高中数学立体几何导学案

3. 2.1立体几何中的向量方法（线线角）
教学目标：
1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、
P
0

建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平
n
β
d
行与垂直、法向量求法
α
P
θ
O
sin
?
?cos
?
?
P
o
P?n
p
.
0
pn
2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法
3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以
深刻认识空间几何的本质
重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法
教学过程：
设疑自探：
两 条异面直线所成的角：设l
1
与l
2
两条异面直线，
n
∥l
1
，

m

∥l
2
，
则l
1
与l
2
所成的角
α=<
n
，
m
>或α=л -<
n
，
m
> （0<α≤
?
2
）
.

cos<
n
，
m
>=
n?m
或 cosα=
n?m
n?m
n?m
（0<α≤
?
2
）
例1.在棱长为1的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是
D< br>1
D,BD
的中点，
G在棱CD上，且
CG?
1
4< br>CD
，H为C
1
G的中点，应用空间向量方法求解
下列问题。
（1）求证：EF⊥B
1
C；
（2）求EF与C
1
G所成的角的余弦；
（3）求FH的长。


例2.如图，在棱长为2的正方体
ABCD?A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，E是DC的中点，取
如图所示的空间直角坐标系 。
（1）写出A、B
1
、E、D
1
的坐标；
（2）求AB
1
与D
1
E所成的角的余弦
值。

解疑合探：
1、在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，如图E、F分别是BB
1，CD的中点，
（1）求证：
D
1
F?
平面ADE；
（2）
cos(EF,CB
1
)






2.如图，长方体ABCD—A
1
B
1
C1
D
1
中，AB=BC=2，
AA
1
=1，E
、
H分别是A
1
B
1
和BB
1
的中
D< br>1
C
1

点.求：
B
1

E
B
1

(1)EH与AD
1
所成的角；
C
H
D
(2)AC
1
与B
1
C所成的角.
A B



.


3. 如图所示，ABCD是一个正四面体，E
、
F分别
A
为BC和AD的中点.求：AE与CF所成的角
F

B

D


E
C

质疑再探：请同学们踊跃发言提问，解除心中的疑问。
课堂练习：
1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小
构成的集合是 。
2.正方体
AC
1
中，O是底面ABCD的中心，则OA
1和BD
1
所成角的大小
为 。
3.已知
l
为 异面直线a与b的公垂线，点
p?a
，若a、b间距离为2，点P
到
l
的距离为2，P到b的距离为
5
，则异面直线a与b所成的角
为 。 < br>4.如图正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中AB=< br>2
AA
1
，M、N分别是
A
1
B
1
，A
1
C
1
的中点，
则AM与CN所成角为 。
A'
N
C1
M




A

C


B

5.如图PD
?
平面ABCD,四边形ABCD为矩形，

AB=2AD=2DP，E为CD中点。

（1）
AP
与BE所成的角为

（2）若
F?
直线PD，且AF与BE所成角为
?

1.
?
=30?行吗？
2.
?
=75?时；
DF
DP
= 。

P

A


M

E
D
E
C


B
O
C

A
B
（6

（5）
D
）

6.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，

O为
?BCD
的重心，M是AC的中点，E是 AO的中点，

求异面直线OM与BE所成的角 。

7.空间四边形ABCD中AB=BC =CD，
?
BCD=
?
ABC=120?，AB
?
CD，< br>
M、N分别是中点
（1）AC和BD所成的角为 。

（2）MN与BC所成的角为 。
.

D1
C1
E
8.已知正方体AC
F
1
中，
（1）E、F分别是A
A1B1
1
D
1
，A
1
C
1
的中点，
则AE与CF所成的角为
（2）M、N分别是AA，BB
M
11
的中点，
D
N
C
则CM和D
1
N所成的角是 。
O

A
（8）
B









9、如图，三棱锥P—ABC中， PC
?
平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，
D是PB上一点，且CD
?
平面PAB．
(I) 求证：AB
?
平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；

P

D
E

B

CA

F

10、如图，正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
?2AB
，求异面直线
A< br>1
B
与
AD
1
所成角的余弦值。

D
1

C
1



A
1

B
1




D

C


A


B








11、在长方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB=a
，BC=
b(a?b)
,AA
1
=c，
求异面直线D
1
B和AC所成的角的余弦值。

D1
C1


A1B1


D

C

O
A
B







.

