高中数学立体几何测试题(10套)

立几面测试001
一、选择题
①a∥b，a，b异面，则b、c异面 ②a，b共面，b、c异面，则a、c异面③a，
b异面，a、 c共面，则b、c异面④a，b异面，b、c不相交，则a、c不相交
1、以下命题（其中a，b表示直线，?表示平面）
①若a∥b，b??，则a∥? ②若a∥?，b∥?，则a∥b
③若a∥b，b∥?，则a∥? ④若a∥?，b??，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
2、已知m，n为异面直线，m∥平面?，n∥平面?，?∩?=l，则l（ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
3、已知a，b是两条相交直线，a∥?，则b与?的位置关系是 （ ）
A、b∥? B、b与?相交 C、b
?
α D、b∥?或b与?相交
4、A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）无数个 （D）以上都有可能
5、直线a∥平面?，点A∈?，则过点A且平行于直线a的直线（ ）
（A）只有一条，但不一定在平面?内 （B）只有一条，且在平面?内
（C）有无数条，但都不在平面?内 （D）有无数条，且都在平面?内
6、直线a，b异面直线， a和平面?平行，则b和平面?的位置关系是（ ）
（A）b?? （B）b∥? （C）b与?相交 （D）以上都有可能
7、梯形ABCD中ABCD，AB
?
平面 α，CD
?
平面α，则直线CD与平面α
内的直线的位置关系只能是 （ ）
（A）平行 （B）平行和异面 （C）平行和相交 （D）异面和相交
8、下列命题中，真命题的个数是 （ ）
.
A、0个 B、1 个 C、2个 D、4个
二、判断下列命题的真假
9、过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行（ ）
10、若直线l??，则l不可能与平面?内无数条直线都相交（ ）
11、若直线l与平面?不平行，则l与?内任何一条直线都不平行（ ）
12、过两异面直线a，b外一点，可作一个平面与
a，b都平行 （ ）
D

C

三、填空题
A

B

13、ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1是正方体，过A、C、B
1
三点的
平面与底面A
1
B
1
C
1
D
1
的交线为l，则l与AC的位
C
1
置关系是 。
D
1
A
1
14、已知P是正方体ABCD-A
B
1
1
B
1
C
1
D
1
棱DD
1
上任意
一点，则在正方体的12 条棱中，与平面ABP平
行的是 。
三、解答题
15、已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F
分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC
P
A
D
B
C

16、、在正方体ABCD-A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，E、F分别为棱BC、C
1
D
1
的中点
求证：EF∥平面BB
1
D
1
D











17、 已知 异面直线a，b的公垂线段AB的中点为O，平面?满足a∥?，b∥?，
且O??，M、N是a，b上 的任意两点，MN∩?＝P，求证：P是MN的中
点







.
A
1
D
1
B
1
C
1
A

D

B

C


A
a
O
B
N
b
P
M

立几面测试001
参 考 答 案
一、1- 8 ACDDBDBA
二、9、× 10、× 11、× 12、×
三、13、平行 14、DC、D
1
C
1
、A
1
B
1

四、15、证明：设PC的中点为G，连接EG、FG
∵ F为PD中点 ∴ GF∥CD 且GF=
∵ AB∥CD AB=CD E为AB中点
∴ GF∥AE GF=AE 四边形AEGF为平行四边形
∴ EG∥AF ∴ AF
?
平面PEC EG
?
平面PEC
∴ AF∥平面PEC
16、证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC OE=
∵ DC∥D
1
C
1
DC=D
1
C
1
F为D
1
C
1
的中点
∴ OE∥D
1
F OE=D
1
F 四边形D
1
FEO为平行四边形
∴ EF∥D
1
O ∴ EF
?
平面BB
1
D
1
D EG
?
平面BB
1
D
1
D
∴ EF∥平面BB
1
D
1
D
17、证明：连接AN交平面 ? 于Q，连接OQ、PQ
∵ A
?
b ∴ A、b可确定平面β
∴ ?∩?=OQ 由b∥? 得 BN∥OQ
∵ O为AB的中点 ∴ Q为AN的中点
同理 PQ∥AM 故 P为MN的中点
.
1
CD
2
1
DC
2

立几面测试002
一、选择题(每小题5分，共40分)
1、点P在直线a上，直线a在平面α内可记为( )
A、P∈a，a
?
α B、P
?
a，a
?
α C、P
?
a，a∈α D、P∈a，a∈α
2、直线l是平面α外的一条直线，下列条件中可推出l∥α的是( )
A、l与α内的一条直线不相交 B、l与α内的两条直线不相交
C、l与α内的无数条直线不相交 D、l与α内的任意一条直线不相交
3、空间四点A、B、C、D共面，但不共线，则下面结论成立的是( )
A、四点中必有三点共线 B、四点中必有三点不共线
C、直线AB与CD必相交 D、AB∥CD或BC∥DA
4、已知正方形ABCD中，S是所在平面外一点，连接SA，SB，S C，SD，AC，
BD，在所有的10条直线中，其中异面直线共有( )
A、8对 B、10对 C、12对 D、16对
5、在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )
A、若l∥α，m⊥l，则m⊥α B、若l⊥m，m⊥n，则m∥n
C、若a⊥α，a⊥b，则b∥α D、若l⊥α，l∥a，则a⊥α
6、在四面 体ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD，E，F分别为AB，CD的中
点，则EF与AC 所成角为( )
A、90°B、60°C、45°D、30°
7、在长方体ABCD-A `B`C`D`中，∠AB`B=45°，∠CB`C`=60°，则∠AB`C的
余弦值为( )
A、
3
6
B、
2
6
C、
66
3
D、
4

8、A,B,C,D四点不共面，且A,B,C,D到平面α的距离相等，则这样的平面有( )
A、1个 B、4个 C、7个 D、无数个
二、填空题(每小题5分，共15分)
9、在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，A D的中点，F，G为CB，CD
上的点，且CF∶CB=CG∶CD=2∶3，若BD=6cm，梯形E FGH的面积 28cm
2
，
则EH与FG间的距离为 。
.

10、三个平面
α
,
β
,
γ
将空间分成七部分，且
α
∩
β
=a，
β
∩γ
=b，则a与b的
位置关系为 。
11、a, b为异面直线，且a,b所成角为40°，直线c与a,b均异面，且所成角均为
θ，若这样的c共有四 条，则θ的范围为 。
三、解答题(共45分，14、14、17)
12、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E，F分别是A`B`，B`C`的中点。
求证：EF∥面AD`C。
D`
C`


A`
F
E
B`



D
C


A
B



13、已知PA⊥正方形ABCD，PA=AB=2，M，N为BC，CD中点，
⑴求C到面PAM的距离，⑵求BD到面PMN的距离。


P
A
H
D
B
O
M
F
N
C

立几面测试002

一、选择题ADBCDCDC
二、填空题(每小题5分，共15分)
9、在空间 四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G为CB，CD
上的点，且CF∶CB=CG ∶CD=2∶3，若BD=6cm，梯形EFGH的面积 28cm，
则EH与FG间的距离为 8cm 。
10、三个平面
α
,
β
,γ
将空间分成七部分，且
α
∩
β
=a，
β
∩< br>γ
=b，则a与b的
位置关系为 平行 。
11 、a,b为异面直线，且a,b所成角为40°，直线c与a,b均异面，且所成角均为
θ，若这样的c 共有四条，则θ的范围为 (70°，90°) 。
三、解答题(共45分，14、14、17)
12、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E，F分别是A`B`，B`C`的中点。
求证：EF∥面AD`C。
证明：连A`C`，由E，F分别为A`B`，B`C`的中点
则EF∥A`C`，
又∵A`C`∥AC，
∴EF∥AC
∵AC
?
面AD`C
∴EF∥面AD`C
A
13、已知PA⊥正方形ABCD，PA=AB=2，M，N为BC，CD中点，
⑴求C到面PAM的距离，⑵求BD到面PMN的距离。
解：延长AM，作CE⊥AM于E
∵PA⊥正方形ABCD，
∴PA⊥CE
∵CE⊥AM
P

