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数学必修(二)知识梳理与解题方法分析
第一章 《空间几何体》
一、本章总知识结构
二、各节内容分析
1.1空间几何体的结构
1.本节知识结构
.
1.2空间几何体三视图和直观图
1、本节知识结构
1.3 空间几何体的表面积与体积
1、本节知识结构
。
三、高考考点解析
本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容:
1.多面体的体积(表面积)问题;
2.点到平面的距离(多面体的一个顶点到多面体一个面的距离)
问题—“等体积代换法”。
(一)多面体的体积(表面积)问题
1. 在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形
,∠DAB=60,对角线AC与BD
相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角
为
60.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
【解】(1)在四棱锥P-
ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,
于是,PO=BOtan60°=
3
,
?
?
.
而底面菱形的面积为2
3
.
∴四棱锥P-
ABCD的体积V=
1
×2
3
×
3
=2.
32.如图,长方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、P分别是BC、
A
1
D
1
的中点,M、
N分别是AE、
CD
1
的中点,
AD=AA
1
?a,
AB=2a,
(Ⅲ)求三棱锥P-DEN的体积。
【解】
(Ⅲ)S
?NEP
?
11
S
矩形ECD
1
P
?BC?CD
1
24
?
15
2
?a?a
2
?4a
2
?a
44
作
DQ?CD
1<
br>,交
CD
1
于
Q
,由
A
1
D
1
?
面
CDD
1
C
1
得
AC
1
1
?DQ
∴
DQ?
面
BCD
1
A
1
∴在
Rt?CDD
1
中,
DQ?
CD?DD
1
2a?a
2
??a
CD
1
5a5
∴
V
P?DEN
?V
D?ENP
?
1
1
15
2
2
S
?NEP
?DQ
?a?a
?a
3
。
3
6
34
5
(二)点到平面的距离问题—“等体积代换法”。
1 如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2.
(III)求点E到平面ACD的距离。
【解】 (III)
设点E到平面ACD的距离为
h.
A
QV
E?ACD
?V
A?CDE
,
D
O
BE
C
11
∴
hgS
?ACD
?gAOgS
?CDE
.
33
在
?ACD
中,
CA?CD?2,AD?2,
<
br>127
?S
?ACD
??2?2
2
?()
2
?.
222
而
AO?1,S
?CDE
?
132
3
??2?,
242
.
?h?
AO.S
?CDE
?
S
?ACD
1?
3
2
?
21
.
7
7
2
21
.
7
?
点E到平面
ACD的距离为
2.如图,已知正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧棱长和底
面边长为1,
M
是底面
BC
边上
的中点,
N
是侧棱
CC
1
上
的点,且
CN=2C<
br>1
N
。
(Ⅱ)求点
B
1
到平面
AMN
的距离。
【解】(
Ⅱ)过
B
1
在面
BCC
1
B
1
内作直线
B
1
H?MN
,
H
为垂足。又
AM?
平面
BCC
1
B
1
,所以AM
?
B
1
H
。于是
B
1
H
?
平面AMN,
故
B1
H
即为
B
1
到平面AMN的距离。在
R
1<
br>?B
1
HM
中,
B
1
H
=
B
1
M
sinB
1
MH?
51
?1??1
。故点<
br>B
1
到平面AMN的距离
25
为1。
3 如图,已知三棱锥
O?ABC
的侧棱
OA、OB、OC
两两垂
直,且OA=1,OB=
OC=2,E是OC的中点。
(1)求O点到面ABC的距离;
【解】(1)取BC的中点D,连AD、OD。
QOB?OC
,则
OD?BC、AD?BC,
∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H,
则OH⊥面ABC,OH的长就是所要求的距离。 <
br>BC?22
,
OD?OC
2
?CD
2
?2
。
.
∴
OA?
面OBC,则
OA?OD
。
QOA?OB,OA?OC,
AD?OA
2
?OD
2
?3
,在直角三角形OAD中,有<
br>OH?
OA?OD26
??。
AD3
3
(另解:由
V
O??ABC
?
6
112
)
S?ABC
?OH?OA?OB?OC?
知:
OH?
