高中数学立体几何知识点及练习题

点、直线、平面之间的关系
㈠ 平面的基本性质
公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集
合是一条直线( 两个平面的交线)。

㈡ 空间图形的位置关系
1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面)
1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a∥b，b∥c
1.2 异面直线
定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
1.3 异面直线所成的角
⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°].
⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另 一条异面直线的
特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。

2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)
3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)

㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行)
1 线面平行
1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
1.2 判定定理：



1.3 性质定理：



a∥c

2 线面角：
2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线 与平面斜
交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]

3 面面平行
3.2 面面平行的判定定理：
⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两
个平面相互平行。 即：


推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个
平面的两条线段，那 么这两个平面平行。即：

⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平
行。即：

3.3 面面平行的性质定理
⑴ (面面平行

⑵


⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。

㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)
1 线面垂直
1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线
垂直于平面。
1.2 线面垂直的判定定理：





线面平行)
图2-6 判定2
图2-5 判定1推论
图2-3 线面角
3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。

1.3 线面垂直的性质定理：
⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即
⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即：
★1.4 三垂线定理及其逆定理
已知⊥α，斜线在平面α内的射影为，a是平面
α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥，则a⊥。即垂直射影则垂直
斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥，则a⊥。即垂直斜线
则垂直射影。
2 面面斜交和二面角
2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它
过l上的 一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于
l，则直线a、b所形成的角称为 α、β的二面角的平面角，记作∠αβ。
2.2 二面角的范围：∠αβ ∈[0°,180°]

3 面面垂直
3.1 面面垂直的定义：若二面角αβ的平面角为90°，则两平面α⊥β。
3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互
相垂直。
即：

3.3 面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
⑵




⑶



⑷

图2-11 面面垂直性质3
图2-10 面面垂直性质2
图2-7 斜线定理

例题分析
例1、(1)已知异面直线所成的角为70
0
,则 过空间一定点O,与两条异面直线都成
60
0
角的直线有( )条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)异面直线所成的角为
?
,空间中有一定点O,过点O有3条直线与所成角都是< br>60,则
?
的取值可能是 ( ).
0
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90

例2、已知⊥矩形所在平面，M、N分别是、的中点.
求证：⊥；






例3、如图，直三棱柱
1
B
1
C
1
的底面为等腰直角三角形，∠90
0
，1，C点到< br>1
的距
3
C1
离为，D为的中点.
2
A1B1
（1）求证：
1
⊥平面；
（2）求异面直线
1
与之间的距离；
（3）求二面角B
1
——B的平面角.

C

E


B
AD



例4、在直 角梯形中，∠∠90°，＜，⊥平面，，
2a
，在线段上取一点E（不
含端点）使，截 面与交于点F。
（1）求证：四边形为直角梯形；
S
（2）求二面角的平面角的正切值；


F
E

M
C

D


AB
例5．如图，在棱长为 1的正方体—A
1
B
1
C
1
D
1
中， 求证：A
1
C⊥平
1
；


0000