高中数学《立体几何》大题与答案

高中数学《立体几何》大题及答案解析(理)
1.（2009全国卷 Ⅰ）如图，四棱锥
S?ABCD
中，底面
ABCD
为矩
形，
SD?
底面
ABCD
，
AD?2
，
DC?SD?2
，点
M
在侧
棱
SC
上，
∠ABM=60
。
（I）证明：
M
是侧棱
SC
的中点；
?
??
?
求二面角
S?AM?B
的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A
1
B
1C
1
中，AB⊥AC,D、E分别为AA
1
、B
1
C的 中点，
DE⊥平面BCC
1
（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD- C为60°,求B
1
C与平面BCD所成
A
1
C
1
的角的大小





B
1
D

A
B
E

C
3.（2009浙 江卷）如图，
DC?
平面
ABC
，
EBDC
，
AC ?BC?EB?2DC?2
，
?ACB?120
，
P,Q
分别为AE,AB
的中点．（I）证明：
（II）求
AD
与平面
ABE
所成角的正
PQ
平面
ACD
；
值．

弦

4.（2009北京卷） 如图，四棱锥
P?ABCD
的底面是正方形，
PD?底面ABCD
，点E在棱 PB上.（Ⅰ）求证：平面
AEC?平面PDB
；（Ⅱ）当
PD?2AB
且E 为PB的中点时，
求AE与平面PDB所成的角的大小.






M
P
5.（2009江西卷）如图，在四棱锥
P?AB CD
中，底面
ABCD
是矩
A

D
O
B
C

形，
PA?平面
ABCD
，
PA?AD?4
，
AB?2
．以
BD
的中点
O
为球心、
BD
为直径的球面
交
PD
于点
M
．
（1）求证：平面
ABM
⊥平面
PCD
；
（2）求直线
PC
与平面
ABM
所成的角；
（3）求点
O
到平面
ABM
的距离．




6.（2009四川卷）如图，正方形
ABCD
所在平面与平面 四边形
ABEF
所在
平面互相垂直，△
ABE
是等腰直角三角形，< br>AB?AE,FA?FE,?AEF?45
?
（I）求证：
EF?平面BCE< br>；
（II）设线段
CD
、
AE
的中点分别为
P、
M
，求证：
PM
∥
平面BCE

（III）求二面角
F?BD?A
的大小。

7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平 面ABCD,SD＝AD＝a,点
E是SD上的点，且DE＝
?
a(0<
?< br>≦1).
(Ⅰ)求证：对任意的
?
?
（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为60
0
C，求
?
的值。




8.（2009湖南卷）如图3，在正三棱柱
AB C?A
1
B
1
C
1
中，
AB
=4
,
AA
1
?7
,点
D
是
BC
的中点，点
E
在
AC
上，且
DE
?
A
1
E. （Ⅰ）证明：平面
A
1
DE
?
平面
ACC
1
A
1
;（Ⅱ）求
直线
AD
和平面
A
1
D E
所成角的正弦值。




9.（2009四川卷）如 图，正方形
ABCD
所在平面与平面四边形
ABEF
所在平面互相垂直，△< br>ABE

是等腰直角三角形，
AB?AE,FA?FE,?AEF?45

（I）求证：
EF?平面BCE
；
（II）设线段
CD
、
AE
的中点分别为
P
、
M
，
求证：
PM
∥
平面BCE

（III）求二面角
F?BD?A
的大小。






10.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体
AB CDEF
中，
AB
∥
DC
，
?BAD?
?
?
2
，
CD?AD?2
，四边形
ABFE
为平行四边形，< br>FA?
平面
ABCD
，
FC?3,ED?7
．求：
（Ⅰ）直线
AB
到平面
EFCD
的距离；
（Ⅱ）二面角
F?AD?E
的平面角的正切值．

