高中数学立体几何知识总结

立体几何知识总结

立体几何知识点
一．向量
1．三点P,A,B共线
?
已知O是空间任一点,有
OP?xOA?yOB< br>且
x?y?1
.
当
x?y?
11
时
，
即OP?(OA?OB)?P是线段AB
的中点
22
2．四点P,A,B ,C共面
?
已知O是空间任一点,有
OP?xOA?yOB
+
zOC
且
x?y?z?1
.
3．设
a?(x
1
,y1
,z
1
)
,
b?(x
2
,y
2,z
2
)
则⑴
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
)

⑵
a?b?abcosa,b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
. ⑶
a?
⑷
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
.
⑸
ab? a?
?
b?(x
1
,y
1
,z
1
)??
(x
2
,y
2
,z
2
)
=(
?
x
2
,
?
y
2
,
?
z
2
)

4．设点A
(x
1
,y
1
,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z
2
)
,C是线段AB的中点,
则①
AB?(x
2
? x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
. ②点C(
22
x
1
2
?y
1
2
?z
1
2

x
1
?x
2
y< br>1
?y
2
z
1
?z
2
,,)

222
2
③|AB|=
(x
2
?x
1)?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)

5．运算律: ①
a(b?c)?a?b?a?c
, ②
(a?b)
2
?|a|
2
?2a?b?|b|
2

6．设直线
l
的方向向量为
v
=(m,n),则直线
l的斜率k=
n

m
7．设P分
p
1
p
2
所成的比为
?
,既
p
1
p
=
?
pp
2
,且
p(x,y),p
1
(x
1
,y
1
),p
2
(x
2
,y
2
)
,
则
x?
x
1
?
?
x
2
y?< br>?
y
2
起点坐标?
?
?终点坐标
（分点坐标=） < br>,y?
1
1?
?
1?
?
1?
?
8． 设G是△ABC的重心,则G
(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
z
1
?z2
?z
3
,,)

333
9．向量的加法运算——三角形或平形四边形法则,
向量的减法运算——三角形法则（终点-起点，如
AB?OB?OA
）
10．向量
a
与平面
?
平行：
指向量
a
所在的直线与平面
?
平行或向量
a
在平面
?
内。记作
a

?
。
11．共面向量：

（1）定义：指平行于同一平面的向量
（2）定理：如果两个向量
a ,b
不共线，则向量
p
与向量
a,b
共面的充要条件是存在实
数对
x,y,
使
p?xa?yb

10．空间向量基本定理： < br>如果三个向量
a,b,c
不共面，那么对空间任一向量
p
，存在一个唯 一的有序实数对
x,y,z,使p?xa?yb?zc
。称
a,b,c
为空 间的一个基底，
a,b
，
c
都叫做基向量。
11．空间向量的坐标表示：
当
a,b,c
=
i,j,k
（单位正交基底）时，有
OA?xi?yj?zk
，则称（
x,y,z
）是向
量
OA
的坐标。
y
z

A
B

y

O

x
x

B

二．立体几何
1．掌握平面性质的三大公理及三个推论.
2．空间两直线的位置关系——平行、相交和异面.
3．两条异面直线所成的角
?
:
（1）概念,(2)范围(0,90°]，（3）求法: ①作角——平移，②说明，③求角。
4．直线与平面的位置关系:直线在平面内和直线在平面外——平行和相交。
5．掌握直线与平面平行,平面与平面平行的性质和判定定理
①
mn,m?
?
,n?
?
?m
?
②
m
?
,m?
?
,
?
?
?
?n? mn

③
a
?
,b
?
,a?b?A,a?
?
,b?
?
?
?

?

④
?

?
,m?
?
?m
?

①
线线平行
⑤
⑥
②
线面平行
④
③
面面平行
⑤
am,bn,a?b?A,a?
?
,b?
?
,m?
?
,n?
?
?
?

?
⑥
?

?
,
?
?
?
?m,< br>?
?
?
?n?mn

6． 掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质和判定定理
①
m?a,m?b,a?b?A,a ?
?
,b?
?
?m?
?

