高中数学立体几何题型与方法

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高中数学立体几何题型与方法(理科)经典例题剖析
例1、已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？

解析：要证明
和
平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．
答案:证明：如图，因为在上，且，所以．同
理，又，所以
．又
共线，根据共面向量定理，可知
平面．
，，共面．由于不在平面
与不
内，所以
点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开 .
例2、如图, 在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，
AC
＝3，
BC
＝4，
AA1
＝4，点
D
是
AB
的中点， （I）
求证：
AC
⊥
BC
1
； （II）求证：
AC
1
平面
CDB
1
；

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解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平 面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和
推理论证能力.
答案：（1）是的中点，取PD的中点，则
，又
四边形为平行四边形
∥，

∥ （4分）
（2）以
如图，则
为原点，以
，
、
，
、 所在直线为轴、
，，
轴、轴建立空间直角坐标系，
，
在平面内设，，， 由

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由
是的中点，此时
（8分）
（3）设直线与平面所成的角为
，，设为

故直线与平面所成角的正弦为
（12分）
解法二：
（1）是的中点，取PD的中点，则
，又
四边形为平行四边形

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∥，

∥ （4分）
（2）由（1）知为平行四边形
，又
同理，
为矩形 ∥，，又

作故
交于，在矩形内，，
， 为的中点
当点为的中点时，
（8
分）

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（3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的
角，设为，
直线与平面所成的角的正弦值为
点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平 面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的
角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射 影所成的角，即为所求角；（3）证明线面
垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证 法中都能十分明显地体现出来
例3、如图，四棱锥
是
中，侧面
的菱形，为< br>是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面
的中点.
(Ⅰ)求与底面所成角的大小；
(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求二面角的余弦值.

解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平
移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法
答案：(I)取
DC
的中点
O
，由Δ
PDC
是正三角形，有
PO
⊥
DC
．
又∵平面
PDC
⊥底面
ABCD
，∴
PO⊥平面
ABCD
于
O
．
连结
OA
，则
OA
是
PA
在底面上的射影．∴∠
PAO
就是
PA
与底面所成角．
∵∠
ADC
=60°，由已知Δ
PCD
和ΔACD
是全等的正三角形，从而求得
OA
=
OP
=．
∴∠
PAO
=45°．∴
PA
与底面
ABCD
可成角的大小 为45°． ……
6分

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(II)由底面
ABCD
为菱形且∠
ADC
=60°，
DC
=2，
DO
=1，有
OA
⊥
DC
．
建立空间直角坐标系如图，则, ．
由
M
为
PB
中点，∴．
∴．
∴，
．
∴
PA
⊥
DM
，
PA
⊥
DC
． ∴
PA
⊥平面
DMC．

……4分
(III)．令平面
BMC
的法向量，
则，从而
x
+
z
=0； ……①, ，从而． ……②
由①、②，取
x
=?1，则． ∴可取．
由(II)知平面
CDM
的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值为－．
法二：（Ⅰ）方法同上


……6分

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（Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，
则，又，则，即，
又在中，中位线，，则，
则四边形为，所以，在中，，
则，故而，
则
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，
在中，易得，
，
故，所求二面角的余弦值为
例4、
如图，在长方体中，点在线段上.
（Ⅰ）求异面直线与所成的角；
（Ⅱ）若二面角
到平面的距离.
的大小为，求点

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解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度 和距离,在求此类问题中，要
将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此 外用向量也是一种比较
好的方法.
答案：解法一：（Ⅰ）连结。由已知，是正方形，有。
∵平面，∴是在平面内的射影。
根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为。
作，垂足为，连结，则
所以为二面角的平面角，.
于是
易得，所以，又，所以。
设点到平面的距离为.
∵即，
∴，即，∴.
故点到平面的距离为。
解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）由，得

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设，又，则。
∵∴
则异面直线与所成的角为。
（Ⅱ）为面的法向量，设为面的法向量，则

∴. ①
由，得，则，即
∴ ②
由①、②，可取
又，所以点到平面的距离
。
例5、
如图所 示：边长为2的正方形
ABFC
和高为2的直角梯形
ADEF
所在的平面互相 垂直且
DE=
，
EDAF
且∠
DAF
=90°。
（1）求
BD
和面
BEF
所成的角的余弦；

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（2）线段
EF
上 是否存在点
P
使过
P、A、C
三点的平面和直线
DB
垂直， 若存在，求
EP
与
PF
的比值；若不存在，说明理由。
解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。

答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，
则B（2，0，0），D（0，0，2），
E（1，1，2），F（2，2，0），
则
设平面
BEF
的法向量
，则可取，
∴向量所成角的余弦为
。
即BD和面BEF所成的角的余弦。
（ 2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与
PF
的 比值为
m
，则
P
点坐标为

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则向量，向量
所以。
点评：本题考查了线线 关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对
学生灵活运用知识解题提出了较高 要求。

例6、