11．如 图，四棱锥
P
-
ABCD
中，底面
ABCD
为平行四边形， ∠
DAB
＝60°，
AB
＝2
AD
，
PD
⊥底
面
ABCD．

(1)证明：
PA
⊥
BD
；
(2)设
PD＝
AD
，求二面角
A
－
PB
－
C
的余 弦值．










12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P- ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,AC
?
BD，垂

足为H，
PH是四棱锥的高 ，E为AD中点
（1） 证明：PE
?
BC
（2） 若
?
APB=
?
ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值


参考答案
1、【解析】（I）解法一：作
MN
∥SD
交
CD
于N，作
NE?AB
交
AB
于E，
连ME、NB，则
MN?
面
ABCD
，
ME?AB
,
NE?AD?
设
MN?x
，则
NC?EB?x
,
在
RT?MEB
中，
2

?MBE?60?
?ME?3x
。
22222
在
RT?M NE
中由
ME?NE?MN?3x?x?2

解得
x?1
，从而
MN?
1
SD
?
M为侧棱
SC
的中点M.
2

解法二:过
M
作
CD
的平行线.


（ II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角
也基本上不 用三垂线定理的方法求作二面角。
过
M
作
MJ
∥
CD交
SD
于
J
,作
SH?AJ
交
AJ
于
H
,作
HK?AM
交
AM
于
K
,则
JM
∥
CD
,
JM?
面
SAD
,面
SA D
?
面
MBA
,
SH?
面
AMB
?
?SKH
即为所求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形
ABM
中过点
B
作
BF?AM
交
AM
于点
F，则
点
F
为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证
GF?AM，则
?GFB
即为所求二面角.
解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则
A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,0,2), S(0,0,2)
。
z
S
M
C
D
A
B
x

y

（Ⅰ）设
M(0,a,b)(a?0,b?0)
，则
BA?(0,?2,0),BM?(?2,a?2,b),SM?(0,a,b?2)
，
SC?(0,2,?2)
，由题得
1
?
cos?BA,BM??
?
2
，即
?
?
SMSC
?
?2(a?2)1
?
?
?
22?
2?(a?2)?b?2
2
解之个方程组得
a?1,b?1
即
M(0,1,1)

?
?
?2a?2(b?2)
所以
M
是侧棱
SC
的中点。
法2：设
SM?
?
MC
，则
M(0,
2
?
22?2
,),MB?(2,,)

1?
?
1?
?
1?
?
1?
?
又
AB?(0,2,0),?MB,AB??60
o

故
MB?AB?|MB|?|AB|cos60
o
，即
42
2
2
2
?2?()?()
，解得
?
?1
， 1?
?
1?
?
1?
?
所以
M
是侧棱< br>SC
的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
M(0,1,1),MA?(2,?1,?1 )
，又
AS?(?2,0,2)
，
AB?(0,2,0)
，
设
n
1
?(x
1
,y
1
,z
1
),n
2
?(x
2
,y
2
,z
2
)
分别是平面
SAM
、
MAB
的法向量，则
?
?
?
2x
2
?y
2
?z
2
?0
?
n
1
?MA?0
?
?
n
2
?MA?0
?2x
1
?y
1
?z
1
?0
?
且
?
，即
?
且
?

?
?
2y?0
?
?
?
2
?
?2x
1
?2z
1
? 0
?
n
1
?AS?0
?
?
n
1
? AB?0
分别令
x
1
?x
2
?2
得
z1
?1,y
1
?1,y
2
?0,z
2
?2，即
n
1
?(2,1,1),n
2
?(2,0,2)
，

∴
cos?n
1
,n
2
??
2?0?2
2?6
?
6

3
二面 角
S?AM?B
的大小
?
?arccos
6
。
3
2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF
1
B
1
B，从而EFDA。
2
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AFDE。又DE⊥平面
BCC
1
，故AF⊥平面
BCC
1
，从
而AF⊥B C，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。
（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A- BD-C
的平面角。由题设知，∠AGC=60
0.
.

