平面内的依据，也是检验平面的方法。







1

公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点 ,且所有这些公共点的集
合是一条过这个公共点的直线。
推理模式：
A?
?
?
?
?
?
I
?
?l
且
A?l且
l
唯一
如图示：
A?
?
?
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

例1．如图，在四边形
ABCD
中，已知
AB
∥
CD
，直线
AB
，
BC
，
AD
，
DC分别与平面
A
α相交于点
E
，
G
，
H
，
F
．求证：
E
，
F
，
G
，
H
四点必定共线．
B
解：∵
AB
∥
CD
，
D
∴
AB
，
CD
确定一个平面β．
C
又∵
AB
?
α＝
E
，
AB
?
β，∴E
∈α，
E
∈β，
E
F
H
α
即
E
为平面α与β的一个公共点．

同理可证
F
，
G
，
H
均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴
E
，< br>F
，
G
，
H
四点必定共线．
说明：在立体几何的问 题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些
点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在 二平面的交线上的结论．


G
例2．如图，已知平面α，β，且α?
β＝
l
．设梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，且
AB
?
α，
CD
?
β，求证：
AB
，
CD
，
l
共点（相交于一点）．
证明 ∵梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
∴
AB
，
CD
是梯形
ABCD
的两条腰．
∴
AB
，
CD
必定相交于一点，
设
AB
?
CD
＝
M
．
A
α
B
l
C
例2
β
D
M
又∵< br>AB
?
α，
CD
?
β，∴
M
∈α，且
M
∈β．∴
M
∈α
?
β．
又∵α
?
β＝
l
，∴
M
∈
l
，
即
AB
，
CD
，
l
共点．
说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．


公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推理模式：
A,B,C
不共线
?
存在唯一的平面
?
，使得
A,B,C?
?
。
应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。
例3．已知：
a
，
b
，
c
，
d
是 不共点且两两相交的四条直线，求证：
a
，
b
，
c
，
d
共面．
证明 1
o
若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设
a
，
b
，
c
相交于一点
A
，

2

但
A
?
d
，如图1．
∴直线
d
和
A
确定一个平面α．
A
α
又设直线
d
与
a
，
b
，
c
分别相交于< br>E
，
F
，
G
，
d
则
A
，
E
，
F
，
G
∈α．
a E
F
b
G
c

∵
A
，
E
∈α，
A
，
E
∈
a
，∴
a< br>?
α．
图1
同理可证
b
?
α，
c
?
α．
∴
a
，
b
，
c
，
d
在同一平面α内．
2
o
当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线
a
，
b
确定
α
H
K
d
一个平面α．
c
a
b
设直线
c
与
a
，
b
分别交于点
H
，K
，则
H
，
K
∈α．
又
H
，
K
∈
c
，∴
c
?
α．
图2

同理可证
d
?
α．
∴
a
，
b
，
c
，
d
四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，
由题给条件中的部 分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线
(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视 “三线共点”这一种情况．因此，在分
析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．


“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明
图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形
的存 在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作
一个”与“有且 只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”
和“唯一性”两方面来论证 。

推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。
推理模式：A?a
?
存在唯一的平面
?
，使得
A?
?
，< br>l?
?
。
推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。
推理 模式：
a?b?P
?
存在唯一的平面
?
，使得
a,b??
。
推论3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。
推理模式：
a b
?
存在唯一的平面
?
，使得
a,b?
?
。



练习：
1．如图，在平行六面体
ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
的中，
A
1
C
1
?
B
1
D
1
＝
O
1
，
B
1
D
?
平面
A
1
BC
1
＝
P
．
求证：
P
∈
BO
1
．
证明 在平行六面体
ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，

