高中数学立体几何线面关系经典

立体几何线面关系
一、柱、锥、球图形画法、基本性质、表面积及体积公式

概念 基本性质 表面积 体
积





































.

二、线面关系及判定
1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行。
（3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（4）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：
（1）在平面内 的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直。
（2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直那么它和这条斜线的射影垂直。
（3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：
（1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
4、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
5、面面平行的判断：
（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：
（1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
三、线面关系网络图

公理4

线线平行



三垂线定

线线垂直
三垂线逆定理
.
线面平行





面面平行



线面垂直

面面垂直

立体几何线面关系训练

一.选择题：
1.线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（ ）
A.
AB?
?
B.
AB?
?
C.有线段AB的长短而定 D.以上都不对
2.下列说法正确的是（ ）
A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形 D.两个相交平面有不同在一条直线上的三个交点
3.利用斜二测法画得的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。以上结论正确的是（ ）
A.①② B.① C.③④ D.①②③④
4.若
?
?
?
?l,AB?
?
,C D?
?
,AB?CD?M
，则（ ）
∥CD B. M∈
l
∩BD=M D.α∩β=M
5.已知直线a，b和平面
?
，下列命题中正确的是（ ）
（A） 若 a
‖
?
，
b?
?
，则a
‖
b（B）若a< br>‖
?
，b
‖
?
，则a
‖
b
（C） 若a
‖
b，
b?
?
，则a
‖
?
（D）若a
‖
b，a
‖
?
，则
b?
?
或b
‖
?

6.在正方体中ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，下列几种说法正确的是（ ）
00
A.A
1
C
1
⊥AD B.D
1
C
1
⊥AB
1
与DC成45角 D.A
1
C
1
与B
1
C成60角
D
1

A
1

B
1

C
1

A
1

D
1

B
1

F
D
E
C
B
D
C
B
C
1


A

A

（第6题图） （第7题图）
7.在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1D
1
中，E、F分别为棱AA
1
，CC
1
的中点，则在 空间中与三条直线A
1
D
1
、
EF、CD都相交的直线( )
A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条
8.下列命题中正确的是（ ）
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直这个平面
B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直这个平面
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线
D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面
9．下列推断中，错误的是（ ）
A．
A?l,A?
?
,B ?l,B?
?
?l?
?
B
A,B,C?
?
,A ,B,C?
?
且A,B,C不共线
?
?
,
?
重 < br>C．
A?
?
,A?
?
,B?
?
,B?
?
?
?
?
?
?AB
D．
l?
?
,A?l?A?
?

10.空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设BC+AD=2，那么（ ）
>1 <1 =1 和1的大小关系不能确定
二.填空题：
11.两个平面可以将空间分成 个部分；
0
12.角α和角β的两边分别平行，当α=70时，β= ；
.

13.如图所示的四个正方体 中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，
能得出AB∥平面MNP的图形的 序号是 .
14.图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体是由 组合而成 。










三.解答题
15.O为正方体ABCD－A
1
B1
C
1
D
1
上底面ABCD的中心，M为正方体对角线AC1
和截面A
1
BD的交点.
求证：O，M，A
1
三点共 线.










16.如图，已知△ABC为正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2 a，DC＝a，F是
BE的中点.求证：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥面EDB.











.

空间立体几何点线面关系
一、选择题
1、以下命题（其中
a
，
b
表示直线，?表示平面）
①若
a
∥
b
，
b
??，则
a
∥? ②若
a
∥?，
b
∥?，则
a
∥
b

③若
a
∥
b
，
b
∥?，则
a
∥? ④若
a
∥?，
b
??，则
a
∥
b

其中正确命题的个数是 （ ）
（
A
）0个（
B
）1个 （
C
）2个（
D
）3个
2、已知
a
∥?，
b
∥?，则直线
a
，
b
的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直 相交；④相
交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（ ）
（
A
）2个 （
B
）3个 （
C
）4个 （
D
）5个
3、如果平面?外有两点
A
、
B
，它 们到平面?的距离都是
a
，则直线
AB
和平面?的位置关系一
定是 （ ）
（
A
）平行（
B
）相交（
C
）平行或相交 （
D
）
AB
??
4、已知
m
，
n
为异面直线，
m
∥平面?，
n
∥平面?，?∩?=
l
，则
l
（ ）
（
A
）与
m
，
n
都相交 （
B
）与
m
，
n
中至少一条相交
（
C
）与
m
，
n
都不相交 （
D
）与
m
，
n
中一条相交
5、已知直线
m
、
n
与平面α、β,给出下列三个命题：
①若
m
∥α，
n
∥α,则
m
∥
n
;②若< br>m
∥α,
n
⊥α,则
n
⊥
m
;③若
m
⊥α,
m
∥β,则α⊥β.其
中真命题的个数是
A．0 B．1 C．.2 D．3
6 、若
a
、
b
为空间两条不同的直线，
?
、
?
为空间两个不同的平面，则
a?
?
的一个充分
条件是
A．
a
?
且
?
?
?
B．
a?
?
且
?
?
?
C．
a?b
且
b
?
D.
a?
?
且
?

