高中数学空间立体几何讲义

第1讲 空间几何体
高考《考试大纲》的要求：
① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体
的结构.
② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述< br>的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.
③ 会用平行投影与中心投 影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不
同表示形式.
④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.
⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
（一）例题选讲：
例1.四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD＝2，AB＝
3
，在外接球面上两点A 、B间的球面距离
是（ ）
A．
2
?
5
?
?
?
B． C． D．
36
63
3
2
例2.如果圆台的母线与底面成6 0°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )
23
1
?
D．
?

3
2
例3.在正三棱柱
ABC
—
A
1
B
1
C
1
中，侧棱长为
2
，底面三角 形的边长为1，则
BC
1
与侧面
ACC
1
A
1所成的角
A．
2
?
B．
?
C．
是 .

例4.如图所示，等腰△
ABC
的底边
AB
=66
,高
CD
=3，点
B
是线段
BD
上异于点< br>B
、
D
的动点.点
F
在
BC
边上，且
EF
⊥
AB
.现沿
EF
将△
BEF
折起到△PEF
的位置，使
PE
⊥
AE
.记
BE
＝x
，
V
(
x
)表示四棱锥
P-ACFE
的体积 .
（1）求
V
(
x
)的表达式；
（2）当
x
为何值时，
V
(
x
)取得最大值？ < br>（3）当
V
(
x
)取得最大值时，求异面直线
AC
与
PF
所成角的余弦值。






（二）基础训练：
1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）






①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥


A．①② B．①③ C．①④ D．②④
00
2．设地球半径为R，若甲地位于北纬
45
东经
120
0
，乙地位于南纬度
75
东经
120
0
，则甲、乙两地球
面 距离为（ ）
（A）
3R
(B)

.
?
6
R
(C)
2
?
5
?
R

R
(D)
3
6

3．若一个底面边长为
6
，棱长 为
6
的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积
2
为 ．
4. 已知
A,B,C
三点在球心为
O
，半径为
R的球面上，
AC?BC
，且
AB?R
，那么
A,B
两点 的球
面距离为___________，球心到平面
ABC
的距离为________
5．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4
3
，
侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积； （Ⅱ）证明PA⊥BD.


A









（三）巩固练习：
P
D
B
C
1．若一个圆锥的轴截面是等 边三角形，其面积为
3
，则这个圆锥的全面积是（ ）
（A）
3
?
（B）
33
?
（C）
6
?
（D）
9
?

2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．
16
?
B．
20
?
C．
24
?
D．
32
?

3.一个圆锥和一 个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶
角的余弦值是( )
3433
A. B. C. D.－
4555
4．已知球
O
的半径为1，
A
、
B
、
C
三点都在球面上，且每两点间的球面距离为
的距离为（ ）
?
，则球心
O
到平面
ABC
2
1
3
（C）
2
（D）
6
（B）
3
3
3
3
5.表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为（ ）
（A）
22
2
1
2
?

?
B．
?
C．
?
D．
3
3
3
3
6.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为
26
，则侧面与底面所成的二面角 等于________
A．
7．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上 部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如
图所示）。试问当帐篷的顶点
O
到底面中心< br>o
1
的距离为多少时，帐篷的体积最大？

O









.

8． 如图，已知平行六面体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD是菱形，且
?C
1
CB
=
??C
1
CD??BCD
。
（I）证明：
C
1
C
⊥BD；
（II）当
CD< br>的值为多少时，能使
A
1
C?
平面
C
1
BD
？请给出证明。
CC
1








第2讲 空间直线和平面
高考《考试大纲》的要求：
①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
理解以下判定定理：
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理，并能够证明：
◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行.
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
（一）例题选讲：
例1．如图，在正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是
AB
1
、BC
1
的
中点，则以下结论中不成立的是( )
A．
EF与BB
1
垂直
B.
EF与BD垂直

C.
EF与CD异面
D.
EF与A
1
C
1
异面


例2.如图，平 面
α
⊥平面
β
，
A
∈
α
，
B∈
β
，
AB
与两平面
α
、
β
所成的角

α
ππ
分别为和，过
A
、
B
分别作两 平面交线的垂线，垂足为
A
′、
B
′，
46
A
则
AB
∶
A
′
B
′＝（ ）
B′
（
A
）2∶1 （
B
）3∶1 （
C
）3∶2 （
D
）4∶3
β
B

A′

222
例3.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB 、AC互相垂直，则AB+AC=BC，拓展到空间，类
比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与 底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱
锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则

.

