高中数学必修五测试卷面分析-浙江最新高中数学教材版本
七、立体几何(命题人:黄埔区教育局教研室 肖凌戆)
1.(人教A版,必修2.P17.第4题)
图1是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.
正视图 侧视图
俯视图
变式题1.如图1-1是一个几何体的三视图(单位:cm)
(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;
(Ⅲ)设异面直线
AA
?
与
BC
?
所成的角为?
,求
cos
?
.
图1
A
A
?
3
正视图
A
C
1
BC
B
?
C
?
2
侧视图
B
A
1
3
俯视图
1
B
A
?
B
?
图1-1
解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1-2所示.
(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱.
22
由于底面
?ABC
的高为1,所以
AB?1?1?2
.
A
C
C
?
A
?
故所求全面积
S?2S?ABC
?S
BB
?
C
?
C
?2S
A
BB
?
A
?
2
B
3
图1-2
B
?
1
?2??2?1
?3?2?2?3?2?8?62
(cm
2
)
.
2
13
这个几何体的体积
V?S
?ABC
?BB
?
??2?
1?3?3
(cm)
2
(Ⅲ)因为
AA
?
BB
?
,所以
AA
?
与
BC
?
所
成的角是
?B
?
BC
?
.
在
Rt?BB<
br>?
C
?
中,
BC
?
?
故
co
s
?
?
BB
?
2
?B
?
C
?2
?3
2
?2
2
?13
,
BB
?
33
??13
.
BC
?
13
13
2.(人教A版,必修2,P20.例3)
如图2,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.
P
P
gO
?
g
O
?
O
正视图
O
侧视图
g
俯视图
变式题2-1.如图2-1.已知几何体的三视图(单位:cm).
(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法);
(Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积.
图2
2
2
P
g
O
?
2
2
2
P
g
O
?
2
正视图
2
g
O
2
g
O
侧视图
g
俯视图
图2-1
解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2-2所示.
(Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm,高为2cm),
它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm,母线长为2cm,高为
3
cm).
2
所以所求表面积
S?
?
?1?2
?
?1?2?
?
?1?2?7
?
(cm)
,
2
13
2
?
(cm
3
)
. 所求体积V?
?
?1?2??
?
?1?3?2
?
?
33
2
P
g
O
?
变式题2-2.如图2-3,已知几何体的三视
图(单位:cm).
(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;
(Ⅲ)设异面直线
A
1
Q<
br>、
PD
所成角为
?
,求
cos
?
.(理科考
生)
g
O
图2-2
P
A
1
Q
2
B
1
D
1
P
2
A
1
2
A
D
1
2
B
C
1
2
正视图
D
2
侧视图
A
1
P
A
1
解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2-4所示.
Q
1
2
俯视图
B
1
图2-3
(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体
AC
1
及直三棱柱
B
1
C
1
Q?A
1
D
1
P
的组合体.
AD?AD?2
, 由
PA
1
?PD
1
?2
,
11
可得
PA
1
?PD
1
.
故所求几何体的全面积
P
D
1
Q
C
1
B
1
A
1
1
S?5?2?2?2?2?2??
2
2<
br>?
2
?
3
2
?22?42
(cm
2
)
所求几何体的体积
D
A
图2-4
C
EB
1
V?2??
2
3
??
2?2?10
(cm
)
2
(Ⅲ)由
PQCD
,且
PQ?CD
,可知<
br>PDQC
,
故
?A
1
QC
为异面直线
A<
br>1
Q
、
PD
所成的角(或其补角).
?A
1
B
1
?B
1
Q?2?2?6
,
AC
由题设知AQ
?3?2?23
,
1
1
2222
2
取
BC
中点
E
,则
QE?BC
,且
QE
?3
,
QC
2
?QE
2
?EC
2
?3<
br>2
?1
2
?10
.
22
AQ?QC
2?AC
11
由余弦定理,得
cos
?
?cos?AQC
?
1
2AQ?QC
1
?
6?10?1215
.
?
15
26?10
3.(北师大版.必修2.P31.第4题)
如
图3,已知E,F分别是正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1<
br>D
1
的棱
AA
1
和棱
CC
1
上的点
,且
AE?C
1
F
,
求证:四边形
EBFD
1是平行四边形
D
1
A
1
B
1
C
1<
br>F
E
A
D
图3
C
B
变式题:如
图3-1.已知
E
、
F
分别是正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
AA
1
和棱
CC
1
的中
点.
(Ⅰ)试判断四边形
EBFD
1
的形状;
(Ⅱ)求证:平面
EBFD
1
?
平面
BB
1
D
1
. 解(Ⅰ)如图3-2,取
BB
1
的中点
M
,连结
A1
M
、
MF
.
∵
M
、
F
分
别是
BB
1
和
CC
1
的中点,
∴
MF
?
B
1
C
1
,
在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1<
br>中,有
D
1
C
1
B
1
A
1
F
C
E
A
D
1
D
图3-2
B
C
1
F
A
1
B
1
B
1
C
1
, ∴
MF
A
1
D
1
?
