高中数学立体几何经典大题训练.

高中数学立体几何大题训练
1. 如图所示,在长方体 1111ABCD A B C D -中, AB=AD=1, AA 1=2,

M 是棱 CC 1的中点
(Ⅰ求异面直线 A 1M 和 C 1D 1所成的角的正切值;
(Ⅱ证明:平面 ABM ⊥平面 A 1B 1M 1
2. 如图, 在矩形 ABCD 中,点 , E F 分别在线段 , AB AD 上, 243
AE EB AF FD ===

=. 沿直线 EF 将 AEF V 翻折成 ' A EF V , 使平面 ' A EF BEF ⊥平面 . (Ⅰ求二面
角 ' A FD C --的余弦值;
(Ⅱ点 , M N 分别在线段 , FD BC 上,若沿直线 MN 将四边形
MNCD 向上翻折,使 C 与 ' A 重合,求线段 FM 的长。
3. 如图, 直三棱柱 111ABC A B C -中,
AC BC =, 1AA AB =, D 为 1BB 的中点, E 为 1AB 上的一点, 13AE EB =.

(Ⅰ证明:DE 为异面直线 1AB 与 CD 的公垂线;
(Ⅱ设异面直线 1AB 与 CD 的夹角为 45°,求二面角
111A AC B --的大小.
4. 如图,在四棱锥 P — ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA ⊥平面 ABCD , AP
=AB , BP =BC =2, E , F 分别是 PB , PC 的中点 .
(Ⅰ 证明:EF ∥平面 PAD

(Ⅱ 求三棱锥 E — ABC 的体积 V.
5. 如图,棱柱 111ABC A B C -的侧面 11BCC B 是菱形, 11B C A B ⊥

(Ⅰ证明:平面 1
ABC ⊥平面 11A BC (Ⅱ 设 D 是 11AC 上的点, 且 1A B 平面 1B CD , 求 11
:A D DC 的值 .
6. 已知三棱锥 P -ABC 中, PA ⊥ ABC , AB ⊥ AC , PA=AC=?AB ,

N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点 .
(Ⅰ证明:CM ⊥ SN
(Ⅱ求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 .

A
C D
E F

7. 如图△ BCD 与△ MCD 都是边长为 2的正三角形,平面
MCD ⊥平面 BCD , AB ⊥平面 BCD

, AB =
(1 求点 A 到平面 MBC 的距离;
(2 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。
8. 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2, EF ∥
AB,EF ⊥ FB, ∠ BFC=90°, BF=FC,H为 BC 的中点,
(Ⅰ 求证:FH ∥平面 EDB;
(Ⅱ求证:AC ⊥平面 EDB;
(Ⅲ求四面体 B — DEF 的体积;
9. 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, C E ⊥ AC,EF ∥

CE=EF=1.
(Ⅰ求证:AF ∥平面 BDE (Ⅱ求证:CF ⊥平面 BDE (Ⅲ求二面角 A-BE-D 的大
小。
10. 已知正方体 ABCD -A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1,点 M 是棱 AA ' 的中点,点 O 是
对角线 BD ' 的中点 .
(Ⅰ求证:OM 为异面直线 AA ' 和 BD ' 的公垂线; (Ⅱ求二面角 M -BC ' -B ' 的大
小;

(Ⅲ求三棱锥 M -OBC 的体积 .
参考答案

1.

2. (Ⅰ解:取线段 EF 的中点 H ,连结 ' A H ,因为 ' A E =' A

F 及 H 是 EF 的中 点,所以 ' A H
EF ⊥, 又因为平面 ' A EF ⊥平面 BEF . 如图建立空间直角坐标系 A-xyz
则 ' A (2, 2

, , C (10, 8, 0 ,
A C
M A '''

F (4, 0, 0 , D (10, 0, 0 .
故 ' FA →
=(-2, 2,

, FD →=(6, 0, 0 . 设 n →=(x,y,z 为平面 ' A FD 的一个法向量,

所以
取 z =(0,n =-。

又平面 BEF 的一个法向量 (0,0,1m =,
故 cos , 3

n m n m n m ??==。 (Ⅱ解:设 , FM x =则 (4,0,0 M x +,
因为翻折后, C 与

A 重合,所以 ' CM A M =, 故, 222222(6 80=22x x -++--++( (,得 214x =, 经检验,此
时点 N 在线段 BC 上,所以 214FM
=。 方法二:
(Ⅰ 解:取线段 EF 的中点 H ,