②
m?
?
,n?
?
?m?n

线线垂直
??
????
①
②
线面垂直
③
④
面面垂直

③
m?
?
,m?
?
?< br>?
?
?

④
?
?
?
,
?
?
?
?l,m?
?
,m?l?m?
?

7．其它与平行,垂直有关的定理
(1)
ab,ac?bc
(2)
a?
?
,
?

?
?a?
?

(3)
a?
?
,b?
?
?ab
(4)
a?
?
,ab?b?
?

B
A
a
O
8．三垂线定理与逆定理
①AB是平面
?
的斜线, ②BO是斜线AB在平面
?
内的射影, ③
a?
?

定理: ②
?
③
?
①
?
③; 逆定理:①
?
③
?
②
?
③
9．直线与平面所成的角
?
?
[0°,90°]
(1)斜线与平面所成的角
?
:
①定义:斜线与它在平面内的射影所成的角,
②范围
?
?
（0°,90°）
③最小角定理:
cos?
?cos
?
?cos
?

A
?
?

?

?

C
B
?

O
D
(2)直线与平面平行或直线在平面内成角为0°
(3)直线与平面垂直成角为90°
10．二面角
（1）概念,(2)范围[0°,180°],(3)二面角的平面角: ①定义, ②构造方法——定义法、垂
面法和三垂线法，（4）二面角的求法: ①作平面角, ②说明, ③求角
11．掌握用向量法求(证明)一些几何量
(1)证明线线垂直和线面垂直
(2) 求两条异面直线的夹角
?
：利用
cos
?
?
(3)求两条异 面直线a,b的公垂线长d
A
①利用
DC?DA?AB?BC

a?b
a?b
D
d
B

A
b
C
O
B
a
a
n
O
b
②
d?ABcos?AB,n?
其中
n
是异面直线a,b的公共法向量
(4)求点A到平面
?
的距离d

d?AB|cos?AB, n?|
其中
n
是平面
?
的法向量,
B是平面
?
上的一个已知点。
(5)求直线AB与平面
?
所成的角
?


?
=
B
A
O
n
?
2
?arccos?AB,n?

(6)求二面角
?

①
?
?
?
?ar ccos?n
1
,n
2
?
或
?
?arccos?n
1
,n
2
?

n
1
n
2
N
A
B
M

其中
n
1
,n
2
分别是两个平面的法向量
②利用
MN?MA?AB?BN


12．棱柱与棱锥
(1)直棱柱的侧面积=底面周长×高,体积=底面面积×高
(2)斜棱柱的侧面积=直截面周长×侧棱长,体积=直截面面积×侧棱长
(3)长方体的对 角线长
l?a
2
?b
2
?c
2
其中
a,b ,c
分别为长,宽,高
(4)棱锥的体积=
1
底面面积×高
3
S

180
n
O
(5)掌握正棱锥的高,斜高,侧棱,底面边长,
B
?

侧棱与底面的夹角,侧面与底面的夹角求法:
?
M
解题时在利用下面两个图形求解
A
13．球
(1)球的截面(—圆)的性质:
①球心O与圆心
o
1
的连线O
o
1
与圆面垂直
R
②球心与圆面的距离
d?
O
d
r
O
1

O
C
A

M
O

O
R
r
A

O
R?r

22
O
1
B
A
(2)球面上两点A,B的球面距离
①定义:经过A,B两点的大圆的劣弧长
②求法:利用大圆O与小圆
o
1
的公共弦AB,
注意劣弧AB所对的圆心角是角AOB而不是角A
o
1
B
纬线
o
1
P

纬度
经度

经线
(3)经度与纬度
O
①纬度:某点P的纬度就是指经过这点的球半径与经
地轴
过这点的纬度圈所在的平面的夹角
②经度:某点P的经度就是指经过这点的经线与地轴
确定的半平面与0°经线与地轴确定的半平面所在的
二面角的大小.
(4)球内接长方体的性质: ①长方体的中心就是球心, ②长方体的对角线长就是球的直径
(5)正四面体的内切球与外接球的性质:它们是同心球,球心在正四体的高线上,内切球与外
接球的 半径的和等于正四面体的高,求解时可利用等体积法.
(6)球体积
V?