3
363第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》
一、本章的知识结构
二、各节内容分析
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系
1、本节知识结构
2.内容归纳总结
(1)四个公理
.
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
符号语言:
A?l,B?l,且A?
?
,B?
?
???l?
?
。
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
三个推论:① ② ③
它给出了确定一个平面的依据。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,
那么它们有且只有一条过该点的公共直
线(两个平面的交线)。
符号语言:
P??
,且P?
?
?
?
I
?
?l,P?l
。
公理4:(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言:
al,且bl?ab
。
(2)空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线
a,b
,经过空间任意一点O作直线
a
?
a,b<
br>?
b
,我们把
a
?
与
b
?
所成的角
(或直角)叫异面直线
a,b
所成的夹角。(易知:夹角范围
0?
?
?90?
)
定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那
么这两个角相
等或互补。(注意:会画两个角互补的图形)
?
?
相交直线:
_______________________________;
?
共面直线
?
2.位置关系:
?
?
平行直线:____________________
___________;
?
?
异面直线:______________
___________________________.
(3)空间中直线与平面之间的位置关系
?
1.直线在平面内:l?
?
?
直线与平面的位置关系有三种:?
?
2.直线与平面相交:l
I
?
?A
?<
br>直线在平面外
?
3.直线与平面平行:l
?
?
?
(4
)空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种:
?
?
1.两个平面平行:
?
?
?
2.两个平面相交:
?
I
?
?l
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
1、本节知识结构
.
2.内容归纳总结
(1)四个定理
定理 定理内容
平面外的一条直
线与平面内的一条直
线平行,则该直线与
此平面平行。
一个平面内的两
条相交直线与另一个
平面平行,则这两个
平面平行。
一条直线与一个
平面平行,则过这条
直线的任一平面与此
平面的交线与该直线
平行。
如果两个平行平
面同时和第三个平面
相交,那么它们的交
线平行。
符号表示 分析解决问题的常用方法
在已知平面内“找出”
一条直线与已知直线平行
就可以判定直线与平面平
行。即将“空间问题”转化
为“平面问题”
判定的
关键:在一个已
知平面内“找出”两条相交
直线与另一平面平行。即将
“面面平行问题
”转化为
“线面平行问题”
直线与平面
平行的判定
a?
?
,b?
?
,且ab
?a
?
a?
?
,b?
?
,
a
I
b?P,a
?<
br>,b
?
?
?
?
平面与平面
平行的判定
直线与平面
平行的性质
a
?
,a?
?
,
?
I
?
?b
?ab
平面与平面
平行的性质
?
?
,
?
I
?
?a,
?
I
?
?b?ab
(2)定理之间的关系及其转化 两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平
行,所以在解
题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是:将“高维问题”转化
为“低维问题”,将“空间
问题”转化为“平面问题”。
2.3
直线、平面平垂直的判定及其性质
1、本节知识结构
.
2.内容归纳总结
(一)基本概念
1.直线与平面垂直:如果直线
l与平面
?
内的任意一条直线
都垂直,我们就说直线
l
与平面?
垂直,记作
l?
?
。直线
l
叫做平
面
?
的垂线,平面
?
叫做直线
l
的垂面。直线与平面的公共点
P
叫
做垂足。
2. 直线与平面所成的角:
角的取值范围:
0?
?
?90?
。
3.二面角:从一条直
线出发的两个半平面所组成的图形叫做
二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的<
br>面。
二面角的记法:
二面角的取值范围:
0?
?
?180?
两个平面垂直:直二面角。
(二)四个定理
定理 定理内容
一条直线与一个
平面内的两条相交直
线垂直,则该直线与
此平面垂直。
符号表示 分析解决问题的常用方法
在已知平面内“找出”
m
、
n
?
?
,m
I
n?P,
两条相交直线与已知直线
垂
直就可以判定直线与平
且a?m,a?n
面垂直。即将“线面垂直”
?a?
?
转化为“线线垂直”
直线与平面
垂直的判定
平面与平面
垂直的判定
一个平面过另一
平面的垂线,则这两
个平面垂直。
同垂直与一个平
面的两条直线平行。
a?