B
D
A`
E
B`
D`
F
2

25
AB

?CM
=
5
25
AM
∴C到平面PAM的距离为
5
∴CE=
连AC交BD于O，交MN于F，连PF，过O作OH⊥PF
∵M，N为BC，CD中点，
∴MN∥BD
∴BD∥平面PMN，
∴O到平面PMN的距离即为BD到平面PMN的距离。
∵BD⊥AC，MN∥BD ∵PA⊥面ABCD
∴MN⊥AC， ∴PA⊥MN
∴MN⊥平面PAC
∴MN⊥OH
C`
∵OH⊥PF
}
OH⊥面PMN
32
2
，OF=
2
2
∵PA=2，AC=2
2
，AF=
C
∴PF=


34217
PA
∴OH=
?OF
=
217
PF
}
CE⊥面
PAM
A
O
M
H
F
N
C
D
∵AB=2，BM=1，CM=1
∴AM=
5
，
.
B

立几面测试003

(D) 一定与
a、b
中的一条平行，而与另一条相交
5．下列命题中，正确的是 ( )
一、选择题
1．异面直线是指
(A) 在空间内不能相交的两条直线
(B) 分别位于两个不同平面的两条直线
(C) 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
(D) 不可能在同一平面内的两条直线
2．已知
a、b
是两条异面直线，直线
c
平行与直线
a
，那 么
c
和
b
(A) 一定是异面直线 (B) 一定是相交直线
(C) 不可能是平行直线 (D) 不可能是相交直线
3．已知
a、b、c
均是直线，则下列命题中，必成立的是
(A) 若
a
⊥
b，b
⊥
c
，则
a
⊥
c

(B) 若
a
与
b
相交，
b与
c
相交，则
a
与
c
也相交
(C) 若
ab，bc，
则
ac

(D) 若
a
与
b
异面，
b
与
c
异面，则
a
与
c
也是异面直线
4．已知异面直线
a、b
分别在平面
α、β
内，且< br>α
∩
β
=c，那么直线
c
(A) 一定与
a、b
交于同一点
(B) 至少与
a、b
中的一条相交
(C) 至多与
a、b
中的一条相交
.
(A) 一条直线和两条平行直线中的一条直线相交，则必与另一条直线相交
( )
(B) 一条直线和两条平行直线中的一条直线能确定一个平面
(C) 一条直线和两条平行直线中的任何一条直线无公共点，那么这三条直线互相
平行
(D) 一条 直线和两条平行直线中的一条直线是异面直线，且与另一条直线无公共
点，则必与另一条直线也是异面直 线
( )
6．和两条异面直线都相交的两条直线是
(A) 平行直线 (B) 异面直线 (C) 相交直线(D) 异面直线或相交直线
7．在正方体
ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中，12条棱互成异面 直线的对数有
(
(A) 48
）
对 (B) 36对 (C) 24对 (D) 12对
8．分别平行于两条异面直线的两条直线的位置关系是
(A) 异面直线 (B) 平行直线
(C) 相交直线 (D) 异面直线或相交直线
9．若θ是两条异面直线所成的角，则
( )
(A)
?
?(0,
?
]
(B)
?
?(0,
?
2
]

(C)
?
?[0,
?
(D)
?
?
2
]

?(0,
2
）

10．已知
a
和
b
是成60?角的两条异面直线，则过空间一点且与
a、b
都成60?角
的直线共有 ( )
( )
( )
( )
( )

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
11．在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的所有面对角线中，与
AB
1
成异面直线且与
AB
1< br>成
60?的有 ( )
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
12．已知点
A
是△
BCD
所在平面外的一点，且△
ABC，
△
ACD，
△
BCD
均是边长为
a
的正三 角形，若记异面直线
AD，BC
间的成角为
θ
，距离为
d
， 则
(A)
?
?60?,d?
1
2
a
(B)
?
?60?,d?
2
2
a

(C)
?
?90?,d?
1
2
a
(D)
?
?90?,d?
2
2
a

二、填空题
13．在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，下列两直线成角的大小是：
（１）
A
1
A
和< br>B
1
C
1
成角_________．
A
1
C
1
和
AB
成角__________．
（２）
A
1
C
1
和
D
1
C
成角_________．A
1
C
1
和
BD
成角__________．
14．在长方体
ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中，∠
BAB
1
=
∠
B
1
A
1
C
1
=30?，则
（１）
AB
与
A
1
C
1
成角________．
AA
1
与
B
1
C
成角_______．
（２）
AD
1
与
B
1
C
成角_________．
AB
1
与D
1
C
成角________．
.

15． 在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
E、F
分别为棱
AB、CC
1
的中点，则异面直线
EF
与
A
1
C
所成角的大小是_______________．
三、解答题
16．已知：直线
l
直线
m
，直线
n
与
l
是异面直线，且
n
与
m
不相交，求证：
m、
n
是异面直线．

）



1 7．已知空间四边形
ABCD
的四条边均为10，对角线
BD
=8，
AC
=16，求异面直线
AC
与
BD
间距离．





18．在空间四边形
ABCD
中，对角线
A C=BD，P、Q、R、S
分别是
AB，BC
，
CD，DA
的中点， 求证：
PR
⊥
QS．



(

立几面测试003
参考答案

一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．B
6．D
7．C 8．D 9．B 10．C
12．D

二、填空题
13．（1）90? （2）45? （3）60? （4）90?
14．（1）30? （2）45? （3）90? （4）60?
15．arccos
2
3


三、解答题
16．题示：用反证法．
17．2
5
．
18．提示：证明
PRQS
为菱形．

.



5．D
11．D

立几面测试004
一．选择题：
1
．直线
a
和平面
?
都垂直 于同一平面，那么直线
a
和平面
?
的位置关系是（

）。


（
A
）相交

（
B
）

平行

（
C
）线在面内

（
D
）线在面内或平行

2
．直线
a
和平面
?
都与同一直线平行，那么直线
a
和平面
?
的位置 关系是（

）。


（
A
）

平行

（
B
）线在面内

（
C
）线在面内或平行

（
D
）线面相交

3
．直线
L
平面
?
，
?
?
?
，那么
L
和平面
?
的位置关系是（

）。


（
A
）

线在面内

（
B
）平行

（
C
）相交

（
D
）

（A
），（
B
），（
C
）中
的情况都有可能

4
．若
a,b
是两条平行直线，且都不垂直与平面
?
，那么
a,b
在平面
?
内的射影为
（

）。

（
A
）两条平行线 （
B
）相交的两直线

（
C
）两条平行线或同一直线 （
D
）相交的两直线或同一直线


5
．相交的两直线都是 平面
?
的斜线，那么这两斜线在平面
?
的设影是（

）。

（
A
）同一直线 （
B
）相交的两直线

（
C
）两条平行直线 （
D
）一直线或两相交直线


6
．若三个平面把空间分成６个部分，那么这三个平面的位置关系是（

）。

（
A
）三个平面共线

（
B
）有两个平面平行且都与第三个平面相交

（
C
）三个平面共线或两个平面平行且都与第三个平面相交

（
D
）三个平面两两相交

7
．有下面几个问题：（
1
）若
a
平面
?
,b
?
a,
则平面
?
?
b.
（
2
）若
a
平面
?
,
平面
?
?
平面
?
，则
a
?
平面< br>?
.(3)
若
a,b
是两平行线，
b
?
平面
?
,
则
a
?
.(4)
若平面
?
?
平面
?
，平面
?
?
平面
?
,
则平 面
?

平面
?
。其中不正确的命题个数是（

）。


（
A
）
4
（
B
）
3
（
C
）
2
（
D
）
1
8
．有下面几个问题：（
1< br>）两点可以确定一条直线。（
2
）过三点必有一个平
面。（
3
）空间存在四点不在同一平面内。（
4
）一直线上有两点在平面
?
内，则其上第三点必在平面
?
内。其中正确的命题个数是（

）。

.


