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2019届高中数学 立体几何知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 07:33
tags:高中数学立体几何

陕西教师资格证高中数学真题及答案解析-暑假提前学完高中数学

2020年9月21日发(作者:赵邦斌)


立体几何知识点总结
一、空间几何体的结构及其三视图与直观图
1.空间几何体的结构
(1)多面体
几何
结构特征

按侧棱与底面是否垂直分类,可分为
①底面互相平行.
斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直
②侧面都是平行四边形.
棱柱
③每相邻两个平行四边形的公共边互
的棱柱叫做直棱柱.特别地,底面是正
相平行.
多边形的直棱柱叫做正棱柱.
①底面是多边形.
棱锥 ②侧面都是三角形.
③侧面有一个公共顶点.
三棱锥的所有面都是三角形,所以四
个面都可以看作底. 三棱锥又称为四
面体.
的棱柱叫做斜棱柱,侧棱垂直于底面
备注
①上、下底面互相平行,且是相似图形.
可用一个平行于棱锥底面的平面去截
棱台 ②各侧棱的延长线交于一点.
棱锥
③各侧面为梯形.
(2)旋转体
几何
结构特征

①圆柱有两个大小相同的底面,这两个面互相平
行,且底面是圆面而不是圆.
②圆柱有无数条母线,且任意一条母线都与圆柱
圆柱可以由矩形绕其任一边
圆柱 的轴平行,所以圆柱的任意两条母线互相平行且
所在直线旋转得到.
相等.
③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面,
过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
备注


①底面是圆面.
②有无数条母线,长度相等且交于顶点.
圆锥
③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,直角边所在直线旋转得到.
过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形.
圆台可以由直角梯形绕直角
①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.
腰所在直线或等腰梯形绕
②有无数条母线,等长且延长线交于一点.
圆台
③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的
旋转得到,也可由平行于底
圆面,过轴的截面( 轴截面)是全等的等腰梯形.
面的平面截圆锥得到.
①球心和截面圆心的连线垂直于截面.

②球心到截面的距离
d
与球的半径
R
及截面圆的
半径
r
之间满足关系式:
d?
2.空间几何体的三视图
(1)三视图的概念
①光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图叫做几何体的正视图;
②光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图叫做几何体的侧视图;
③光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图叫做几何体的俯视图.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.
球可以由半圆面或圆面绕直
径所在直线旋转得到.
上、下底中点连线所在直线
圆锥可以由直角三角形绕其
R?r
.
22

(2)三视图的画法规则
①排列规则:一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边.如下图:





②画法规则


ⅰ)正视图与俯视图的长度一致,即“长对正”;
ⅱ)侧视图和正视图的高度一致,即“高平齐”;
ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致,即“宽相等”.
③线条的规则
ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示;
ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.
(3)常见几何体的三视图
常见几何体
长方体
正方体
圆柱
圆锥
圆台

3.空间几何体的直观图
(1)斜二测画法及其规则
对于平面多边形,我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画 法是一种特殊的画直观
图的方法,其画法规则是:
①在已知图形中取互相垂直的
x
轴和
y
轴,两轴相交于点
O
.画直观图时,把它们画成对
应 的
x
′轴和
y
′轴,两轴相交于点
O
′,且使∠
x

O

y
′=45°(或135°),它们确定
的平面表示 水平面.
②已知图形中平行于
x
轴或
y
轴的线段,在直观图中分别 画成平行于
x
′轴或
y
′轴的线
段.
③已知图形中平行于
x
轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于
y
轴的线段,长
正 视图
矩形
正方形
矩形
等腰三角形
等腰梯形

侧视图
矩形
正方形
矩形
等腰三角形
等腰梯形

俯视图
矩形
正方形


两个同心的圆


度为原来的一半.
(2)用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
①在已知图形所在的空间中取水平平面,作 互相垂直的轴
Ox