3

∵
B
1
D
?
平 面
A
1
BC
1
＝
P
，∴
P
∈平面
A
1
BC
1
，
P
∈
B
1
D
．
∵
B
1
D
?
平面
BB
1< br>D
1
D
．∴
P
∈平面
A
1
BC1
，且
P
∈平面
A
1
BB
1
D
1
D
．
∴
P
∈平面< br>A
1
BC
1
?
平面
BB
1
D
1
D
，
∵
A
1
C
1
?
B1
D
1
＝
O
1
，
A
1
C1
?
平面
A
1
BC
1
，
B
1
D
1
?
平面
D
1

O
1

B
1

P
C
1

D
A

B
C
BB
1
D
1
D
， < br>∴
O
1
∈平面
A
1
BC
1
，且O
1
∈平面
BB
1
D
1
D
．
又
B
∈平面
A
1
BC
1
，且
B
∈平面
BB
1
D
1
D
，
∴平面
A
1
BC
1
?
平面
BB
1
D
1
D
＝
BO
1
．∴
P
∈
BO
1
说明 一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个
平面上。



（Ⅱ）、空间两条直线
1、空间两直线的位置关系：（1）相交——有且只有一个 公共点；（2）平行——在同一平面
内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点 ；
．．
2、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式：
ab,bc?ac
。
3、等角 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角
相等。
4、 等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的
锐角(或直角) 相等。

5、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过 此点的直线
是异面直线。推理模式：
A?
?
,B?
?
,l?
?
,B?l?
AB
与
l
是异面直线。异面直线的判
定方法：①判定定理；②定义法；③反证法是证明两直线异面的有效
方法。







a
B
D
C
b
c
P
例1．已知不共面的三条直线
a
、
b
、
c
相交于点
P
，
A?a
，
B?a
，
C?b
，
D?c
，
求证：
AD
与
BC
是异面直线．
证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B 、C、
D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛
盾， 假设不成立，∴AD和BC是异面直线。

4

证二：（直接证法） ∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C
?
平面α，
B∈平面α，AD
?
平面α，B
?
AD，∴AD和BC是异面直线。

< br>6、异面直线所成的角：已知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
，
a
?
, b
?
所成的角的大小与点
O
的选择无关，把
a
?
, b
?
所成的锐角（或直角）叫异面直线
a,b
所成的
角（或夹角）． 为了简便，点
O
通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：
(0,]。
2
7、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两 条异面
直线
a,b
垂直，记作
a?b
。
8、求异面直线 所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做
另一直线的平行线；（2） 找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线
所成的角即为所求。 向量法：用向量的夹角公式。

?
例2．在正方体
ABCD?
A< br>'
B
'
C
'
D
'
中，
M
、
N
分别是棱
AA
'
和
AB
的中点，
P为
上底面
ABCD
的中心，则直线
PB
与
MN
所成的角为（ A ）
(A)
30


0
(B)
45
0
(C)
60
0
(D)

例3． 一条长为
2cm
的线段
AB
夹在 互相垂直的两个
平面
?
、
?
之间，AB与
?
所成角 为
45
，与
?
所成角
为
30
，且
?
?
?
?l
，
AC?l
，
BD?l
，
C< br>、
D
是垂
足，求（1）
CD
的长；（2）
AB
与
CD
所成的角
解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=30
0
，
∠BAD=45
0
，Rt△ACB中，BC=AB·cos30
0
=
3
，
在Rt△ADB中，BD=AB·sin45
0
=
2

在R t△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB
2
=AC
2
+BD
2
+CD
2
-2AC·BD·cos90
0
求得）
（2）作 BEl，CEBD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由
0
三垂线定 理可证BE⊥AE，先求出AE=
3
，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=60。
0
A
F
α

D
B
β
0
E
G
说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF 即为异面直线CH、DF的
公垂线，利用公式CD
2
=CH
2
+DF
2
+HF
2
-2·CH·DFcosα，求出cosα=
3
。

3

5

9、两条异面直线的公垂线、距离：和 两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直
．．．．
线的公垂线。理解：因为两条异面 直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要
注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在 这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长
度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且 只有一条。计算方法：①几何
法；②向量法。
例4．在棱长为
a
的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：
2
a
）