?
,a?
??
?
?
?
(满足条件与
?
垂直
的平面
?
有无数个)
判定的关键:在一个已
知平面内“找出”两条相交
直线与另一
平面平行。即将
“面面平行问题”转化为
“线面平行问题”
直线与平面
垂直的性质
a?
?
,b?
?
?ab
.
平面与平面
垂直的性质
两个平面垂直,
则一个平面内垂直与
交线的直线与另一个
平面垂直。
?
?
?
,
?
I
?
?l,a?
?
,
解决问题时,常添加的
辅助线是在一个平面内作
a?l?a?
?
两平面交线的垂线
(三)定理之间的关系及其转化:
两平面垂直问题常转化为直线
与直线垂直,而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂
直,所以在解题时应注意从“高维”到“低维”
的转化,即“空间问题”到“平面问题”
的转化。
三、高考考点解析
第一部分、三类角(异面直线所成的夹角、直线与平面所成
的角、二面角)的求解问题
(一)异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线
1.异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的
考点。
异面直线所成的角
的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量,掌握好概念是
解题的关键,其思维方法是把两条异
面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”,然
后证明这个角就是所求的角,再利用三角形解出所
求的角(简言之:①“转化角”、②“证
明”、③“求角”)。以上三个步骤“转化角”是求解的关键,
因为转化的过程往往就是求解
的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题(角问题)”。
1. 如图所示,
AF
、
DE
分别是
eO
、
eO
1
的直径,
AD
与两圆所在的平面均垂直,
AD?8
.
BC
是
eO
的直径,
AB?AC?6
,
OEAD
。
(II)求直线
BD
与
EF
所成的角。
【解】(II)第一步:将“问题”转化为求“平面角”
问题
根据定义和题设,我们
只能从两条异面直线的四个顶
点出发作其中一条直线的平行线,此题我们只能从点D作
符合条件
的直线。
连结DO,则∠ODB即为所求的角。
第二步:证明∠ODB就是所求的角
在平面ADEF中,DEAF,且DE=AF,所以四边形
ODEF为平行四边形
所以DOEF
.
所以根据定义,∠ODB就是所求的角。
第三步:求角
由题设可知:底面ABCD为正方形
∵ DA⊥平面ABCD
BC?
平面
ABCD
∴ DA⊥BC
又
∵AF⊥BC ∴ BC⊥平面ADO
∴ DO⊥BC
∴ △DOB为直角三角形
∴ 在Rt△ODB,
BD?10
DO?82
∴
cos?ODB?
8282
(或用反三角
函数表示为:
arccos
)
1010
2.在四棱锥P-ABCD中,底面
是边长为2的菱形,∠DAB=60
?
,对角线AC与BD
相交于点O,PO⊥平面A
BCD,PB与平面ABCD所成的角为
60
?
.
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的
大小(结果用反三角函数值表示).
【解】(2)取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA,
∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)。
在Rt△AOB中AO=ABcos30°=
3
=OP,
于是,在等腰Rt△POA中,PA=
6
,则EF=
6
.
2
16
EF
2
?
4
=在正△ABD和正△PBD中,DE=
DF=
3
. cos∠FED=
2
DE
4
3
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos
2
.
4
3. 如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2.
(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;
【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关
系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本
知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算
能力。
方法一:(II) 取AC的中点M,连结OM、ME、
B
OE,由
E为BC的中点知
ME∥AB,OE∥DC
?
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与
CD所成的角
A
D
O
E
C
.
在
?OME
中,
EM?
121
AB?,OE?DC?1,
222
2
1
,
AC?1,
?c
os?OEM?
4
2
QOM
是直角
?AOC
斜边AC上的中
线,
?OM?
2
.
4
?
异面直线AB与CD所成角的大小为
arccos
4. 如图,
已知三棱锥
O?ABC
的侧棱
OA
且OA=1,OB=OC=2,
、
OB、OC
两两垂直,
E是OC的中点。
(2)求异面直线BE与AC所成的角;
【
解】(2)取OA的中点M,连EM、BM,则EM∥AC,∠BEM是异面直线BE与AC所
成的角。
求得:
EM?