12、 已知四棱锥
P?ABCD
的底面为直角梯形，
ABDC
，
?DAB?90
?
,PA?
底面
ABC D
，且
PA?AD?DC?
1
，
AB?1
，
M是
PB
的中点
2

（Ⅰ）证明：面
PAD?
面
PCD
；
（Ⅱ）求
AC
与
PB
所成的角；












13、 如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，侧 棱
PA?
底面
ABCD
，
AB?3
，
BC?1，
PA?2
，
E
为
PD
的中点 求直线
AC
与
PB
所
成角的余弦值；
P


D
C


A
B

3. 2. 2立体几何中的向量方法（线面角）
一、基础知识
1.定义：
（①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③
l?
?
或l
?）

2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。
（最小值定理）

4. 求法： 几何法 公式法 问量法

（1）几何法：作出 斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就
是要求的角，解三角形求出此角。
P

a
（2）公式法：
cos
?
?
cos
?
1
A
?
1
?
cos
?
?cos
?
1
?cos
?
2
cos
?

?
c
2
O
2
B
b
AB?
?
于点B, ?AOB?
?
,?AOC?
?
1
,?BOC?
?
?
2


（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线
所成角的余弦值）


（3）向量法：设直线
a
与平面
?
所成角为
?
，
m

n
直线
a
的方向向量与面
?
的法向量 分别是
m,n
,
则
?m,n?
的余角或其补角的余角即为
a
与
?
所成的角
?
，
sin
?
?cos?m,n??
m?n
mn


.


本节内容我们与学生主要讨论和学习向量法,其他方法只做补充,不做研
究.
设疑自探:
请同学们在规定时间内阅读课本,并掌握线面角的做法,在上一节求
线线角的基础上,尝试建系,并求出线面角.
例题如下:(要求独立完成)
例1、 在长方体AC
1
中，AB=2，BC=CC
1
=1，求
（1）CD与 面ABC
D1

C1
1
D
1
所成的角
（2）A
1
C与平面ABC
1
D
1
所成的角
（3）A
1
C与平面BC
1
D所成的角

A1
B1

D

C

O
A
B

例2
如图，在棱长为2的正方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E< br>是
BC
1
的中点。求直线
DE
与平面
ABCD
所成角的余弦值.

D
1

C
1


A
B
1

1

E
D
C

A
B

解疑合探：（请同学们合作探究）
1． 如图, 在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC＝3，BC＝4，AA
1
＝4，点D
是AB的中点，
z
（I）求证：AC⊥BC
1
；
C
B
（II）求证：AC
1
平面CDB
1
；
A
E

C

B
y

x
A

2.如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB
?
AD，CD< br>?
AD，PA
?
底面ABCD，
PA=AD=CD=2AB=2，M为 PC的中点。
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在侧面PAD内找一点N，使MN
?
平
面PBD；
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正
弦。

.






3、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P ，PA⊥平面ABCD，E、F
分别是AB、PC的中点。（1）求证：EF平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若
?PDA?45?
，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

4、如图
AB?平面ABCD,BC?CD,AB?BC,AD

与平面ABCD所成的角为
30
o

⑴求
AD
与平面
ABC
所成的角
⑵
AC
与面
ABD
所成的角




质疑再探：请同学们大胆提问，踊跃发言，把心中的疑惑讲出来，我们
进一步探讨。
课堂练习：
1. 如图,正三棱柱ABC-A
1
B
1
C< br>1
中,侧棱长为√2,底面三角形的边长为1,
则BC
1
与侧面ACC
1
A
1
所成的角是＿＿.
C
1



A
1

B
1
D
1

C
1


A
1

B
1


C
D
C

A
B
A
B
（1） （3）
.

2. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余
弦值等于＿＿.
3. 如 图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面
A1B1 C1D1所成角的正弦值为＿＿.
4. 在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC， DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且
AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点. 求DE与平面EMC所成角的正切值

P
D

E

E

A C
D

A
M
B

C
（4）
B
（5）

5. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,
∠ABC=60。,PA=AB=BC,E是PC的中点.求PB与平面PAD所成角的大小.

6. 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底 面ABCD.已
知∠ABC=45。，AB=2，BC=2√2，SA=SB=√3. 求直线SD与平面SBC所成
角的大小.
S



A





7.正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
BB< br>1
与平面
ACD
1
所成角的余弦值为
（A）
2
3
（B）
3
3
（C）
2
6
3
（D）
3





.

