高中数学立体几何知识点总结(详细)

高中数学立体几何知识点总结
一 、空间几何体
（一） 空间几何体的类型
1 多面体：
由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各
个多边形叫做多面 体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。


2 旋转体：
把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转
形成了封 闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征
1 、棱柱的结构特征
1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每 相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体
叫做棱柱。
棱柱的分类

底面是四边形 底面是平行四边形
棱柱
侧棱垂直于底面
四棱柱
底面是矩形
平行六面体
长方体
正方体
直平行六面体
底面是正方形 棱长都相等
正四棱柱
性质：
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；

1

1.3 棱柱的面积和体积公式
S
直棱柱侧
?ch
（
c
是底周长，
h
是高）
S
直棱柱表面
= c·h+ 2S
底

V
棱柱
= S
底
·h
2 、棱锥的结构特征

2.1 棱锥的定义

（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共
顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶
点在底面的投影是底面的中心，这样 的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征

Ⅰ、 平行于底面的截面是与 底面相似的正多边形，相似比
等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积
的比等 于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱
锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与 原棱
锥的高的立方比；
Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

正棱锥侧面积：
S
正棱椎
?
1
ch'
（
c
为底周长，
h'
为斜高）
2
D C
H
B
P
体积：
V
棱椎
?
1
Sh
（
S
为底面积，
h
为高）
3
O
A
正四面体： < br>对于棱长为
a
正四面体的问题可将它补成一个边长为
2
a
的正 方体问题。
2

2

对棱间的距离为
2
a
（正方体的边长）
2
正四 面体的高
6
2
a
（
?l
正方体体对角线
）
3
3
2
3
1
a
（
V
正方体
?4 V
小三棱锥
?V
正方体
）
12
3
正四面体的体积 为
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为
1:3
11
l
正方体体 对角线
：l
正方体体对角线
）
62
3 、棱台的结构特征
（
?
3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们
把截面和底面之间的部分称为棱台。
3.2 正棱台的结构特征
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边
形；
（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；
（4）各侧棱的延长线交于一点。
4 、圆柱的结构特征
4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余
各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
4.2 圆柱的性质
（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和
母线长为邻边的矩形。
4.4 圆柱的面积和体积公式
S
圆柱侧面
= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)
S
圆柱全
= 2π r h + 2π r
2

V
圆柱
= S
底
h = πr
2
h
5、圆锥的结构特征

3

5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋
转轴，其余各边旋转而形成的曲 面所围成的几何体叫做圆
锥。

5.2 圆锥的结构特征
（1） 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之
比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
（2）轴截面是等腰三角形；
（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：
l
2
= r
2
+ h
2

5.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆
心，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征

6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我
们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6.2 圆台的结构特征
⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵ 圆台的截面是等腰梯形；
⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6.3 圆台的面积和体积公式
S
圆台侧
= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)
S
圆台全
= π·r
2
+ π·R
2
+ π·(R + r)·l

V
圆台
= 13 (π r
2
+ π R
2
+ π r R) h (h为圆台的高)

7 球的结构特征
7.1 球的定义：以 半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆
旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于
定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。

4

7-2 球的结构特征

⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r
2

= R
2
– d
2

★7-3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决
此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割
面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等
于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4 球的面积和体积公式
S
球面
= 4 π R
2
(R为球半径)
V
球
= 43 π R
3
（三）空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积 ：
S?2
?
rl?2
?
r
2

圆锥的表面积：
S
圆台的表面积：
S
?
?
rl?< br>?
r
2

?
?
rl?
?
r
2
?
?
Rl?
?
R
2

2
球的表面积：
S?4
?
R

扇形的面积公式S
扇形
n
?
R
2
11
??lr=
?< br>r
2
（其中
l
表示弧长，
r
36022
表示 半径，
?
表示弧度）

5

空间几何体的体积
柱体的体积 ：
V?S
底
?h

1
锥体的体积 ：
V?S
底
?h

3
1
台体的体积 ：
V?（S
上
?
3
S
上
S
下
?S
下
)?h

4
3
球体的体积：
V?
?
R

3
（四）空间几何体的三视图和直观图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原则：
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形
直观图：斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度
不变；
（3）画法要写好
用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）
画侧棱（4）成图
二 、点、直线、平面之间的关系
立体几何网络图：
⑹
公理4
⑴
线线平行
⑵
⑶
⑾
三垂线定理
⑺
线线垂直
三垂线逆定理
⑻
⑿
⑼
⑽
线面垂直
线面平行
⑷
⑸
⒀
⒂
⒃
面面平行
⒁
面面垂直

1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。

6

（3）、如 果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面
和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们
的交线平行。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：
（7）、在平 面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的
射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8） 、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂
直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所
有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平
行线中的另一条。
3、线面平行的判断：
（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那
么这条直线和这个平面平行。 < br>（5）、两个
平面平行，
其中一个平
面内的直线
必平行于另一个平面。
判定定理：


