高一数学空间几何体讲义

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空间几何体讲义
知识总结：
1、柱、锥、台、球的结构特征








（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两
个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱
等。
表示： 用各顶点字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
或用对角线的端点
字母，如五棱柱
AD
'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四
边形；侧 棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多
边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这
些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥
等
表示：用 各顶点字母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相 似，其
相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之
间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台
等
表示：用 各顶点字母，如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交
于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋 转所成
的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆 的半径垂
直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的
曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一
个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之
间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面
展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成
的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从

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左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长
度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽
度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽
度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的
一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
'
为斜高，l为母 线）
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
1
正棱锥侧面积
?
2
ch'

S
圆锥侧面积
?
?
rl

S
1
正 棱台侧面积
?
2
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面
?
积
(r?R)
?
l

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R
2
?
圆锥表

（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
2
r

h

V
1
锥
?
3
Sh

V
圆锥
?
1
3
?
r
2
h

V
1
台
?
3
(S
'
?S
'
S?S)h

V
1
'
1
2
圆台
?< br>3
(S
'
?SS?S)h?
3
?
(r
2?rR?R)h


（4）球体的表面积和体积公式：
V
球=
4
3
?
R
3
； S

球面
=
4
?
R
2

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经典例题


1．右面的三视图所示的几何体是( )．

A．六棱台
C．六棱柱




B．六棱锥
正视图

侧视图

俯视图


4．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )．
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可能是135°
5．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
( )．
B．1∶
3
C．1∶9
D．六边形
(第1题)
2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为
( )．
A．1∶3
D．1∶81
3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何 体的正
(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯
视图为( )．

侧(左)视图
正(主)视图
(第3题)




A．①② B．①③ C．①④

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D．②④
6．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合
三、解答题
9 ．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形．已
知圆柱表面积为6?，且底面圆直径 与母线长相等，求四棱柱的体积．
10．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积.
体，截面图不能是( )．



A B C D
二、填空题
7 ．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角
线的长分别是9和15，则这个棱柱 的侧面积是 ．

8．右图是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请
根据要求回答问题：
①如果A是多面体的下底面，那么上面的面是 ；
②如果面F在前面，从左边看是面B，那么上面的面
是 ．





A
1
B
C
1
1
A
B
3
正视图
A＇
A
B＇
C
侧视图
B
C＇
A＇
B＇
俯视图
(第10题)



(第8题)

11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，
AB＝5，CD＝2< br>2
，AD＝2，求四边形ABCD绕直线AD旋转

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一周所成几何体的表面积及体积．



12．已知正 方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相
等，试比较它们的体积V
正方体
，V
球
，V
圆柱
的大小．












13．如图， 四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形．两个对角面也是长
方形，面积分别为Q
1
， Q
2
．求四棱柱的侧面积





(第13题)

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参考答案
一、选择题
1．B
解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为
六棱锥．
2．A
解析：由设两个球的半径分别为r，R，则 4?r
2
∶4πR
2
＝1∶9. ∴ r
2
∶R
2
＝1∶9，
即r∶R＝1∶3．
3．C < br>解析：在根据得到三视图的投影关系，∵正视图中小长方形位于左侧，
∴小长方形也位于俯视图的 左侧；∵小长方形位于侧视图的右侧，∴小长
方形一定位于俯视图的下侧，
∴ 图C正确．
4．C
解析：由平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平
行于y轴 的线段长度在直观图中是原来的一半，∴ C不对．
5．D
解析：①的三个视图均相同；② 的正视图和侧视图相同；③的三个视
图均不相同；④的正视图和侧视图相同．∴有且仅有两个视图相同的 是②
④．
6．A
解析：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方 体侧
面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．

二、填空题
7．160．
解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是
15
2
?5
2
＝
200
和

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9
2
?5
2
＝
56
．
∴菱形 的边长为
?
?
200
?
22
?
?
?
56
?
256
?
2
?
?
?
2
?
?
4
＝ 8．
???
?
?
∴棱柱的侧面积是5×4×8＝160．
8．F，C．
解析：将多面体看成长方体， A，F为相对侧面．如果A是多面体的
下底面，那么上面的面是F；如果面F在前面，从左边看是面B，则右面看
必是D，于是根据展开图，上 面的面应该是C．
三、解答题
9．参考答案：设圆柱底面圆半径为r，则母线长为2r．
∵

圆柱表面积为6?，
∴

6?＝2?r
2
＋4?r
2
． ∴ r＝1．
∵

四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形， ∴

正方形边长为
2
．
∴

四棱柱的体积V＝(
2
)
2
×2＝2×2＝4．
10．(1)略．
(2)解：这个几何体是三棱柱．
由于底面△ABC的BC边上的高为1，BC＝2，∴ AB＝
2
．
故所求 全面积S＝2S
△
ABC
＋S
BB′C′C
＋2S
ABB′ A′
＝8＋6
2
(cm
2
)．
几何体的体积V＝S
△
ABC
·BB′＝
1
2
×2×1×3＝3(cm
3)．
11．解：S
表面
＝S
下底面
＋S
台侧面
＋S
锥侧面

＝?×5
2
＋?×(2＋5)×5＋?×2×22
＝(60＋4
2
)?．
V＝V
1
3
?(< br>rr
1148
台
－V
锥
＝
1
2
＋r
1
r
2
＋
2
2
)h－
3
?r2
h
1
＝
3
?．
18．解：设正方体的边长为a，球 的半径为r，圆柱的底面直径为2R，
则6a
2
＝4πr
2
＝6πR
2
＝S．∴ a
2
＝
SS
S
6
，r
2
＝
4π
，R
2
＝
6π
．
3
∴(V
正方体
)
2
＝(a
3
)
2
＝(a< br>2
)
3
＝
?
?
S
?
S
3< br>?
6
?
?
＝
216
，
2
163
(V
球
)
2
＝
?
?
4
22 3
S
3
?
3
π
r
3
?
?
?
＝
9
π(r)＝
16
2
?
S
?
9
π
?
?
4π
?
?
≈
108
，
V
2
πR
2
×2R)
2
＝4π
2
(R
2
)
3
＝4π
2
?
?
S
3< br>圆柱
)＝(
?
S
3
(
?
6π
??
≈
162
．

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∴V
正方体
＜V
圆柱
＜V
球
．
12．解 ：设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为r，R，高为h，
则
ra?h
＝． Ra
ππ
a
?
R
?
则依条件得·h·(r
2< br>＋rR＋R
2
)＝··
??
，化简得(h－a)
3
3 32
?
2
?
2
2
∴
Q
1
2
＋
Q
2
＝4l
2
a
2
，
2
∴2la＝
Q
1
2
＋Q
2
．
2
故S
侧
＝4al＝2
Q
1
2
＋Q
2．
＝－
7
3
a．
8
3



解得h＝a－
3
7a
．
8
3

?
7
?
?
a． 即h＝
?
1?
??
2
??
13．解：设底面边长为a，侧棱长为l，底面的两对角线长分
别为c，d．
?
?
?
则
?
?
?
?
cl ＝ Q
1
①
dl ＝ Q
2
②
?
1
??1
?
2
?
c
?
＋
?
d
?
＝ a ③
?
2
??
2
?
22

(第20题)
Q
Q
?
Q
?
?
Q
?
由 ① 得c＝
1
，由 ② 得d＝
2
，代入 ③ 得
?
1
?
＋
?
2
?
＝a
2
．
l
l?
2l
?
?
2l
?
22