设 AC=2，则AG=
2
。又AB=2，BC=
22
，故AF=
2。
3
由
AB?AD?AG?BD
得2AD=
2
.AD
2
?2
2
，解得AD=
2
。
3

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为
B
1
C
与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD=
2
，故EH=1，又EC=
1
B
1C
=2，
2
所以∠ECH=30
0
，即
B
1
C
与平面BCD所成的角为30
0
.

解法二：
（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示
的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则
B
1
（1， 0，
2c）,E（
1b
2
，
2
，c）.
?
于是
DE
=（
1
2
，
b
?
2
， 0），
BC
=（-1，b,0）.由DE⊥平面
BCC
1
知DE⊥B C，
得b=1，所以 AB=AC。
?
（Ⅱ）设平面BCD的法向量
AN?(x,y,z),
则
AN
?
?BC
?
?0,AN?
?BD
?
?0.

?
又
BC
=（-1，1， 0），
BD
?
=（-1，0，c）,故
?
?
?x?y?0

?
?x?cz?0
x=1, 则y=1, z=
1
?
令
c
,
AN
=(1,1,
1
c
).
又平面
ABD
的法向量
AC
=（0，1，0）
由二面角
A?BD?C
为60°知，
AN，AC
=60°，
故
AN?AC?AN?AC?cos60
°，求得
c?
1
2

于是
AN?（1，1，2）
，
CB
1
?(1，?1，2）

cosAN，CB
?CB1
1
1
?
AN
AN?CB
?
1
2，

AN，CB
1
?60
°
所以
B
1
C
与平面
BCD
所成的角为30°

DE
?
?BC
?
=0，求

3、（Ⅰ）证明：连接
DP,CQ
， 在
?ABE
中，
P,Q
分别是
AE,AB
的中点，所以
PQ
1

B E
，
??
2
又
DC
1
所以
PQDC
，又
PQ?
平面ACD ，DC
?
平面ACD， 所以
PQ
平面ACD
BE
，
??
2
??
（Ⅱ）在
?ABC
中，
AC?BC?2,AQ?BQ
，所以
CQ?A B

而DC
?
平面ABC，
EBDC
，所以
EB?
平面ABC
而
EB?
平面ABE， 所以平面ABE
?
平面ABC， 所以
CQ?
平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
DPCQ

所以
DP?
平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
?DAP

在
Rt?APD
中 ，
AD?
所以
sin?DAP?
AC
2
?DC
2< br>?2
2
?1
2
?5
，
DP?CQ?2sin?CAQ?1

DP15

??
A D5
5
4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵
PD?底面ABCD
，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面
AEC?平面PDB
.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OEPD，
OE?
1
PD
，又∵
PD?底面ABCD
，
2
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，
OE?
?
12
PD?AB?AO
，
22
?
∴
?AOE?45
，即AE与平面PDB所成的角的大小为
45
.
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系
D?xyz
，
设
AB?a,PD?h,

则
A
?
a,0,0
?< br>,B
?
a,a,0
?
,C
?
0,a,0
?< br>,D
?
0,0,0
?
,P
?
0,0,h
?< br>，
（Ⅰ）∵
AC?
?
?a,a,0
?
,DP??
0,0,h
?
,DB?
?
a,a,0
?
，
∴
AC?DP?0,AC?DB?0
，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面
AEC?平面PDB
.
（Ⅱ）当
PD?
?
112
?
2AB
且E为PB的中点时，
P0,0,2a,E
?
a,a,a
?
，
?
22
?
2
??
??
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵
EA?
?
?
1?
12
?
2
?
a,?a,?a,EO?0,0,?a
?
，
??
?
2
???
22
?
2
? ??
EA?EO
EA?EO
?
2
，
2
?
∴
cos?AEO?
∴
?AOE?45
，即AE与平面PDB所成的角的大小 为
45
.
?
?
多面体ABCDEF的体积为V
E
—ABCD＋V
E
—BCF=
22