例4.在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三 角形，平面SAC⊥平
面ABC，SA=SC=2
2
， M、N分别为AB、SB的中点。
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.








（二）基础训练： 1．已知两条直线
m,n
，两个平面
?
,
?
，给出下面 四个命题：
①
mn,m?
?
?n?
?
②
?

?
,m?
?
,n?
?
?mn

③
mn,m
?
?n
?
④
?

?
,mn,m?
?
?n?
?

其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
2.已知P为平面a外一点，直线
l
?
a,
点Q∈
l
,记点P到平面a的距离为
a,
点P到直线l的距离为b，
点P、Q之间 的距离为
c
，则（ ）
(A)
a?b?c
(B)c
?a?b

(C)
a?c?b
(D)
b?c?a

3、给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是（ ）
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
4、下列命题中，正确的是 （ ）
A．经过不同的三点有且只有一个平面 B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D．垂直于同一个平面的两个平面平行
5.已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠ POB＝45°．若对于β内异于0的任意一点Q，
都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大 小是__________．

6．已知平面
?
,
?
和直 线，给出条件：①
m
?
；②
m?
?
；③
m?
?
；④
?
?
?
；⑤
?

?
.
（i）当满足条件 时，有
m
?
；
P
（ii）当满足条件 时，有
m?
?
.（填所选条件的序号）
7．三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.
(1) 求证AB⊥BC；
(2) 如果AB=BC=
23
，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.
A C

B

（三）巩固练习：
1．若
m，n
是两条 不同的直线，
?
，
?
，
?
是三个不同的平面，则下列命题中 的真命题是（ ）
．．．
.

A．若
m?
?
，
?
?
?
，则
m?
?
B．若
m?
?
，
m∥
?
，则
?
?
?

C．若
?
?
?
，
?
⊥
?< br>，则
?
?
?
D．若
?
I
?
?m
，
?
I
?
?n
，
m∥n
，则
?
∥
?

2.设
a，b
为两条直线,
?
，
?
为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若
a，b
与
?
所成的角相等，则
a∥b
B．若
a∥
?
，
b∥
?
，
?
∥
?
，则
a∥b

C．若
a?
?
，
b?
?
，
a∥b
，则
?
∥
?
D．若
a ?
?
，
b?
?
，
?
?
?
，则a?b

3.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成（ ）
A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
4．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线
l
1
,l
2< br>与同一平面所成的角相等,则
l
1
,l
2
互相平行.
④若直线
l
1
,l
2
是异面直线,则与
l
1,l
2
都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（ ）
．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.设
m
、
n
是两条不同的直线，
?
、
?
是两个不同的平面.考查下 列命题，其中正确的命题是（ ）
?
,m?n?
?
?
?
B．
?

?
,m?
?
,n
?
?m?n

C．
?
?
?
,m?
?
,n
?
?m?n
D．
?
?
?
,
?
?
?< br>?m,n?m?n?
?

A．
m?
?
,n?
6.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
．．．
（A）BC平面PDF （B）DF⊥平面PA E
（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC
7．设
?
、
?
、
?
为平面，
m、n、l
为直线，则m?
?
的一个充分条件是( )
(A)
?
?
?
,
?
?
?
?l,m?l

(C)
?
?
?
,
?
?
?
,m?
?

(B)
?
?
?
?m,
?
?
?
,
?
?
?

(D)
n?
?
,n?
?
,m?
?

