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高中数学立体几何试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 07:23
tags:高中数学立体几何

高中数学必修五测试卷面分析-浙江最新高中数学教材版本

2020年9月21日发(作者:段理琦)


七、立体几何(命题人:黄埔区教育局教研室 肖凌戆)

1.(人教A版,必修2.P17.第4题)
图1是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.
正视图 侧视图
俯视图


变式题1.如图1-1是一个几何体的三视图(单位:cm)
(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;
(Ⅲ)设异面直线
AA
?

BC
?
所成的角为?
,求
cos
?

图1

A
A
?
3
正视图
A
C
1
BC
B
?
C
?
2
侧视图
B
A
1
3
俯视图
1
B
A
?
B
?

图1-1


解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1-2所示.
(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱.
22
由于底面
?ABC
的高为1,所以
AB?1?1?2

A
C
C
?
A
?
故所求全面积
S?2S?ABC
?S
BB
?
C
?
C
?2S
A BB
?
A
?


2
B
3
图1-2
B
?
1
?2??2?1 ?3?2?2?3?2?8?62
(cm
2
)

2
13
这个几何体的体积
V?S
?ABC
?BB
?
??2? 1?3?3
(cm)

2


(Ⅲ)因为
AA
?
BB
?
,所以
AA
?

BC
?
所 成的角是
?B
?
BC
?


Rt?BB< br>?
C
?
中,
BC
?
?

co s
?
?
BB
?
2
?B
?
C
?2
?3
2
?2
2
?13

BB
?
33
??13

BC
?
13
13
2.(人教A版,必修2,P20.例3)
如图2,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.
P
P
gO
?
g
O
?
O
正视图
O
侧视图
g
俯视图

变式题2-1.如图2-1.已知几何体的三视图(单位:cm).
(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法);
(Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积.
图2

2
2
P
g
O
?
2
2
2
P
g
O
?
2
正视图
2
g
O
2
g
O
侧视图
g
俯视图


图2-1

解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2-2所示.
(Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm,高为2cm),
它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm,母线长为2cm,高为
3
cm).


2
所以所求表面积
S?
?
?1?2
?
?1?2?
?
?1?2?7
?
(cm)

2
13
2
?
(cm
3
)
. 所求体积V?
?
?1?2??
?
?1?3?2
?
?
33
2
P
g
O
?
变式题2-2.如图2-3,已知几何体的三视 图(单位:cm).
(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;
(Ⅲ)设异面直线
A
1
Q< br>、
PD
所成角为
?
,求
cos
?
.(理科考 生)
g
O
图2-2
P
A
1
Q
2
B
1
D
1
P
2
A
1
2
A
D
1
2
B
C
1
2
正视图
D
2
侧视图
A
1
P
A
1


解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2-4所示.
Q
1
2
俯视图
B
1

图2-3
(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体
AC
1
及直三棱柱
B
1
C
1
Q?A
1
D
1
P
的组合体.
AD?AD?2
, 由
PA
1
?PD
1
?2

11
可得
PA
1
?PD
1

故所求几何体的全面积
P
D
1
Q
C
1
B
1
A
1
1
S?5?2?2?2?2?2??
2
2< br>?
2
?
3
2
?22?42
(cm
2
)

所求几何体的体积
D
A
图2-4
C
EB
1
V?2??
2
3
??
2?2?10
(cm )

2
(Ⅲ)由
PQCD
,且
PQ?CD
,可知< br>PDQC


?A
1
QC
为异面直线
A< br>1
Q

PD
所成的角(或其补角).
?A
1
B
1
?B
1
Q?2?2?6

AC
由题设知AQ
?3?2?23

1
1
2222
2



BC
中点
E
,则
QE?BC
,且
QE ?3

QC
2
?QE
2
?EC
2
?3< br>2
?1
2
?10

22
AQ?QC
2?AC
11
由余弦定理,得
cos
?
?cos?AQC

?
1
2AQ?QC
1

?
6?10?1215

?
15
26?10
3.(北师大版.必修2.P31.第4题)
如 图3,已知E,F分别是正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1< br>D
1
的棱
AA
1
和棱
CC
1
上的点 ,且
AE?C
1
F

求证:四边形
EBFD
1是平行四边形
D
1
A
1
B
1
C
1< br>F
E
A
D
图3
C
B

变式题:如 图3-1.已知
E

F
分别是正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
AA
1
和棱
CC
1
的中
点.
(Ⅰ)试判断四边形
EBFD
1
的形状;
(Ⅱ)求证:平面
EBFD
1
?
平面
BB
1
D
1
解(Ⅰ)如图3-2,取
BB
1
的中点
M
,连结
A1
M

MF


M

F
分 别是
BB
1

CC
1
的中点,

MF

?
B
1
C
1

在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1< br>中,有
D
1
C
1
B
1
A
1
F
C
E
A
D
1
D
图3-2
B
C
1
F
A
1
B
1

B
1
C
1
, ∴
MF

A
1
D
1
?
?
A
1
D
1

∴四边形
A
1
MFD
1
是平行四边形,
E
A
D
图3-1
C
B

D
1
F
. ∴
A
1
M
?