Oy
,再作
Oz
轴使∠
xOz
=90°,且∠
yOz
=90°.
②画直观图时,把它们画成对应的轴O

x
′,
O

y
′,
O

z
′,使∠
x

O

y
′=45°(或< br>135°),∠
x

O

z
′=90°,
x

O

y
′所确定的平面表示水平平面.
③已知图形中, 平行于
x
轴、
y
轴或
z
轴的线段,在直观图中分别画成平行 于
x
′轴、
y

轴或
z
′轴的线段,并使它们和所 画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标
轴的位置关系相同.
④已知图形中平行于
x
轴或
z
轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于
y
轴 的线段,
长度变为原来的一半.
⑤画图完成以后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.
注释
直观图的面积与原图面积之间的关系
①原图形与直观图的面积比为
S
?22
,即原图面积是直观图面积的
22
倍,
S
?
②直观图面积 是原图面积的
1
22
=
2
倍.
4
二、空间几何体的表面积与体积
1.旋转体的表面积
圆柱(底面半径为
r
,圆锥(底面半径为
r
,圆台(上、下底面半径分别为

母线长为
l
) 母线长为
l

r
′,
r
,母线长为
l

侧面展开



底面面积

S

?
π
r
2

S

?
π
r
2

S
上底
?πr?
2
,S
下底
?πr
2


侧面面积
S

?2πrl

S

?πrl

S

?πl
?
r??r
?

S

?
π
?
r?
2
?r
2
?r?l?rl< br>?

表面积
S

?2πr
?
r?l
?

S

?πr
?
r?l
?

注释
多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积.
棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系:

2.柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积
V
柱体
?Sh
(
S
为底面面积,
h
为高)
柱体
V
圆柱
?
π
r
2
h
(r
为底面半径,
h
为高)
1
V
锥体
?Sh< br>(
S
为底面面积,
h
为高)
3

1
V
圆锥
?
π
r
2
h
(
r
为底面 半径,
h
为高)
3
1
V
台体
?(S??S?S? S)h
(
S
′、
S
分别为上、下底面面积,
h
为高 ),
3
1
V
圆台
?
π
h
?
r?
2
?r?r?r
2
?
(
r
′、
r
分别为上、下底面半径,
h
为高)
3
锥体
台体
注释
(1)柱体、锥体、台体体积公式间的关系



(2)一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差;
(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.
3.球的表面积和体积公式
设球的半径为
R
,它的体积与表面积都由半径
R
唯一确定,是以
R
为自变量的函数,其表面
积公式为
4πR
2
,即球的表面积等于它的 大圆面积的4倍;其体积公式为
4
3
π
R
.
3
注释
球的切、接问题(常见结论)
(1)若正方体的棱长为
a
,则正方体的内切球半径是
1
a
;正方体的外接球半径是
2
3
2
a
;与正方体所有棱相切的球的半径是
a

2
2
b

h
,(2)若长方体的长、宽、高分别为
a
,则长 方体的外接球半径是
(3)若正四面体的棱长为
a
,则正四面体的内切球半径是
1
2
a?b
2
?h
2

2
6
a
;正四面体的外接球
12
半径是
6
2
a
;与正四 面体所有棱相切的球的半径是
a

4
4
(4)球与圆柱的底面和侧 面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的
直径.
(5)球与圆台的底面与侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.
三、空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面的基本性质
名称 图形 文字语言 符号语言


如果一条直线上的两点在同
公理
一个平面内,那 么这条直线在
1

这个平面内
A
?
l

B
?
l
,且
A
?
α,
B
?
α?
l

A

B

C
三点不共线?有
公理
2

过不在同一条直线上的三点,
且只有一个平面α,使
有且只有一个平面

经过一条直线和直线外的一
A
?
α,
B
?
α,
C
?
α
若点
A?
直线
a
,则A




2





一个平面
3
如果两个不重合的平面有一
公理
个公共点,那么它们有且只有
3

一条过该点的公共直线
———
l
1

公理
———
l
2
4
———
l

2.等角定理
点,有且只有一个平面
1

经过两条相交直线,有且只有

2
一个平面

a
确定一个平面
?

ab?P
?有且只有一
个平面
?
,使
a?
?

b?
?

a∥b
?有且只有一个平

?
,使
a?
?

b?
?

经过两条平行直线,有且只有
P
?
α,且
P< br>?
β?α∩β=
l

P
?
l

且< br>l
是唯一的
平行于同一直线的两条直线
l
1

l< br>,
l
2

l
?
l
1

l< br>2

平行
(1)自然语言:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
(2)符号语言: 如图(1)、(2)所示,在∠
AOB
与∠
A

O

B
′中,
??AOB??A?O?B??180?
.
OA∥O?A?,O∥BO?

?B

?AOB??A?O?B


图(1) 图(2)
3.空间两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式:
(1)从有无公共点的角度分类:
?
两条直线有且仅有一个公共点:相交直线
?