?

7、设直线
m、n
和平面
?
、
?
，则下列命题中正确的是
．．< br>A．若
mn，m?
?
，n?
?
，
则
?

?
B．若
mn，m?
?
，n?
?
，< br>则
?
?
?

C．若
m?
?
，m?n ，n?
?
，
则
?

?
D．若
mn， m?
?
，n?
?
，
则
?
?
?
< br>8、对于平面
?
和共面的直线
m
、
n,
下列命题中真 命题是


A．若
m?
?
,m?n,
则
n∥
?
B．若
m∥
?
,n∥
?
,
则
m∥n
C．若
m?
?
,n∥
?
,
则
m∥n
D．若
m
、
n
与
?
所成的角相等，则
m∥n

（ ） 9、若直线
a
与平面α不垂直，那么在平面α内与直线
a
垂直的直线
A．只有一条 B．有无数条 C．所有直线 D．不存在
10、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有
A．0个 B．1个 C．无数个
（ ）
D．1个或无数个
11、已知直线
a
，
b
和平面
?
，下列命题中正确的是（ ）


A．若
a
?
,b?
?
,则ab

C．若
ab,b?
?
,则a
?

B．若
a
?
,b
?
,则ab

D．若
ab,a
?
,则b?
?
或b
?

（ ） 12、已知直线m⊥平面α，直线
n?
平面β，下列说法正确的有
.

①若
?

?
,则m?n

③若
m

n
，则
?
?
?

A．1个 B．2个
②若
?
?
?
，则
m

n

④若
m?n,则
?

?

C．3个 D．4个
（ ）
D．α∥β或α与β相交
（ ）
D．有无数个
13、已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么
A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合
14、经过平面外两点与这个平面平行的平面
A．只有一个 B．至少有一个 C．可能没有
15、已知
m,n
是两 条不同直线，
?
,
?
,
?
是三个不同平面，下列命题中正确 的是（ ）
A．
若m
‖?
,n
‖?
,则m
‖
n

C．
若m
‖?
,m
‖?
,则
?‖?

B．
若
?
?
?
,
?
?
?
,则
?‖?

D．
若m?
?
,n?
?
,则m
‖
n
16、设有直线
m
、
n
和平面
?
、
?
。下列四个命题中，正确的是
A.若
m
∥
?
,
n
∥
?
,则
m∥n
B.若
m
?
?
,n
?
?
,
m
∥
?
,
n
∥?
,则
?
∥
?

C.若
?
?
?
，
m
?
?
,则
m
?
?

D.若
?
?
?
，
m
?
?
，
m< br>?
?
,则
m∥
?

17、设
a,b
是两条直线，
?
,
?
是两个平面，则
a?b
的一个充分条 件是
A
a?
?
,b
?
,
?
?
?
B
a?
?
,b?
?
,
?

?

C
a?
?
,b?
?
,
?

?
D
a?
?
,b
?
,
?
?
?

18、已知
m,n
是两条不同直线，
?
,
?
,
?
是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．
若
?
?< br>?
,
?
?
?
,则
?‖?

C．< br>若m
‖?
,n
‖?
,则m
‖
n

B．
若m?
?
,n?
?
,则m
‖
n

D．
若m
‖?
,m
‖?
,则
?‖?

1 9、设
a，b
是两条直线，
?
，
?
是两个平面，则
a?b
的一个充分条件是（ ）
A．
a?
?
，b∥
?
，
?
?
?

C．
a?
?
，b ?
?
，
?
∥
?

B．
a?
?< br>，b?
?
，
?
∥
?

D．
a??
，b∥
?
，
?
?
?

20、对两条不相交的空间直线
a
与
b
,必存在平面α,使得
A.
a?
?
,b?
?

C.
a?
?
,b?
?



B.
a?
?
,b
∥α
D.
a?
?
,b?
?

.

二、解答题
1、在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G分别是BC、CD、CC
1
的中点.
（1）求证：B
1
D
1
面EFG；

D
1
（2）求证：面EFG⊥AA
1
C
1
C.
A
1




D


A





2、已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，
O
是底
ABCD
对角线的交点.
C
1
B
1
G
F
E
B
C

?
面
AB
1
D
1
． 求证：(１)
C
1
O
∥面
AB
1
D
1
；(2)
A C
1










D
1
A
1
D
O
AB
B
1
C
1
C
3、如图，已知四棱锥
P?ABCD
的底面
ABCD
是菱形,
PA?
平面
ABCD
, 点
F
为
PC
的
中点.
（Ⅰ）求证:
PA
平面
BDF
;








A
F
（Ⅱ）求证:平面
PAC?
平面
BDF
.
P
D
B
C

.