（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
4
9
．
A
为直二面角< br>?
－
l
－
?
的棱上的一点，两条长度都是
a
的线段
AB
，
AC
分别
在平面
?
，平面
?
内，且都与
l
成
45?
角则
BC
的长是（

）。


（
A
）
a
（
B
）
3
a
（
C
）
a
或
3
a
（
D
）
a
或
5
a
10
．一直线和两条相交直线都相交，那么它们所确定的平面的个数是（

）。


（
A
）
3
（
B
）
2
（
C
）
1
（
D
）
1
或
3
11
．已知直线
l
与平面α成
30
°角，则在α内（

）。


（
A
）没有直线与
l
垂直

（
B
）至少有一条直线与
l
平行


（
C
）一定要无数条直线与
l
异面

（
D
）有且只有一条直线与
l
共面

12
．在同一平面内射影长相等的两条线段的关系是（

）。


（
A
）如果有一个公共端点，它们必等长


（
B
）如果等长，则必有一个公共端点


（
C
）如果平行，它们必等长


（
D
）如果等长，它们必平行

13
．对于下列判断，正确的是（

）。


（
A
）两条异面直线所成的角的范围是
[0,
?
2
]

（
B
）斜线与平面所成的角的范围是
[0,
?
2
]

（
C
）二面角的取值范围是
[0,
?
2
]

（
D
）若直线与平面α所成的角为
?
4
,直线
b
?
α
,a
∩
b=
φ
,
则
a
与
b
所成的角的
取值范围

是
[
??
4
,
2
]
14
．已知异面直线
a
、
b
成
80
°角，在空间里取一点，过这 点能作与
a
、
b
都成
60
°
角的直线的条数是（< br>
）。


（
A
）
4
（
B
）
3
（
C
）
2
（
D
）
1

15
．在空 间四边形
ABCD
中，若
AB
＝
CD
，
BC
＝
AD
，
AC
＝
BD
，则∠
BAC
＋∠
CAD
＋∠
DAB
的大小是（

）。


（
A
）
180
°

（
B
）
90
°

（
C
）小于
180
°

（
D
）在区间
[90
°
, 180
°
]
内


二．填空题：

1 6
．
AB
是异面直线
a,b
的公垂线段，
AB=2cm,a ,b
所成的角为
90?
,A
、
C
?
a, B
、
D
?
b, AC=4cm, BD=4cm
，那么
C
、
D
间的距离是

。

17
．三个平面两两垂直，那么它们的交线共有

条。这些交线的相互关
系是

。

18
．两个平面
?
,
?
都与第三个平面
?相交，那么它们的交线的条数是

。

19
．若长 为
2
的线段
MN
是异面直线
a,b
的公垂线段，
A
，
M
?
a,B,N
?
b,
AM=6,BN=8, AB=2


14
,
那么异面直线
a,b
所成的角是

。

20
．一条长为
4cm
的线段
AB
夹在直二面角
?
－
EF
－
?
内，且与
?
,
?
分别成
30?
，
45?
角，那么
A
、
B
两点在棱
EF
上的射影的距离是

。

21
．夹在直二面角
?
－
MN
－
?
内的线段
PQ
（
P
，
Q
?
MN
）与
?
，
?
所成的角分
别为
?
1
,
?
2
,
则
?
1
?
?
2
应满足的条件是

。

22
．已知点
P
不在异面直线
a,b
上，那么过
P
点可作
条直线分别与
a,b
构成异面直线。

23
．已知二面角
?
－
MN
－
?
是
60?
,P
?
?
,PQ
?
?
于
Q
，且< br>PQ=6cm
，则
Q
到
?
的
距离是

。

24
．
A,B
是平面
?
外的两点 ，它们在平面
?
内的射影分别是
A
1
,B
1
,若
A
1
A
＝
3,BB
1
=5, A
1
B
1
=10
，那么线段
AB
的长是

。

25
．
?
ABC
中，

?
B=
90?
，
AB=2BC
，若
BC
平面
?
，
AB
和平面
?
所成的角为

?
,
那么
?
=
度时，
?
ABC
在平面
?
内的射影是等腰直角三角形。
三．解答题：

26
．在正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，
O
1
、
O
2
、
O
3
分别是面
AC
、面
B
1
C
、 面
CD
1
的中心，求直线
A
1
O
1
与直线
O
2
O
3
所成的角。




.

立几面测试004
数学练习答案
一．选择题
题号
答案
1
D
2
C
3
D
4
C
5
D
6
C
7
A
8
D
9
C
10
D
11
C
12
C
13
D
14
A
15
A
二．填空题
16．6 17. 3;两两垂直 18. 1或2或3 19. 60° 20. 2 21 0°<θ
1
+θ
2
<90° 22. 无数 23. 3 24.
226或241
25 . 60°
三．解答题
26． 90°

.

立几面测试005

一、选择题（每题5分）
1．△AB C所在平面α外一点P到三角形三顶点的距离相等，那么点P在α内的
射影一定是△ABC的（ ）
A、外心 B、内心 C、重心 D、以上都不对
2．设直线a在平面M内，则平面M平行于平面N是直线a平行于平面N的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、非充分非必要条件
3．设α，β是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，α∥β的一个充
分条件是（ ）
A、
l?
?
，m?
?
，且l∥
?
，m ∥
?
B、
l?
?
，m?
?
，且l∥m

C、
l?
?
，m?
?
，且l∥m
D、
l∥
?
，m∥
?
，且l∥m

4．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数是（ ）
①
a
?
?
?
a?b
?
?b∥?②
a∥?
?
?
a?b
?
?
?b??

③
a∥?
?
a?b
?
④
a??
?
?
?b??
b??
?
?
?a?b
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5．
若直线a?b且a∥平面
?
，则直线b与平面
?
的位置关系是（）< br>
A、
b?
?
B、
b?
?
C、
b∥
?
或b?
?
D、
b与
?
相交或b∥
?
或b?
?

6． 若空间四边形两条对角线的长度分别是6和8，所成角是45°，则连接各边
中点所得四边形的面积是（ ）
A、
242
B、
122
C、
62
D、12
7．
已知直线l
1
，l
2
与平面
?，有下列命题：①若l
1
∥
?
，l
1
∥l
2< br>，则l
2
∥
?

.

②若l
1
??，l
2
???A，则l
1
，l
2
为异面直 线③l
1
??，l
2
??，则l
1
∥l
2
④若l
1
?l
2
，l
1
∥?，则l
2
∥? ，其中真命题的个数有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
8．M点不在异面直线a，b上，下面判断正确的是（ ）
A、 过M点一定有一条直线与a，b都平行
B、过M点一定有一个平面与a，b都平行
C、过M点一定有一条直线与a，b都垂直
D、过M点一定有一个平面与a，b都垂直
9．已知a，b，c，d是四条不重合的直线，其中c为a在平面α上的射影，d为b
在平面α 上的射影，则（ ）
A、
c?d?a?d
B、
a?b?c?d

C、
c∥d?a∥b
D、
a∥b?c∥d

10．在棱长为2的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是A
1
B1
、BB
1
的中点，
那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（ ）
A、
3
2
B、
10
10
C、
3
5
D、
2
5


二、填空题（每题5分）
11．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面A BCD，若在BC上只有一
个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于 。
P
A
D
B
Q
C

12．两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是 。

13．如图所示，棱锥P—ABCDE的十条棱中共有 对异面直线。

P
A
E
D
B
C

14．如图PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F分别
是点A在PB、P C上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB ②EF⊥PB ③AF
⊥BC ④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是 。
P
F
E
A
B
C

三、解答题：
15．
在长方体ABCD?A
2
1
B
1
C
1
D中，BC?
2
，CD?
15
2
，DD
1?5，求A
1
C和B
1
D
1
所成
的角的大小。
D
C
A
B
D
1
C
1
A
1
B
1




.

