高中数学立体几何教案

专题四立体几何
（一）空间点、线、面的位置关系:平行
【背一背基础知识】
1.公理4：若a∥b，b∥c，则a∥c.
2.线面平行判定定理：若a∥b，a?α，b?α，则a∥α.
3.线面平行的性质定理：若a∥α，a?β，α∩β＝b，则a∥b.
4.面面平行的判定定理：若a，b?α，a，b相交，且a∥β，b∥β，则α∥β.
5.面面平行的性质定理：
①若α∥β，a?α，则a∥β.
②若α∥β，r∩α＝a，r∩β＝b，则a∥b.
③线面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
④面面平行的性质定理：
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
(1)证明线面平行的常用方法：
①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行
的直线，可利 用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、
寻找比例式证明两直线平 行．
②利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面．
(2)已知线面平行时可利用线面平行的性质定理证明线线平行．
(3)判定面面平行的方法：
①定义法：即证两个平面没有公共点．
②面面平行的判定定理．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
④平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．
(4)面面平行的性质：
①若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面．
②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．
（5）平行间的转化关系

2.典型例题
例1【2016高考山东文数】在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

例2如图，在
P?ABC
中，平面
PA C?
平面
ABC
，
PA?AC
，
AB?BC
.设< br>D，E
分
别为
PA，AC
中点.
（1）求证：
DE
平面
PBC
；
（2）求证：
BC?
平面
PAB
；
（3）试问在线段AB
上是否存在点
F
，使得过三点
D，E，F
的平面内的任一条 直线都与
平面
PBC
平行?若存在，指出点
F
的位置并证明；若不存 在，请说明理由.

【练一练趁热打铁】
1.如图，在四棱锥
O?ABCD
中， 底面
ABCD
四边长为1的菱形，
?ABC?
面
ABCD
，
OA?2
，
M
为
OA
的中点，
N
为
BC
的中点．
?
，
OA?
底
4

（1）证明：直线
MN
平面
OCD
；






2.如图，在底面为平行四边形的四棱锥
P?AB CD
中，
AB?AC
，
PA?
平面
ABCD
，且< br>PA?AB
，点
E
是
PD
的中点．
P
A
E
B
D
C

（Ⅰ）求证：
AC?PB
；
（Ⅱ）求证：
PB
平面
AEC
；

（二）空间点、线、面的位置关系:垂直
【背一背基础知识】
1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：
①若a∥b，b⊥c，则a⊥c.
②若a⊥α，b?α，则a⊥b.
2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直
?
这条直线与平面内任意直线都垂直；
3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：
①若a⊥b，a⊥c，b，c?α，且b与c相交，则a⊥α.
②若a∥b，b⊥α，则a⊥α.
③若α⊥β，α∩β＝b，a?α，a⊥b，则a⊥β.
4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a⊥α，a?β，则α⊥β.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
(1)解答空间垂直问题的关键在于熟练把握 空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的
一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的 基础．
(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕
着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
2.典型例题
例1如图，在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中， 面
ABB
1
A
,AA
1
?2,D
为
1为矩形，
AB?BC?1
AA
1
的中点，
BD
与
AB
1
交于点
O,BC?AB
1
.
（Ⅰ）证明：
CD?AB
1
；
（Ⅱ）若
OC?
[QQ 群545423319:QQ 群545423319]

3
，求四面体AA
1
BC的体积.
3

例2【2016高考北京文数】如图，在四棱锥
P?ABCD
中，
PC?
平面
ABCD
，
AB∥DC,DC?AC

（I）求证：
DC?平面PAC
；
（II）求证：
平面PAB?平面PAC
；

（III）设点E为A B的中点，在棱PB上是否存在点F，使得
??
平面
C?F
?说明理由.




【练一练趁热打铁】
1.【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠AC B=90°，
BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（I）求证：BF⊥平面ACFD；

2.如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是
?DAB?60?
且边长为
a
的菱形，侧面
PAD
是等 边三角形，且平面
PAD
⊥底面
ABCD
,
G
为
A D
的中点.

求证：
BG?
平面
PAD
. 3.如图，在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，?ACB?90?
，点E、F、G分别是AA
1
、AC、BB
1
的中点，
且CG⊥C
1
G．

（1）求证：CG面BEF；
（2）求证：面BEF⊥面A
1
C
1
G．
自我检测
解答题（10*10=100分）
1.【2016高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B
1
B上，且
B
1
D?A
1
F
，
AC
11
?A
1
B
1
.
求证：（1）直线DE∥平面A
1
C
1
F；
（2）平面B
1
DE⊥平面A
1
C
1
F.

2.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底 面圆O的直径，EF是上底面圆O
'
的直径，FB是圆台的一条母线.
（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；








?PAC??BAC?90?
，
PA?PB
，3.如图，在三棱锥
P?ABC
中，点
D
，
F
分别为
BC
，
AB
的中点．
P
A
F
B
D
C

（1）求证：直线
DF
平面
PAC
；
（2）求证：
PF?AD
．

4. 如图，在四棱锥
P?ABCD
中，已知底面
ABCD
为矩形，
PA?
平面
PDC
,点
E
为棱< br>PD
的中点，求证：

P
E
D
A
C
O
B

（1）
PB
平面
EAC
；
（2）平面
PAD?
平面
ABCD
．







5.【2016高考新课标3理数】如图，四棱 锥
P?ABC
中，
PA?
地面
ABCD
，
AD?
BC
，
AB?AD?AC?3
，
PA?BC?4
，< br>M
为线段
AD
上一点，
AM?2MD
，
N
为
PC
的
中点．

（I）证明
MN




?
平面
PAB
；

6. 如图 ,在四棱锥
P?ABCD
中,底面ABCD为直角梯形,
ADBC
,
?ADC?90
0
,平面
PAD
⊥底面
ABCD
,
Q
为
AD
的中点,
M
是棱
PC
上的点,
P A?PD?2
，
BC?
1
AD?1,CD?3
，若
M
是棱
PC
的中点,求证:
PA平面MQB
；
2






7.
如图，在正三棱柱
AB C?A
1
B
1
C
1
中，
E,F
分别为BB
1
,AC
中点．


（1）求证：
BF
平面
A
1
EC
；
（2）求证：平面
A
1
EC?
平面
ACC
1
A
1
．

8.如图 ，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4
平面ABEF，其中Q，M分别 是AC，EF的中点，P是BM中点．
，AB＝2，ABCD是矩形．AD⊥

（1）求证：PQ∥平面BCE；
（2）求证：AM⊥平面BCM；





9. 如图，在矩形
ABCD
中，
AB?2 BC
,
P,Q
分别为线段
AB
、
CD
的中点，EP
⊥平面
ABCD
.
E
B
C
P
Q
A
D

（Ⅰ）求证：
AQ
∥平面
CEP
；
（Ⅱ）求证：平面
AEQ
⊥平面
DEP
；

10.【2016高考四川文科】如图，在四棱锥P- ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，
BC?CD?
P
1
AD
.
2
BC
A
D

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD.