2017高中数学竞赛范围-高中数学知识点总结必修
1.(2014?山东)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=
BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;
(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC.
解答: 证明:(Ⅰ)连接CE,则
∵AD∥BC,BC=AD,E为线段AD的中点,
∴四边形ABCE是平行四边形,BCDE是平行四边形,
设AC∩BE=O,连接OF,则O是AC的中点,
∵F为线段PC的中点,
∴PA∥OF,
∵PA?平面BEF,OF?平面BEF,
∴AP∥平面BEF;
(Ⅱ)∵BCDE是平行四边形,
∴BE∥CD,
∵AP⊥平面PCD,CD?平面PCD,
∴AP⊥CD,
∴BE⊥AP,
∵AB=BC,四边形ABCE是平行四边形,
∴四边形ABCE是菱形,
∴BE⊥AC,
∵AP∩AC=A,
∴BE⊥平面PAC.
3.(2014?湖北)在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC
中点,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,
∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.
(Ⅰ)求证:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PBD;
(Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点,,试确定λ的值,使得二面角Q﹣BD﹣P为45°.
解答: 解:(Ⅰ)取PD的中点F,连接EF,AF,
∵E为PC中点,∴EF∥CD,且,
在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,
∴EF∥AB,EF=AB,∴四边形ABEF为平行四边形,
∴BE∥AF,∵BE?平面PAD,AF?平面PAD,
∴BE∥平面PAD.(4分)
(Ⅱ)∵平面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,∴PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AD.(5分)
如图,以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz.
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1).(6分)
,,
∴,BC⊥DB,(8分)
又由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BC,
∴BC⊥平面PBD.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,平面PBD的法向量为,(10分)
∵,,且λ∈(0,1)
∴Q(0,2λ,1﹣λ),(11分)
设平面QBD的法向量为=(a,b,c),,,
由,,得
,
∴,(12分)
∴,(13分)
因λ∈(0,1),解得.(14分)
4.(2014?江苏)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,
AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,
DF=5.求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
解答: 证明:(1)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE∥PA,
又∵PA?平面DEF,DE?平面DEF,
∴PA∥平面DEF;
(2)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE=PA=3;
又∵E、F为AC、AB的中点,∴EF=BC=4;
∴DE+EF=DF,
∴∠DEF=90°,
∴DE⊥EF;
∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC;
∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面ABC;
∵DE?平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABC.
13.(2012?江苏)如图,在直三
棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中,A
1
B<
br>1
=A
1
C
1
,D,E分别是棱BC,CC
1
上的点(点D
不同于点C),
且AD⊥DE,F为B
1
C
1
的中点.求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
;
(2)直线A
1
F∥平面ADE.
解答:
解:(1)
∵三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
是直三棱柱,
∴CC
1
⊥平面ABC,
∵AD?平面ABC,
∴AD⊥CC
1
又∵AD⊥DE,DE、CC
1
是平面B
CC
1
B
1
内的相交直线
∴AD⊥平面BCC
1
B
1
,
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
;
(2)∵△A
1
B
1
C
1
中,A
1
B
1
=A
1
C
1
,F为B
1
C
1
的中点
∴A
1
F⊥B
1
C
1
,
∵CC
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
,A
1
F
?平面A
1
B
1
C
1
,
∴A
1
F⊥CC
1
又∵B
1
C
1
、CC
1
是平面BCC
1
B
1
内的相交直线
∴A
1
F⊥平面BCC
1
B
1
又∵AD⊥平面BCC
1
B
1
,
∴A
1
F∥AD
∵A
1
F?平面ADE,AD?平面ADE,
∴直线A
1
F∥平面ADE.
222
16.(20
10?深圳模拟)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分
别是AB、
SC的中点
(1)求证:EF∥平面SAD
(2)设SD=2CD,求二面角A﹣EF﹣D的大小.
解答:
(1)如图,建立空间直角坐标系D﹣xyz.
设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),,.
取SD的中点,则.平面SAD,EF?平面SAD,
所以EF∥平面SAD.
(
2)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),,.EF中点,,
,
又,,
所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角..
所以二面角A﹣EF﹣D的大小为.
高中数学必修一归纳总结图-高中数学老师教学日记反思
高中数学三种算法-高中数学有几种几何
高中数学必须会画的导数图像-季延高中数学老师
高中数学秒杀原理-高中数学视频解题网站
高中数学视频 数学期望-高中数学课本选修2
高中数学竞赛标准教材-高中数学必修一第三章习题
高中数学解析几何常见的核心转化-初高中数学衔接教材(完整版)
高中数学字母i指什么意思-高中数学教师招聘面试视频讲解
-
上一篇:高考一轮复习高中数学立体几何知识点大全
下一篇:高中数学立体几何解题技巧