E

M
分别是
AA
1

BB
1
的中点,

BM
, ∴
A1
E
?
∴四边形
A
1
EBM
为平行四边形,

A
1
M
. ∴
EB
?

D
1
F
. 故
EB
?
∴四边形
EBFD
1
是平行四边形.

Rt?EAB

Rt?FCB


BE?BF

故四边形
EBFD
1
为菱形.
(Ⅱ)连结
EF

BD
1

A
1
C
1


EF?BD
1

在正方体
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,有
∵四边形
EBFD
1
为菱形,
B
1
D
1
?A
1
C
1

B
1
D
1
?A
1
A


B
1
D
1
?
平面
A
1
ACC
1< br>.

EF?
平面
A
1
ACC
1


EF?B
1
D
1


B
1
D
1
IBD
1
?D


EF?
平面
BB
1
D
1


EF?
平面
EBFD
1

故平面
EB FD
1
?
平面
BB
1
D
1

4.(人教A版,必修2,P74.例2)
如图4,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,求直线
A
1
B
与平面
D
1
C
1
B
1
A
1
D
A
图4
C
B


A
1
B
1
CD
所成的角.











变式题:如图4-1,已知正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中 ,底面边长
D
1
侧棱
BB
1
的长为4,过点
B
B
1
C
的的垂线交侧棱
CC
1

A
1
AB?2


E
,交
B
1
C< br>于点
F

C
1
B
1
E
D
F
C
(Ⅰ)求证:
A
1
C?
平面
BED

(Ⅱ)求
A
1
B
与平面
BDE
所成的角的正弦值.
A
图4-1
B
解:(Ⅰ)如图4-2,以
D
为原点,DA

DC

DD
1
所在直线分别为
x

y

z
轴建立
空间直角坐标系
D?xyz


D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A
1
(2,0,4),B
1
(2,2,4),C
1
(0,2,4),D
1
(0,0,4)

uuuruuur

E(0,2,t )
,则
BE?(?2,0,t),BC?(?2,0,?4)

1
uuuruuur

BE?B
1
C
,∴
BE?BC?4?0 ?4t?0

1
uuur

t?1
,∴
E(0, 2,1)

BE?(?2,0,1)

A
1
z
D
1
C
1
B
1
uuuruuur

AC?( ?2,2,?4),DB?(2,2,0)

1
uuuruuuruuuruuur

AC
1
?BE?4?0?4?0

AC
1
?DB??4?4?0?0

uuuruuuruuuruuur

AC ?DB

AC?BE

11
uuuruuuruuuruuuru uur

AC?BD

AC?BE
.∴
AC?
平面
BDE

111
x
E
D
A
图4-2 < br>F
C
y
B
uuuruuur
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
AC? (?2,2,?4)
是平面
BDE
的一个法向量,又
A
1
B ?(0,2,?4)

1


uuuruuur
uuuruuu r
AC
30
1
?A
1
B
uuuruuur

cosAC

,AB??
11
6
|AC
1||A
1
B|

A
1
B
与平面
BDE
所成角的正弦值为
30

6
5.(人教A版,必修2,P87,第10题)
如图5,已知平面
?,
?
,且
?
I
?
?AB,PC?
?
, PD?
?
,C,D
是垂足,试判断直线
AB

CD
的位置关系?并证明你的结论.









?
C
P
B
?
D
A
图5
变式题5 -1,如图5,已知平面
?
,
?
,且
?
I
?
?AB,PC?
?
,PD?
?
,C,D
是垂足.
(Ⅰ)求证:
AB?
平面
PCD

(Ⅱ)若
PC?PD?1,CD?
关系,并证明你的结论.
变式题5-1,如图5,已知平面
?
,
?


?
I
?
?AB,PC?
?
,PD?
?
,C,D
是垂足.
(Ⅰ)求证:
AB?
平面
PCD

(Ⅱ)若
PC?PD?1,CD?
?
2
,试判断平面
?
与平面
?
的位置
P
A
C
Q
图5-1
D
B?
2
,试判断平面
?
与平面
?
的位置关系,并证明你的 结论.
解(Ⅰ)因为
PC?
?
,AB?
?
,所以
PC?AB
.同理
PD?AB


PCIPD?P
,故
AB?
平面
PCD
(Ⅱ)设
AB
与平面
PCD
的交点为
H
,连结
CH

DH

因为
AB?
平面
PCD
, 所以
AB?CH,AB?DH

所以
?CHD
是二面角
C?AB?D
的平面角.