16 ．在棱长为a的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，（1）画出过A、C、B
1
的平面
与下底面的交线L；（2）求L与直 线AC的距离。
A
D
B
C
1
B
A
1D
1
C
1







17．在棱长为a的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，F是CC
1
的中点，O为下底面的
中心，求证 ：A
1
O⊥平面BDF。
D
1
C
1
A
1
B
1
F
D
A
O
C
B

18．已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是平行四边形，且M、N分别在PA和
BD上，且PM ∶MA=BN∶ND，求证：MN∥平面PBC。
P
M
D
N
C
A
B








19．已知三棱锥P—ABC中，PA=PB，CB⊥平面PAB，PM=MC，AN=3NB。
（1）求证明：MN⊥AB；
（2）当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长。
C
M
B
N
A
P






.

20．ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC =90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面
ABCD，PA=a，
（1）求证：PC⊥CD；（2）求点B到直线PC的距离。
P
A
D
B
C

立几面测试005
答案

1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．B
8．C 9．D 10．D 11．2 12．
（0，
?
2
］
13．15
14．①、②、④
15．解：
易证B
1
D
1
∥BD在面ABCD内过C作CE∥BD，连结A
1
E，
则?A
1
CE 是异面直线A
1
C与B
1
D
1
所成的角（的补角）
D
1
C
1
CE?DB?（
2
）
2
?（15
2
17
A
1
22
）?
2
D
B
1
C
AE?（5）
2
?（15）
2
1
?25
A
B
A
2
1
C?（
2
）
2
?（
15
22
37
2
）?（5）?
2
17
?
37
?20
?cos?A
1
CE?
44
13
2
1737
??
629
22
?AC与B
136 29
11
D
1
所成的角为arccos
629
D
1
C
1
A
1
B
1
D
C
A
B
E

16．解：
.

D
C
A< br>（1）在面A
B
1
B
1
C
1
D
1< br>中过B
1
作l∥A
1
C
1
，
即为面ACB< br>1
与下底面的交线
D
1
事实上：AC∥A
C
1
1
C
1
?
l
AC?面A
?
A
1
B
1
1
B
1
C
1
D
1
?

A
1
C
1
?面A
1
B
1
C
1
D
1
?
?
AC∥面A
1
B
1
C
1
D
1
?
?AC?面ACB
?
1
?面ACB
1
?面A
1
B
1
C
1
D1
?C
?
?
?AC∥l
?
A
?
?A< br>1
C
1
∥l
1
C
1
∥AC
?

（2）由（1）l∥AC知l与AC间距离等于点B
1
到AC的距离，等于正△A CB
1
的高
即
3
?2a?
6
a

22

17．证明：
取DC中点G，连接D
D
1
1
G
C
1
由正方体知A
A
1
D
1
?面CD
1
于D
1
，OG?面CD
1
于G
1
B
1
?D
F
1
G是A
1
O在面CD
1< br>上的射影
在正方形CDD
1
C
1
中，G、F分别是CD、CC
1
的中点
D
G
C
易证DF?D
1
G
A
O
B
?A

1
O?DF（1）
连结AO，则A O?BD
A
1
A?面ABCD于A?AO是A
1
O在面AC上的射影
?A
1
O?BD（2）
结合（1）、（2）及DF?BD?D?A
1
O?面DBF

18．证明：
过M作ME∥AB交PB于E< br>过N作NG∥CD交BC于G，连结EG
P
ME∥AB?
MEPM
?< br>AB
?
PA
?
M
E
NG∥CD?
NGBN< br>?
?
CD
?
BD
?
PMBNPMBN
??
C
MA
?
ND
?
PA
?
BD
?
?
D
N
?
MENG
?
?
A
B
G
AB
?
CD
?
?
?ME?NG
?
又底面ABCD是平行四边形?AB∥CD
?
?
?
?
?
?
又
ME∥AB
?
AB∥CD
?
?
?
?ME∥CD
?
NG∥CD
?
?
?ME∥NG
?
?
?MEGN是平行四边形
?MN∥EG
?
EG?面PBC
?
?
?MN∥面PBC
MN?面PBC
?
?

19．证明：
.
（1）取BP中点G，AB中点H，连MG，PH、GN.
CB?面PAB?
AB?面PAB
?
?
?CB?BA
C
M、G分别是P C、PB中点
?MG∥BG
?
CB?AB
?
?
?AB?MG
B
PA?PB
?
H为AB中点
?
①
?
?P H?AB
AN?3NB?BN?NH
?
又G为PB中点
?
?
?NG∥PH
?
PH?AB
?
②
?
?NG?AB
① 、②结合及MG?NG?G
?AB?面MNG
?
MN?面MNG
?
?
?AB?MN

（2）由（1）中结论及BC?2?MG?1
GN?
1
2
PH?
1
4
AB?1

?MN?MN
2
?GN
2
?2

20．证明：

M
N
H
A
G
P

（1）连结AC，
在直角梯形ABCD中易求AC?2a，CD ?2a
?AC
2
?CD
2
?AD
2
?AC?CD< br>又PA?面ABCD于A
?AC是PC在面ABC上的射影
?CD?PC即PC?CD< br>P
A
a
B
2a
C
D

（2）在Rt △PAB中，PA?AB?a?PB?
2a
在Rt△PAB中，PA?a，AC?2a?PC? 3
a
又BC?a
?PB
2
?BC
2
?PC
2
??PBC?90?
令B到PC的距离为h
11
则PC?h?PB?BC< br>22
?h?
2a
?a
3
a
?
6
a< br>3
6
a.
3

即B到直线PC的距离为



.

立几面测试006
一 选
择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分）
1． A，B，C为空间三点，经过这三点（ ）
A．能确定一个平面或不能确定平面 B．可以确定一个平面
C．能确定无数个平面 D．能确定一个或无数个平面
2．下面四个命题正确的命题个数是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条；
③和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线；
④一条直线和两条平行线的一条相交，那么它也和另一条相交。
A． 1 B．2 C． 3 D
3．如图1-1所示的水平放置的平面图形的

．

4
y
直观图，所表示的图形ABCD是( )
B C
A．任意梯形 B．直角梯形

C．任意四边形 D．平行四边形



O
4．下面四个命题中错误命题的个数是（ ）
A D x
（ 图1-1）
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②平面内一点与平面外一点的连线和平面内的直线是异面直线；
③和同一条直线都是异面直线的两条直线是异面直线；
④和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。
A． 1 B． 2 C. 3 D． 4
5．若直线
a,b
是异面直线，
b
与
c
也是异面直线，则直线
a
与
c
的位置关系是< br>（ ）
A．平行或异面 B．相交，平行或异面
C．异面或相交 D．异面
.

6． 正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和
CC
1
的中
点，那么异面 直线EF和GH所成的角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．两直线
a
与
b
异面，过
a
作平面与
b
平行，这样的平面（ ）
A．不存在 B．有可能存在也有可能不存在
C．有唯一的一个 D．有无穷多个
8．直线l
与平面
?
内的两条直线垂直，那么
l
与
?
的 位置关系是（ ）
A．平行 B．
l?
?
C．垂直 D．不确定
9．设直线
a
在平面
?
内，则“平面
?
∥平面
?
”是“直线
a
∥平面
?
”的条件
( )
A．充分但不必要 B．必要但不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要
10．如 图2-2所示，平面
?
∩平面
?
=
l
，点A，B
?
?
，点C∈平面
?
且C
?
l
，
AB∩l
=R，设过点A，B，C三点的平面
?
，
则
?
∩
?
是( )
A．直线CR B．直线BC
C．直线AC D．以上均不正确
11．空间交于一点的四条直线最多可以确定平面
（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
12．空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=AC=BD，E，F， G，H分别是AB，
BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．正方形

二．填空题(每题4分,共4题)

13．过空间一点O作与已知直线平行的直线有 条；与已知平面垂直的直线
有 条
14．三个不相交的平面把空间分成 部分
15．若两直线a,b在平面α上的射影a',b'是平行的直线，则a,b的位置关
系是
．
16．点A、B和平面α的距离分别是40㎝和70㎝，P为AB上一点，且AP∶PB= 3∶
7，则P到平面α的距离是________________。

三． 解答题（5×12分 + 2×14分＝74分）
17.已知：平面α∩平面β=b，直线a∥α，a∥β，求证：a∥b。
a
β

α
b


18
．如图，ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD
A
求证：AC⊥BD








B D



19．两条直线
a
，
b
异面，
a
?平面
?
，
b
?
?
C
平面，且
a
∥
?
，
b
∥
?

