高中数学立体几何经典题型与方法(理科)

立体几何题型与方法(理科)
1．平面
平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线 的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，
推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）. 证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的
公 共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面， 然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证
明两平面重合
2. 空间直线.
（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直 线：共面
没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点
[注]：①两条异面直线在同 一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点
和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交
③若直线
a、b
异面，
a
平行于平面
?
，
b
与
?
的关系是相交、平行、 在平面
?
内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和
．．
斜线段）
⑦
a,b
是夹在两平行平面间的线段，若
a?b< br>，则
a,b
的位置关系为相交或平行或异面.
⑧异面直线判定定理：过平面外 一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在
任何一个平面内的两条直线）
（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方
向相同，那么这两个角相等（如右图）.
（直线与直线所成角
?
?[0,90]
）
??

（向量与向量所成角
?
?[0
?
,180
?
])< br>
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
（3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
[注]：
l
1< br>,l
2
是异面直线，则过
l
1
,l
2
外一点
P
，过点
P
且与
l
1
,l
2
都平 行平面有一个或没有，但与
l
1
,l
2
距离相等的
第 1 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

点在同一平面内. （
L1
或
L
2
在这个做出的平面内不能叫
L
1
与< br>L
2
平行的平面）
3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.
（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
（2）. 直线与平面平行 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平
面平行.（“线线平 行
?
线面平行”）
[注]：①直线
a
与平面
?
内 一条直线平行，则
a
∥
?
. （×）（平面外一条直线）
②直线< br>a
与平面
?
内一条直线相交，则
a
与平面
?
相交. （×）（平面外一条直线）
③若直线
a
与平面
?
平行，则
?
内必存在无数条直线与
a
平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传
递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）
⑥直线
l
与平面
?
、
?
所成角相等，则
?
∥
?.
（×）（
?
、
?
可能相交）
（3）. 直线和平面 平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那
么这条直线和交 线平行.（“线面平行
?
线线平行”）
（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任 何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一
点有且只有一个平面和一条直线垂直.
? 若
PA
⊥
?
，
a
⊥
AO
，得
a
⊥
PO
（三垂线定理），
? 三垂线定理的逆定理亦成立. < br>直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于 这
个平面.（“线线垂直
?
线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
（5）.a.垂线段和斜线段 长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线
．．
段相等 ，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线
段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]
b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个 角的平
分线上。
4. 平面平行与平面垂直.
（1）. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
（2）. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线
面平行
?
面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
第 2 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

A
P
O
a

[注]：一平面内的任一直线平行于另一平 面.
（3）. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平 行.（“面面平
行
?
线线平行”）
（4）. 两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.
两个平面垂直判定二：如 果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直
?
面面垂 直”）
注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
（5）. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直 于另一
个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
简证：如图，在平面内过O作OA、OB分别垂直于
l
1
,l
2，
θ
P
?
B
M
A
O
?
因为
PM?
?
,OA?
?
,PM?
?
,OB?
?
则
PM?OA,PM?OB
.所以结论成立
（6）. 两异面直线任意 两点间的距离公式：
l?
?
?
?
综上，都取减则必有
??
?
0,
?
）
2
??
m
2
?n
2
?d
2
?2mncos
?
（
?
为锐 角取减，
?
为钝角取加，
（1）. a.最小角定理：
cos
??cos
?
1
cos
?
2
（
?
1为最小角，如图）
b.最小角定理的应用（∠PBN为最小角）
θ
θ
1
θ
2
图2
图1
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补 角一半长，一定有4条.
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.
5. 棱柱. 棱锥
（1）. 棱柱.
a.①直棱柱侧面积：
S?Ch
（
C为底面周长，
h
是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.
②斜棱 住侧面积：
S?C
1
l
（
C
1
是斜棱柱直截面周长 ，
l
是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图
为平行四边形得出的. < br>b.{四棱柱}
?
{平行六面体}
?
{直平行六面体}
?{长方体}
?
{正四棱柱}
?
{正方体}.
{直四棱柱}
?
{平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱
底面 是
平行四边形
平行六面体
侧棱垂直
底面
直平行六面体
底面是
矩形
长方体
底面是
正方形
正四棱柱
侧面与
正方体< br>底面边长相等