4
3
n
?
R
?
R
,球的表面积
S?4?
R
2
,弧长公式
l?
?
R?

3
180

立体几何知识点总结
1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.
若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折
线. 若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的
概念，几何里 的平面是无限伸展的.
平面通常用一个平行四边形来表示.
平面常用希腊字母α、β、γ… 或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的
两个相对顶点字母表示，如平面AC.
在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，
且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：
a) A∈l—点A在直线l上；A
?
α—点A不在平面α内；
b) l
?
α—直线l在平面α内；
c) a
?
α—直线a不在平面α内；
d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；
e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点；
f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.
2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面
内.
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
根据上面的公理，可得以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.证题方法

直接证法
证题方法


反证法

间接证法

同一法

4.空间线面的位置关系
共面 平行—没有公共点
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点
(3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点

5.异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面
直线”.
6.线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a ∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.
④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b
⑤两平行平面与同一个平面 相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,
则a∥b
⑥如果一条直线和两 个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若
α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥ b.
(2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b
?
α，< br>a⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂
直，则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂 线垂直.即若a∥α,b
⊥α,则a⊥b.
⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥ β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β
∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.
(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即
若a
?
α,b
?
α，a∥b,则a∥α.
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α ∥β,l
?
α，则l
∥β.
④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同 一平面，那么这条直线和这个平面平行.
即若α⊥β,l⊥β，l
?
α，则l∥α.
⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线
与这个平 面平行，即若A
?
α，B
?
α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB ∥α.
⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥
β ,a
?
α，a
?
β，a∥α，则α∥β.
⑦如果一条直线与一个平 面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若
a⊥α,b
?
α，b⊥a ，则b∥α.
⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这< br>个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b
?
α)
(4)直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
即若m< br>?
α，n
?
α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两 条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥
a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l
⊥β， 则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面，即若α⊥β,a∩β=α，l
?
β，l⊥a,则l⊥α.
⑥如果两个相交平面 都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α
⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥ γ.
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点
?
α∥β. < br>②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若
a,b
?
α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.
④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
⑤一个平面内的两条直线 分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，
即若a,b
?
α,c,d
?
β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
(6)两平面垂直的判定
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即
二面角α－a－ β=90°
?
α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直，即若l⊥
β,l
?
α，则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则
β⊥γ.
7.直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.
(2)若两个平 面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一
个平面内，即若α⊥β,A∈α ，AB⊥β，则AB
?
α.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此 点而垂直于已知直线的平面内，
即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a
?
α.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P
?α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则a
?
β.
(5)如果一条直线与一个 平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在
这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b ,b∥a,则b
?
α.
8.存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；
(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；
(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；
(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；
(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；
(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；
(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.

9.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做 这点在这个平面上的射影，点的
射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向 平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在
这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.
(3)图形 在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个
平面图形在该平面上的射影 .
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；
当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
10.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)
相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a ′∥a,b′∥b,则
a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
11.直线和平面所成的角
(1)定义 和平面所成的角有三种：
(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和
这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小 的角，
亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
12.二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角
的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半 平面组成.

若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别 在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组
成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB- β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位
置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的 平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平
面角的另一边(或其反向延长线 )上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PC D
⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.
②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个 面上的射影图
形的面积，α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
13.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面
的距离.
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段；
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2 )利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面
交线的距离就是所 求的点面距离.
3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱 锥
的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=
1
S·h，求出h即为所求.这 种方法的优
3
点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.
14.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的 距离，叫做这条直线
和平面的距离.