1517
AC?,BE?OB
2
?OE<
br>2
?5
,
BM?OM
2
?OB
2
?。
222
BE
2
?ME
2
?BM
2
2<
br>2
cos?BEM??
, ∴
?BEM?arccos
。
2BE?ME5
5
2. 异面直线的公垂线问题
异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一。
与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公
垂线.任何两条确定的异面直
线都存在唯一的公垂线段.
1
.如图,在直三棱柱ABC?A
1
B
1
C
1
中,
AB?BC,D<
br>、
E
分别为
BB
1
、
AC
1
的中点
。
(
I
)证明:
ED
为异面直线
BB
1
与
AC
1
的公垂线;
1
【解】 (Ⅰ)设O为A
C中点,连接EO,BO,则EO
∥
=
2
C
1
C,
E
C
1
A
1
D
B
1
∥
DB,E
OBD为平行四边形,ED∥OB.又C
1
C
∥
=
B
1
B,所以EO
=
∵AB=BC,∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC
1
A
1
,
BO
?
面ABC, 故BO⊥平面
.
C
B
C
1
A
B
1
A
1
D
E
F
B
A
C
O
ACC
1
A
1
,
∴ED⊥平面ACC
1
A
1
,
ED⊥AC
1
, ED⊥CC
1
,
∴ED⊥BB
1
,ED为异面直线AC
1
与BB
1
的公垂线.
2如图,已知平面
A
1
B
1
C
1
平行于三棱锥<
br>V?ABC
的底面ABC,等边△
AB
1
C
所在的平
面与底面ABC垂直,且∠ACB=90°,设
AC?2a,BC?a
(Ⅰ)求证直
线
B
1
C
1
是异面直线
AB
1
与
A
1
C
1
的公垂线;
【解】解法1:(Ⅰ)证明:
∵平面
V
A
1
B
1
A
C
1
A
1
B
1
C
1
∥平面
ABC
,
?B
1
C
1
BC,AC
11
AC
C
B
QBC?AC
?B
1
C
1
?A
1
C
1
又∵平面
AB
1
C
⊥平面
ABC
,平面
AB1
C
∩平面
ABC?AC
,
∴
BC
⊥平面
AB
1
C
,
?BC?AB
1
?B
1
C
1
?AB
1
,
又
QA
1
C
1
?B
1
C
1
?C
1
,
B
1
C
1
?AB
1
?B
1
.
?B
1
C
1
为
AB
1
与
A
1
C
1
的公垂线.
(二) 直线与平面所成夹角
1.如图,在四棱锥
P?ABCD
中,底面为直角梯形,
ADBC
,
?BAD?90
o
,
PA?
底面
ABCD
,且<
br>PA?AD?AB?2BC
,
M、N
分别为
PC
、
P
B
的中点。
(Ⅱ)求
CD
与平面
ADMN
所成的角。
【解】 (II)取
AD
的中点
G
,连结
BG
、<
br>NG
,
则
BGCD
,
所以
BG
与平面<
br>ADMN
所成的角和
CD
与平面
ADMN
所
成的角相
等.
因为
PB?
平面
ADMN
,
所以
?BGN
是
BG
与平面
ADMN
所成的角.
在
Rt?BNG
中,
sin?BGN?
故
CD
与平
面
ADMN
所
成的角是
arcsin
BN10
?
。
BG5
10
。
5
E
A
A
1
2.
在正三角形ABC
中,E、F、P分别是AB、
F
.
