高中数学立体几何重要知识点(经典)

立体几何知识点
1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：
几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面
的截 面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与
高的比的平方。
（3）棱台：
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）
圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角
梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定
义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上
任意一点到球心的距离等于半径。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
'
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch'

S
圆锥侧面积
?
?
rl
2
S
正棱台侧面积
?
1
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
r
2
?rl?Rl?R
2< br>

S
圆柱表
??
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

V
锥
?
1
Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
'
1
'
1
''
V?(S?SS?S )h?
?
(r
2
?rR?R
2
)h

V
台
?(S?SS?S)h

圆台
33
32
（4）球体的表面积和体积公式：V
球
=
4
?
R3
； S
球面
=
4
?
R

3

1 4

1、平面及基本性质
公理1
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?

公理2 若
P?
?
,P?
?
,则
?
?< br>?
?a
且
P?
?

公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）
2、空间两直线的位置关系
共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线
3、异面直线
（1）对定义的理解：不存在平面
?
，使得
a??
且
b?
?

（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：
P
15

★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.
②向量法
cos
??|cos?a,b?|?
|a?b|
|a||b|
（注意异面直线所成角的范围
(0,
?
2
]
）
（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；
②向量法
a?b?a?b?0

（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.
9.2 直线与平面的位置关系
1、直线与平面的位置关系
a?
?
,a
?
,a?
?
?A

2、直线与平面平行的判定
b?
?
?
?
（1）判定定理:
ba
?
?b
?
(线线平行，则线面平行
P
17
)
a?
?
?
?< br>（2）面面平行的性质：
?

?
?
?
?a
?< br> (面面平行，则线面平行)
a?
?
?
3、直线与平面平行的性质
a
?
,a?
?
?
?
?ab
(线面平行，则线线平行
P
18
)
?
?
?
?b
?
★4、直线与平面垂直的判定
2 4

（1）直线与平面垂直的定义的逆用
l?
?
,
?
?
?l?a

a?
?
?
l?m,l?n
?
?
（2）判定定理：
m,n?
?
?
?l?
?
（线线垂直，则线面垂直
P
23
）
m?n?A
?
?
（3）
ab
?
?
?a?< br>?
（
P
25
练习 第6题）
b?
?
?< br>?
?
?
?
?
（4）面面垂直的性质定理：
?
?
?
?l
?
?a?
?
（面面垂直，则线面垂直
P
51
）
a?
?
,a?l
?
?
（5）面面平行是性质：
?

?
?
?
?l?
?

l?
?
?
5、射影长定理
★6、三垂线定理及逆定理 线垂影
?
线垂斜
9.3 两个平面的位置关系
1、空间两个平面的位置关系 相交和平行
2、两个平面平行的判定
（1）判定定理：

（2）
a
?
,b
?
?
?
?
?

?
（线线平行，则面面平行
P
19
）
a,b
?
,a?b?P
?
l?
?
?
?
?
?

?
垂直于同一平面的两个平面平行
l?
?
?
（3）
?

?
,
?

?
?
?

?
平行于同一平面的两个平面平行 （
P
21
练习 第2题）
3、两个平面平行的性质
（1）性质1：
?

?
,a??
?a
?

?

?
?
（2）面面平行的性质定理：
?
?ab
（面面平行，则线线平行
P
20
）
?
?
?
?a,
?
?
?
?b
?
（3） 性质2：
?

?
,l?
?
?l?
?

4、两个平面垂直的判定与性质
3 4

（1）判定定理：
a?
?
,a?
?
?
?
?
?
（线面垂直，则面面垂直
P
50
）
?
?
?
??
（2）性质定理：面面垂直的性质定理：
?
?
?
?l
?
?a?
?
（面面垂直，则线面垂直
P
51
）
a?
?
,a?l
?
?
9.4 空间角
1、异面直线所成角（9.1）
2、斜线与平面所成的角
(0,
?
2
)

（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.
（2） 向量法：设平面
?
的法向量为
n
，则直线
AB
与平面
?
所成的角为
?
，则
sin
?
?|cos?AB,n? |?
|AB?n|
|AB|n||

?
?(0,
?
2
)

（3）两个重要结论
最小角定理
P
48
：
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
，
P
26
,
例4
P
28
第6题
9.5 空间距离
1、求距离的一般方法和步骤
（1）找出或作出有关的距离；
（2）证明它符合定义；
（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）
2、求点到面的距离常用的两种方法
（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；
（2 ）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：
d?
|AB?n|
| n|

3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解
4、异面直线的距离
① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）
② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离
向量法
d?
|AB?n |
|n|
（
A
，
B
分别为两异面直线上任意一点，
n
为垂直于两异面直线的向量）
l
2
?m
2
?n
2
?d
2
?2mncos
?
重点例题：
P
51
和
P
55
例2


4 4
注意理解应用：