(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.
③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.
15.平行平面的距离
(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个
平 行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做
这两个平行平面 的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法
①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②把面面平行距离转化为线面平行 距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)
距离，通过解三角形或体积法求解之.
16.异面直线的距离
(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂 线.两条异面直线的
公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
(2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、
性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.
②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离
③等体积法
④最值法
⑤射影法
⑥公式法


《立 体 几 何》
的“十个位置关系”
一、确定直线的条件
（1） 两平面有一个公共点，则相交于过此点的直线,唯一；
（2） 两异面直线有且只有一条公垂线；
（3） 过一点有且只有一直线与已知平面垂直；
（4） 过直线外一点有且只有一直线与已知直线平行。
二、确定一平面的条件
（1） 不在同一直线上的三点确定一平面；（2）一直线及其外一点确定一平面；
（3） 两平行直线确定一平面； （4）两相交直线确定一平面；
（5） 过两异面直线中的一条直线而与另一条直线平行的平面唯一；

（6） 过一点而与两异面直线分别平行的平面唯一；
（7） 过一点而与已知直线垂直的平面唯一；
（8） 过一点而与已知平面平行的平面唯一；
（9） 过不垂直于已知平面的直线而与已知平面垂直的平面唯一。
三、直线落于平面上的条件
（1）
（2）
（3）
（4）
若直线上有两点在平面上，则该直线在平面内；
过一点与已知直线垂直的直线均在过此点而垂直于已知直线的平面内；
过平面外一点与已知平面平行的直线均在过此点而平行于已知平面的平面内；
两平面相垂直，过其中一个平面内一点而垂直于令一个另平面的直线在第一平
面内；
（5） 过直线上每一点而垂直于已知平面的直线，均在过此直线且与已知平面垂直的
平面内。
四、线段或角相等的条件
（1） 平行平面间的平行线段相等；（2）平行直线上每点与平面间的距离相等；
（3） 由一点向平面引垂线和斜线段，射影等的斜线段等，反之亦然；
（4） 两边分别平行（垂直）且方向相同的角相等；
（5） 若平面的斜线与平面内角的两边成等角，则其射影平分此角；
（6） 平面的斜线上点与平面内角的两边距离相等，则其射影落于角平分线；

（7） 两平行线与同一直线所成角相等；两平行线与同一平面所成角相等；
（8） 两平行平面与同一直线所成角相等；两平行平面与同一平面所成角相等。
五、两直线平行的条件
（1） 三平面两两相交，若两交线平行，则第三条交线必与之平行；
（2） 平行于同一直线的两直线平行； （3） 线面平行则线线平行；
（4） 垂直于同一平面的两直线平行； （5） 面面平行则线线平行；
（6） 分别过两平行线中一条直线的两相交平面的交线与之平行。
六、两直线垂直的条件
（1） 所成的角是直角，两直线垂直；
（2） 垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条；
（3） 线线垂直，则线面垂直； （4） 三垂线定理及其逆定理。
七、直线与平面平行的条件
（1） 线面无公共点，则线面平行； （2） 线线平行，则线面平行；
（3） 一平面
?
及该平面外一直线m垂直于同一平面< br>?
，则线m与面
?
平行；
．
（4） 平面内的任一直线必平行于这平面的平行平面（面面平行，则线面平行）。
八、直线与平面垂直的条件
（1） 直线垂直于平面内的两相交直线，则线面垂直；
（2） 两平行直线中有一条垂直于平面，则另一直线垂直于该平面；
（3） 直线垂直于平行平面中的一个，则垂直于另一个；

（4） 两相交平面分别垂直于第三平面，其交线垂直于第三平面；
（5） 两平面相垂直，则其中一平面内垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。
九、两平面平行的条件

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
一平面内的两相交直线分别平行于另一平面，则面面平行；
两平面内分别有两相交直线分别平行，则面面平行；
垂直于同一直线的两平面平行；
平行于同一个平面的两平面平行；
无公共点的两平面平行。
十、两平面垂直的条件
（1） 相交构成直二平面角的两平面垂直；
（2） 若一个平面过另一个平面的垂线，则这两平面垂直；

（3） 若垂直于平行平面中的的一个平面，则垂直于另一个平面。

(此外：关于“平行”、“垂直” 问题的证明，还可以依据“初中平面几何结论”或“定
义”去证明。但使用“平面几何结论”要先说明共 面。)

立体几何题怎么解

高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查
的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的
逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的 课程改革的进一步
实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看 , 以多面
体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.