B
E
F
B
P
图1
C
图2
P
C
AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:F
A=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到
?A
1
EF
的
位置,使二面角A
1
-EF-B成直二面角,连结A
1
B、A
1P(如图2)
(Ⅱ)求直线A
1
E与平面A
1
BP所成角的大小;
【解】不妨设正三角形的边长为3,则
(II)在图2中,∵A
1
E不垂直
于A
1
B,∴A
1
E是面A
1
BP的斜线,又A
1
E⊥面BEP,
∴A
1
E⊥BP,∴BP垂直于A
1
E在
面A
1
BP内的射影(三垂线定理的逆定理)
设A
1
E在面A1
BP内的射影为A
1
Q,且A
1
Q交BP于Q,
则
∠EA
1
Q就是A
1
E与面A
1
BP所成的角,且BP⊥A
1
Q。
在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60
o
,∴
△EBP为正三角形,∴BE=EP。
又A
1
E⊥面BEP,∴A
1
B=A
1
P,∴Q为BP的中点,且EQ=
3
,而A
1
E
=1,
∴在Rt△A
1
EQ中,
tan?A
1
EQ?EQ
?3
,即直线A
1
E与面A
1
BP所成角为60<
br>o
。
A
1
E
(三) 二面角与二面角的平面角问题
1. 如图所示,
AF
、
DE
分别是
eO
、
eO
1
的直径,
AD
与两圆所在的平面均垂直,
AD?8
.
BC
是
eO
的直径,
AB?AC?6
,
OEAD
。
(I)求二面角
B?AD?F
的大小;
【解】(I)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角,
依题意可知,ABFC是正方形,所以∠BAF=45
0
.
即二面角B—AD—F的大小为45
0
;
2.如图,P是边长为
1的正六边形ABCDEF所
在平面外一点,
PA?1
,P在平面ABC内的射影为<
br>BF的中点O。
(Ⅱ)求面
APB
与面
DPB
所成二面角的大小。
【解】连结AD,则易知AD与BF的交点为O。
(II)设M为PB的中点,连结AM,MD。
Q在?ABP中PA?AB,?PB?AM,
Q
斜线PB在平面ABC内的射影为OB,
BF?AD
。
?由三垂线定理得PB?AD.
又
QAM?AD?A,
?PB?平面AMD.
.
QMD?平面AMD,
?PR?MD.
因此,
?AMD
为所求二面角的平面角。
在正六边形ABCDEF中,
BD?BF?2OB?3,AD?2.
在Rt
?AOP中,PA?1,OA?
1
,
2
?PO?PA
2
?OA
2
?
3
.
2
616
,
,则
BM?PB?
224
在Rt?BOP中,PB?PO
2
?OB
2
?
AM?AB
2<
br>?BM
2
?
1042
,
MD?BD
2
?BM
2
?.
44
MA<
br>2
?MD
2
?AD
2
105
??
在
?AMD
中,由余弦定理得
cos?AMD?
2?MA?MD35
因此,所求二面角的大小为
arccos(?
105
).
35
3. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥
P?ABCD
中,
AB?AC
,
PA?
平面
ABCD
,且
PA?AB
,点
E
是
PD
的中点.
(Ⅲ)求二面角
E?AC?B
的大小.
【解】(Ⅲ)如图,取AD的中点F,连EF,FO,则EF是△PAD的中位线,
?EF
PA
又
PA?
平面
ABCD
,
?EF?平面
ABCD
同理FO是△ADC的中位线,
?FO
AB?FO?AC由三垂线定理可知??EOF是
二面角E-AC-D的平面角.
又FO=
=
1
AB
2
1
PA=EF。
2
??EOF=45?而二面角
E?AC?B
与二面角E
-AC-D互补,
故所求二面角
E?AC?B
的大小为135?.
4.
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,
ABDC,
AC?BD
,AC
与
BD
相交于点
O
,且顶点
P
在底面上的<
br>射影恰为
O
点,又
BO?2,
PO?2,PB?PD
.
(Ⅱ)求二面角
P?AB?C
的大小;
【解】
QPO?
平面
ABCD
,
?PO?BD
.
又
PB?PD,BO?2,PO?2
,
3,PB?6
由平面几何知识得:
OD?1,PD?
(Ⅱ)连结
O
E
,由(Ⅰ)及三垂线定理知,
?PEO
为二面角
P?AB?C
的平
面角
?sin?PEO?
PO2
0
?
,
??PEO?45
PE2
?