5、解：方法（一）：
（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ. < br>（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以Ａ
Ｂ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的
射影，
所以
?PNM
就是
PC
与平面
ABM
所成的角，
且
?PNM??PCD

A
N
D
y
zP
M
PD
tan?PNM?tan?PCD??22

DC
O
B
x
C
所求角为
arctan22

（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由
（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中，
PA?AD?4
，
PD?AM
，所以
M
为
PD中点，
DM?22
，则O点
到平面ABM的距离等于
2
。

方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)
，
P(0,0,4)
，
B(2,0,0)
，
C(2,4,0)
，
D(0,4,0)
，
M(0,2,2)，
,?AM
设平面
ABM
的一个法向量
n?(x,y,z)< br>，由
n?ABn
则
y?1
，即
n?(0,1,?1)
.设所求角为
?
，则
sin
?
?
可得：
?
?
2x?0
，令
z??1
，
?
2y?2z?0
PC ?n
PCn
?
22
，
3
所求角的大小为
arcsin
22
.
3
（3） 设所求距离为
h
，由
O(1,2,0),AO?(1,2,0)
，得：
h?
AO?n
n
?2

6、【解析】解法一：
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC
?
平面AB CD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC
?
平面ABCD, BE
?
平面BCE,
BC∩BE=B
所以
EF?平面BCE

…………………………………………6分
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN
1
AB
2
PC
∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F- BD-A的平面角.

∵ FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
2
1
设AB=1,则AE=1,AF=
2
,则
FG?AF?sinFAG?
2

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
1
2
=
3
2
,
GH?BG?sinGBH?
32
2
?
2
?
32< br>4
,
在Rt⊿FGH中,
tanFHG?
FG
GH
?
2
3
,
∴ 二面角
F?BD?A
的大小为
arctan
2
3

…………………………………………12分
解法二: 因
?ABE
等腰直角三角形，
AB?AE
，所以
AE?AB

又因为平面
ABEF?平面ABCD?AB
，所以
AE
⊥平面
ABCD
，
所以
AE?AD

即
AD、AB、AE
两两垂直；如图建立空间直角坐标系,
(I) 设< br>AB?1
，则
AE?1
，
B(0,1,0),D(1,0,0),E( 0,0,1),C(1,1,0)

∵
FA?FE,?AEF?45?
，∴
?AFE＝90
0
，
从而
F（0，－
1
，
1
22
）

EF?(0,?
1
2
,?
1
2
)
，
BE? (0,?1,1),BC?(1,0,0)

于是
EF?BE?0?
1
2
?
1
2
?0
，
EF?BC?0

∴
EF
⊥
BE
,
EF
⊥
BC

∵
BE
?
平面< br>BCE
，
BC
?
平面
BCE
，
BC?BE? B

∴
EF?平面BCE

111
,0)
，从而
PM?(?1,?,)

222
111111
于是
PM?EF?(?1,?,)?(0,?,?)?0???0

222244
（II）
M(0,0,),P(1,
∴
PM
⊥
EF
，又
EF
⊥平面
BCE
，直线
PM
不在平面
BCE
内，
故
PM
∥平面
BCE

（III）设平面
BDF
的 一个法向量为
n
1
，并设
n
1
＝（
x,y,z)< br>

BD?(1,?1,0),BF?(0,?
1
2
31
,)

22
?
x?y?0
?
?
n
1
?BD?0< br>?

