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立体几何练习题
1.
四棱锥
S?ABCD
中,底面
ABCD
为平行四边形,侧面
SBC?
面
ABCD
,已知
?ABC?45
?
,
AB?2
,
BC?22
,
SB?SC?3
.
(1)设平面
SCD
与平面
SAB<
br>的交线为
l
,求证:
lAB
;
(2)求证:
SA?BC
;
(3)求直线
SD
与面
SAB
所成角的正弦值.
2.
如图,在四棱锥P-
ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
的中点,PO平面ABCD,PO=2,M为PD的中点。
,AD=AC=1,O为AC
(1)证明:PB平面ACM;
(2)证明:AD平面PAC
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。
.
3.
如图,四棱锥<
br>P?ABCD
中,
?ABC??BAD?90?
,
BC?2AD
,△
PAB
与
△
PAD
都是等边三角形.
(1)证明:
CD?
平面
PBD
;
(2)求二面角
C?PB?D
的平面角的余弦值.
4.
如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AD.底面ABCD为梯形
,AB∥DC,AB⊥
BC,PA=AB=BC=3,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求证:PD∥平面EAC;
(Ⅲ)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
5. 如图,已知矩形
ABCD
所在平面垂直于直角梯形
ABPE
所在平面于直
线
AB
,平面
ABCDI
平面
ABPE?AB
,且
AB?BP?2
,
AD?AE?1
,
AE?AB
,且
AEB
P
.
(1)设点
M
为棱
PD
中点,在面
ABC
D
内是否存在点
N
,使得
MN?
平面
ABCD
?<
br>若存在,请证明;若不存在,请说明理由;
(2)求二面角
D?PE?A
的余弦值.
.
6.
如图,在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1<
br>中,平面A
1
BC⊥侧面A
1
ABB
1
,且AA1
=AB=2.
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A
1
BC所成的角为,求锐二面角A﹣A
1
C﹣B的大小.
7.
在四棱锥V﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD
⊥底面ABCD.
(1)求证AB⊥面VAD;
(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.
8.
如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠BAD=
于O,OF⊥平面AB
CD,BC=CE=DE=2EF=2.
(Ⅰ) 求证:EF∥BC;
(Ⅱ)求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值.
,对角线AC与BD相交
.
9.
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面为
直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且
PA=AD=AB=2BC,M、
N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求BD与平面ADMN所成的角.
10.
如图,在等腰梯形
ABCD
中,
ABCD
,
AD?DC?CB?1<
br>,
?ABC?60
,四边形
o
ACFE
为矩形,平
面
ACFE?
平面
ABCD
,
CF?1
.
(1)求证:
BC?
平面
ACFE
;
(2)点
M
在线段
EF
上运动,设平面
MAB
与平面
FCB
二
面角的平面角为
?
(
?
?90)
,
试求
cos?
的取值范围.
o
.
立体几何试卷答案
(2)证明:连接AC,
Q?ABC?45,AB?2,BC?22
,
由余弦定理得
AC?2
,
?AC?AB
6分
取
BC
中点
G
,连接
SG,AG
,则
AG?BC
.
o
QSB?SC,?SG?BC,QSGIAG?G,
?BC?
面
SAG,?BC?SA.
…………………8分
(Ⅲ)如图,以射线OA为
x
轴,以射线OB为
y
轴,以射线OS为
z
轴,以
O
为原点,建
立空间直角坐标系
O?xyz
,
S
C
D A
B y
.
2、试题解析:(1)证明:
又平面ACM,平面ACM,
为AC的中点,即O为BD的中点,且
M为PD的中点,
所以PB平面ACM。
(2)证明:因为
所以
又PO
所以AD
,
平面ABCD,所以
平面PAC。
所以MN平面ABCD,
,AD=AC,所以,
(3)取OD的中点为N,因为
所以为直线AM与平面ABCD所成角。
,所以
因为AD=AC=1,
所以又所以
.
3.(1)证明见解析;(2)
3
..
3
试题解析:(1)证明:
过
P
作
PO?
平面
ABCD
于
O
,连OA
.
依题意
PA?PB?PD
,则
OA?OB?OD
.又△
ABD
为
Rt?
,故
O
为
BD
的
中点.
∵
PO?
面
PBD
,∴面
PBD?
面ABCD
.在梯形
ABCD
中,
CD
2
?DB
2
?CB
2
,
4.【解答】(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,∴PA⊥BC.
又
AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.…
(Ⅱ)证明:∵PC⊥AD,
∴在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC
=
又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形,
∴DC=AC=(AB)=2AB.
=
=
=2.
=2,∴PD∥EM,
,∴∠DCA=∠BAC=,
连接BD,交AC于点M,则
连接EM,在△BPD中
,
又PD?平面EAC,EM?平面EAC,∴PD∥平面EAC.…
.
(Ⅲ)解:以A为坐标原点,AB,AP所在直线分别为y轴,z轴,建
立如图所示的空间直
角坐标系.则A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,
0,3),E(0,2,
1)
设
∵
∴
设
又∴
=(x,y,1)为平面AEC的一个法向量,则
=(3,3,0),
解得x=
=(0,2,1),
,y=﹣,∴
⊥,⊥,
=(,﹣
⊥
,1).
,⊥,
=(x′,y′,1)为平面PBC的一个法向量,则
=(3,0,0),=(0,﹣3,3),
,解得x′=0,y′=1,∴=(0,1,1).
(取PB中点为F,连接AF可证
∵cos<,>=
为平面PBC的一个法向量.)
|=,
∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为
注:以其他方式建系的参照给分.
..…
5.(1)详见解析;(2)
2
.
3
试题分析:(1)连接
AC
,
BD
交于点
N
,连接
MN
,证明
MN?
