高中数学立体几何单元测试卷(精选)

高一2011-2012学年度单元测试题
数 学
立体几何部分
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分），考生作答时请将答案答在答题纸上，答在试
卷或草纸上无效，考试时间120分钟，满分150分。
参考公式：柱体体积
V?Sh
，其中S为柱体底面积，h为柱体的高。
球体 体积
V?
椎体体积
V?
4
3
1
3
?
R
，其中π为圆周率，R为球体半径。
Sh
，其中S为锥体底面积，h为锥体的高。
3
第Ⅰ卷
一、选择 题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法正确的是
A.两两相交的三条直线共面
B.两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线
C.一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行
D.不共面的四点中，任何三点不共线
2.设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的 中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C
A.不共面
B.当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论A，B如何移动都共面
3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.2 B.1 C.
2
3
D.
1
3
第3题图 第4题图
4.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB中 点。将△ADE与△BEC分别沿ED，
EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外 接球的体积为
A.
43
?
27
B.
6
?
2
C.
6
?
8
D.
6
?
24

5.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A.若l⊥m，m
?
α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m
?
α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m 第6题图
6.如图所示 ，在斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，∠BAC=90° ，BC
1
⊥AC，则C
1
在底面ABC上的射影H必在
A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部
7.如图所示，正方体ABCD－A
1
B
1
C< br>1
D
1
的棱长为1，线段B
1
D
1
上有两个 动点E，F，
且EF=
1
2
，则下列结论中错误的是
A. AC⊥BE ∥平面ABCD
C.三棱锥A- BEF的体积为定值 D.△AEF的面积与△BEF的面积相等 第7题图
8.已知有三个命题：①长方体中，必存在到各点距离相等的点；②长方体中，必存在到各棱 距离相等的点；③长
方体中，必存在到各面距离相等的点。以上三个命题中正确的有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
1

9.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于
A.
S
2
S
B.
S
2
S
?
C.
S
4
S
D.
S
4
S
?

10.如图所示，若Ω是长方体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
被平面EFGH截去几何体 B
1
EF－C
1
HG后得到的几何
体，其中E为线段A
1
B
1
上异于B
1
的点，F为线段BB
1
上异于B< br>1
的点，且EH∥A
1
D
1
，则下列结论中
不正确的是
∥FG B.四边形EFGH是矩形 C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台 第10题图
11.如图所示，定点A、B都在平面α内，定 点P
?
α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC。那么，
动点C在平 面α内的轨迹是
A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点
C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点





第11题图 第12题图
12.如图所示，在单位正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的面对角线A
1
B上存在一点P，使得AP+D1
P最短，则AP+D
1
P
的最小值为
A.
2?2
B.
2?
2
6
C.
2?

2
D.2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第22题～第24题
为平行选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.如图所示，四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD为正方形，侧棱与 底面边长均为2a，
∠A
1
AD=∠A
1
AB=60°，则侧棱A A
1
和截面B
1
D
1
DB的距离是_________ < br>14.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为
103
，则h=____ __ 第13题图





第14题图 第15题图
15.如图所示，在正 三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D、H、G为
垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转一周所得的圆锥的体积为V，则其中有阴影部分所产生的旋转体的体积与
V的比是_________
16.判断下列命题的正确性，并把所有正确命题的序号都填在横线上__________
①若直线a∥直线b，b
?
平面α，则直线a∥平面α
②在正方体内任意画一条线段l，则该正方体的一个面上总存在直线与线段l垂直
2

③若平面β⊥平面α，平面γ⊥α，则平面β∥平面γ
④若直线a⊥平面α，直线b∥平面α，则直线b⊥直线a
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分） < br>在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB
1
⊥BC
1
，AB=CC
1
=1，BC=2.
（1）求证：A
1
C
1
⊥AB；
（2）求点B
1
到平面ABC
1
的距离.