AF 的中点 G , 连结 ' , ' , A G A H GH 。 因为 ' A E =
' A F 及 H 是 EF 的中点,所以 ' A H EF ⊥ 又因为平面
' A EF ⊥平面 BEF ,所以 ' A H ⊥平面 BEF , 又 AF ?平面 BEF , 故 ' A H ⊥AF
, 又因为 G 、 H 是
AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB ,所以 GH ⊥AF ,于是 AF ⊥面 ' A GH ,
所以 ' A GH ∠为二面角

' A DH C --的平面角, 在 ' Rt A GH 中, ' A H =GH =2, ' A G =所以 cos ' A GH ∠=.

故二面角
' A DF C --

的余弦值为 3

。 (Ⅱ解:设 FM
x =,
因为翻折后, C 与 ' A 重合,所以 ' CM A M
=,
而 2
22228(6 CM
DC DM x =+=+-,
222222' ' ' A M A H MH A H MG GH =+=++
2=

得 21
4
x
=
,经检验,此时点 N 在线段 BC 上,
所以 21
4FM =。

3. (I 连接 A 1B ,记 A 1B 与 AB 1的交点为 F.
因为面 AA 1BB 1为正方形, 故 A 1B ⊥ AB 1, 且 AF=FB1, 又 AE=3EB1, 所以
FE=EB1, 又 D 为 BB 1的中点, 故 DE ∥ BF , DE ⊥ AB 1. ……………… 3分
作 CG ⊥ AB , G 为垂足,由 AC=BC知, G 为 AB 中点 .
又由底面 ABC ⊥面 AA 1B 1B. 连接 DG ,则 DG ∥ AB 1,故 DE ⊥ DG ,由三垂
线定理,得 DE ⊥ CD. 所以 DE 为异面直线 AB 1与 CD 的公垂线 .
(II 因为 DG ∥ AB 1,故∠ CDG 为异面直线 AB 1与 CD 的夹角,∠ CDG=45° 设
AB=2,则 AB 1=
, DG=
, CG=
, AC=
.
作 B 1H ⊥ A 1C 1, H 为垂足,因为底面 A 1B 1C 1⊥面 AA 1CC 1,故 B 1H ⊥面
AA 1C 1C. 又作 HK ⊥ AC 1, K 为垂足,连接 B 1K , 由三垂线定理,得 B 1K ⊥ AC 1,
因此∠ B 1KH 为二面角 A 1-AC 1-B 1的平面角,由此可求出二面角大小 4. 解 (Ⅰ 在
△ PBC 中, E , F 分别是 PB , PC 的中点,∴ EF ∥ BC . 又 BC ∥ AD , ∴ EF ∥ AD ,
又∵ AD ?平面 PAD ,E F ?平面 PAD , ∴ EF ∥平面 PAD .
(Ⅱ 连接 AE , AC,EC , 过 E 作 EG ∥ PA 交 AB 于点 G ,
则 BG ⊥平面 ABCD , 且 EG =12
PA .
在△ PAB 中, AD =AB , ∠PAB °, BP =2,∴ AP =AB

EG
=
2
.

∴ S △ ABC =
12AB ·BC =12

∴ V E-AB C =
13S △ ABC ·EG =13
2=13

. 5. 解:(Ⅰ因为侧面 BCC 1B 1是菱形,所以 11BC C B ⊥
又已知 B BC B A B A C B =?⊥1111, 且

所又 ⊥C B 1平面 A 1BC 1,又 ?C B 1平面 AB 1C ,

所以平面
⊥C AB 1平面 A 1BC 1 .
(Ⅱ设 BC 1交 B 1C 于点 E ,连结 DE , 则 DE 是平面 A 1BC 1与平面 B 1CD 的
交线, 因为 A 1B平面 B 1CD ,所以 A 1BDE. 又 E 是 BC 1的中点,所以 D 为 A 1C
1的中点 .
即 A 1D :DC 1=1.
6. 证明:
设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB , AC , AP 分别为 x , y , z 轴正向建立空间直角坐
标系如图。

则 P (0,0,1 , C (0,1,0 , B (2,0,0 , M (1,0,
1
2
, N (
1

2
,0,0 , S (1,
1
2
,0 .
(Ⅰ 111
(1,1, , (, ,0 222CM
SN =-=--,
因为 11
0022
CM SN ?=-++=,
所以 CM ⊥ SN (Ⅱ 1
(,1,0 2
NC
=-,
设 a=(x , y , z 为平面 CMN 的一个法向量,
则 10, 2
210. 2
x y z x x y ?-+=??=?