c.棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所 有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是
．．．．．．．．
全等的 矩形.
．．．．．
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
．．
第 3 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注： （直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
d.平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
．．．．．．．．．．．．．
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一 条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为
?
,
?
,
?
，则
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2?
?1
.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为
?
,
?
,
?
，则
cos
2
?
? cos
2
?
?cos
2
?
?2
.
[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）
．
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不
相交，若两条边相交，则应是充要条件）
（2）. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥 ；所以
V
棱柱
?Sh?3V
棱柱
.
a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.
②正棱锥的侧面积：
S?
1
Ch
'
（底面周长为
C
，斜高为
h
'
）
2
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：
S
侧
?
S
底
cos
?
（侧面与底面成的二面角为< br>?
）
c
a
l
b
附：以知
c
⊥l
，
cos
?
?a?b
，
?
为二面角
a?l?b
.
则
S
1
?
S
11
a?l
①，
S
2
?l?b
②，
cos
?
?a?b
③
?
①②③得
S
侧
?
底
. < br>2
2
cos
?
注：S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和 的方法）.
b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形 底边上的高相等（它
叫做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一 个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也
组成一个直角三角形.
c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
第 4 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心
I
是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半 径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面 的等腰三角形不知
是否全等）
A
D
b
ii. 若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.
a
c
E
F
简证：AB⊥CD，AC⊥BD
?
BC⊥AD. 令
AB?a,AD?c,AC?b

得
BC?AC?AB?b ?a,AD?c?BC?AD?bc?ac
，已知
a?c?b?0,b?a?c?0

?ac?bc?0
则
BC?AD?0
.
BC
A
H
O'
G
B
C
?
?
?
?
D
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点O'
，则
oo
?
?AC,BO
?
?AC?AC?
平面
OO
?
B?AC?BO??FGH?
90°易知EFGH为平行四边形
?
EFGH为长方形.若对角线等，则
EF?FG?EFGH
为正方形.
（3）. 球：
a.球的截面是一个圆面.
4
①球的表面积公式：
S?4
?
R
2
.②球的体积公式：
V?
?
R3
.
3
O
r
b.纬度、经度：
①纬度：地球上一点
P
的纬度是指经过
P
点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度 ：地球上
A,B
两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角 的度数，
特别地，当经过点
A
的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是
B
点的经度.
附：①圆柱体积：
V?
?
r
2
h< br>（
r
为半径，
h
为高）
1
②圆锥体积：
V ?
?
r
2
h
（
r
为半径，
h
为高 ）
3
1
③锥体体积：
V?Sh
（
S
为底面积，< br>h
为高）
3
（1）. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，< br>h?
6
3
2
3
2
a
，
S
底
?a
，
S
侧
?a
，得
3
44
3< br>2
63
2
13
2
2426
a?a?a?R??a?R ?R?a3?a?3?a
.
434344344
第 5 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

11
注：球内切于四面体：
V
B?ACD
??S
侧
?R?3?S
底
?R?S
底
?h
。
33
②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
6. 空间向量.
R
O
（1）. a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
注：①若< br>a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a< br>与
c
共线.（×） [当
b?0
时，不成立]
②向量
a,b,c
共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]
③若< br>a
∥
b
，则存在小任一实数
?
，使
a?
?< br>b
.（×）[与
b?0
不成立]
④若
a
为非零向量 ，则
0a?0
.（√）[这里用到
?
b(b?0)
之积仍为向量]
b.共线向量定理：对空间任意两个向量
a,b(b?0)
，
a
∥
b
的充要条件是存在实数
?
（具有唯一性），使
a?
?b
.
c.共面向量：若向量
a
使之平行于平面
?
或< br>a
在
?
内，则
a
与
?
的关系是平行，记作< br>a
∥
?
.
d.①共面向量定理：如果两个向量
a,b
不共线，则向量
P
与向量
a,b
共面的充要条件是存在实数对
x< br>、
y
使
P?xa?yb
.
②空间任一点和不共线三点、B、 C，则
OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)
是
PABC
四点共 面的充要条
．．．
O
．．．．．．．
A
．．．．．
件. < br>（简证：
OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?
P、A 、B、C
四点共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
（2）. 空间向量基 本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量
P
，存在一个唯一的有序实数
．．．．< br>a,b,c
不共面
．．．
组
x、y、z
，使
p?xa ?yb?zc
.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点
P
, 都存在唯一的有序实数组
x、y、z
使
OP?xOA?yOB?zOC
(这里隐含x+y+z≠1).
B
注：设四面体ABCD的三条棱，
AB?b,AC?c,AD?d,
其 < br>O
1
中Q是△BCD的重心，则向量
AQ?(a?b?c)
用
AQ?AM?MQ
即证.
3
D
A
C
?????????? ??????
对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC
，
则四点P、A、B、C是共面
?
x?y?z?1

（3 ）.a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的
x
轴是横轴（对应为横坐标），
y
轴是纵轴（对应为纵坐标），
z
轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令
a=(
a
1
,a
2
,
a
3
),
b?(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
第 6 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3< br>)
，
?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)
，< br>a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
，
a
∥
b?a
1
?< br>?
b
1
,a
2
?
?
b
2
, a
3
?
?
b
3
(
?
?R)
?a
1
a
2
a
3
??
。
b
1
b
2
b
3
a?b?a
1
b
1
? a
2
b
2
?a
3
b
3
?0
。
a?a?a?a
1
2
?a
2
2
?a
32
(向量模与向量之间的转化：
a
2
?a?a?a?a?a
)
?
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?
?
a?b
?
?< br>空间两个向量的夹角公式
cos?a,b??
?