求证：
?
∥
?




.

20．直角三角形ABC中，∠A=90?，AB=2AC，Q为AB上一点，QB=< br>5
4
AC，P
为平面ABC外一点，且PB=PC，求证：PQ⊥BC．

P




B
M
C


Q
A

21．已知四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠C DA=∠DAB=90?，求证：四边形
是矩形．




22．已知正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的底面边长为 8，侧棱长为6，D为AC中点。
（1）求证：直线AB
1
∥平面C
1
DB；
（2）求异面直线AB
1
与BC
1
所成角的余弦值。
A
1

C
1



B
1

A
C
B

立几面测试006

参考答案

1-12. ABBD BCCD AACD
13 .0或1；1. 14.四 15.平行或异面 16.
43㎝ 或 7㎝ ；

17. 证法1：(反证 法)假定a、b异面，任取B∈b，则a与B确定平面γ，且γ∩α＝ι
1
，
γ∩β＝ ι
2
，由已知a∥α，a∥β知a∥ι
1
，且a∥ι
2
，由 公理4知ι
1
∥ι
2
，与
ι
1
∩ι
2=B矛盾，故假设不成立，∴a∥b。
证法2：(同一法)任取B∈b，则a与B确定平面γ，且 γ∩α＝ι
1
，γ∩β＝ι
2
，且
B∈ι
1
，B∈ ι
2
。∵a∥α，a∥β，∴a∥ι
1
，a∥ι
2
，由平行 公理知ι
1
与ι
2
重合，
即为α与β的交线b，∴a∥b。
证法3：(直接证法)过a作平面γ
1
，γ
2
，γ
1
∩α ＝c，γ
2
∩β=d，∵a∥α，a∥β，
∴a∥c，a∥d，∴c∥d，∴c∥β( d
?
β) ∴c∥b，∴a∥b。
18．证明：在平面
?
的直线< br>a
上取一点A因为
a
和
b
异面，所以A
?
b
过A，
b
确定平
面
?
交
?
于
c< br>,因为
b
∥
?
，
c?
?
，所以
c< br>∥
b
同理，在
b
上取一点B，过B和
a
确定平面< br>?
，
?
?
?
?d
可得
d
∥
a
由平行

α
平面的判定定理可得平面
?
∥
?

a A c
19．证明：如图，取BD中点E，连结AE，CE
δ
因为AB=AD，CB=CD所以△ABD和△BCD都是等
γ
腰三角形又等腰三角形的

.
d B b β

中线与高重合所以AE⊥BD，CE⊥BD由三垂线定理的逆定理可知CE即AC
在面BCD上的射影因为CE⊥BD，所以AC⊥BD

20．证明：取BC中点M，连接PM，QM，令AC=1，则BQ=
5
4
，
∵AB=2AC=2，∴QA=2-
5
3
22
?
3
?
2
5
4
=
4
。
∴QC=
QA?AC?< br>?
?
4
?
?
?1
=
4
。
∴QC=QB，∴QM⊥BC。又∵PM⊥BC，∴BC⊥平面PMQ，∴BC⊥PQ．
21.证明 若四点A，B，C，D不在同一平面内，设A点在平面BCD内的射影（垂足）
为 O，则AO⊥BC，又∵BC⊥AB，∴BC⊥面AOB，∴BC⊥OB；
同理DC⊥OD．
BD
2
?BO
2
?DO
2
,BD
2
?AB
2
?AD
2
;

但
OB?AB,OD?AD,?O B
2
?OD
2
?AB
2
?AD
2
,
∴
BD
2
〈

BD
2
，矛
盾．故四点A ，B，C，D在同一平面内，即四边形ABCD是矩形．
22. 证明：（1）连B
1
C交
BC
1
于E，连DE, 则DE∥
AB
1
，
而DE
?
面C
1
DB ，
AB
1
?
面C
1
DB， ∴
AB
1
∥平面C
1
DB

（2） 由（1）知∠DEB为异面
直线
AB
1
与BC
1
所成的角， 在

P
?DEB中，DE?5，BD?43，BE


?

5
C
---------------（2分）

cos?DEB?
50?48
2?5?5
?
1
25
。
A

H
----------------（2分）
D B

立几面测试007

一、选择题 (12×4=48)
1、若a
?
α， b
?
β，α∩β=c，a∩b=M，，则（ ）
A、M∈c B、M
?
c C、M
?
c D、M
?
β
A、有且仅有一个 B、至少有一个 C、至多有一个 D、有无数个
9、正方体ABCD－ A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为A
1
C
1
的中点，
则直线CE垂直于 ( )
A、直线AC B、直线B
1
D
1

C、直线A
1
D
1
D、直线A
1
A

10、已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点
在平面α内的射影一定 是△ABC的 ( )
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C
为其上三个点，则在正 方体盒子中，∠ABC等于 ( )
A、45° B、60° C、90° D、120°
12、在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是A
1
A、
AB上的点，若∠NMC
1
=90°，则∠NMB
1
( )
D
1

A
1

D

A

B

E

B
1

C
1

C

2、点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是 （ ）
（A）A∈l，l
?
α（B）A∈l，l
?
α （C）A
?
l，l
?
α （D）A
?
l，l∈α
3、EF是异面直线a、b的公垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为 （ ）
A、0 B、1 C、0或1 D、0，1或2
4、以下四个结论：① 若a
?
α, b
?
β，则a, b为异面直线；
② 若a
?
α, b
?
α，则a, b为异面直线；③ 没有公共点的两条直线是平行直线；
④ 两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
5、教室内有根棍子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与棍子所在直线( )

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、异面
6、正方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，AC与B
1
D所 成的
角为（ ）
A
B
C
D
1

A
1

M

A
D
N

D
1

B
1

F
D
A
E

B
B
B
1

C
1

D
1

A
1

D

A

B

B
1

C
1

A、小于90° B、等于90°
C、大于90° D、不能确定

C
?
??
?
A、 B、 C、 D、
6432
7、直线a与平面α所成的角为30
o
，直线b在 平面α内，若直
C

二、填空题(4×4=16分)
13、平面α同侧的两 点
A
、
B
到α的距离分别为4和6，则线段
AB
的中
点
M
到α平面的距离为 ______________
线a与b所成的角为
?
，则 ( )
A、0?<
?
≤30? B、0?<
?
≤90?
C、30?≤
?
≤90? D、30?≤
?
≤180? 14、已知E、F分别为棱长为a的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的
C
1


A
棱BB
1
、B
1
C
1
的中点，则A
1
到EF的距 离为
1
15、P是△ABC所在平面外一点；PB=PC =AB=AC，M是线
段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB=________
C
8、
a, b
是空间两条不相交的直线，那么过直线
b
且平行于直线
a
的平面( )
.