2
例5．两条异面直线
a< br>、
b
间的距离是1cm，它们所成的角为60
0
，
a
、
b
上各有
一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为__ _____．
答案：
101cm或301cm


练习：
1．如图，在正方体
ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的中，求证：
B
1
D
被平面
A
1
BC
1
分成1∶2的两
D
1

C
1

段．
证明：如图1，在正方体
ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
B
1

连结
B
1
D
1
，
A
1
C
1
，
BD
，
AC
．
设
B
1
D< br>1
?
A
1
C
1
＝
M
，
BD
?
AC
＝
N
．
∴
M
，
N< br>分别是
B
1
D
1
，
AC
的中点．
连结
BM
，
D
1
N
．
∵
B B
1
∥
DD
1
，且
BB
1
＝
DD
1
，
∴ 四边形
BDD
1
B
1
是平行四边形．
在平面
BD D
1
B
1
中，设
B
1
D
?
BM< br>＝
O
，
B
1
D
?
D
1
N< br>＝
O
1
，
在平行四边形
BDD
1
B
1
中，
D
1

C
1

M
∵
D
1
M
∥
NB
，且
D
1
M
＝
NB
，

A
1
B
1

∴ 四边形
BND
1
M
是平行四边形．
O
1
O
∴
BM
∥
ND
1
，即
OM
∥
O
1
D
1
，
∴
O
是
BO
1
的中点，即
O
1
O
＝
OB
1
．
D
C
同理，
OO
1
＝
O
1
D
．
N
A
B
∴
O
1
O
＝
OB
1
＝
O
1
D
．
图1
综上，
OB
1
∶
OD
1
＝1∶2．
< br>2．如图，已知平面α、β交于直线
l
，
AB
、
CD
分别在平面α，β内，且与
l
分别
交于
B
，
D
两点 ．若∠
ABD
＝∠
CDB
，试问
AB
，
CD
能否平行？并说明理由．
证明：直线
AB
，
CD
不能平行．否则 ，若
AB
∥
CD
，则
AB
∥
CD
共面，记 这个平面
为γ．
∴
AB
，
CD
?
γ．
α
∴
AB
?
α，
D
∈γ．
A
由题知，
AB
?
α，
D
∈α，且
D
?
AB
，
D
根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅
l
β
B
C
有一个平面，α与γ重合．

O
D
A

B
C

6

同理，β与γ重合．
∴ α与β重合，这与题设矛盾．
∴
AB
，
CD
不能平行．

3．平行六面体
ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：
CD
1
所在的直线与
BC
1
所在的直线是异面
直线．
证明：假设
CD
1
所在的直 线与
BC
1
所在的直线不是
A
1

B
1
异面直线．
设直线
CD
1
与
BC
1
共面α．
D
1
C
1

∵
C
，
D
1
∈
CD
1
，
B
，
C
1
∈
BC
1
，∴
C
，
D
1
，
B
，< br>C
1
∈α．
∵
CC
1
∥
BB
1< br>，∴
CC
1
，
BB
1
确定平面
BB
1
C
1
C
，
A
∴
C
，
B，
C
1
∈平面
BB
1
C
1
C
．
∵不共线的三点
C
，
B
，
C
1
只有一 个平面，
D C

∴平面α与平面
BB
1
C
1
C
重合．
∴
D
1
∈平面
BB
1
C
1
C
，矛盾 ．
因此，假设错误，即
CD
1
所在的直线与
BC
1
所在的直线是异面直线．


基础巩固训练
1、 下列推断中，错误的是（ ）。 C
A．
A?l,A?
?
,B?l,B?
?
?l?
?

B．
A?
?
,A?
?
,B?
?
,B??
?
?
?
?
?AB

C．
l?
?
,A?l?A?
?