二面角
P?AB?C
的大小为
45
0
5. 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α,
B∈β,点A在直线l 上的射影为A
1
,
点B在l的射
影为B
1
,已知AB=2,AA
1
=1,
BB
1
=2, 求:
(II)二面角A
1
-AB-B
1
的大小。
【解】
(Ⅱ)∵BB
1
⊥α, ∴平面ABB
1
⊥α。
在
平面α内过A
1
作A
1
E⊥AB
1
交AB
1
于E,则A
1
E
⊥平面AB
1
B。过E作EF⊥AB交AB于F,
连接A
1
F,
则由三垂线定理得A
1
F⊥AB,
∴∠A
1
FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB
1
中,∠BAB
1
=45°,
∴
AB
1
=B
1
B=2.
∴Rt△AA
1
B中,
A
1
B=AB
2
-AA
1
2
=4-1
= 3。
由AA
1
·A
1
B=A
1
F·AB得
A
1
F=
AA
1
·A
1
B1×3
3
= = ,
AB22
A
1
E6
= ,
A
1
F3
6
.
3
∴在Rt△A
1
EF中,sin∠A
1
FE =
∴二面角A
1
-AB-B
1
的大小为arcsin
第二部分
《空间直线、平面的平行问题》
将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”
(一)“线线平行”与“线面平行”的转化问题
1 如图,在底面为平行四边形的
四棱锥
P?ABCD
中,
AB?AC
,
PA?
平面
ABCD
,且
PA?AB
,点
E
是
PD
的中点.
(Ⅱ)求证:
PB
平面
AEC
;
【解】 证明本题的关键
:在平面EAC中“找”一条与
PB平行的直线,由于点E在平面PBD中,所以可以在
平面P
BD中过点E“找”(显然,要“找”的直线就是
平面PBD与平面EAC的交线)。最终将
“
线面平行”
问题转化为“线线平行”问题。
(Ⅱ)连接BD,与AC相交与O,连接EO,
.
Q
ABCD是平行四边形
?
O是BD的中点
又E是PD的中点,
?
EOPB.
又PB
?
平面AEC,EO
?
平面AEC,
?
PB
??
平面AEC。
2.如图,在五面体
ABCDE
F
中,点
O
是矩形
ABCD
的对角线的交点,面
CDE是等
边三角形,棱
EF
1
BC
.
?
2
(1)证明
FO
平面
CDE
;
(2)设
BC?3CD
,证明
EO?
平面
CDF
.
【解】分析通上题。
(Ⅰ)证明:取CD中点M,连结OM.
在矩形ABCD中。
OM
1
BC
,又
2
1
EFBC
,
2
则
EFOM
,连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形.
?FOEM
又
QFO?
平面CDE,且EM
?
平面CDE,∵FO∥平面CDE
(二) “线面平行”与“面面平行”的转化问题
2.如图,长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、P分别是
BC、
A
1
D
1
的中点,M、N分别是AE、
CD
1
的中点,
AD=AA
1
?a,
AB=2a,
(Ⅰ)求证:
MN平面ADD
1
A
1
;
【证明】
本题如果利用“线线平行”找“线”比较复
杂(不是不可以),所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题转化。关键是:考虑到点M、N都是中点,
于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中
点K
(OC的中点),将
“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。
(Ⅰ)取
CD
的中点
K
,连结
MK,NK
∵
M,N,K
分别为
AK,CD
1
,CD
的中点
∵
MKAD,NKDD
1
∴
MK
面
AD
D
1
A
1
,
NK
面
ADD
1
A<
br>1
∴面
MNK
面
ADD
1
A
1
∴
MN
面
ADD
1
A
1
.
第三部分 《 空间直线、平面的垂直问题》
将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想。
(一)“线线垂直”到“线面垂直”
1.如图,
ABCD?A
1
B
1
C
1
D<
br>1
是正四棱柱。
(I)求证:BD⊥平面
ACC
1
A
1
;
【解】
根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条
相交的直线AC、A
1
A与BD垂直。
(Ⅰ)∵
ABCD?A
1
B
1
C
1
D<
br>1
是正四棱柱,
∴ CC
1
⊥平面ABCD, ∴
BD⊥CC
1
,
∵ ABCD是正方形, ∴ BD⊥AC
又 ∵A
C,CC
1
?
平面
ACC
1
A
1
,且AC
∩CC
1
=C,
∴
BD⊥平面
ACC
1
A
1
。
2.