222222
|a|?|b|
a
1
?a
2
?a
3
?b
1
?b
2
?b
3
（
a
＝
(a
1< br>,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
）。
②空间两点的距离公式：
d?( x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
. < br>b.法向量：若向量
a
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量垂直于平 面
?
，记作
a?
?
，如果
a?
?
那么向量
a
叫做平面
?
的法向量.
c.向量的常用方法：
①利 用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面
?
的法向量，AB是平面
?
的一条射线，其中
A?
?
，则
点B到平面
?
的距离为
|AB?n|
|n|
.
②.异面直线间的距离
d?
为
l
1
,l
2
间的距离).
CD?n
n
?
(
l
1
,l
2
是 两异面直线，其公垂向量为
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点，
d
??????
AB?m
??
? ??
(
m
为平面
?
的法向量). ③.直线
AB
与 平面所成角
?
?arcsin
???
|AB||m|
④.利用法向量 求二面角的平面角定理：设
n
1
,n
2
分别是二面角
??l?
?
中平面
?
,
?
的法向量，则
n
1
,n
2
所成的
角就是所求二面角的平面角或其补角大小（
n1
,n
2
方向相同，则为补角，
n
1
,n
2< br>反方，则为其夹角）.
??????
???
m?nm?n
二面角?
?l?
?
的平面角
?
?arccos
???
或
?
?arc
cos
???
（
m
，
n为平面
?
，
?
的法向量）.
|m||n||m||n|
d.证直线和平面平行定理：已知直线
a?
平面
?
，
A,B?a, C,D?
?
，且C、D、E三点不共线，则a∥
?
的
充要条件是存在 有序实数对
?
,
?
使
AB?
?
CD?
?< br>CE
.（常设
AB?
?
CD?
?
CE
求解< br>?
,
?
若
?
,
?
存在即证毕，若
?
,
?
不
存在，则直线AB与平面相交）.
A
n
▲
B
B
?
C
A
▲
n
1
C
D
E
?
n
2
?
?

第 7 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

７．知识网络












第 8 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

一、 经典例题剖析
考点一 空间向量及其运算
????
1
????
2
????
2
????
1. 已知
A, B,C
三点不共线，对平面外任一点，满足条件
OP?OA?OB?OC
，
555
试判断：点
P
与
A,B,C
是否一定共面？






2. 如图，已知矩形
AB CD
和矩形
ADEF
所在平面互相垂直，点
M
，
N
分别在对角线
BD
，
AE
上，且
BM?
11
BD< br>，
AN?AE
．求证：
MN
平面
CDE
．
33
考点二 证明空间线面平行与垂直
3. 如图, 在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC＝3，BC＝4，AA
1
＝ 4，点D是AB的
中点， （I）求证：AC⊥BC
1
； （II）求证：AC
1
平面CDB
1
；

4. 如图所 示，四棱锥P—ABCD中，AB
?
AD，CD
?
AD，PA
?底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中
点。
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在侧面PAD内找一点N，使MN
?
平面PBD；
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

考点三 求空间图形中的角与距离
根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一. 解题
时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线 与平面所成角的
范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方 法是：①定义法；②三垂线定理及
其逆定理；③垂面法 另外也可借助空间向量求这三种角的大小.
5. 如图，四棱锥
P?ABCD
中，侧面
PDC
是边长为2的正三 角形，且与底
面垂直，底面
ABCD
是
?ADC?60
的菱形，M
为
PB
的中点.
(Ⅰ)求
PA
与底面
ABCD
所成角的大小；
(Ⅱ)求证：
PA?
平面
CDM
；
(Ⅲ)求二面角
D?MC?B
的余弦值.











第 9 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

?

6. 如图，在长方体
ABCD?A,AB?2,
点
E
在线段
AB
上.
1
BC
11
D
1< br>中，
AD?AA
1
?1
（Ⅰ）求异面直线
D
1
E
与
A
1
D
所成的角；
（Ⅱ）若二面角
D1
?EC?D
的大小为
45?
，求点
B
到平面
D
1
EC
的
距离.