18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，∠ADC=90°，
BC=
1
2
A
C
A
1
B
1C
1
B
AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PBQ；
（2）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA平面BMQ．


19.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
1
2
PD．
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）求棱锥Q－ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

20.（本小题满分12分）
在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=AD=1，底边AB上有且只有一 点
M
使
得平面D
1
DM⊥平面D
1
MC.
（1）求异面直线CC
1
与D
1
M的距离；
（2）求二面角M－D
1
C－D的大小.
A
1
D
1
C
1
B
1
D
C

A

21.（本小题满分12分）
已知正四棱锥P－ABCD的底面边长和侧棱长均为13，E、F分别是PA、BD上的点，
且
PE
EA
?
BF
FD
?
5
8
M
B
P
.
E
（1）求证：直线EF∥平面PBC；
（2）求直线EF与平面ABCD所成的角；











3
A
D
C
F
B

在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题所得的分计分。
22.（本小题满分12分）
B
B
1
已知斜三棱柱ABC－A1
B
1
C
1
的侧面BB
1
C
1
C是边长为2的菱形， ∠B
1
BC=60°，
侧面BB
1
C< br>1
C⊥底面ABC，∠ACB=90°，二面角A-B
1
B-C为30°.
（1）求证：AC⊥BB
1
C
1
C；
（2）求AB1
与平面BB
1
C
1
C所成角的正切值；
（3）在平面AA
1
B
1
B内找一点P，使三棱锥P- BB
1
C为正三棱锥，并求
CC
1
该棱锥底面BB
1
C上的高.

23.（本小题满分12分）
A
如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MAPB，PB=AB=2MA，
（1）证明：AC平面PMD；
（2）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（3）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。



24.（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的各棱长都为a，P为A
1
B上的点。
（1）试确定
A
1
P
的值，使得PC⊥AB；
PB
（2）若
A
1
P
2
，求二面角P—AB—C的大小；
P B
?
3
（3）在（2）条件下，求C
1
到平面PAC的距离























A
1
4

高一2011-2012学年度单元测试卷
数学试卷答题纸
姓 名：__________
班 级：__________
贴 条 形 码 区
考 场：__________
座位号：__________
（正面朝上，切勿贴出虚线方框外）

准考证号

考生禁填
1．答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号和座位号填写在相应位
缺考标记?
注
置。

缺考考生，由
意
2．选择题填涂时，必须使用2 B铅笔按?填涂；非选择题必须使用0.5毫
监考员贴条形
事

米的黑色墨迹签字笔作答。

3．考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题， 超出答题区域范围书
码，并用2B铅

项
写的答案无效。
笔填涂右面的
4．保持答题卡清洁、完整、严禁折叠，严禁使用涂改液和修正带。
选择题

（考生须用2B铅笔填涂）
1.[A] [B] [C] [D] 5.[A] [B] [C] [D] 9. [A] [B] [C] [D]
2.[A] [B] [C] [D] . .6.[A] [B] [C] [D] 10. [A] [B] [C] [D]
3.[A] [B] [C] [D] . .. 7.[A] [B] [C] [D] .11.[A] [B] [C] [D]
4.[A] [B] [C] [D] 8.[A] [B] [C] [D] .12.[A] [B] [C] [D]
非选择题

（请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写）
17.（本小题满分10分）
A
1
C
1
B
1
A
C
B
5

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框

18.（本小题满分12分）
6

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框
19.（本小题满分12分）
20.（本小题满分12分）
D
1
C
1
A
B1
1
D
C
A
M
B
7

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框

21.（本小题满分12分）
P
E
D
C
F
A
B
8

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框

用2B铅笔填涂题号 22 23

24




B
B
1





CC
1


A



A
1


















9

高一2011-2012单元检测题参考答案及评分标准
一、选择题，每小题5分，选错或不选不得分
题号
答案
题号
答案
1
D
7
2
D
8
3
B
9
4
C
10
D
5
B
11
B
6
A
12
A D B D
二、填空题，每小题5分，第16题选错或少选都不得分
13.a 14.
3
15.
5
8
16.②④ < br>三、解答题，考生必须写出解题步骤或证明步骤，只写答案不得分，答题前不写“解”或“证明”字样的扣 一分，
写了不给分，答题纸上未标注选择哪一道题选做题的不得分，答案答错区域的不得分，超出答题区 域的答案不予
以审批。
17.（本小题满分10分）
证明：（1）连结
A
1
B
，则
A
1
B?AB
1