?-+=??令 ,得 a=(2,1,-2.

因为
cos , 2a SN =
=

所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45°。
7. 解法一:(1取 CD 中点 O ,连 OB , OM ,则 OB ⊥ CD , OM ⊥ CD . 又平面
MCD
⊥平面 BCD , 则 MO ⊥平面 BCD ,所以 MO ∥ AB ,

A 、 B 、 O 、 M 共面 . 延长 AM 、 BO 相交于 E ,则∠ AEB 就是 AM 与平面
BCD 所 成的角 . OB =MO
=

MO ∥ AB , MO面 ABC , M 、 O 到平面 ABC 的距离相等, 作 OH ⊥BC 于 H ,
连 MH ,则 MH ⊥BC ,求得:
OH=OCsin600
=
2
,MH=
2
, 利 用 体 积 相 等 得
:

A MBC M ABC V V d --=?=
。

(2 CE 是平面
ACM 与平面 BCD 的交线 .
由(1知, O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形 .
作 BF ⊥ EC 于 F ,连 AF ,则 AF ⊥ EC ,∠ AFB 就是二面角 A -EC -B 的平面角,
设为 θ. 因为∠ BCE =120°,所以∠ BCF =60°.
sin 60BF BC =?

tan 2AB BF θ=
=, sin 5
θ=

解法二:取 CD 中点 O ,连 OB , OM ,则 OB ⊥ CD , OM ⊥ CD ,又平面 MCD ⊥
平面 BCD , 则 MO ⊥
平面 BCD .

以 O 为原点,直线 OC 、 BO 、 OM 为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 如
图 .
OB
=OM O (0, 0, 0
, C (1, 0, 0 , M (0

, 0, , B (
0, 0 , A (
0,

, (1设 (, , n x y z =
是平面 MBC
的法向量,则
,

BM =, 由
n B C
⊥得 0
x =; 由
n B M
⊥
得
=
;取 1,1, n BA =-=

,则距离

BA n d n
?=
=
(2
(1
CM =-, (1, CA =-.
D
B
A

设平面 ACM 的法向量为 1(, , n x y z =, 由 11n C
M n C A ?⊥??

⊥??
得 0
x x ?-=??-+=??.

解得 x =, y z =
,取 1,1 n =. 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1n =
,则 111cos , n n n n n n
?<>=
=

?设所求二面角为 θ,则 sin 5θ
=.

8. (1设底面对角线交点为 G ,则可以通过证明 EG ∥ FH ,得 FH ∥平面 EDB
(2利用线线、线面的 平行与垂直关系,证明 FH ⊥平面 ABCD ,得 FH ⊥ BC , FH ⊥
AC ,进而得 EG ⊥ AC , AC ⊥平面 EDB (3
证明 BF ⊥平面 CDEF ,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进而求体积 . 9.
(1, 1,
21
, 2
AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB
∴∴?∴证:设 与 交于点 ,则 为 的中点,连 ,由于 为 的中点,故
又 四边形 为平行四边形

,而 平面 , 平面
证明:(I 设 AC 与 BD 交与点 G 。 因为 EFAG,且 EF=1, AG=
1
2
AC=1.

所以四边形 AGEF 为平行四边形 . 所以 AF平面 EG , 因为 EG
?平面 BDE , AF ?平面 BDE ,
所以 AF平面 BDE.

(II 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直,且 CE ⊥AC , 所
以 CE ⊥平面 ABCD.