16、在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝BC＝3，AA
1
＝4，则异面直线AB
1
与
A
1
D所成的角的余弦值为
20、(12分)在P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，∠BAD
＝ 90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a， PD与底面成30°角，BE⊥PD于E
求直线BE与平面PAD所成的角；
P
三、解答题(56分)
17、(10分)已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，b与c不相交，

用反证法证明：b、c是异面直线。






18、(10分)已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，
P
PC＝AB＝ 2，E、F分别为PA和BC的中点
（1）求EF与PC所成的角；
E
（2）求线段EF的长

AC

F


B



19、(12分)正方形ABCD的边长为a，MA⊥平面ABCD， 且MA =a，试求： （1）

点M到BD的距离； （2）AD到平面MBC的距离



M



A
D



B C
.
E
A
D


B
C


21、(12分)正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，P、Q分别是正方形AA
1
D
1
D
和A
1
B
1
C
1D
1
的中心。（12分）
（1）证明：PQ∥平面DD
1
C
1
C；（2）求线段PQ的长；
（3）求PQ与平面AA
1
D
1
D所成的角

D C
A
B
P
D
1
C
1
A
1
Q
B
1

立几面测试007
参考答案
一、ABCAB DCBBB BB

二、13、5 14、
32
4
a 15、90° 16、
16
25


17、证明：假设b、c不是异面直线，由b与c不相交得c∥b
∵ c∥a ∴ a∥b，与a，b是异面直线相矛盾
故b、c是异面直线

18、解：设PB的中点为G，连接FG，EG
则FG∥PC且FG＝
1
2
PC，EG∥AB且EG＝
1
2
AB
故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角
∵ PC⊥AB ∴ ∠EGF＝90° 又EG＝GF＝1
∴ ∠GFE＝45° EF＝
2


19、解：1）连接AC交BD于O，连接MO，则AC⊥BD
∵ MA⊥平面ABCD ∴ MO⊥BD
即MO为点M到BD的距离
∵ PA＝a AO＝
2
2
a ∴ MO＝
3
a
2）过A作AH⊥PB于H，则AH为AD到平面MBC的距离
在Rt△MAB中，求得AH＝
2
2
a
.


20、解：1）∵ PA⊥平面ABCD
∴ ∠PDA为PD与底面所成的角，PA⊥AB
∵ ∠BAD＝90° ∴ AB⊥AD
∴ AB⊥平面PAD
∴ ∠BEA为BE与平面PAD所成的角
∵ BE⊥PD ∴ AE⊥PD
在Rt△PAD中，∠PDA＝30° AD＝2a
∴ AE＝a ∠BEA＝45°

21、1）证明：连接A
1
C
1，DC
1
，则Q为A
1
C
1
的中点
∴ PQ∥DC
1
且PQ＝
1
2
DC
1

∴ PQ∥平面DD
1
C
1
C
2）解：PQ＝
1
2
DC
2
1
＝
2

3）解：∵ PQ∥DC
1
∴ PQ、DC
1
与平面AA
1
D
1
D所成的角相等
∵ DC
1
与平面AA
1
D
1
D所成的角为45°
∴ PQ与平面AA
1
D
1
D所成的角为45°

立几面测试008

一、选择题 (12×4=48)
1、若a
?
α， b
?
β，α∩β=c，a∩b=M，，则（ ）
A、M∈c B、M
?
c C、M
?
c D、M
?
β
8、
a, b
是空间两条不相交的直线，那么过直线
b
且平行于直线
a
的平面( )
A、有且仅有一个 B、至少有一个 C、至多有一个 D、有无数个
9、 正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中， E为A
1
C
1
的中点，
则直线CE垂直于 ( )
A、直线AC B、直线B
1
D
1

C、直线A
1
D
1
D、直线A
1
A

10、已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影
一定 是△ABC的 ( )
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C
为其上三个点，则在正 方体盒子中，∠ABC等于 ( )
A、45° B、60° C、90° D、120°
12、在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是A
1
A、
2、点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是 （ ）
（A）A∈l，l
?
α（B）A∈l，l
?
α （C）A
?
l，l
?
α （D）A
?
l，l∈α
3、EF是异面直线a、b的公垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为 （ ）
A、0 B、1 C、0或1 D、0，1或2
4、以下四个结论：① 若a
?
α, b
?
β，则a, b为异面直线；
② 若a
?
α, b
?
α，则a, b为异面直线；③ 没有公共点的两条直线是平行直线；
④ 两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
5、教室内有根棍子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与棍子所在直线( )

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、异面
6、正方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，AC与B
1
D所 成的
角为（ ）
A
B
C
D
1

A
1

M

A
D
N

D
1

A
1

D
B
1

F
E

B
B
B
1

C
1

D
1

A
1

D

A

D
1

C
1


B
1


A

B

C

B

B
1

C
1

AB上的点，若∠NMC
1
=90°，则∠NMB
1
( )
A、小于90° B、等于90°
?
??
?
A、 B、 C、 D、
6432
7、直线a与平面α所成的角为30
o
， 直线b在平面α内，若直
C

C、大于90° D、不能确定

二、填空题(4×4=16分)
C
13、平面α同侧的两点
A
、
B
到α的距离分别为4和6，则线段
AB
的中
点
M
到α平面的距离为 ______________
14、已知E、F分别为棱长为a的正方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
的
棱BB
1
、B
1
C
1
的中点，则A
1
到EF的距 离为
线a与b所成的角为
?
，则
( )
A、0?<
?
≤30? B、0?<
?
≤90?
C、30?≤
?
≤90? D、30?≤
?
≤180?
.
A
1

D
E
C
1


C
A

15、P是△ABC所在平面外一点；PB=PC=AB=AC，M是线 段PA上一点，N
是线段BC的中点，则∠MNB=________
16、在长方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝BC＝ 3，AA
1
＝4，则异面直线AB
1
与
A
1
D所成的角的余弦值为

三、解答题(56分)
17、(10分)已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，b与c不相交，
用反证法证明：b、c是异面直线。

18、(10分)已知P为△ABC所在平面 外的一点，PC⊥AB，
PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点
（1）求EF与PC所成的角；
（2）求线段EF的长


19、(12分)正方形ABCD的边长为a，MA⊥平面ABCD，
且MA =a，试求： （1）点M到BD的距离； （2）AD
到平面MBC的距离









.
20、( 12分)在P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，∠BAD
＝90°，AD∥B C，AB＝BC＝a，AD＝2a， PD与底面成30°角，BE⊥PD于E
（1）求直线BE与平面PAD所成的角；






B
A
D
C
P
E
21、(12分)正方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ，P、Q分别是正方形
P
E
A
F
B
C
AA
1
D
1
D和A
1
B
1
C
1
D1
的中心。（12分）
（1）证明：PQ∥平面DD
1
C
1
C；（2）求线段PQ的长；
（3）求PQ与平面AA
1
D
1
D所成的角









D
A
P
D
1
A
1
B
C
C
1
Q
B
1
M
A
D


B C

立几面测试008
参考答案
一、ABCAB DCBBB BB

二、13、5 14、
32
4
a 15、90° 16、
16
25


17、证明：假设b、c不是异面直线，由b与c不相交得c∥b
∵ c∥a ∴ a∥b，与a，b是异面直线相矛盾
故b、c是异面直线

18、解：设PB的中点为G，连接FG，EG
则FG∥PC且FG＝
11
2
PC，EG∥AB且EG＝
2
AB
故∠GFE为EF与PC所成的角，∠EGF为PC与AB所成的角
∵ PC⊥AB ∴ ∠EGF＝90° 又EG＝GF＝1
∴ ∠GFE＝45° EF＝
2


19、解：1）连接AC交BD于O，连接MO，则AC⊥BD
∵ MA⊥平面ABCD ∴ MO⊥BD
即MO为点M到BD的距离
∵ PA＝a AO＝
2
2
a ∴ MO＝
3
a
2）过A作AH⊥PB于H，则AH为AD到平面MBC的距离
.