?
A
1
D
1
,
∴四边形
A
1
MFD
1
是平行四边形,
E
A
D
图3-1
C
B
D
1
F
. ∴
A
1
M
?
又
E
、
M
分别是
AA
1
、
BB
1
的中点,
BM
, ∴
A1
E
?
∴四边形
A
1
EBM
为平行四边形,
A
1
M
.
∴
EB
?
D
1
F
.
故
EB
?
∴四边形
EBFD
1
是平行四边形.
又
Rt?EAB
≌
Rt?FCB
,
∴
BE?BF
,
故四边形
EBFD
1
为菱形.
(Ⅱ)连结
EF
、
BD
1
、
A
1
C
1
.
∴
EF?BD
1
.
在正方体
A
BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,有
∵四边形
EBFD
1
为菱形,
B
1
D
1
?A
1
C
1
,
B
1
D
1
?A
1
A
∴
B
1
D
1
?
平面
A
1
ACC
1<
br>.
又
EF?
平面
A
1
ACC
1
,
∴
EF?B
1
D
1
.
又
B
1
D
1
IBD
1
?D
,
∴
EF?
平面
BB
1
D
1
.
又
EF?
平面
EBFD
1
,
故平面
EB
FD
1
?
平面
BB
1
D
1
4.(人教A版,必修2,P74.例2)
如图4,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,求直线
A
1
B
与平面
D
1
C
1
B
1
A
1
D
A
图4
C
B
A
1
B
1
CD
所成的角.
变式题:如图4-1,已知正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中
,底面边长
D
1
侧棱
BB
1
的长为4,过点
B作
B
1
C
的的垂线交侧棱
CC
1
于
A
1
AB?2
,
点
E
,交
B
1
C<
br>于点
F
.
C
1
B
1
E
D
F
C
(Ⅰ)求证:
A
1
C?
平面
BED
;
(Ⅱ)求
A
1
B
与平面
BDE
所成的角的正弦值.
A
图4-1
B
解:(Ⅰ)如图4-2,以
D
为原点,DA
、
DC
、
DD
1
所在直线分别为
x
、
y
、
z
轴建立
空间直角坐标系
D?xyz
.
∴
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A
1
(2,0,4),B
1
(2,2,4),C
1
(0,2,4),D
1
(0,0,4)
.
uuuruuur
设
E(0,2,t
)
,则
BE?(?2,0,t),BC?(?2,0,?4)
.
1
uuuruuur
∵
BE?B
1
C
,∴
BE?BC?4?0
?4t?0
.
1
uuur
∴
t?1
,∴
E(0,
2,1)
,
BE?(?2,0,1)
.
A
1
z
D
1
C
1
B
1
uuuruuur
又
AC?(
?2,2,?4),DB?(2,2,0)
,
1
uuuruuuruuuruuur
∴
AC
1
?BE?4?0?4?0
且
AC
1
?DB??4?4?0?0
.
uuuruuuruuuruuur
∴
AC
?DB
且
AC?BE
.
11
uuuruuuruuuruuuru
uur
∴
AC?BD
且
AC?BE
.∴
AC?
平面
BDE
.
111
x
E
D
A
图4-2 <
br>F
C
y
B
uuuruuur
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
AC?
(?2,2,?4)
是平面
BDE
的一个法向量,又
A
1
B
?(0,2,?4)
,
1
uuuruuur
uuuruuu
r
AC
30
1
?A
1
B
uuuruuur
∴
cosAC
.
,AB??
11
6
|AC
1||A
1
B|
∴
A
1
B
与平面
BDE
所成角的正弦值为
30
.
6
5.(人教A版,必修2,P87,第10题)
如图5,已知平面
?,
?
,且
?
I
?
?AB,PC?
?
,
PD?
?
,C,D
是垂足,试判断直线
AB
与
CD
的位置关系?并证明你的结论.
?
C
P
B
?
D
A
图5
变式题5
-1,如图5,已知平面
?
,
?
,且
?
I
?
?AB,PC?
?
,PD?
?
,C,D
是垂足.
(Ⅰ)求证:
AB?
平面
PCD
;
(Ⅱ)若
PC?PD?1,CD?
关系,并证明你的结论.
变式题5-1,如图5,已知平面
?
,
?
,
且
?
I
?
?AB,PC?
?
,PD?
?
,C,D
是垂足.
(Ⅰ)求证:
AB?
平面
PCD
;
(Ⅱ)若
PC?PD?1,CD?
?
2
,试判断平面
?
与平面
?
的位置
P
A
C
Q
图5-1
D
B?
2
,试判断平面
?
与平面
?
的位置关系,并证明你的
结论.
解(Ⅰ)因为
PC?
?
,AB?
?
,所以
PC?AB
.同理
PD?AB
.
又
PCIPD?P
,故
AB?
平面
PCD
. (Ⅱ)设
AB
与平面
PCD
的交点为
H
,连结
CH
、
DH
.
因为
AB?