8．对于不重合的两个平面
?
与
?
，给定下列条件：
①存在平面
?
，使得α、β都垂直于
?
； ②存在平面
?
，使得α、β都平等于
?
；
③存在直线
l?
?
，直线
m?
?
，使得
lm
；
④存在异面直线
l
、
m
，使得
l
?
,l
?
,m
?
,m
?
.
其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．设P是
60
o
的二面角
?
?l?
?
内一点，
PA?平面
?
,PB?平面
?
,
A,B为
垂足，
（ ）
PA?4,PB?2,
则AB的长为：
A
23
B
25
C
27
D
42

10. 已知直线、m，平面
(1)若
、，且，给出下列四个命题。
; (2)
(3)若，则; (4)若
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11．已知m、n是不同的直线，
?
,
?
是不重合的平面，给出下列命题：
①若
?

?
,m?
?
,n?
?
,
则
mn
②若< br>m,n?
?
,m
?
,n
?
,
则
?< br>
?

③若
m?
?
,n?
?
,mn< br>,则
?

?
④m、n是两条异面直线，若
m
?,m
?
,n
?
,n
?
,
则
?

?

上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号）
12．在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，AB =BC=
2
，BB
1
=2，
?ABC?90
，E、F分别为 AA
1
、C
1
B
1
的中点，沿
棱柱的表面从E到F 两点的最短路径的长度为 .

13．已知
a
、b为不垂 直的异面直线，α是一个平面，则
a
、b在α上的射影有可能是: ①两条平行
直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
14．已知平面α和平面β交于直线
l
，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥ β，垂足为B，且PA=1，
PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到
l
的距离为 。
15．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不 共线．②若两条直线没有共点，则这两条直
.
?

线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ．（把符合要求的命题序号都填上）
16．如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PA D为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧
面PAD与底面ABCD所成的二面角为120° .
（I）求点P到平面ABCD的距离；
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小








第3讲 空间向量与立体几何
高考《考试大纲》的要求：
（1）空间向量及其运算
①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
（2）空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量.
② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.
④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在
研究几何问题中的作用.
（一）基础知识回顾：
rr
rrrurrrrr
1.向量的数量积：已知非零向量
a,b
，则
a?b?|a|?|b|cos ?a,b?
叫做
a与b
的数量积。
rr
rr
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?b
r
=
2.两向量夹角的求法：
cos?a,b??
r
，立体几何中有关夹角的
222222
|a|?|b|
a
1?a
2
?a
3
?b
1
?b
2
?b3
rr
3.
a
⊥
b
?
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0
（可证明两直线垂直）
4.已知两点A(x
1
,y
1
，z
1
),B(x
2
,y
2
,z
2< br>)，则向量
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
,
线段AB的中点M 的坐标是
?
A,B两点间的距离是
|AB|?
问题，一般用此式解决
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
z< br>1
?z
2
?
,,
?
，
22
??< br>2
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2

rr
5.若
a?(x
1
,y
1
,z
1
),b?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2?z
1
z
2
.
6.用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：
(1)化为向量问题:建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；
(2)进行向量运算:通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题 ；
(3)回到向量问题:把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
7.设A
?
?
，B
?
?
，平面α的法向量是
n
，直线AB与 平面α所成的角是θ，则
sin
?
?|cos?AB,n?|

.

urrurr
m?nm?n
urr
rr
或
?
?arc
cos
urr
（
m
，
n
为平面< br>?
，
?
的法向量
）二面角
?
?l?
?
的平面角
?
?arccos
u

|m||n||m||n|
uuurr
uuuruuurr
|AB?n|
r
8.设A
?
?
，B
?
?
，平面α的法向量是
n
，点A到平面α的距离
d?|AB|cos?AB,n??

|n|
uuuruur
r
|CD?n|
r
异面直线间的距离 ：
d?
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量 为
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任
|n|
一点，
d
为
l
1
,l
2
间的距离).