?
即
?
3

1
?y?z?0
?
?
?
n
1
?BF?0
2
?
2
取
y?1
，则
x?1
，
z?3
，从而
n
1
＝（1，1，3）
取平面
ABD
D的一个法向量为
n
2
?(0,0,1)


cos?n
1
、n
2
??
n
1?n
2
n
1
?n
2
?
3
11?1?
311
11

故二面角
F?BD?A
的大小为
arccos
311

11
7、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得AC
?
BD。

?
SD
?
平面ＡＢＣＤ，
?
BD是BE在平 面ABCD上的射影，
由三垂线定理得AC
?
BE.
(II)解法1：< br>?
SD
?
平面ABCD，ＣＤ
?
平面ＡＢＣＤ，
?< br> SD
?
CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形，
?
ＣD?
ＡD，又ＳＤ
?
AD=D，
?
CD
?
平面S AD。

过点D在平面SAD内做DF
?AE于F，连接CF，则CF
?
AE，
故
?
CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即
?
CFD=60°
在Rt△ADE中，
?
AD=
a
, DE=
于是，DF=
?
a
， AE=
a
?
2
?1
。

AD?DE
?
AE
?
a
?
?1
2
在Rt△CDF中，由cot6 0°=
DF
?
CD
?
?
?1
2


得
?
?
?1
2
?
3
， 即
3
?
2
?3
=3
?

3
?
?(0,1]
， 解得
?
=
2
2
8、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱
ABC?A
1
B
1C
1
的性质知
AA
1
?
平面
ABC
.
又
DE
?
平面
ABC
，所以
DE
?AA< br>1
.
而DE
?
A
1
E
，
AA
1
所以
DE
⊥平面
ACC
1
A
1
.又< br>DE

?
平面
A
1
DE
，
故平面
A
1
DE
⊥平面
ACC
1
A
1
.
（Ⅱ）解法 1: 过点
A
作
AF
垂直
A
1< br>E
于点
F
,
连接
DF
.由（Ⅰ）知，平面
A
1
DE
⊥平面
ACC
1
A
1
，

A
1
E?A
1
,

所以
AF
?
平面
A
1DE
,故
?ADF
是直线
AD
和
平面
A1
DE
所成的角。因为
DE
?
ACC
1
A1
，
所以
DE
?
AC.
而
?
ABC
是边长为4的正三角形，
于是
AD
=
23
，
AE =
4
-CE
=4
-
1
CD
=3.
2A
又因为
AA
1
E?
1
?7
，所以
1
E
=
AAA
1
2
?AE
2
?(7)2
?3
2
=
4,

AF?
AF21
AE?AA
1
37
?
,
sin?ADF?
.
?
AD8
A
1
E4
21

8
.
即直线
AD
和平面
A
1
DE
所成角的正弦值为解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),
A
1
(2,0,
7
), D(-1,
3
,0), E(-1,0,0).
易知
A
1
D
=（-3，
3
，-
7
），
DE
=（0，-
3
，0），
AD
=（-3，
3
，0）.
r
设
n?(x,y,z)
是平面
A
1
DE
的一个法向量，则
r
uuuv
?
n?DE??3y?0,
?

?r
uuuv
?
?
n?A
1
D??3x?3y?7z?0 .
解得
x??
7
z,y?0
.
3
r
故可取
n?(7,0,?3)
.于是
ruuurruuur
n?AD
?3721
cosn,AD?
ruuu
??
r
=
8
n?AD
4?23
.

由此即 知，直线
AD
和平面
A
1
DE
所成角的正弦值为
2 1

8
.
所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 ……..12分

9、【解析】解法一：
因 为平面ABEF⊥平面ABCD，BC
?
平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面AB CD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC
?
平面ABCD, BE
?
平面BCE,
BC∩BE=B
所以
EF?平面BCE
………………6分
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN
1
AB
2
PC
∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F- BD-A的平面角.
∵ FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF =
2
1
,则
FG?AF?sinFAG?