在Rt△MAB中，求得AH＝
2
2
a

20、解：1）∵ PA⊥平面ABCD
∴ ∠PDA为PD与底面所成的角，PA⊥AB
∵ ∠BAD＝90° ∴ AB⊥AD
∴ AB⊥平面PAD
∴ ∠BEA为BE与平面PAD所成的角
∵ BE⊥PD ∴ AE⊥PD
在Rt△PAD中，∠PDA＝30° AD＝2a
∴ AE＝a ∠BEA＝45°

21、1）证明：连接A
1
C
1
，DC
1
，则Q为A
1
C
1
的中点
∴ PQ∥DC
1
且PQ＝
1
2
DC
1

∴ PQ∥平面DD
1
C
1
C
2）解：PQ＝
1
2
2
DC
1
＝
2

3）解：∵ PQ∥DC
1
∴ PQ、DC
1
与平面AA
1
D
1
D所成的角相等
∵ DC
1
与平面AA
1
D
1
D所成的角为45°
∴ PQ与平面AA
1
D
1
D所成的角为45°

立几面测试009

掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握作二面角的平面角的三种基本方
法：
（1）棱上一点——双垂线法，即定义法；
（2）面上一点——三垂线法，关键找出连结两个 面上两点且垂直于其中一
个面的线段，再利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理作出证明；
（ 3）空间一点——垂面法，即作出与棱垂直的平面.求解二面角的大小问题，
常常转化为求解二面角的平 面角的大小问题，将空间问题转化为平面问题来求
解，这是一种数学的基本思想和方法.掌握利用面积射 影定理求二面角的方法.
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.二面角是指（ ）
A.两个平面所组成的角
B.经过同一直线的两个平面所成的图形
C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
D.两个平面所夹的不大于90°的角
2.从二面角的棱上一点，在两个半平面上各作一条射线所成的角中（ ）
A.二面角的平面角最大
B.二面角的平面角最小
C.二面角的平面角是最大还是最小，由二面角是否大于90°决定
D.二面角的平面角既非最大，也非最小
3.已知正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC 折起，设AD与平面ABC所成
的角为
β
，当
β
取最大值时，二面角 B—AC—D等于（ ）
A.120° B.90°
C.60° D.45°
4.四面体ABCD的四个面全等，且AB=AC=
3
，BC=2，则以 BC为棱，以
面BCD与面BCA为面的二面角的大小为（ ）

1
3

3
?
3
C.
2
D.
2
?
3

.
< br>5.在直角坐标系中，设A（3，2），B（－2，－3），沿y轴把直角坐标平面
折成120° 的二面角后，AB长为（ ）
A.2
3
B.2
11
C.
6
D.4
2

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，二面角D
1
—AC—D的正切值是________.
2.已知
α
—l—
β
二 面角的度数是60°,面
α
内一点A到棱l的距离为2
3
，
则A到面
β
的距离为________.
3.正方形ABCD，P是正方形所在平面外一点， PA⊥平面AC，且PA=AB，
则二面角A—PD—C的度数为________，二面角B—PA— D的度数为________，
二面角B—PA—C的度数为________，二面角B—PC—D的 度 数为________.
4.在60°的二面角
α
—l—
β
的 面
α
内一点A到面
β
的距离为
3
,A在
β
上的
射影为A′,则A′到面
α
的距离为________；异面直线AA′、l间的 距离为
________.
5.菱形ABCD的对角线AC=
3
，沿BD把 面ABD折起与面BCD成120°的
二面角后，点A到面BCD的距离为________.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
1.在二面角
α
— l—
β
中，A、B∈
α
,D∈l,ABCD为矩形，P∈
β
，PA⊥
α
，
且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，
（1）求二面角
α
—l—
β
的大小；
（2）求证：MN⊥AB；
（3）求异面直线PA与MN所成角的大小.
2.长方 体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长 AB=
3
，AA
1
=1，截面AB
1
C
1
D为正方
形.
（1）求点B
1
到平面ABC
1
的距离；
（2）求二面角B—AC
1
—B
1
的正弦值.

3.四面体M—ABC中，MC⊥平面ABC，∠BAC=9 0°,MC=4,AC=3,AB=4,求二
面角A—MB—C的余弦值.
5.如图，二面角 M—CD—N的度数为
α
，A为M上一点，B为N上一点，
CD在棱上，且AB⊥CD ，又AB与平面N成30°角，若△ACD的面积为S，求
α
为何值时，△BCD的面积最大， 其最大面积是多少？






4.如图，边 长为20的正△ABC顶点A在平面
α
内，B、C在平面
α
同侧，且
B、C到
α
的距离分别是10和5，求△ABC所在平面和
α
所成的二面角的 大小.


















.

立几面测试009
参考答案
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.C 2.B 3.B 4.C 5.B
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.
2
2.3 3.90° 90° 45° 120° 4.
3
3
2
1 5.
4

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
1.（1）解：连结PD
∵PA⊥
α
,AD⊥l
，
∴PD⊥l
∴∠PDA是二面角
α
—l—
β
的平面角.

由PA=AD，有∠PDA=45°.
故二面角
α
—l—
β
的大小为45°.
(2)证明：取CD的中点为E，连结ME、NE，则EM∥AD，EN∥PD，
∴CD⊥ME，CD⊥NE，
∴CD⊥平面MNE，又AB∥CD
∴AB⊥平面MNE，故AB⊥MN.
（3）解：取PD中点为Q，连结QA、QN，则QN
1
CD,
1
2
而AM
2
CD.
∴QNMA是平行四边形.
∴AQ∥MN
∴∠PAQ是异面直线PA与MN所成的角.
∵△PAD为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线，
.

∴∠PAQ=45°
即PA与MN所成的角的大小为45°.
2.解：（1）如图，

∵棱长AB=
3
，
AA
1
=1，
AB
1
C
1
D是正方形，
∴B
1
C
1
=AB
1
=2
∵AB⊥平面BB
1
C
1
C.
∴平面ABC
1
⊥平面BB
1
C
1
C.
作B
1
H⊥BC
1
于H，则B
1
H⊥平面ABC
1
，
∴B
1
H为点B
1
到平面ABC
1
的距离.
在Rt△BB
1
C
1
中
∵BB
1
·B< br>1
C
1
=BC
1
·B
1
H.
∴B
1
H=
BB
1
?B
1
C
1
BC< br>?
1?2
1?4
?
2
5
5
.
1< br>（2）作HO⊥AC
1
,垂足为O，则B
1
O⊥AC
1

∴∠HOB
1
是二面角B—AC
1
—B
1
的平 面角，又O是正方形AB
1
C
1
D的对角线
交点，
∴si nB
1
OH=
B
1
H
B
?
10

1
O5
3.解：如图，作AE⊥MB，CF⊥MB，则异面直线AE、CF所成的角等 于二
面角A—MB—C的平面角.

∵AC=3，MC=4，AM=5，AB=4.
∴BC=5，MB=
41

∵∠MAB=90°，AE=
20
，CF=
20
4141

BE=
AB
2
16MC
2
16
MB
?，MF=
41
MB
?
41
.
∴EF=MB－MF－B E=
41
－
16
×2=
9
4141

由公 式AC=
d
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?
得
cos
θ
=
EF
2
?AE
2?CF
2
?AC
2
16
2AE?CF
?
25< br>.
4.解：设BD、CE是点B、C到平面
α
的距离，则BD⊥
α< br>，CE⊥
α
,BD=10,CE=5,
BD∥CE，
∴B、D、E、C共面.
∵BD≠CE,∴BC、DE必相交，
设交点为F，∵DF
?
α
,∴F∈
α
,
∵BC
?
平面ABC ∴F∈平面ABC，
∴F是平面ABC和平面
α
的又一公共点.
∵A是平面ABC和平面
α
的公共点，
∴平面ABC∩平面
α
=AF，
在△BDF中，∵BD∥CE，BD=2CE，∴CF=BC.
又∵△ABC为正三角形
.

∴CF=AC，∠ACF=120°
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°+30°=90°.
由三垂线定理的逆定理，得DA⊥AF.
∴∠BAD是△ABC和平面
α
所成的二面角的平面角.
在Rt△ABD中，AB=20，BD=10，
∴∠BAD=30°，
∴△ABC所在平面和
α
所成的二面角的大小为30°.
5.解：过A作AO⊥平面N于O，连BO，BO或BO的延长线交CD于E，连
AE.

