[高中数学]立体几何.球专题附练习题不看后悔

作者：李老师 （特级教师 上海教育）
立体几何-球-专题学案

练习

1.下列四个命题中错误的个数是 （ ）
．．
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的
球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长
A.0 B.1 C.2 D.3

2.一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是
A.
100π

cm
3
3

B.
208π
3
cm
3

C.
500π
3
cm
3

D.
416?3π
3
cm
3

2
3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是_____________cm，表面积是_____________cm.

预备
1. 球心到截面的距离
d
与球半径
R
及 截面的半径
r
有以下关系： ．
2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．
3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长
叫 ．
4. 球的表面积表面积S＝ ；球的体积V＝ ．
5. 球面距离计算公式：__________

典例剖析

（1）球面距离，截面圆问题
例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
这个球的半径为
A.4
3


练习： 球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之 间的球面距离是大圆周长的
1
，B和C之间的球面距离是大圆
4
1
， 经过这3个点的小圆的周长为4π，那么
6
D.
3
B.2
3
C.2
周长的
1
，且球心到截面ABC的距离是
21
，求球的体积．
6
7

例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，
AD?底面BCDE
，且AC⊥BC，AE⊥BE．
(1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；
(2) 若
?CBE?90,CE?3,AD?1,
求B、D两点间的球面距离．
?
A
E
B
D
C


1

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（2）注意体会立体空间想象能力，不要把图形想象错误
例3. 在底面边长为2的正方体容 器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子
相切）， 求小球的半径。


（3）经度，维度问题
例4. 把地球看作半径为
R
的球，
A
、
B
是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°
，
A
、
B
两点间的球面距离为_____________

（4）球的外接与内切问题
例5. 求边长为1的正四面体的外接球的表面积和内切球的体积。
练习：1. 求底面边长为1，侧棱长为2的正三棱锥的外接球的体积和内切球的表面积。
2. 三棱锥O-ABC的三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4 ； 求它的外接球和内切球的半径。


归纳
1．常考形式有以下几种：
（1） 球与截面圆的问题
（2） 球与棱柱，棱锥的结合，通常求体积，表面积；
（3） 维度，经度问题。
（4）外接球与内切球问题
2．注意球面距离容易搞错，它是与大圆相关。
3. 注意空间想象力的培养，避免把图形想象错误。


立体几何-球专题训练
A组题：
1、
A,B
是球面上相异两点，则经过
A,B
可作的大圆个数为 （ ）
(A)只有一个 (B)无数个 (C)两个 (D)一个或无数个
2、半径为5的球被一个平面所截，截面面积为
16
?
，则球心到截面的距离为 （ ）
(A) 4 (B) 3 (C)
2.5
(D) 2
3、自半径为1的球面上一点< br>Q
，作球的三条互相垂直弦
QA,QB,QC
，则
QA
2?QB
2
?
（ ）
(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)不能确定


4、已知地球的半径为
R
，在南纬
?
的纬度圈上有A,B 两点，若沿纬度圈这两点间的

2
QC
2
?

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距离为
?
Rcos
?
，则A,B两点间的球面距离为 （ ）
(A)
?
R
(B)
?
Rcos
?
(C)
R
?
(D)
R(
?
?2
?
)

5、球的半径为R
，
A,B
是球面上两点，且球面距离为
?
3
R
，则球心到过
A,B
的
所有平面的距离中，最大距离为 （ ）
(A)
R
(B)
3
1
R
(C)
R
(D) 不存在
2
2
6、两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9
?
,16
?
，则这两个平行
平面间的距离是 （ ）
(A) 1 (B) 7 (C) 3或4 (D) 1或7

B组题：

1. 半径为R 的球“紧贴”在墙角处，则球心到墙角顶点的距离为 （ ）
A. R B.
2R
C.
3R
D。
2R

2. 正四面体的外接球和内切球的体积之比是___________ ， 表面积之比是___________ .
3. 三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，则内切球表面积为______ , 外接球体积为
_____________ .
4.已知球
O
的半径为1，
A
、
B
、
C
三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为< br>为 （ ）
A.
π
，则球心
O
到平面
ABC
的距离
2
1

3
B.
3

3
C.
2

3
D.
6

3

5. 已知过球面上
A
、
B
、
C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且
AB
=
BC
=
C A
=2，则球面面积是（ ）
A.
16π

9
B.
8π

3
C.4π D.
64π

9

6. 把地球看作半径为
R
的球，
A
、
B
是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，
A
、
B
两点 间的球面距离为
_____________
.
7. 已知球面上的三点
A
、
B
、
C
，
AB
=6，
BC
= 8，
AC
=10，球的半径为13，求球心到平面
ABC
的距离.

8. 将半径为
R
的四个球，两两相切的放在桌面上固定，上面再放一个球，求上面 一个球的球心到桌面的距离.

9. 在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h
的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面
恰好和球面相切，求这个铁球的 半径.



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