2
2
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
13
=,
22

GH ?BG?sinGBH?
3232
??
,
224
FG2
?< br>,
GH3
在Rt⊿FGH中,
tanFHG?
∴ 二面角
F?BD?A
的大小为
arctan
2
………………12分
3
解法二: 因
?ABE
等腰直角三角形，
AB?AE
，所以
AE?AB

又因为平面
ABEF?平面ABCD?AB
，所以
AE
⊥平面
ABCD
，所以
AE?AD

即
AD、AB、AE
两两垂直；如图建立空间直角坐标系,
(I) 设< br>AB?1
，则
AE?1
，
B(0,1,0),D(1,0,0),E( 0,0,1),C(1,1,0)









∵
FA?FE,?AEF?45?
，∴
?AFE＝90
0
，

11

22
11
EF?(0,?,?)
，
BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0)

22
11
于是
EF?BE?0???0
，
EF?BC?0< br>
22
从而
F（0，－，）
∴
EF
⊥
BE
,
EF
⊥
BC

∵
BE
?
平面
BCE
，
BC
?
平面
BCE
，
BC?BE?B

∴
EF?平面BCE

111
,0)
，从而
PM?(?1,?,)

222
111111
于是
PM?EF?(?1,?,)?(0,?,?)?0???0

222244
（II）
M(0,0,),P(1,
∴
PM
⊥
EF
，又
EF
⊥平面
BCE
，直线
PM
不在平面
BCE
内，
故
PM
∥平面
BCE

（III）设平面
BDF
的 一个法向量为
n
1
，并设
n
1
＝（
x,y,z)< br>

BD?(1,?1,0),BF?(0,?
1
2
31
,)

22
?
x?y?0
?
?
n
1
?BD?0< br>?

?
即
?
3

1
?y?z?0
?
?
?
n
1
?BF?0
2
?
2
取
y?1
，则
x?1
，
z?3
，从而
n
1
＝（1，1，3）
取平面
ABD
D的一个法向量为
n
2
?(0,0,1)


cos?n
1
、n
2
??
n
1?n
2
n
1
?n
2
?
3
11?1?
311
11

故二面角
F?BD?A
的大小为
arccos
10、解法一:（Ⅰ）

311

11
ABDC,DC?
平面
EFCD
,
?
AB到面
EFCD
的距离等于点A到面

< br>过点A作
AG?FD
于G，因
?BAD?
EFCD
的距离，< br>?
2
故
CD?AD
AB
∥
DC
，；又
FA?
平面
ABCD
，由三垂线定理可知，
CD?FD
，故
CD?面FAD
，知
CD?AG
，所以AG为
所求直线AB到面
E FCD
的距离。
在
Rt△ABC
中，
FD?FC
2
?CD
2
?9?4?5

FD
2
?AD
2
?5?4?1
由
FA?
平面
ABCD
，得
FA?
AD，从而在
Rt△FAD
中，< br>FA?
?
AG?
25
FA?AD225
。即直线
AB
到平面
EFCD
的距离为。
??
5
FD5
5（Ⅱ）由己知，
FA?
平面
ABCD
，得
FA?
AD， 又由
?BAD?
平面ABFE
?
2
，知
AD?AB
，故
AD?
?
DA?AE
，所以，
?FAE
为二面角F?AD?E
的平面角，记为
?
.
在
Rt△AED
中,
AE?ED
2
?AD
2?7?4?3
,由
ABCD
得,
FEBA
,从而
?AF E?
?
2

在
Rt△AEF
中,
FE?AE
2
?AF
2
?3?1?2
,故
tan
?
?
FE
?2

FA
z
F
E
所以二面角
F?AD?E
的平面角的正切值为
2
.
解法二:
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,
AB,AD,AF
的方向为x
B
G
A
x,y,z
的正方向建立空间直角坐标系数,则


A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设
F (0,0,z
0
)
即
2?2?z
0
?3
,解得F(0,0,1)