例1 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积
为
a,
从而只要算出四棱锥的高就行了.
2
?PB?
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.
而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=
3
a,

?V
锥
?

13
3
3a?a
2
?a
.
33

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.
作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

?AE?CE,?CE D?90
?
,故?CEA
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

?
2
a?OA?AE?AD?a.

2

222
?2OA)
在
?AEC中,cos?AEC?
A E?EC?(2?OA)
?
(AE?2OA)(AE
?0.

2
2AE?EC
AE
故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.
本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一
定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.

例2 如图，直三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90
0< br>，AC=1，
C点到AB
1
的距离为CE=
3
，D为AB的中点.
2
C1
A1B1
（1）求证：AB
1
⊥平面CED；
（2）求异面直线AB
1
与CD之间的距离；
（3）求二面角B
1
—AC—B的平面角.
C
E


B
AD



讲解:（1）∵D是AB中点，△ ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90
0
，∴CD⊥AB又
AA
1
⊥平面ABC，∴CD⊥AA
1
.
∴CD⊥平面A
1
B
1
BA ∴CD⊥AB
1
，又CE⊥AB
1
， ∴AB
1
⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A
1
B
1
BA ∴CD⊥DE
∵AB
1
⊥平面CDE ∴DE⊥AB
1
∴DE是异面直线AB
1
与CD的公垂线段
∵CE=
3
2
.
，AC=1 , ∴CD=
2
2
∴
DE?(CE)
2
?(CD)
2
?
1
；
2
（3）连结B
1
C，易证B
1
C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B
1
CB是二面角B
1
—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=
∴∠B
1
AC=60
0
∴
AB
1
?
3
，BC=AC=1,
2
1
22
?2
， ∴
BB?(AB)?(AB)?2
,
11
2
cos60

∴
tg?B
1
CB?
BB
1
?2
, ∴
?B
1
CB?arctg2
.
BC
作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的
逻辑推理作为基石.
例3 如图a—l—
?
是1 20°的二面角，A
，
B两点在棱上，AB=2，D在
?
内，三角形
ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在
?
内，
?
ABC是等腰直 角三角形∠ACB=
90.

（I） 求三棱锥D
—
ABC的体积；
（2）求二面角D
—
AC
—
B的大小；
（3）求异面直线AB
、
CD所成的角.

0


讲解: (1) 过D向平面
?
做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.
?AB?AD,OA为D A在平面
?
上的射影,?AB?OA??DAE
为二面角a
—
l—
?
的
??
平面角.
?DAE?120,??DAO?60.< br>?AD?AB?2,?DO?3
.
??ABC
是等腰直角三角形，斜边AB= 2.
?S
?ABC
?1,
又D到平面
?
的距离DO=
3.

?V
D?ABC
?
3
.

3（2）过O在
?
内作OM
⊥
AC,交AC的反向延长线于M,连结DM. 则AC
⊥
DM.∴∠DMO
为二面角D
—
AC
—
B的平面角. 又在
△
DOA 中，OA=2cos60°=1.且
?OAM??CAE?45
?
,?OM?
2
.
?tg?DMO?6.??DMO?arctg6.

2
（ 3）在
?
平在内，过C作AB的平行线交AE于F
，
∠DCF为异面直线AB 、CD所成的
角.
?AB?AF,?CF?AF?CF?DF,又?CAF?45,即?A CF
为等腰直角三角形，又
AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,
?AF ?CF?1.

?

?DF
2
?AD
2
?AF
2
?2AD?AFcos120
?
?7.?tg?DCF?
异面直线AB,CD所成的角为arctg
7.


DF
?7.?tg?DCF?7.
CF
比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看.