直线
?< br>?
平行直线
?
?
两条直线无公共点:
?
异面直线?
(2)从是否共面的角度分类:
?
?
相交直线
共面直线
?
?

直线?
?
平行直线
?
?
不共面直线:异面直线
4.异面直线 所成的角
(1)异面直线所成角的定义
如图,已知两异面直线
a

b
,经过空间任一点
O
,分别作直线
a
′∥
a

b
′∥
b
,相交直
线
a
′,
b
′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线
a

b
所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角,异面直线所成角的范围是
(0,]
.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线 互相垂直.两条互相垂直的
异面直线
a

b
,记作
a

b
.
5.直线与平面、平面与平面位置关系的分类
(1)直线和平面位置关系的分类
①按公共点个数分类:
π
2
?
直线和平面相交—有且只有一个公共点
?

?
直线和平面平行—没有公共点
?
直线在平面内—有无数个公共点
?
②按是否平行分类:


?
直线与平面平行
?
?
直线与平面相交
< br>?
?
直线与平面不平行
?
直线在平面内
?
?
③按直线是否在平面内分类:
?
直线在平面内
?
?
直线和平面相交

?
?
直线不在平面内(直线在平面外)
?
直线和平面平行
?
?
(2)平面和平面位置关系的分类
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
注释
(1)唯一性定理
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(2)异面直线的判定方法
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
四、直线、平面平行的判定及其性质
1.直线与平面平行的判定定理
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
文字语言
简记为:线线平行?线面平行
图形语言

符号语言
a
?α,
b
?α,且
a

b
?
a
∥α


作用
2.直线与平面平行的性质定理
证明直线与平面平行
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直
文字语言 线平行.
简记为:线面平行?线线平行
图形语言

符号语言
a∥
?
,a?
?
,
?
①作为证明线线平行的依据.
?
?b?a∥b

作用
②作为画一条直线与已知直线平行的依据.
3.平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
文字语言
简记为:线面平行?面面平行
图形语言

符号语言
作用 a?
β,
b?
β,
ab?P

a
∥α,
b
∥α?α∥β

证明两个平面平行
4.平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
文字语言
简记为:面面平行?线线平行


图形语言

符号语言
作用
?

?
,
??
?a,
??
?b?a∥b

证明线线平行
注释
1.平行问题的转化关系

2.常用结论
(1)如果两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线.
(3)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(5)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
(6)如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个平面互相平行.
(7)如果一个平面 内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面
平行.
(8)如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行.
五、直线、平面垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直的定义
如果直线
l
与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线
l
与平面α互相垂直.
记 作:
l
⊥α
.
图形表示如下:



注释
定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语,与“无数条直线”不是
同义语.
2.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
文字语言
简记为:线线垂直?线面垂直
图形语言

符号语言
l

a

l

b

a
?α,
b?α,
ab?P
?
l
⊥α
作用 判断直线与平面垂直
注释
在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时,一定要注意是这条直线和平面内的两条< br>相交直线垂直,而不是任意的两条直线.
..
3.直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
文字语言
简记为:线面垂直?线线平行


图形语言

符号语言
a?
?
?
?
?
a∥b

b?
?
?
①证明两直线平行;
作用
②构造平行线.
4.平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平 面互相垂直.平面α与
平面β垂直,记作
?

?
.图形表示如下:

5.平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
文字语言
简记为:线面垂直?面面垂直
图形语言

符号语言
作用
6.平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
文字语言
简记为:面面垂直?线线平行
l
⊥α,
l?
?
?α⊥β

判断两平面垂直


图形语言

符号语言
?

?
?
??
=l
?
?
?
?a⊥
?

a?
?
?
a?l
?
?
作用
7.直线与平面所成的角
证明直线与平面垂直
(1)定义:一条直线和一个平面相 交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的
斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的
射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
..< br>(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于
90
;一条直线和平面平行 ,或
..............
π
在平面内,我们说它们所成的角等于
0
.因此,直线与平面所成的角α的范围是
[0,]
.
2
8.二面角
(1)二面角的定义:平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从
一条 直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两
...
个半平 面叫做二面角的面.
(2)二面角的平面角的定义:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个 半平面
内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
(3)二面角的范围:
[0,π]
.
注释
1.垂直问题的转化关系



2.常用结论
(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线.
(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直.
(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
(7)如果两 个平面互相垂直,那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一
个平面内.

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