高中数学立体几何习题精选精讲

例谈立体几何中的转化
立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最 重要的就是转化的思想方法，它
贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几 何中的转化主要是
空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手。
1、 位置关系的转化
线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是< br>平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转
化。
例1 已知三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上< br>的射影分别是点E、F。求证EF⊥SC。
S
分析：∵A、E、F三点不共线，AF⊥SC，
F

∴要证EF⊥SC，只要证SC⊥平面AEF，
只要证SC⊥AE（如图1）。
E
又∵BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB，
A
∴SB是SC在平面SAB上的射影。
∴只要证AE⊥SB（已知），∴EF⊥SC。
例2 设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形
B
折 成二面角A－EF－C
1
(如图－2)。求证：平面AB
1
E∥平面C
1
DF。
图－1
分析一（纵向转化）：
C
B

E

A
∵AE∥DF，AE
?
平面C
1
DF，


∴ AE∥平面C
1
DF.同理，B
1
E∥平面C
1
DF，
D1

又AE∩B
1
E＝E，∴平面 AB
1
E∥平面C
1
DF。

分析二（横向转化）： < br>∵AE∥EF，B
1
E⊥EF，且AE∩B
1
E＝E，∴EF⊥平面C
1
DF。
D
C


F

同理，EF⊥平面C
1
DF 。平面AB1E∥平面C
1
DF。
C
1

2、降维转化
图－2
由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一
个平面中去，用学生们比较熟悉的平 面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明
就是转化为三角形全等的平面问题。
例3 如图-3，在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，AB=BC=
2
，BB
1
=2，
?ABC?90
?< br>，E、F分别为AA
1
、C
1
B
1
的中点，沿棱柱的 表面从E到F
两点的最短路径的长度为 .
3
2

2
图-3

分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。
又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两
相交直线成的角来进行的。




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例4 如图-4直四棱柱
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，
AA
1
?2
，底面ABCD是直角梯形，∠A
是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直 线
BC
1
与DC
所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
解：由题意ABCD，
??C
1
BA
是异面直线BC
1
与DC所成的角.
连结AC
1
与AC，在Rt△ADC中，可得
AC?5
，
又在Rt△ACC
1
中，可得AC
1
=3.
在梯形ABCD中，过C作CHAD交AB于H，
得
?CHB?90?,CH?2,HB?3,?CB?13

图-4

又在
Rt?CBC
1
中，可得
BC
1
?17
，
AB
2
?BC
1
2
?AC
1
2317317
在
?ABC
1
中,cos?ABC
1
?? ,??ABC
1
?arccos.

2AB?BC
1
171 7
∴异而直线BC
1
与DC所成角的大小为。
实现空间问题向平面问题转化 的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅
助面法等等。
3、割补转化
“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复
杂图形为已熟知 的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。
例5 如图5，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝n,
PA与BC的公垂线ED＝h，
1
2
求证：三棱锥P－ABC的体积V＝ nh.
6
此题证法很多，下面用割补法证明如下：
分析一：如图5，连结AD、PD，∵BC⊥DE，BC⊥AB，

∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，
E
A
B
图—5
D
C
P
C
1

B
1

C
B
P
11
2
nh
36
∴V
P－ABC
＝V
B－APD
＋V
C－APD
＝BC·S
⊿ APD
＝ 。
E
A
图－6
分析二：如图6，以三棱锥P－ABC的底面为底面，侧棱PA为
侧棱，补成三棱拄 PB1C1－ABC，连结EC、EB，则易证AP⊥平面EBC，


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