最新届高中数学专题：立体几何专题(学生版)

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立体几何专题
【命题趋向】
高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上， 着重考查空间点、
线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的 试题，也
有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的
简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直
线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、
推理论 证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系
的探究，关注对 条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．
【考点透析】
立体几何主要考点是柱、锥、台 、球及其简单组合体的结构特征、三视图、
直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系 判断与证明，（理科）空间向量在平
行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．
【例题解析】
题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算
例1（2010高 考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为
7
，在该几何体的正视图中，这条棱
的投影是长 为
6
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为
a
和
b
的线段，则
a?b
的最大值为
A．
22


例2 （2010高考山东卷）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是
A．
9π
B．
10π
C．
11π
D．
12π


例3（江苏省苏州市2010届高三教学调研测试）
已知一个正三棱锥
P?ABC
的主视图如图所示，若
B．
23
C． 4 D．
25

AC?BC?
3
，
PC?6
，则此正三棱锥的全面积为_________．
2
题型2 空间点、线、面位置关系的判断
例4（江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知
m, n
是两条不同的直线，
?
,
?
为两个不
同的平面，有下列四 个命题：
①若
m?
?
,n?
?
，
m?n
，则
?
?
?
； ②若
m
?
,n
?
,m?n
，则
?

?
；
③若
m?
?
,n
?
,m?n
，则
?

?
； ④若
m?
?
,n
?
,
?

?
，则
m? n
．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．

例5（浙江省2010年高考省教研室第一次抽样测试理科）设
m,n
是两 条不同的直线，
?
,
?
是
两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )
A．若
m?n,m?
?
,n
?
，则
?

?
B．若
m
?
,n
?
,
?

?
,
则
mn

C．若
m?
?
,n
?
,
?

?
，则
m?n
D．若
mn,m
?
,n
?
,
则
?

?


题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）
例6．(2010江苏 泰州期末16)如图所示，在棱长为
2
的正方体
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，
E
、
F
分 别为
DD
1
、
DB
的
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中点．
（1）求证：
EF
平面
ABC
1
D
1
；
（2）求证：
EF?B
1
C
；
（3）求三棱锥
V
B
1
?EFC
的体积．











例7．（广东省广州市2010届高三教学调研测试）在四棱锥
P?ABCD
中，?ABC??ACD?90
，
?BAC??CAD?60
，
PA?
平面
ABCD
，
E
为
PD
的中点，
PA?2AB ?2
．
（1）求四棱锥
P?ABCD
的体积
V
；
（2）若
F
为
PC
的中点，求证
PC?
平面
AE F
；
（3）求证
CE
∥平面
PAB
．








题型4 空间向量在立体几何中的应用（理科立体几何解答题的主要题型）
例8．（2010年福建省理科数学 高考样卷）如图，在棱长为
2
的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E、F
分别为
A
1
D
1
和
CC
1
的中点．
（1）求证：
EF
∥平面
ACD
1
；
（2）求异面直线
EF
与
AB
所成的角的余弦值；
（3）在棱
BB
1
上是否存在一点
P
，使得二面角
P?AC?P
的大小为
30
?若存在，求出
BP
的
长；若不存在，请说明理由．
例9（浙江宁波市2010学年度第一学期期末理科第20题） 已知几何体
A?BCED
的三视图
如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为
4
的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求异面直线
DE
与
AB
所成角的余弦值；
（2）求二面角
A?ED?B
的正弦值；
（3）求此几何体的体积
V
的大小．


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专题训练与高考预测
文科以选择题、填空题和解答题前三题为主．
理科以选择题、填空题和解答题后三题为主．
一、选择题

1．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表
面积为（不考虑接触点） （ ）

A．
6?3?
?
B．
18?3?4
?

C．
18?23?
?
D ．
32?
?



2．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的
体积是 （ ）

A．
32?3


B．
2?33

C．
22?33
D．
32?23

3．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为
2
的 正三角形，俯视图是直径为
2
的圆，则此几
何体的外接球的表面积为 （ ）
A．
4
?

3
B．
?

8
3
C．
16
?

3
D．
32
?

3
4．一个水平放置的平面图形的 斜二测直观图是一个底角为
45
，腰和上底长均为
1
的等腰梯形，
则 这个平面图形的面积是 （ ）
122
A．
?
B．
1?
C．
1?2
D．
2?2

222
5． 一个盛 满水的三棱锥容器
S?ABC
，不久发现三条侧棱上各有一个小洞
D,E,F
，且知
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SD:DA?SE:EB?CF:FS?2:1
，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）
23193023
A． B． C． D．
29273127
6． 点
P
在直径为
2
的球面上，过P
作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的
2
倍，
则这三条 弦长之和为最大值是
A．
（ ）
270
370415615
B． C． D．
5
555
7．正方体
ABCD?A'B'C'D'
中，< br>AB
的中点为
M
，
DD'
的中点为
N
，异面 直线
B'M
与
CN
所
成的角是
A．
30