又∵
A
1
B?BC
1
∴
AB
1
?
平面
A
1
BC
1

∴
AB
1
?A
1
C
1
???4分
又∵
A
1
C
1
?BB
1
∴
A
1
C
1
?
平面
ABB
1

∴
A
1
C
1
?AB
???????4分
（2）由（1）知
AB?AC
∵
AB?AC
1

∵
AB?1

BC?2

∴
AC?
∴
S
?ABC
1
?1
???????6分
设所求距离为
d

∵
V
B
1
?ABC
1
∴
3

AC
1
?2

A
C
A
1
B
1
C
1
B
?V
C
1
?ABB
1< br>
1
3
S
?ABB
1
?A
1
C1

3
2
1
3
1
3
S
?AB C
1
?d?
11
??
32
∴
?1?d?3
∴
d?
????10分
1
2
18.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）AD BC，BC=
∴ 四边形BCDQ为平行四边形， ∴CD BQ ．
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
∵ PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
AD，Q为AD的中点，
∵ PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PBQ． ……………………6分
（Ⅱ）当t=1时，PA平面BMQ．
连接AC，交BQ于N，连接MN．
∵BC
1
2
DQ，
∴四边形 BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
∵点M是线段PC的中点，
10

∴ MN PA．
∵ MN平面BMQ，PA平面BMQ，
∴ PA 平面BMQ． ……………………12分
19.（本小题满分12分）
解：
（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分
（II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积
由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分
20.（本小题满分12分）
证明:(1)过
D
作
DH?D
1
M
于
H

∵平面
D
1
DM?
平面
D
1
MC
且平面
D
1
DM?
平面D
1
MC?D
1
M

∴
DH?
平面
D
1
MC

∴
DH?MC


D
1
C
1
又∵
MC?DD
1
∴
MC?
平面
D
1
DM

F
∴
MC?DM
???????2分
B
A
1
又∵满足条件的
M
只有一个
1
H
∴以
CD
为直径的圆必与
AB
相切，
D
E
C
切点为
M
，
M
为的
AB
中点
∴
1
2
CD?AD
∴
CD?2
???4分
A
M
B
∵
MC?
平面
D
1
DM
，∴
MC?D
1
M

又∵
CC
1
?MC
，所以
MC
为异面直线
CC< br>1
与
D
1
M
的公垂线段
CM
的长度为所求距离
CM?2
???????6分
（2） 取
CD
中点
E
，连结
ME
，则
ME?
平面
D
1
CD

过
M
作
MF?D
1
C
于
F
，连结
EF
，则
EF?CD
1
∴
?MFE
为二面角
M?D
1
C?D
的平面 角???????9分
又∵
ME?1
,
MF?
30
在
Rt?MEF
中
sin?MFE?
ME
?
30
5 MF6

∴
?MFE?arcsin
30
6
???????12分
21.（本小题满分12分）
证明：（1）连结
AF
并延长与
BC
交于
G

11

∵
?ADF
∽
?GBF

∴
BFGF
FD
?
FA
?
5
8

P
∴
PEGF
EA
?
FA

∴
EF
∥
PG
??????5分
E
又∵
EF?
平面
PBC

∴
EF
∥平面
PBC
?????6分
（2）∵
EF
∥
PG

∴
EF
、
PG
与平面
ABCD
所成的角相等???????8分
D
设
AC
、
BD
交于
O
，连结
PO
、
OG

O
∵
PO?平面ABCD
，∴
?PGO
为 所求的角?????9分
F
G
A
B
∵
BFBG5
FD
?
AD
?
8
∴
BG?13?
5
8

在
?OBG
中
22

OG?
?
?
13
2
?
?< br>?
?
?
13?
5
?
13
2?13?
5
?
2
??
8
?
?2?
?
28
?
2
2
?
13
8
17
????10分
又∵
PA?13