如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2.
(I)求证:
AO?
平面BCD;
【解】(I)证明:连结OC
A
QBO?DO,AB?AD,?AO?BD.
QBO?DO,BC?CD,?CO?BD.
B
O
D
E<
br>C
在
?AOC
中,由已知可得
AO?1,CO?3.
而
AC?2,
?AO?CO?AC,
222
??AOC?90
o
,
即
AO?OC.
QBDIOC?O,
?AO?
平面
BCD
3. 如图4,
已知两个正四棱锥
P?ABCD与Q?ABCD
的高分别为1和2,
AB?4
。
(I)证明:
PQ?平面ABCD
;
【解】(Ⅰ)取AD的中点M,连接PM、QM。
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四
棱锥,所以
D
C
A
B
P
.
Q
图4
AD
?
PM,AD
?
QM。
从而AD
?
平面PQM。
又PQ
?
平面PQM,所以PQ⊥AD。
同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD。
9. 在正三角形AB
C中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA
=CP:PB=1:
2(如图1)。将△AEF沿EF折起到
?A
1
EF
的位置,使二面角A1
-EF-B成直
二面角,连结A
1
B、A
1
P
(如图2)
(Ⅰ)求证:A
1
E⊥
平面BEP;
【解】
不妨设正三角形的边长
为3,则
(I)在图1中,取
BE的中点D,连结DF,
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2
,∴AF=AD=2,而∠A=60
o
,∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1,∴EF⊥AD。
在图2中,A
1
E⊥EF,BE⊥EF
,∴∠A
1
EB为二面角A
1
-EF-B的一个平面角,
由题设条件知此二面角为直二面角,∴A
1
E⊥BE。
又BE
?<
br>EF=E,∴A
1
E⊥面BEF,即A
1
E⊥面BEP。
B
A
E
F
E
A
1
F
B
P
图
1
C
图2
P
C
(二) “线面垂直” 到“线线垂直”
1.如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,
PA?1
,P在平
面ABC
内的射影为BF的中点O。
(Ⅰ)证明
PA
⊥
BF
;
(Ⅱ)求面
APB
与面
DPB
所成二面角的大小。
【解】连结AD,则易知AD与BF的交点为O。
(I)证法1:
QAB?AF,O为BF的中点,
?AO?BF.
又
QPO?平面ABC,
?由三垂线定理得PA?BF.
.
证法2:
QBF?PO,BF?AO,PO?AO?O,
?BF?平面AOP,
QPA?平面AOP,?????PA?BF.
2.如图,在四棱锥
P?ABCD
中,底面为直角梯形,
ADBC
,
?BAD?90
o
,
PA?
底面
ABCD
,且<
br>PA?AD?AB?2BC
,
M、N
分别为
PC
、
P
B
的中点。
(Ⅰ)求证:
PB?DM
;
【解】
(I)因为
N
是
PB
的中点,所以
AN?PB
.
PA?AB
,
因为
AD?
平面
PAB
,所以
AD?
PB
,
从而
PB?
平面
ADMN
.因为
DM?<
br>平面
ADMN
,
所以
PB?DM
.
3.如图,在
三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共
的斜边,且AD=
3
,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形
(1)求证:AD?BC;
【解】
(1)方法一:作AH?面BCD于H,连DH。
AB?BD?HB?BD,又AD=
3
,BD=1
?AB=
2
=BC=AC ?BD?DC
又BD=CD,则BHCD是正方形,则DH? BC
?AD?BC
方法二:取BC的中点O,连AO、DO
则有AO?BC,DO?BC,
?BC?面AOD
?BC?AD
4. 如图,
l
1
、
l
2
是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A
、
B在<
br>l
1
上,
C在
l
2
上,AM=MB=MN
。
(Ⅰ)证明AC
?
NB
【解】 (Ⅰ)
C
B
D
A
由已知l
2
?MN,l
2
?l
1,MN?l
1
?M,可得l
2
?平面ABN
由已知MN?l1
,AM=MB?MN,可知AN?NB且AN?NB
又AN为AC在平面ABN内的射影
?AC?NB
.