B．
90


C．
45


D．
60

（ ）
8．已知异面直线
a
和
b
所成的角为
50
，
P
为空间一定点，则过点
P
且与
a,b
所 成角都是
30
的
直线有且仅有 （ ）
A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条
9．如图所示，四边形
ABCD
中 ，
ADBC,AD?AB,?BCD?45,?BAD?90
，将△
ABD
沿
BD
折起，使平面
ABD?
平面
BCD
，构成三棱锥
A?BCD
，则在三棱锥
A?BCD
中，
下列命题正确的是 （ ）
A．平面
ABD?
平面
ABC
B．平面
ADC?
平面
BDC

C．平面
ABC?
平面
BDC
D．平面
ADC?
平面
ABC



10．设x
、
y
、
z
是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①
x
、
y
、
z
均为直线；
②
x
、
y
是直线，
z
是平面；③
z
是直线，
x
、
y
是平面；④
x
、
y
、
z
均为平面．
其中使“
x⊥
z
且
y
⊥
z
?
x
∥
y”为真命题的是 （ ）
A． ③ ④ B． ① ③ C． ② ③ D． ① ②
11．直线
AB
与直二面角
?
?l?
?
的两个面分别交于
A,B
两点，且
A,B
都不在棱上，设直线< br>AB
与平面
?
,
?
所成的角分别为
?
,?
，则
?
?
?
的取值范围是 （ ）
?
?
?
?
?
?
A．
(0,)
B．
?
0,
?
C．
(,
?
)
D．
{}

222
?
2
?
二、填空题
13． 在三棱锥
P? ABC
中，
PA?PB?PC?2
，
?APB??BPC??CPA?30< br>，一只蚂蚁
从
A
点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到
A
点， 则蚂蚁经过的最短路程是 ．
14．四面体的一条棱长为
x
，其 它各棱长为
1
，若把四面体的体积
V
表示成
x
的函数
f
?
x
?
，则
f
?
x
?
的增区 间为 ，减区间为 ．
15． 如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中：
①
BM
与
ED
平行； ②
CN
与
BE
是异面直线；
③
CN
与
BM
成
60
角； ④
DM
与
BN
垂直．
以上四个说法中，正确说法的序号依次是 ．


16． 已知棱长为
1
的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
A
1
B
1
的中点，则直线
AE
与平面
ABC1
D
1
所成的角的正弦值是 ．
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三、解答题
17．已知，如图是一个空间几何体的三视图．
（1）该空间几何体是如何构成的；
（2）画出该几何体的直观图；
（3）求该几何体的表面积和体积．






18．如图，已知等腰直角三角形
RB C
，其中
?RBC?90
，点
A,D
分别是
RB
,
RCRB?BC?2
．
的中点，现将
?RAD
沿着边
AD< br>折起到
?PAD
位置，使
PA?AB
，
连结
PB、
PC
．
（1）求证：
BC?PB
；
（2）求二面角
A?CD?P
的平面角的余弦值．





19．如下图，在正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
?
1
AB< br>，点
E,M
分别为
A
1
B,CC
1
的中点，
2
过点
A
1
,B,M
三点的平面
A
1BMN
交
C
1
D
1
于点
N
．

（1）求证：
EM
平面
A
1
B
1
C
1
D
1
；

（2）求二面角
B?A
1
N?B
1
的正切值；

（3）设截面
A
1
BMN
把该正四棱柱截成的两个几何体的
体积分 别为
V
1
,V
2
（
V
1
?V
2< br>），求
V
1
:V
2
的值．






?
20． 如图，在四棱锥
P?ABCD
中 ，底面为直角梯形，
ADBC,?BAD?90
，
PA
垂直于
底面< br>ABCD
，
PA?AD?AB?2BC?2,M,N
分别为
PC,PB
的中点．
（1）求证：
PB?DM
；（2）求
BD
与平面
ADMN
所成的角；（3）求截面
ADMN
的面积．





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21．如图，正方形
ACDE
所在的平面与平面
ABC
垂直，
M
是
CE
和
AD< br>的交点，
AC?BC
，
且
AC?BC
．

（1）求证：
AM?
平面
EBC
；
（2）求直线
AB
与平面
EBC
所成的角的大小；
（3）求二面角
A?EB?C
的大小．









22．已知斜三棱柱ABC?A
1
B
1
C
1
，
?BCA?90，
AC?BC?2
，
A
1
在底面
ABC
上的射 影恰为
AC
的中点
D
，又知
BA
1
?AC
1
．
（1）求证：
AC
1
?
平面
A
1
BC
； （2）求
CC
1
到平面
A
1
AB
的距离；

（3）求二面角
A?A
1
B?C
的一个三角函数值．


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