D
1
C
1
B
1
A
1
D
AE
C
B
考点四 探索性问题
7. 如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的 平面互相垂直且DE=
2
，EDAF
且∠DAF=90°。
（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；
（2）线段EF上是否存在点P使过P
、< br>A
、
C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不
存在， 说明理由。











8. 如图，在三棱锥
V?ABC
中，
VC⊥底面AB C
，
AC⊥BC
，
D
是
AB
的中点，且
A C?BC?a
，
π
??
∠VDC?
?
?
0?
?
?
?
．
2
??
（I）求证：平面
VAB⊥
平面
VCD
；
（II）试确定角
?
的值，使得直线
BC
与平面
VAB所成的角为









Ｖ

π
．
6
A
Ｃ

Ｄ

Ｂ

第 10 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

考点五 折叠、展开问题
F
分别是
AB
、
CD
的中点,将
?ADE
沿
DE
折起,如图所示,记二面角
A?DE?C
9．已知正 方形
ABCD

E
、
的大小为
?
(0?
?
?
?
)

(I) 证明
BF
平面
ADE
;
(II)若
?ACD
为正 三角形,试判断点
A
在平面
BCDE
内的射影
G
是否在直线
EF
上,证明你的结论,
并求角
?
的余弦值




二、 方法总结
（一）方法总结
1．位置关系：
（1）．两条异面直线相互垂直
证明方法：
○
1证明两条异面直线所成角 为90?；
○
2证明两条异面直线的方向量相互垂直。
（2）．直线和平面相互平行
证明方法：
○
1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；
○
2证 明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向
量相互平行；
○
3证明这条直线的方向向 量和这个平面的法向量相互垂直。
（3）．直线和平面垂直
证明方法：
○
1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，
○
2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向 量都
垂直；
○
3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
（4）．平面和平面相互垂直
证明方法：1证明这两个平面所成二面角的平面角为90?；2 证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；
○○
3证明两个平面的法向量相互垂直。
○
2．求距离：
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距 离可以转化成点到平面的距离，一个点到
平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（1）．两条异面直线的距离
第 11 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

求法：利用公式
d?
|AB·n|
|n|
（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，
n
为这两条异面直线的法向量）
（2）．点到平面的距离
求法：
○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
○
2等体积法。
○
3 向量法，利用公式
d?
|AB·n|
|n|
（其中A为已知点，B为这个平面 内的任意一点，
n
这个平面的法向量）
3．求角
（1）．两条异面直线所成的角
求法：
○
1先通过其中一条直线或者两条直 线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；
2通过两条异面直线的方向量所成 的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是
(0,
○
?
2
]< br>，向量所成的角范围是
[0,
?
]
，如果求出的是钝角，要注意转化成 相应的锐角。
（2）．直线和平面所成的角
求法：
○
1“一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。
○
2向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成
的 角α，那么所要求的角为
?
2
?
?
或
?
?
?
2
。
（3）．平面与平面所成的角
求法：
○
1“一找 二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面
角的平面角 ，最后就通过解三角形来求。2通过射影面积来求
cos
?
○
?
S< br>射影
S
原
（在其中一个平面内找出一个三角形，
然后找这个三角形在另 外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosα，注意到我
们要求的角 为α或π－α）；
○
3向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二 面角的平
面角为α或π－α。
我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向 量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各
点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了， 如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向
量，运用向量不是很方便的时候，就用传 统的方法了！
4．解题注意点
（1）．我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但 是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我
们也要能够运用自如。
（2）．我们如果是通 过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这
样一句话，“∠α 是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。
第 12 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

（3）．用向量来求两条异面直线所成 角时，若求出cosα＝x，则这两条异面直线所成的角为α＝arccos|x|
（4）．在求直线 与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的
补交与我们所 要求的角互余，所以要
?
2
?
?
或
?
?
?
2
，若求出的角为锐角，就用
?
2
?
?
，若求出的 钝角，就用
?
?
?
2
。
（5）．求二面角时，若用第○
2、
○
3种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据 我
们所作出的判断去取舍。

1 在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、
F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：
EF
平面PAD；
（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，
直线
EF?
平面PCD？




2. 已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F为CD的中点.
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.










3. 如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MAPB，PB=AB=2MA，
（Ⅰ）证明：AC平面PMD；
（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。









第 13 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五

AC?BC?2，
A
1
在底面
ABC
上的射影恰为
AC
的中点
D
，
4
. 已知斜三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，
?BCA?90
，
又知
BA
1< br>?AC
1
。
（I）求证：
AC
1
?
平面< br>A
1
BC
；
（II）求
CC
1
到平面A
1
AB
的距离；
（III）求二面角
A?A
1
B?C
的大小。





5.创新试题
１．如图，正三棱柱ABC—A
1< br>B
1
C
1
中，D是BC的中点，AA
1
=AB=1.
（I）求证：A
1
C平面AB
1
D；
（II）求二面角B—AB
1
—D的大小；
（III）求点c到平面AB
1
D的距离.









２. 如图，已知正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的各棱长都为a，P为A
1
B上的点。
（1）试确定
A
1
P
的值，使得PC⊥AB；
PB
?
（2）若
A
1
P
?
2
，求二面角P—AB—C的大小；
PB3
（3）在（2）条件下，求C
1
到平面PAC的距离。


第 14 页 （共 14 页）

2018年7月27日星期五