D．
A ,B,C?
?
,A,B,C?
?
，且A、B、C不共线
?
?
,
?
重合

2、判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”。
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）。（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）。
（3）两条相交直线可以确定一个平面（ ）。（4）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）。
（5）三条平行直线可以确定三个平面（ ）。（6）两两相交的三条直线确定一个平面
（ ）。（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）。（8）若四点不共面，
那么每三个点一定不共线（ ）。 ⑴×⑵×⑶√⑷×⑸×⑹×⑺×⑻√。
3、如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（ ）。
323
A
3
B
3
C
6

2
D
6

S
D
E
B
解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA，
A
C
3
∴∠BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，则BD=BE=2
a
1
BD
2
?DE
2
?BE
2
2BD?DE
DE=
2
a，cos∠BDE==




3
6
。答案：C
7

异面直线
题型：异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离
A
[例4]、A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
F
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
D
B
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角。
G
（1）证明：用反证法。
E
C
假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，
从而DF与BE共 面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD
平面外的一点相矛盾故直 线EF与BD是异面直线。
（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直 线EF与EG所成的锐
角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在Rt△EGF中，求得∠FEG=4 5°，即异面直线
EF与BD所成的角为45°。
[反思归纳] ①证明两条直线是异面直线 常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要
判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角 为90°；若不垂直，则利用平移法
求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”注意，异面直线所成角的 范围是（0，
π
］。
2
[例5]、长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB=a，BC=b，AA
1
=c，且a>b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与
CC
1
；AB与
A
1
C
1
；AB与
B< br>1
C
。
（2）异面直线
D
1
B
与AC所成角的余弦值。
（1）解 ：BC为异面直线AB与
CC
1
的公垂线段，故AB与
CC
1
的距离为b。
AA
1
为异面直线AB与
A
1
C
1
的公垂线段，故AB与
A
1
C
1
的距离为c。
bc
BB
1
?BC
B
1
C
=
b
2
?c
2
，过B作BE⊥
B
1
C
，垂足为E，则BE 为异面直线AB与
B
1
C
的公垂线，BE=
bc
22
b?c
即AB与
B
1
C
的距离为。
（2）解法一：连结 BD交AC于点O，取
DD
1
的中点F，连结OF、AF，则OF∥
D
1
B
，∴∠AOF
就是异面直线
D
1
B
与AC所 成的角。
a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
1
22
∵AO=，OF=
2

D
1
B
=，
4b
2
?c
2
2
AF=，∴在△AOF中，
< br>D
1
A
1
B
1
C
1
E
C< br>O
B
F
D
A

8

AO?OF?AF
22222
(a?b)(a?b?c)
。
2AO?OF
cos∠AOF==
解法二：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的 夹角公式计算。
[反思归纳]1、 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的 长度，叫
做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：①几何法；②向量法。2、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，
过该点 做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条
相交直线所成的角 即为所求。 向量法：用向量的夹角公式。


222
a
2
?b
2
空间中的平行关系
（Ⅰ）、直线与平面平行
1．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点） ；符号表示为:
a?
?
，（2）
（3）直线和平面平行
?
? A
，
（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为:
a
?
．
直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为:
aI
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么
这条直线和这个平面平行．推理模式：
l?
?
,m?
?
,lm?l< br>?
．
3. 直线与平面平行证明方法：
①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；
②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；
③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

4 线面平行的性质定理 ：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行．推理 模式：
l
?
,l?
?
,
?
I
?
? m?lm
．

（Ⅱ）、平面与平面平行
1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．
2．图形表示：画两个 平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画
成平行的．
3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么
这 两个平面互相平行．推理模式：：
a?
?
，
b?
?
，
aIb?P
，
a
?
，
b
?
?
?

?
．
平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的
两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
推理模式：
aIb?P,a刎?
,b
?
,a
?
Ib
?
?P
?
,a
?
刎
?
,b
?
?
,aa
?
,bb
?
?
?