性质定理：


★判断或
证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：
lI
?
??
，则
l
∥α (用于判断)；

7

⑵ 利用判定定理：线线平行
⑶ 利用平面的平行：面面平行
线面平行 (用于证明)；
线面平行 (用于证明)；

⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2

线面斜交和线面角：
l
∩ α = A
2.1 直线与平面所成的角(简称 线面角)：若直线与平面斜
交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]

注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；
当直线垂直于平面时，θ=90°
4、线面垂直的判断：
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直
于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也
垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另
一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线
必垂直于另
个平面。
判定定理：



—
性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意
一条直线。
即：

（2）垂直于同一平面的两直线平行。
即：
★判断或证明线面垂直的方法

8

⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直
线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一
个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交
线，则该直线垂直于另一平面。
★1.5 三垂线定理及其逆定理

⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段
中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线
段最短。
如图：

⑵ 三垂线定理及其逆定理

已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平
图2-7 斜线定理
面
α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则
垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直
斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
5、面面平行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两
个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判定定理：

图2-8 三垂线定理
性质定理：

9

⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为
90°
；
（2）



（3）




（4）


图2-10 面面垂直性质2
（二）、其他定理：
图2-11 面面垂直性质3
（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外
一点；③相交直线；
（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；
直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直
是它的特殊情况） ；
平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，
那么这两个角相等；
如果 两条相交直线和另外两条相交直线分别
平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)
相等； < br>（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这
个平面所引的垂线段和斜线段中，射 影相等
的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较
长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段< br>较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线
段都短。

10

（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小
的是与它在平面内射影所成的角。
（6）异面直线的判定：

①反证法；
②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的
直线是异面直线。
（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直
线垂直平面内。
（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行
于两个平面的交线。

（三）、唯一性定理：
（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。
（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平
行。
（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条
平行。
四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角
形的问题，尤其是直角三角形） < br>（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成
的角转化为平面内相交直线所成的角 。异面直线所成角的范
围：
0
o
?
?
?90
o；
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成
的角为
0
o
； ②线面垂直：线面所成的角为
90
o
；
③斜线与平面所成 的角：范围
0
o
?
?
?90
o
；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围
0
o
?
?
?90
o

（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定

11

义法；②三垂线定理法；③垂面法；
二面角的平面角的范围：
0o
?
?
?180
o
；
五、距离的求法：
（ 1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点
之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、 面垂足间线
段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
注意：求点到面的距离的方法：
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二
面角所在的平面上）；
②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的
性质）；
③体积法：利用三棱锥体积公式。
（2）线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：
①定义法，关键是确定出
a,b
的公垂线段；
②转化为线面距离，即转化为
a
与过
b
而平行于
a
的平面之
间的距离，关键是找 出或构造出这个平面；③转化为面面距
离；
（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、
点线间距离常常相互转化；
六、常用的结论：
（1）若直线
l
在平面
?
内的射影是 直线
l
?
，直线
m
是平面
?
内经过
l的斜足的一条直线，
l
?
与
m
所
l
与
l
?
所成的角为
?
1
，
成的角为
?
2
,
l< br>与
m
所成的角为
?
，则这三个角之间的关系
是
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
；
（2）如何确定点在平面的射影位置：
①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等， 那
么这点在平面上的射影在这个角的平分线上；
Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜 线，如果
斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜线上的点在
平面上的射影在这个角的平分线所在 的直线上；

12

Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等， 则这一
点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂
直平分线上。
②垂线法：如果 过平面外一点的斜线与平面内的一条直
线垂直，那么这一点在这平面上的射影在过
斜足且垂直于 平面内直线的直线上(三垂线
定理和逆定理)；
③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平 面内任一
点在另一平面上的射影在这两面的交线上
(面面垂直的性质定理)；
④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜
线这一整体在平面内的射影。
（3）在四面体
ABCD
中：
①若
AB?CD,BC?AD
，则
AC?BD
；且
A
在平面
BCD
上的射影是
?BCD
的垂心。
②若
AB?AC?AD
，则
A
在平面< br>BCD
上的射影是
?BCD
的外心。
③若
A
到BC,CD,BD
边的距离相等，则
A
在平面
BCD
上的射影是
?BCD
的内心。
（4）异面直线上两点间的距离公式：若异面直线所成的
角为
?
，它们公垂线段
AA'
的长为
d
，在
a,b
上
分别取一点
E,F
，设
A'E?m
，
AF?n< br>；
则
EF?d
2
?m
2
?n
2
? 2mncos
?

（如果
?E'AF
为锐角，公式中取负号，如果< br>?E'AF
为钝，公式中取正号）
A’
E’
E
a

A
?

?

F
b



13