平面
ABCD
,从而
MN
即为所
求;(2)建立空间直角坐标系,求得两个平面的法向量后即可求解.
试题解析:(1)连接
AC
,
BD
交于点
N
,连接
MN
,则
MN
?
平面
ABCD
,
∵
M
为
PD
中点,
N
为
BD
中点,∴
MN
为
?PDB
的中位
线,∴
MNPB
,
.
又∵平面
ABCD?
平面
ABPE
,平面
ABCDI
平面
ABPE?
AB
,
BC?
平面
ABCD
,
BC?AB
,
6【解答】(本小题满分14分)
(1)证明:如右图,取A
1
B的中点D,连接AD,…
因AA
1
=AB,则AD⊥A
1
B
由平面A
1
BC⊥侧面A
1
ABB
1
,
且平面A
1
BC∩侧面A
1
ABB
1
=A
1
B。
得AD⊥平面A
1
BC,又BC?平面A
1
BC,所以AD⊥BC.
…
因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A
1
B
1
C
1
是直三
棱柱,
则AA
1
⊥底面ABC,所以AA
1
⊥BC.又AA
1
∩AD=A,从而BC⊥侧面A
1
ABB
1
,
又AB?侧面A
1
ABB
1
,故AB⊥BC.
(2)解:连接CD,由(1)可知AD⊥平面A
1
BC,
则CD是AC在平面A
1
BC内的射影
∴∠ACD即为直线AC与平面A<
br>1
BC所成的角,则
在等腰直角△A
1
AB中,AA
1
=AB=2,且点D是A
1
B中点
∴,且,∴…
…
过点A作AE⊥A
1
C于点E,连DE
由(1)知AD⊥平面A
1
BC,则AD⊥A
1
C,且AE∩AD=A
∴∠AED即为二面角A﹣A
1
C﹣B的一个平面角,…
且直角△A
1
AC中:
又,∴,
且二面角A﹣A
1
C﹣B为锐二面角
.
∴,即二面角A﹣A
1
C﹣B的大小为.…
7.【解答】证明:(1)由于面VAD是正三角形,设AD的中点为E,
则VE⊥AD,而面VAD⊥底面ABCD,则VE⊥AB.
又面ABCD是正方形,则AB⊥AD,故AB⊥面VAD.
(2)由AB⊥面VAD,则点
B在平面VAD内的射影是A,设VD的中点为F,连AF,BF由△
VAD是正△,则AF⊥VD,由
三垂线定理知BF⊥VD,故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面
角的平面角.
设正方形ABCD的边长为a,
则在Rt△ABF中,AB=a,AF=a,tan∠AFB=
故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为.
8.
【解答】(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD为菱形
∴AD∥BC,且BC?面ADEF,AD?面ADEF,
∴BC∥面ADEF,且面ADEF∩面BCEF=EF,∴EF∥BC.
解:(Ⅱ)∵FO⊥面ABCD,∴FO⊥AO,FO⊥OB
又∵OB⊥AO,以O为坐标原点,OA,OB,OF分别为x轴,
y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
取CD的中点M,连OM,EM.易证EM⊥平面ABCD.
又∵BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各点坐标:
.
B(0,1,0),C(﹣
F(0,0,
向量=(﹣
),E(﹣
,<
br>,0,0),D(0,﹣1,0),
,﹣
,
,),
=(﹣,﹣1,0),向量),向量
,
设面BCFE的法向量为:,
,得到,
令时, =(﹣1,,1),
面AOF的一个法向量,
设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ,
则cosθ===,∴sinθ=.
故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为.…
9
如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz,设BC=1,
则A(0
,0,0)P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,0)
(Ⅰ)因为
=0所以PB⊥DM.
(Ⅱ)因为=0所以PB⊥AD.
又PB⊥DM.
因此的余角即是BD与平面ADMN.
.
9
所成的角.
因为
因此BD与平面ADMN所成的角为.
所以=
10.
试题解析:(1)证明:在梯形
ABCD
中,
∵
ABCD
,
AD?DC?CB?1
,
?ABC?60
,∴
AB?2
,
∴
AC?AB?BC?2AB?BC?cos60?3
,
∴
AB?AC?BC
,∴
BC?AC
,
∴平面
A
CFE?
平面
ABCD
,平面
ACFEI
平面
ABCD?A
C
,
BC?
平面
ABCD
,
∴
BC?
平面
ACFE
.
(2)由(1)分别以直线CA,CB,CF
为
x
轴,
y
轴,
z
轴发建立
如图所示空间直角坐标
系,
222
222o
o
令
FM?
?
(0?
?
?3)
,则
C(0,0,0),A(3
,0,0),B(0,1,0),M(
?
,0,1)
,
ur
uuu
ruuuur
∴
AB?(?3,1,0),BM?(
?
,?1,1)
.设
n
1
?(x,y,z)
为平面
MAB
的一个法向量,
uruuur
?
ur
?
?
n
1
?AB?0
?
?3x?y?0
由
?
u
,得
?
,取x?1
,则
n
1
?(1,3,3?
?
)
, <
br>ruuuur
?
?
?
?
x?y?z?0
?
n
1
?BM?0
uur
∵
n
2
?(1,0,0)是平面
FCB
的一个法向量,
uruur
|n
1
?n
2
|
11
ruur
??
∴
cos
?
?
u
.
22
|n
1
||n
2
|
1?3?(3?
?
)?1(
?
?3)?4
∵
0?
?
?3
,∴当
?
?0
时,
cos
?
有最小
值
7
,
7
当
?
?3
时,
cos
?
有最大值
71
1
,]
.
,∴
cos
?
?[
72
2
.
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