（二）例题选讲：

π
例1.如图,在< br>Rt△AOB
中,
?OAB?
,斜边
AB?4
．
Rt △AOC
可以
6
通过
Rt△AOB
以直线
AO
为轴 旋转得到，且二面角
B?AO?C
是直二
面角．动点
D
的斜边
AB
上．
（I）求证：平面
COD?
平面
AOB
；
（II）当D
为
AB
的中点时，求异面直线
AO
与
CD
所 成角的大小；
（III）求
CD
与平面
AOB
所成角的最大值．
A
D


B
O

C








例2.如图，正三棱柱ABC－A< br>1
B
1
C
1
的所有棱长都为2，D为CC
1
中点。
（1）求证：AB
1
⊥面A
1
BD；
（2）求二面角A－A
1
D－B的大小；
（3）求点C到平面A
1
BD的距离。













（三）基础训练：
1.如图5所示，
AF
、
DE
分别世< br>eO
、
eO
1
的直径，
AD
与两圆所在的平面均垂直 ，
AD?8
.
BC
是
eO
的直径，
AB?AC?6
,
OEAD
.
(I)求二面角
B?AD?F
的大小； (II)求直线
BD
与
EF
所成的角.

.

O
1
D
E




C

A

O

B
图5





2.如图,α⊥β,α∩β=
l
, A∈α, B∈β,点A在直线
l
上的射影为A
1
, 点B在
l
的射 影为B
1
,已知
AB=2,AA
1
=1, BB
1
=2, 求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A
1
－AB－B
1
的大小.

F











（四）巩固练习：
1.如图,在直四棱柱
ABCD?A1
B
1
C
1
D
1
中,已知
DC?DD
1
?2AD?2AB
,
AD?DC
，
AB∥DC
．
（Ⅰ）设
E
是
DC
的中点，求证：
D
1
E∥
平面
A
1
BD
1
；
（Ⅱ）求二面角
A
1
?BD?C
1
的余弦值．
D
1

A
1





2.如图，已知长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1< br>D
1
,
AB?2,AA
1
?1
,直线
BD< br>与平面
AA
1
B
1
B
所成的角为
C
1
B
1
30
0
,
AE
垂直
BD
于
E,F
为
A
1
B
1
的中点．
（Ⅰ）求异面直线
AE
与
BF
所成的角；
（Ⅱ）求平面< br>BDF
与平面
AA
1
B
所成二面角（锐角）
的大小；
（Ⅲ）求点
A
到平面
BDF
的距离。
.
D
A
F
B
1
A
A
1

B
E
C
D
1
C
1
E
C
D
B

3、如图，在三棱锥A－BCD中， 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝
3
，
BD＝C D＝1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD?BC （2）求二面角B－AC－D的大小
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30?角？若存在，确定E的位置；若不存在 ，说明
理由。
A



B

D



C





典型问题分析
一、求二面角的方法
例1. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥
P?ABCD中,A DBC,
?ABC?90?,
PA?平面
ABCD
，
PA?3,AD ?2,AB?23
,
BC
=6. 求二面角
P?BD?A
的大









例2.如图，四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，
小.

PA?
底面
ABCD
，
PA?AB?2
，点
E
是棱
PB
的中
点.若
AD?1
，求二面角
B?EC?D
的平面角的余弦值.
.

例3．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方 形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，
作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C—PB—D的大小。





P
E
F
D
C
A
B


二、求直线与平面所成的角、以及点到平面的距离的方法

例4．如图，已知三棱锥P －ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=
N为AB上一点，AB=4AN,
M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）求SN与平面CMN所成角的大小；
（Ⅱ）求点S到平面CMN的距离.






例5.如图,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥
CD,
A C
⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点.
若
?APB
=
?ADB
=60°，求直线PA与平面PEH所成
.
1
AB=2，
2

角的正弦值.












例6.如图，已知点P在正方体ABCD－A
1
B
1
C< br>1
D
1
的对角线BD
1
上，∠PDA=60°。
（1）求DP与CC
1
所成角的大小；
（2）求DP与平面AA
1
D
1
D所成角的大小。
D
1
C
1


A
1
B
1

P



D
C


AB



0
例7、如图，在四棱锥P- ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90。
(1) 求证：PC⊥BC；
(2) 求点A到平面PBC的距离。



















例8． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC，E是PC的中点，
作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PA平面EDB；
.

（2）证明PB⊥平面EFD;
（3）求二面角C—PB—D的大小。













.

P
F
E
D
C
A
B