(完整版)高中数学立体几何方法题型总结

立体几何

重要定理：
1）
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个
平面.
2）直线和平面平行性质定理：如 果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直
线和交线平行.
3）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
4）两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.
两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平 面.
P
5）推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. ?
?
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于
l
1
,l
2
，
B
M
A
因为
PM?
?
,OA?< br>?
,PM?
?
,OB?
?
则
PM?OA,PM?OB
.
O

一：夹角问题
① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次
θ
.
② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．
异面直线所成角：范围：
(0?,90?]

（1）平移法：在异面直线中的 一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。(常用
a
2
?b
2
?c
2
到余弦定理
cos
?
?
)
2ab
a
θ
b
c
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完 整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易
发现两条异面直线间的关系；
(3)向量法。转化为向量的夹角
cos
?
?
AB?AC
AB?AC

(计算结果可能是其补角)
直线与平面所成的角
＝0时，b∥?或b??

?

o< br>斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜
线段及斜线段在 平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和
斜足的连线，是产生线面角的关键 ；
rr
rr
向量法：设直线
l
的方向向量为
l
， 平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l
与
n
的夹角为
?
，则有
r
r
l?n
sin
?
?cos
?
?
r
r
的求法
ln
二面角
?
?l?
?
的平面角，
（1）定义法：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则

1

射线m和n的夹角
?
为二面角
?—l—
?
的平面角。

（2）三垂线法：（三垂线定理法：A∈α作或 证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱
l
，∴∠AOB
为所求。）
uruururuur
向量法：设
n
1
，
n
2是二面角
?
?l?
?
的两个面
?
，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹角（或其补角）
uruur
n
1
?n
2
就是二面角的平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则
cos
?
?
uruur
．
n
1
n
2
二、空间距离问题
两异面直线间的距离
方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，
n?
?
且
m
?
，则异面直m
和n之间的距离可转化为直线m与平 面
?
之间的距离。
?
m
n
方法二：高考要求是给出公垂线 ，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直
接计算公垂线段的长度。

点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解；
r
向量法：点到直线距离：在 直线
l
上找一点
?
，过定点
?
且垂直于直线
l的向量为
n
，则定点
?
到直线
l
的距
uuur
r
???n
uuuruuur
r
离为
d???cos??? ,n??
r
n
点到平面的距离

P
方法一：几何法。步骤 1：过点P作PO
?
?
于O，线段PO即为所求。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

等体积法步骤：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形
的面积S；③由V=
方法二：坐标法。
?
A
O
1
S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.
3
n
P
O
d?AP?cos?n?AP?
?
n?AP
n

α
A
θ
线面距、面面距均可转化为点面距
三、平行与垂直问题
证明直线与平面的平行：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行.
证明平面与平面平行：（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.

证明线线垂直：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；
方法（2）：用线面垂直实现。 方法（3）：三垂线定理及其逆定理。

2

l
m
α
α
A
l
P
O
PO?
?
?l?
?
?
?
?
?l?m
l?OA
?
? l?PA

m?
?
?
l?
?
?
?

证明线面垂直：（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平面的一条垂线平 行；（3）转化
为该直线垂直于另一个平行平面；（4）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

方法（1）：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。
β

l
m
l?AC
α
面面垂直：
β
l
?< br>?
?
?
?
?
l?AB
?
?
?
?l?
?
?
?
?
?m
?
?l?
?

AC?AB?A
?
l?m,l?
?
?
?
AC, AB?
?
?
?
方法一：用线面垂直实现。
α
l?
?
?
?
?
?
?
?

l?
?
?
方法二：计算所成二面角为直角。
高中数学之立体几何
空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
2 画三视图的原则： 长对正、高平齐、宽相等
3直观图：斜二测画法（角度等于45度或者135度）
4斜二测画法的步骤：（1）.平行 于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，
平行于x轴的线长度不变；（3） .画法要写好。
空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积：1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2 圆柱的表面积
S

?

2

?

rl

?

?

r

2
3 圆锥的表面积：
S
2
4 圆台的表面积
S
?
?
rl?
?
r
2
?
?
rl?
?
r
2
?
?
Rl?
?
R
2
5 球的表面积
S?4
?
R
2

n
?
R
2
1
??lr
（其中
l
表示弧长，
r
表示半径）
3602
6扇形的面积公式
S
扇形
注：圆锥的侧面展开图的弧长等于 地面圆的周长
（二）空间几何体的体积
1
1柱体的体积
V?S
底
?h
2锥体的体积
V?S
底
?h

3
1
3台体的体积
V?（S
上
?
3
平面的基本性质

4
V?
?
R
3


S
上
S
下
?S
下
)?h
4球体的体积
3
3