PC?PD?1,CD?2
,所以
CD
2
?PC
2
?PD
2
?2
,即
?CPD?90
0

0
在平 面四边形
PCHD
中,
?PCH??PDH??CPD?90

所以
?CHD?90

0


故平面
?
?
平面
?

变式题5-2.如图5-1,已知直二面角
?
?AB?
?

P??
,Q?
?
,PQ
与平面
?

?
所< br>成的角都为
30

PQ?4

0
?
PC?AB,C
为垂足,
QD?AB,D
为垂足.
(Ⅰ)求直线
PQ

CD
所成角的大小;
(Ⅱ)求四面体
PCDQ
的体积.
P
A
C
D
B
Q
?
E
图5-2 < br>
DQ
,连结
PE

QE
.则四边形
CDQE
为平解:(Ⅰ)如图5-2,在平面
?
内,作
CE
?

CD
,即
?PQE
为直线
PQ

CD
所成的角( 或其补角)行四边形,所以
EQ
?

因为
?
?
?
,
?
I
?
?AB,PC?AB

所以
PC?
?
.同理
QD?
?

00< br>0

PQ
与平面
?

?
所成角为
3 0
,所以
?PQC?30

?QPD?30
,所以
CQ?P Qcos30
0
?4?
3
1
?23

DQ?PQs in30
0
?4??2

2
2
22

R t?CDQ
中,
CD?CQ?DQ?12?4?22
,从而
EQ?22

因为
QD?AB
,且
CDQE
为平行四边形,
所以
EQ?CE


PC?
?
,EQ?
?
,所以
EQ?PC


EQ?
平面
PCE
,从而
EQ?PE


Rt?PEQ
中,
cos?PQE?
所以
?PQE?45

0
EQ222

??
PQ42
即直线
PQ

CD
所成角的大小为
45

(Ⅱ)在
Rt?P CQ
中,
PQ?4,?PQC?30
,所以
PC?2

0
0


三角形
CDQ
的面积
S
?CDQ
?
故四面体
PCDQ
的体积
11
CD?DQ??22?2?22

22
114
V?S
?CDQ
?PC??22?2?2

333
6.(人教A版,必修2,P87,B组第1题)
如图5,边长为2的正方形
ABCD
中,
(1)点
E
是< br>AB
的中点,点
F

BC
的中点,将
?AED,?D CF
分别沿
DE,DF
折起,使
A,C
两点重合于点
A?
,求证:
A
?
D?EF

(2)当
BE? BF?
A
E
BF
1
BC
时,求三棱锥
A
?
?EFD
的体积.
4
A
?
D
E
C
图6
D
F

B
变式题.如图5-1,在矩形
ABCD
中 ,
AB?2,AD?1,E

CD
的中点,以
AE
为折痕将
?DAE
向上折起,使
D

D
?
,且平面
D
?
AE?
平面
ABCE

(Ⅰ)求证:
AD
?
?EB

(Ⅱ)求直线
AC
与平面
ABD
?
所成角的正弦值. D
E
C
D
?
E
C
A
B
图6- 1
AB

解(Ⅰ)在
Rt?BCE
中,
BE?

Rt?AD
?
E
中,
AE?
222
BC
2
?CE
2
?2

D
?
A
2
?D
?
E
2
?2

2

AB?2?BE?AE


AE?BE

∵平面
AED
?
?
平面
ABCE
,且交线为
AE


BE?
平面
AED
?

D
?
E
A
图6-2
G
C
F
B< /p>



AD
?
?
平面
AED
?


AD
?
?BE

(Ⅱ)设
AC
BE
相交于点
F
,由(Ⅰ)知
AD
?
?BE


AD
?
?ED
?


AD
?
?
平面
EBD
?


AD
?
?
平面
AED
?

∴ 平面
ABD
?
?
平面
EBD
?
,且交线为
BD
?

如图6-2,作
FG?BD
?
,垂足为
G
,则
FG?
平面
ABD
?

连结
AG
,则
?FAG
是直线
AC
与平面
ABD
?
所成的角.
由平面几何的知识可知
12
EFEC1

??
,∴
EF?EB?
33
FBAB2
AE
2
?EF
2
?2?
225
?

93

Rt?AEF
中,
AF?

Rt?EBD
?
中,
26
FGD< br>?
E
,可求得
FG?

?
9
FBD
?
B
26
FG30
?
9
?

sin?F AG?

AF
25
15
3
∴直线
AC
与 平面
ABD
?
所成的角的正弦值为


30

15

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