平面
PCD
,
所以
AB?CH,AB?DH
,
所以
?CHD
是二面角
C?AB?D
的平面角.
又
PC?PD?1,CD?2
,所以
CD
2
?PC
2
?PD
2
?2
,即
?CPD?90
0
.
0
在平
面四边形
PCHD
中,
?PCH??PDH??CPD?90
,
所以
?CHD?90
.
0
故平面
?
?
平面
?
.
变式题5-2.如图5-1,已知直二面角
?
?AB?
?
,
P??
,Q?
?
,PQ
与平面
?
、
?
所<
br>成的角都为
30
,
PQ?4
.
0
?
PC?AB,C
为垂足,
QD?AB,D
为垂足.
(Ⅰ)求直线
PQ
与
CD
所成角的大小;
(Ⅱ)求四面体
PCDQ
的体积.
P
A
C
D
B
Q
?
E
图5-2 <
br>
DQ
,连结
PE
、
QE
.则四边形
CDQE
为平解:(Ⅰ)如图5-2,在平面
?
内,作
CE
?
CD
,即
?PQE
为直线
PQ
与
CD
所成的角(
或其补角)行四边形,所以
EQ
?
.
因为
?
?
?
,
?
I
?
?AB,PC?AB
.
所以
PC?
?
.同理
QD?
?
.
00<
br>0
又
PQ
与平面
?
、
?
所成角为
3
0
,所以
?PQC?30
,
?QPD?30
,所以
CQ?P
Qcos30
0
?4?
3
1
?23
,
DQ?PQs
in30
0
?4??2
.
2
2
22
在
R
t?CDQ
中,
CD?CQ?DQ?12?4?22
,从而
EQ?22
.
因为
QD?AB
,且
CDQE
为平行四边形,
所以
EQ?CE
.
又
PC?
?
,EQ?
?
,所以
EQ?PC
.
故
EQ?
平面
PCE
,从而
EQ?PE
.
在
Rt?PEQ
中,
cos?PQE?
所以
?PQE?45
,
0
EQ222
.
??
PQ42
即直线
PQ
与
CD
所成角的大小为
45
.
(Ⅱ)在
Rt?P
CQ
中,
PQ?4,?PQC?30
,所以
PC?2
.
0
0
三角形
CDQ
的面积
S
?CDQ
?
故四面体
PCDQ
的体积
11
CD?DQ??22?2?22
,
22
114
V?S
?CDQ
?PC??22?2?2
.
333
6.(人教A版,必修2,P87,B组第1题)
如图5,边长为2的正方形
ABCD
中,
(1)点
E
是<
br>AB
的中点,点
F
是
BC
的中点,将
?AED,?D
CF
分别沿
DE,DF
折起,使
A,C
两点重合于点
A?
,求证:
A
?
D?EF
.
(2)当
BE?
BF?
A
E
BF
1
BC
时,求三棱锥
A
?
?EFD
的体积.
4
A
?
D
E
C
图6
D
F
B
变式题.如图5-1,在矩形
ABCD
中
,
AB?2,AD?1,E
是
CD
的中点,以
AE
为折痕将
?DAE
向上折起,使
D
为
D
?
,且平面
D
?
AE?
平面
ABCE
.
(Ⅰ)求证:
AD
?
?EB
;
(Ⅱ)求直线
AC
与平面
ABD
?
所成角的正弦值. D
E
C
D
?
E
C
A
B
图6-
1
AB
解(Ⅰ)在
Rt?BCE
中,
BE?
在
Rt?AD
?
E
中,
AE?
222
BC
2
?CE
2
?2
,
D
?
A
2
?D
?
E
2
?2
,
2
∵
AB?2?BE?AE
,
∴
AE?BE
.
∵平面
AED
?
?
平面
ABCE
,且交线为
AE
,
∴
BE?
平面
AED
?
.
D
?
E
A
图6-2
G
C
F
B<
/p>
∵
AD
?
?
平面
AED
?
,
∴
AD
?
?BE
.
(Ⅱ)设
AC
与BE
相交于点
F
,由(Ⅰ)知
AD
?
?BE
,
∵
AD
?
?ED
?
,
∴
AD
?
?
平面
EBD
?
,
∵
AD
?
?
平面
AED
?
,
∴
平面
ABD
?
?
平面
EBD
?
,且交线为
BD
?
,
如图6-2,作
FG?BD
?
,垂足为
G
,则
FG?
平面
ABD
?
,
连结
AG
,则
?FAG
是直线
AC
与平面
ABD
?
所成的角.
由平面几何的知识可知
12
EFEC1
.
??
,∴
EF?EB?
33
FBAB2
AE
2
?EF
2
?2?
225
?
,
93
在
Rt?AEF
中,
AF?
在
Rt?EBD
?
中,
26
FGD<
br>?
E
,可求得
FG?
.
?
9
FBD
?
B
26
FG30
?
9
?
∴
sin?F
AG?
.
AF
25
15
3
∴直线
AC
与
平面
ABD
?
所成的角的正弦值为
30
.
15
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