?
．
4. 证明两平面平行的方法：
（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2） 判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这
个定理可简记为线面 平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b
∥β，则α∥β。
（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β

9

（4）平行于同一个平面的两个平面平行。
?

?
,
?

?
?
?

?
。

5．两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于 另一个平面，这个定理可简记为：
“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β。
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简 记为：
“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。 < br>（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证
线面 垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。

（Ⅲ）、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换

（三）、基础巩固训练
1、若两条直线m, n分别在平面α、β内，且αβ，则m, n的关
系一定是（ ）。 D
（A）平行 （B） 相交 （C）异面 （D）平行或异面
2、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这
两个平面的交线的位置关系是( ). C
A异面 B相交 C平行 D不能确定
3、a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立
的是（ ）。 （如图） D
A过A有且只有一个平面平行于a、b B过A至少有一个平面平行于a、b
C过A有无数个平面平行于a、b D过A且平行a、b的平面可能不存
在
5、a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三 个不重合的平面，直线均不在平面内，
给出六个命题：
其中正确的
命题是__________（将正确的序号都填上）。 ①④⑤⑥。



10

考点：线面平行的判定与性质
题型：证明线面平行与线面平行性质的运用
例1、 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且A M=FN，
求证：MN∥平面BCE
证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足 ，连结PQ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ
22
又NQ=
2
BN=
2
CM=MP，∴MPQN是平行四边形
A
D
M
F
N
∴MN∥PQ，PQ
?
平面BCE 而MN
?
平面BCE，∴MN∥平面BCE
C
P
B
QE
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG
∵MG∥BC，BC
?
平面BCE，MG
?
平面BCE，
A
D
M
B
C
G
N
F
BGCM
BN
∴MG∥平面BCE 又
GA
=
MA
=
NF
，
E
∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE
又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE 又MN
?
平面MNG∴MN∥平面BCE。
[反思归纳]证明直线和平面的平行通常 采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定
理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用 两平面平行的性质定理，通过“面面”
平行，证得“线面”平行
。

例2、 如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、
b分别平行，M 、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点
证明：连结AN，交平面α于点Q，连结PQ
M
a
A
∵b∥α，b
?
平面ABN，平面ABN∩α=OQ，∴b∥OQ又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点 ∵a∥α，a
?
平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
O
?
Q
P
B
∴a∥PQ∴P为MN的中点
b
N
[反思归纳]本题重点考查直线与平面平行的性质

考点：面面平行的判定与性质
题型：证明面面平行与面面平行性质的运用
例3、如图，在四棱锥P – ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平< br>行四边形ABCD的对角线AC的中点．
求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行.
证明： ∵O、M分别是AC、PA的中点，连接OM，则OMPC。
∵OM
?
平面PCD，PC
?
平面PCD，∴OM平面PCB．
连结ON，则ONAB，由ABCD，知ONCD．
∵ON 平面PCD，CD 平面PCD，∴ON平面PCD．
又∵OM∩ON=O，∴OM、ON确定一个平面OMN．
由两个平面平行的判定定理，知平面OMN与平面PCD平行，即过D、M、N三点的平面与侧面
PC D平行。

11

（二）、强化巩固训练
1、如下图，正 方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，侧 面对角线AB
1
、BC
1
上分别有两点E、F，且B
1
E= C
1
F
求证：EF∥平面ABCD 。
证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN
D
1C
1
∵BB
1
⊥平面ABCD，∴BB
1
⊥AB，BB
1
⊥BC
A
1
∴EM∥BB
1
，FN∥BB
1
∴EM∥FN 又B
1
E=C
1
F，∴EM=FN
B
1
F
E
故四边形MNFE是平行四边形 ∴EF∥MN又MN在平面ABCD中，
G
∴EF∥平面ABCD
D
C< br>B
1
EB
1
G
BABB
证法二：过E作EG∥AB交 BB
1
于点G，连结GF，则
1
=
1