∵CD⊥AB ∴CD⊥BE
∴CD⊥AE.
∴∠AEB=
α
是二面角的平面角.
且∠ABO=30°
∵△ACD面积为S，设AE=h,CD=
2S
h
.
在△ABE中 ,∠AEB=
α
,∠ABO=30°,则∠BAE=150°－
α
.
由正弦定理
h
sin30?
?
BE
hsin(150??
?
)
sin(150??
?
)
,BE=
sin30?

S
1
△
BCD
=
2
CD·BE=
1< br>2S
hsin(150??
?
)
2
·
h
·< br>sin30?
=2Ssin(150°－
α
).
当
α
=60°时，S
△
BCD
=2S为最大.
由直线与平面垂直的性质，得

立几面测试010

一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数
为（ ）
A．3 B．1或2 C．1或3 D．2或3
２如果
a
和
b
是异面直线,直线
a
∥
c
,那么直线
b
与
c
的位置关系是
A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面
３．下列命题中正确的是
A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一
个点，则这两条直线 互为异面直线
B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条
直线相交
C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条
直线平行
D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则
这两条直线垂直
４． 在正方体A
1
B
1
C
1
D
1
—ABCD中 ，AC与B
1
D所成的角的大小为
（ ）
A．
?
6
B．
?
4

C．
?
3
D．
?
2

５．相交成60°的两条直 线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线
在平面
α
内的射影所成的角是 （ ）
A． 90° B．45° C．60° D．30°
６．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，
那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）
S
.
E
C
B
F
A

A．60° B． 90° C．45° D．30
７．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，
那么直线PC与平面PAB 所成角的余弦值是 （ ）
A．
3
B．
2
3
2
C．
6
3
D．
1
2

８．Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D是BC 的中点，AC＝2，DE⊥平面
ABC，
且DE＝1，则点E到斜边AC的距离是 （ ）


A
）
．

5
2
B．
11
2
C．
7
2
D．
19
4

９．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是（ ）
A． PD⊥BD B．PD⊥CD
C．PB⊥BC D．PA⊥BD
P


10．若a, b表示两条直线，
?
表示平面，下面命题
D
A
中正确的是
（ ）
O
A．若a⊥
?
, a⊥b，则b
?

C
B
B．若a
?
, a⊥b，则b⊥α
C．若a⊥
?
,b
?
?
，则a⊥b
D．若a
?
, b
?
，则ab
10．如图，是一个无盖 正方体盒子的表面展开图，A、B、C
为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于
A．45° B．60°
C．90° D．120°
12
．如果直角三角形的斜边与平面
?
平行，两条直角边所在直
线与 平面
?
所成的角分别为
?
1
和
?
2
，则
A．
sin
2
?
2
1
?sin
?
2
?1

B．
sin
2
?
2
1
?sin
?
2
?1

C．
sin< br>2
?
1
?sin
2
?
2
?1
D．
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?1

（


（

二、填空题（本题每小题４分，共１６分）
分）



20.（12
13． 在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，AB＝BC＝3，AA
1
＝4，则异面直线AB
1
与 A
1
D
所成的角的余弦值为 ．

14
．
已知△ABC，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，
（1）若点P 到△ABC的三个顶点的距离相等，那么O点一定是△ABC
的 ；（2）若点P到△ABC的三边所在直线的距离相等且O点
在△ABC内，那么O点一定是△ABC的 ．

15
．
如果平面
?
外的一条直线a与
?
内的两条直线垂直,那么a与
?
位置关系
是
16．A,B两点到平面?
的距离分别是３cm，５cm，M点是AB的中点，则M点
到平面的距离是
三、解答题：(本大题满分74).
18、（12分）
如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
D
1 1
C
1
D
1
中，
A
E
是
AA
1
的中点，求证：
A
1
C
平面
B
1
E
C
1
BDE
。


A
D



B
C
19．（12分）
AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，
P
P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O， PB与平面所
成角为45
（1）证明：BC⊥平面PAC ；
（2）求点A到平面PBC的距离．
.
C
A
OB
A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB =60°，AB=3，
AC=AD=2.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.

21（14分）
如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB, PC
的中点
(1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若?PDA＝45?，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
P


A
F
D

E

B C
22、．（本小题满分12分）
正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1．
（1）证明：面A′BD∥面B′CD′；
（2）求点B′到面A′BD的距离．
D′ C′
A′ B′
D
C
A B

立几面测试010
答卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A D A C A D A C B B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.
arccos
16
25
14．外心、内心 15．平行或相交
16． 4cm或 1cm
三、解答题（本大题共6题，共76分）
17．(12分)
证明：∵A、B、C是不在同一直线上的三点
∴由A、B、C确定一个平面
?
, 又
?AB?
?
?P,且AB?
?

?点P既在
?< br>内又在
?
内,设
?
?
?
?l,则p?l.

同理可证:Q?l,R?l?P,Q,R三点共线.


18、证明：连接< br>AC
交
BD
于
O
，连接
EO
，
∵
E
为
AA
1
的中点，
O
为
AC
的 中点
∴
EO
为三角形
A
1
AC
的中位线20、证 明：连接
AC
交
BD
于
O
，连接
EO
，
∵
E
为
AA
1
的中点，
O
为
AC
的中点∴
EO
为三角形
A
1
AC
的中位线
∴
EOAC
1

又
EO
在平面
BDE内，
A
1
C
在平面
BDE
外
.

∴
A
1
C
平面
BDE
。
19．（14分）解：（1）∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC
∵AB是⊙O的直径，C为圆上一点∴BC⊥AC
∴BC⊥平面PAC
（2）过A作AD⊥PC于D∵BC⊥平面PAC，BC
?
平面PBC
∴PAC⊥PBC，PC为交线 ∴AD⊥平面PBC ∴AD即为A到平面PBC的
距离.
依题意，∠PBA为PB与面ABC所成角，即∠PBA＝45°∴PA=AB=2，AC=1，
可得PC=
5
∵AD×PC＝PA×AC
∴AD＝
2?125
5
?
5
， 即A到平面PBC的距离为
25
5
…
20．(12分) 解（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴
△ABC≌△ ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，
CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.
（2）过A作
AO?BM
于O，∵CD⊥平 面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD，
∴BM是AB在面BCD内的射影，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
?BC?AB
2
?AC
2?AB?AC?7
.
在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=
3
.
在Rt △BCM中，BC=
7
，CM=1，
?BM?6
.
?cos?ABM ?
AB
2
?BM
2
?AM
2
6
2AB?B M
?
3
.

21．(12分) 证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE
P

（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点
∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，
∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又
∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②
A

综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD
F

∵ EF ? 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．
E

O

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD
B

C

∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC
∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

（3）若?PDA＝45?，则 PA＝AD＝BC
∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC
?FEO＝45?

22．(12分) （1）证明：∵A’D∥B’C，DB∥D’B’
∥
1

BC，FO
∥
1

PA ∵ EO
＝＝
22
∴ △FOE是直角三角形 ∴

又∵A’D∩DB＝D，B’C∩D’B’＝B’ ∴面A’BD∥面B’CD’
（2）解 法一：易知B
′
到平面
A′
BD的距离d等于A到平面
A′
BD的距离，
且△
A′
BD为等边三角形
由
V
可知< br>11
A'?ABD
?V
A?A'BD
3
S
?ABD< br>?AA
?
?
3
S
?A
?
BD
?d< br>
解得
S
1
?ABD
?,S
33
3
?A
?
BD
?
4
?BD
2
2
?
2
∴
d?
3

解法二：易知B
′
到面A
′
BD的距离d等于A到面A
′
BD的距离
沿A
′
BD截下三棱锥A-A
′
BD，易知是一个正三棱锥
过A作AF⊥A
′
BD，则AF即为A到平面A
′
BD的距离
如右图，DE为A
′
B的中线，且F为△A
′
BD的中心

DF?
2
3
DE?
236
3
?
2
?BD ?
3
，
AF?AD
2
?DF
2
?1?(
6
3
)
2
?
3
3
即A到平面A
′
BD的距离为
3
3
.
.
A
D
F
A'
E
B