例4在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的
直角三角形组成的 ，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正
三棱柱形容器，如图②．则当容 器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的
最大值．




图① 图②

讲解: 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为
a?23x
,
?V(x)?
3a
?x?(a?23x)
2
(0?x?)
4
23
?
31
??43x?(a?23x)(a?23x)
4
43


143x?a?23x?a?23x
3
a
3

?(
.
)?
16354
3
3a
当且仅当
43x?a?23x,即x?a时,V
max
?.
.
1854故当容器的高为
3
3
时，容器的容积最大，其最大容积为
a
< br>.
a
18
54
对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解 是最方便的，请读者不妨一试.
另外，本题的深化似乎与20XX年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问
题是:

某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部 是半球形，当圆柱的底面半
径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积 最小）.
例5 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥
P—ABC所成两部分的体积比．

讲解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD
?
平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA< br>?
平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE
?
平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为 AC、PC的中点，
得DFAP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又
?
DE
?
平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h
1
和h
2
．则
h
1
∶h
2
=EP∶AP=2∶3,

?
V
P?EBF
?
V
E?PBF
V
P?ABC
V< br>A?PBC
1
?h
1
?S
?PBF
21
3< br>???.

1
3?23
?h
2
?S
?PBC
3
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序,
因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误.
例6 已知圆锥 的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O
1
且平行于母线AB的平面
所截，若截面 与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）
为p的抛物线.

（1）求圆锥的母线与底面所成的角；

（2）求圆锥的全面积．
讲解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得：
?
l?2
?
R
,
即
cosACO
1
?
R1
?
,
l2
0
所以母线和底面所成的角为
60.

（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与
AC的交点，则OO
1< br>AB且
OO
1
?
1
AB.

2
在截 面MON内，以OO
1
所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物
的顶 点，所以抛物线方程为x
2
=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得
R
2
=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为
?
Rl?
?
R
2
?8
?
p
2?4
?
p
2
?12
?
p
2
.
将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如
下问题:
一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的
长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母
线长为1，则该几何体的体积等于 ．


例7 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且
EA=AB=2 a，

DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
(3) 求二面角B—FC—G的正切值.



讲解: ∵F、G分别为EB、AB的中点，
1
EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC，
2
∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC
?
面ABC，
∴FG=

∴FD∥面ABC.
（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD，又BD
?
面EBD，∴AF⊥BD.
（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.
∴∠GHB为二面角B-FC- G的平面角.
易求
GH?
3
a,?tg?GHB?
2
a< br>3
a
2
?
23
.
3
例8 如图，正方 体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为 1，P、Q分别是线段AD
1
和BD上的点，
且
D
1
P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

(1) 求证PQ∥平面CDD
1
C
1
；


(2) 求证PQ⊥AD；


(3) 求线段PQ的长.
讲解: （1） 在平面AD
1
内，作PP
1
∥AD与DD
1
交于点P
1
，在平面AC内，作
QQ
1
∥BC交CD于点Q
1
， 连结P
1
Q
1
.
∵
D
1
P
DQ5
??
, ∴PP
1

QQ
1
.
PAQB12



由四边形PQQ
1
P
1
为平行四边形, 知PQ∥P
1
Q
1
而P
1
Q
1
?
平面CDD
1
C
1
， 所以PQ∥平面CDD
1
C1
（2）
?
AD⊥平面D
1
DCC
1
， ∴AD⊥P
1
Q
1
，
又∵PQ∥P
1
Q
1
， ∴AD⊥PQ.
（3）由（1）知P
1
Q
1


PQ,
512
DQ
1
DQ5
??
，而棱长CD=1. ∴DQ
1
=. 同理可求得 P
1
D=.
Q
1
CQB12
1717
在Rt△P
1
DQ
1
中，应用勾股定理 , 立得
13
?
12
??
5
?
22
P< br>1
Q
1
=
P
1
D?DQ?
??
?< br>??
?
.
171717
????
做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q分别是BD,
AD
1
上的动点,试求
PQ< br>的最
22

小值, 你能够应用函数方法计算吗? 试试看. 并与如下20XX年全国高考试题做以对照, 你
会得到什么启示?
如图，正方形ABCD、 ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，
点N在BF上移动 ，若CM=BN=
a
(0?a?2).

（1） 求MN的长；
（2） 当
a
为何值时，MN的长最小；
（3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角
?
的大小。


C



D
M




B
E

N


A

F

立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟
化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几
考题的道道难关.