高中数学—立体几何知识点总结(精华版)

立体几何知识点
一.基本概念和原理：
1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都
在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共
直线。
公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平 行并且方向相同，那么
这两个角相等。
3.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判 定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的
直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法
两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法
2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
（规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角， b、直线与平面平行或在平面
内，所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]）
3.最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的
最小角
4.三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影
垂直，那么它也与这条斜线垂直。
5. 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂
直，就说直线a和平面互相垂 直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个 平面内的两条相交直线都垂
直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂 直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线
平行。
6.直线和平面平行 的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说
这条直线和这个平面平行。
直线 和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平
行，那么这条直线和这个平面平 行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
面和这个 平面相交，那么这条直线和交线平行。
7.
两个平面平行的判定定理
：如果一个平面 内有两条相交直线都平行于另一个平
面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理
：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行。
8.（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面
角的取值范围为 [0°，180°]
（2） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂
直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（3） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
9.两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角 是直二面角，就说这两个平面
互相垂直。记为 ⊥. 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个 平面的
一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的性质定理：如果两个平面
互相垂直 ，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
10.二面角求法：直接法（作出平面角） 、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、
空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补 关系）
11.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形
的公 共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质：（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于底面
的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 < br>12.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
这些面围成的几 何体叫做棱锥
棱锥的性质：（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形（2） 平行于底面的截面与
底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

13.正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在 底面内的射影是
底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：
（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底
边上的高相等
（3）a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影
为底面三角形 的垂心。
且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心
14.注意建立空间直角坐标系， 空间向量也可在无坐标系的情况下应用
15.多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2
正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体
16.数学简单记法：
线线垂直证角是90°，或向量相乘等于0
线面垂直证一条线与面上的两条相交直线垂直
线面平行一条线与面上的一条直线平行
a面b面垂直（先证一条线与A面上的两条相交直线垂直，再证
这条线属于B面）
面面平行(一个面中的两条相交直线‖另一个面中的两条相交直线)
17.本章学习方法：
1.可以通过建立三维坐标来确定空间向量或点的位置，然后再来解题，如求线与
面的夹角，线 与线的夹角，或体积等问题；
2.通过作辅助线或面来解题，如求线面平行时可以作垂线来证明线与面 同时垂直
与那条辅助线，或者线所在的面与所给出的面平等。
3. 立体几何向量法：1建系 2标点 3求法向量 4带公式
b四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。