OA?
1313
2
2
∴
OP?
2
2

13
在
Rt?POG
中
tan?PGO?
PO
2
34
OG
?
2
13
?
4
17

8
17
∴
?PGO?arctan
4
17
34
???????12分
22.（本小题满分12分）
证明：（1）∵平面
BB
1
C
1
C?
平面
ABC

B
D
B
平面
BB
1

1
C
1
C?
平面
ABC?BC

O
又∵
AC?BC

AC?
平面
ABC

P
∴
AC?
平面
BB
1
C
1
C
???????4分
CC
1
（2）取
BB
1
的中点
D
，则
CD ?BB
1

A
∵
AC?
平面
BB
1
1
C
1
C
∴
AD?BB
1

A
∴
?CDA
为二面角
A?BB
?
1
?C
的平面角 ∴
?CDA?30

∵
CD?3
∴
AC?1
???????6分
连结
B
1
C
，则
?AB
1
C
为
AB
1
与平面
BB< br>1
C
1
C
所成的角

C
12

在
Rt?ACB
1
中
tan?AB
1
C?
（3）在
CD
上取一点
O
使
AC
B
1
C
?
?
1
1
2
???????8分 < br>DO
，过
O
作
AC
的平行线与
AD
交于P
，则点
P
为所
OC2
求 ???????10分
∵
AC
∥
OP
∴
O P?
平面
BB
1
C
且
O
是正
?BB
1
C
的中心
∴
P?BB
1
C
为正三棱锥
∴所求高为
OP?
1
3
AC?
1
3
???????12分
23.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图1，取PD的中点E，连EO，EM。 ∵EOPB，EO=
1
PB，MAPB，MA=
1
22
PB，
∴EOMA，且EO=MA
∴四边形MAOE是平行四边形，
∴MEAC 。
又∵AC
?
平面PMD，ME
?
平面PMD，
∴AC平面PMD ??????????3分
（Ⅱ）如图1，PB⊥平面ABCD，
CD
?
平面ABCD， ∴CD⊥PB。
又∵CD⊥BC， ∴CD⊥平面PBC。
∵CD
?
平面PCD， ∴平面PBC⊥平面PCD。
过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，连DF，
则DF为BD在平面PCD上的射影。
∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角。
不妨设AB=2，则在Rt△BFD中，
BF?
1
2
BD
， ∴∠BDF=
?
6

∴直线BD与平面PCD所成的角是
?
6
???7分
（Ⅲ）解：如图3，分别延长PM，BA，设PM∩BA=G，连DG，
则平面PMD∩平面=ABCD=DG

过A作AN⊥DG于N，连MN。
∵PB⊥平面ABCD， ∴MN⊥DG
∴∠MNA是平面PMD与平面ABCD所成
的二面角的平面角（锐角） ??????????9分
在Rt△MAN中，
tan ?MNA?
MA2
NA
?
2
，
∴∠MNA=arctan
2
2

∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）

13

大小是arctan
2
2
????????????????12分
24.（本小题满分12分）
解法一：（1）当
A
1
P
PB
?1
时，PC⊥AB
取AB的中点D′，连结CD′、PD′
∵△ABC为正三角形， ∴CD′⊥AB。
当P为A
1
B的中点时，PD′A
1
A， ∵A
1
A⊥底面ABC， ∴PD′⊥底面ABC，
∴PC⊥AB ????????2分
（2）当
A
1
P
时，过P作PD⊥AB于D，
PB
?
2
3
如图所示，则PD⊥底在ABC
过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC
∴∠DEP为二面角P—AC—B的平面角。
又∵PDA
BD3
1
A， ∴， ∴
AD
DA
?< br>BP
PA
?
1
2
?
2
5
a

∴
DE?AD?sin60??
2a
5
?
3
2< br>?
3
5
a.

又∵
PD
?
3
A
,?PD?
3
5
a

1
A5
∴
tan?PED?
PD
DE
?3
∴∠PED=60°
即二面角P—AC—B的大小为60° ??????????6分
（3）设C
1
到面PAC的距离为d，则
V
C
1
?PAC
?V
P?ACC
1

∵PDA
1
A ∴PD平面A
1
C ∴DE即为P点到平面A
1
C的距离。
又PE =
PD
2
?DE
2
?(
3
a)
2
?(
3
a
2
23
2
55
)?
5
a

∴
1
S
1
3
?PAC
?d?
3
S
?ACC
?DE
1

∴
1
3
(
1
2
a?
23
5
a)?d?
11
2
3
3
(
2
a)?
5
a

解得
d?
a
2

即C
1
1
到平面PAC的距离为
2
a
??????????12分
14