如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C-xyz .
则 C
(0, 0, 0 , A
0 , B (00 .
z


所以

22

CF =, (0,

BE =, ( DE =. 所以 0110
CF BE =-+=, 1010
CF DE =-++=
所以 CF BE
⊥, CF DE
⊥.
所以 CF ⊥

BDE.
(III 由(II

知, CF =是平面 BDE 的一个法向量 .
设平面 ABE 的法向量 (, ,
n x y z
=, 则 0

n BA =, 0
n BE =

.

即
(, , 0
(, , 0
x y

z
x y z
=
=
?
?
?
所以 0,
x

=且 ,
z =

令 1,
y =则 z

=
所以 n =.
从而 cos ,
||||
n CF
n CF
n CF
??==。
因为二面角 A BE D
--为锐角,
所以二面角 A BE D
--的大小为

6
π
.
10. 解法一:(1连结 AC ,取 AC 中点 K ,则 K 为 BD 的中点,连结 OK
因为 M 是棱 AA ’的中点,点 O 是 BD ’的中点
所以 AM
1
'
2
DD OK
所以 MO AK
由 AA ’⊥ AK ,得 MO ⊥ AA ’
因为 AK ⊥ BD , AK ⊥ BB ’,所以 AK ⊥平面 BDD ’ B ’
所以 AK ⊥ BD ’
所以 MO ⊥ BD ’
又因为 OM 是异面直线 AA ’和 BD ’都相交
故 OM 为异面直线 AA ' 和 BD ' 的公垂线
(2取 BB ’中点 N ,连结 MN ,则 MN ⊥平面 BCC ’ B ’
过点 N 作 NH ⊥ BC ’于 H ,连结 MH

则由三垂线定理得 BC ’⊥ MH
从而 , ∠ MHN 为二面角 M -BC ’ -B ’的平面角
MN=1,NH=Bnsin45°= 1 2 2 2 2 4 在 Rt△MNH 中，tan∠MHN= MN 1 2
2 w_w w. k#s5_u.c o*m NH 2 4 故二面角 M-BC’-B’的大小为 arctan2 2 (3易知，
S△OBC=S△OA’D’，且△OBC 和△OA’D’都在平面 BCD’A’内 点 O 到平面
MA’D’距离 h＝ VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’= 解法二： 以点 D 为坐标原点，
建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz 则
A(1, 0,0,B(1,1,0,C(0,1,0,A’(1,0,1,C’(0,1,1,D’(0,0,1 (1因为点 M 是棱 AA’的中点,点 O
是 BD’的中点 所以 M(1,0, 1 2 △MA’D’ 1 S 3 h= 1 24 1 1 1 1 ,O( , , 2 2 2 2 1 1 OM
( , , 0 , AA ' =(0,0,1, BD ' =(-1,-1,1 2 2 1 1 OM AA ' =0, OM BD '

+0=0w_w
w. k#s5_u.c o*m 2 2 所以 OM⊥AA’,OM⊥BD’ 又因为 OM 与异面直线 AA’和 BD’
都相交 故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线. (2设平面 BMC'的一个法向量为 n1
=(x,y,z BM =(0,-1, 1 2 , BC ' ＝(－1,0,1
y z 0 即 2 x z
n1 BM 0 n1 BC ' 0 1
0 取 z＝2,则 x＝2,y＝1，从而 n1 =(2,1,2
n1 , n2 w_w w. k#s5_u.c o*m 取平面 BC'B'的一个法向量为 n2 ＝(0,1,0 cos
n1 n2 1 1 | n1 | | n2 | 91 3 由图可知，二面角 M-BC'-B'的平面角为锐角
故二面角 M-BC'-B'的大小为 arccos 1 3 (3易知，S△OBC＝ 1 4 S△BCD'A'＝ 1
2 1 2 4 4 设平面 OBC 的一个法向量为 n3 ＝(x1,y1,z1 w_w w. k#s5_u.c o*m BD '
＝(－1,－1,1, BC ＝(－1,0,0
z1 0 x1
n3 BD ' 0 n1 BC 0 即
2
x1 y1
0 取 z1＝1,得 y1＝1，从而 n3 ＝(0,1,1 1 | BM | 2 点 M
到平面 OBC 的距离 d＝ 4 | n3 | 2 VM－OBC＝ w_w w. k#s5_u.c o*m 1 1 2 2 1
SOBC d

3 3 4 4 24