222
C
D
y
( z
0
?0)
可得
FC?(2,2,?z
0
)
,由< br>|FC|?3
.
AB
∥
DC
，

设A点在
DC?
面
EFCD
,所以直线AB到面
EFCD< br>的距离等于点A到面
EFCD
的距离。
平面
EFCD
上的射影 点为
G(x
1
,y
1
,z
1
)
,则
AG?(x
1
,y
1
,z
1
)
因
AG ?DF?0
且
AG?CD?0
,而
DF?(0,?2,1)

?
?2y
1
?z
1
?0
CD?(?2,0,0)
,此即
?
解得
x
1
?0
① ,知G点在
yoz
面上,故G点在FD
?
?2x
1
?0
上.
GFD F
,
GF?(?x
1
,?y
1
,?z
1
? 1)
故有
y
1
24
??z
1
?1
② 联立①,②解得,
G(0,,)

552
.
25
24
?
|AG|
为直线AB到面
EFCD
的距离. 而
AG?(0,,)
所以
|AG|?

5
55
（Ⅱ）因四边形
ABFE
为平行四边形,则可设
E(x
0
,0,1 )(x
0
?0)
,
ED?(?x
0
2,?1)
.由
2
|ED|?7
得
x
0
?2
2
?1 ?7
,解得
x
0
??2
.即
E(?2,0,1)
. 故
AE?(?2,0,1)

由
AD?(0,2,0)
,
A F?(0,0,1)
因
AD?AE?0
,
AD?AF?0
,故
?FAE
为二面角
F?AD?E
的平面角，又
tan?FAE?
| EF|
?2
|FA|
EF?(2,0,0)
,
|EF|?2
,
|AF|?1
,所以
1111
11.解：(1)因为∠
DAB＝60°，
AB
＝2
AD
，由余弦定理得
BD?3AD
.
从而
BD
2
＋
AD
2
＝
AB
2
，故
BD
⊥
AD．

又
PD
⊥底面
ABCD
，可得
BD
⊥
PD．

所以
BD
⊥平面
PAD．
故
PA
⊥
BD．

(2)如图， 以
D
为坐标原点，
AD
的长为单位长，射线
DA
为
x
轴的正半轴建立空间直角坐标
系
Dxyz
.则
A
(1，0 ，0)，
B
(0，
3
，0)，
C
(－1，
3
，0)，
P
(0，0，1)．

AB
＝(－1，
3
，0)，
PB
＝(0，
3
，－1)，
BC
＝(－1，0，0)．
设平面
PAB
的法向量为
n
＝(
x
，
y
，
z
)，则?
?
?
n?AB?0
?
?
n?PB?0

?
?
?x?3y?0
即
?

?
?
3y?z?0
因此可取
n
＝(
3
，1，
3
)． < br>?
?
m?PB?0
设平面
PBC
的法向量为
m
，则
?

?
?
m?BC?0
可取
m
＝( 0，－1，－
3
)，
cosm,n?
故二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值为
?
?427
.
??
7
27
27
.
7
12.解：以
H
为原点，
HA,HB,HP
分别为
x,y,z
轴，线段
HA
的长为单位长， 建立空间直角
坐标系如图， 则
A(1,0,0),B(0,1,0)

（Ⅰ）设
C(m,0,0),P(0,0,n)(m
则
D(0,m,0E),
0,n0)

1m
(,

,0).
22
1m
可得
PE?(,,?n)BC,?m(?,1,

0).
22
mm
因为
PE?BC???0?0

22
所以
PE?BC

（Ⅱ）由已知条件可得
m??
33
,n?1,故 C(?,0,0)

33

D(0,?
313
,0),E(,?,0),P(0,0,1)

326
设
n?(x,y,x)
为平面
PEH
的法向量

?
1
x?
3
y?0
?n?HE?,o
?
?
26
则
?
即
?

?
?
?
n?HP?,o
?
z?0< br>因此可以取
n?(1,3,0)
，
由
PA?(1,0,?1)
，
n?
可得
cosPA,
2

4
2

4
所以直线PA
与平面
PEH
所成角的正弦值为
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