A
M
B
N
C
1
FB
1
G
CBBB
∵ B
1
E=C
1
F，B
1
A=C
1
B，∴< br>1
=
1
∴FG∥B
1
C
1
∥BC 又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD而EF在平面EFG中， ∴EF∥平面ABCD
【点评】证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明 直线所在的
平面与已知平面平行。

2、已知正四棱锥
P
—
ABCD
的底面边长及侧棱长均为13，
M
、
N
分别是
P A
、
BD
上的点，且
PM
∶
MA
=
BN< br>∶
ND
=5∶8。（1）求证：直线
MN
∥平面
PBC
；（2）求直线
MN
与平面
ABCD
所成角的
正弦值。
（1）证明：∵
P
—
ABCD
是正四棱锥，∴
ABCD
是正 方形连结
AN
并延长交
BC
于点
E
，连结
PE
∵
AD
∥
BC
，∴
EN
∶
AN< br>=
BN
∶
ND
。 又∵
BN
∶
ND
=
PM
∶
MA
，
P
∴
EN
∶
AN
=
PM
∶
MA
。∴
MN
∥
PE
。
又∵
PE
在平面
PB C
内，∴
MN
∥平面
PBC
。
M
（2）解：由（ 1）知
MN
∥
PE
，∴
MN
与平面
ABCD
所成的
C
角就是
PE
与平面
ABCD
所成的角
D
E
设点
P
在底面
ABCD
上的射影为
O
，连结
OE
，则∠
PEO
N
A
B
为
PE
与平面
ABCD
所成的角
132

2
65
由（1）知，
BE
∶
AD
=
BN
∶
ND
=5∶8， ∴
BE
=
8
6591
在△
PEB
中，∠
PBE
=60°，
PB
=13，
BE
=，根据余弦定理，得
PE
=
88由正棱锥的性质知
PO
=
PB
2
?OB
2
=< br>P
M
C
E
D
N
132
91PO
42
A
B
在Rt△
POE
中，
PO
=，
PE< br>=，∴sin∠
PEO
==。
2
7
8PE
42故
MN
与平面
ABCD
所成角的正弦值为。
7
【点评 】：证线面平行，一般是转化为证线线平行求直线与平面所成的角一般用构造法，作
出线与面所成的角本 题若直接求
MN
与平面
ABCD
所成的角，计算困难，而平移转化为
PE
与
平面
ABCD
所成的角则计算容易可见平移是求线线角、线面角的重要 方法当然，也可以建立
坐标系，用向量法求角，后面有专门的介绍。


12

3、正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中． (1)求证：平面
A
1
BD
∥平面
B
1
D
1
C
； (2)若< br>E
、
F
分别是
AA
1
，
CC
1的中点，求证：平面
EB
1
D
1
∥平面
FBD
。
证明：(1)由
B
1
B
∥
DD
1
，得 四边形
BB
1
D
1
D
是平行四边形，
∴
B
1
D
1
∥
BD
， 又
BD
?平面
B
1
D
1
C
，
B
1
D
1
?
平面
B
1
D
1
C
，
∴
BD
∥平面
B
1
D
1
C
．同理
A
1
D
∥平面
B
1
D
1< br>C
．而
A
1
D
∩
BD
＝
D
，
∴平面
A
1
BD
∥平面
B
1
CD．
(2)由
BD
∥
B
1
D
1
，得< br>BD
∥平面
EB
1
D
1
．取
BB
1
中点
G
，∴
AE
∥
B
1
G
． < br>从而得
B
1
E
∥
AG
，同理
GF
∥
AD
．∴
AG
∥
DF
．∴
B
1
E
∥
DF
．
∴
DF
∥平面
EB
1
D
1
．∴平面
EB
1
D
1
∥平面
FBD< br>．
【点评】 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面 ”，
故问题最终转化为证线与线的平行。

A

A
1
E
D
B
1
F
G
B
C
D
1
C
1

13