8.已知三棱锥
S?ABC
中， 底面
ABC
为边长等于2的等边三角形，
SA
垂直
于底面
A BC
，
SA
=3，那么直线
AB
与平面
SBC
所成 角的正弦值为
（A）
3
4
(B)
5
4
(C)
7
4
(D)
3
4


9.直三棱柱
ABC?A
1B
1
C
1
中，若
?BAC?90?
，
AB?A C?AA
1
，则异面直线
BA
1
与
AC
1
所成的角等于
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

10.正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
BB
1
与平面< br>ACD
1
所成角的余弦值为
（A）
2
3
（B）
3
3
（C）
2
3
（D）
6
3


11.已知三棱锥
S?ABC
中， 底面
ABC
为边长等于2的等边三角形，
SA
垂
直于底面
A BC
，
SA
=3，那么直线
AB
与平面
SBC
所成 角的正弦值为
（A）
3
4
(B)
5
4
(C)
7
4
(D)
3
4

3. 2. 3立体几何中的向量方法（面面角）
一、基础知识
1.定义：
二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角
平面角：过棱上同一点 分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直
的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范 围
是 .
注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”
?
AOB
为所求二面角”，而应写成”
?
AOB为二面角
?
?l?
?
的平面角”。
2.求法：几何法 向量法 公式法

（1）几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有

作 图 形
法

在棱CD上找一点O，在

定义法
两个面内分别作棱的垂线

AO,BO
?
AOB为二面角
?
?CD?
?
的平面角

过棱上一点O作棱的垂直

垂面法
平面
?
与两个半平面的交
线分别为AOBO
?AOB为
?
?CD?
?
的平面角

过B内一点A，作AB
?
?

三垂线法
交
?于B，作BO
?
CD于
O，连结AO,
?
AOB的
?< br>?CD?
?
平面角或其补角

（2）向量法：
①分别求出
?
和
?
的法向量
m,n
，则二面角
?
?l ?
?
的大小为
?m,n?
或
.

?
—
?m,n?

用此法须知：
〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标
〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平
面的法向量
〈 3〉当
?
?l?
?
为锐角时
?
?
?m,n?
（
?m,n?
为锐角）
或
?
—
?m,n?
（
?m,n?
为钝角）
②在平面
?
内
?
?
?
AC?EF
?
在平面
?
内，BD
?
EF，且B
?
EF分别求出
?
A? EF
AC,BD
，则
?AC,BD?
即为二面角
?
?EF?
?
的大小

（3）公式法：
①设二面角
?
?l ?
?
的大小为
?
,AB?
?
,CD?
?
, AB?l,CD?l,
令
AB?m,CD?n,BD?d,
则

A C
2
?m
2
?n
2
?d
2
?2mncos
?





注意：
BA
与DC
所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是
异面直线BA和CD所成角的大 小。
②面积法： 设二面角
?
?l?
?
的平面
?
内某一图形（一般取三角形）
面积为S，该图形在平面
?
上射影面积为< br>S
?
，二面角
?
?l?
?
的大小为
?
，
则
cos
?
?
S
?
S
(
?
为锐角)或cos
?
??
S
?
S
(
?为钝角)

和上一节一样，其他方法都做为补充，我们与同学们只是一道研究
向量法求面面角，其他方法不做深入研究。

教学过程：
设疑自探：（同学们可以先用定义求，然后尝试建系求角，比较优劣）
例1、如图，已知棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的 底面是菱形，且
AA
1
?
面
ABCD
，
?DAB? 60
?
，
AD?AA
1
，
F
为棱
AA1
的中点，
M
为线段
BD
1
的中点，
（1）求证：
MF?
面
BDD
1
B
1
；
（2）求面
BFD
1
与面
ABCD
所成二面角的大小．


1
1

D
C

1 1

AB

M

F

D
O
C


A B


E












.


例2、如图，直二面角D— AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE 。
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B—AC—E的大小；





解疑合探:
1、如图所示的几何体
AB CDE
中,
DA?
平面
EAB
，
CBDA
,
EA?DA?AB?2CB
，
EA?AB
，
M
是
EC
的中点.
(Ⅰ)求证:
DM?EB
;
(Ⅱ)求二面角
M?BD?A
的余弦值.(给同学们两个图，有兴趣的同学
都试试

)

D
z

D

Q

O
C
C


P
A
M
M

B
A
B
y

N

E
E

x

2、 已知四棱锥
P?ABCD
的底面为直角梯形，
ABDC
，
?DAB?90
?< br>,PA?
底面
ABCD
，且
PA?AD?DC?
1
，
AB?1
，
M
是
PB
的中点
2

（Ⅰ）证明：面
PAD?
面
PCD
；
（Ⅱ）求面
AMC
与面
BMC
所成二面角的余弦值的大小
















3、如图，三棱锥P—ABC中， PC
?
平面ABC，PC=AC=2，
AB=BC，D是PB上一点，且CD
?
平面PAB．
(I) 求证：AB
?
平面PCB；
(II) 求二面角C-PA-B的大小．
P



D


B


C
A


.

4．如图，在棱长为a的正 方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，求 ：
（1）面A
1
ABB
1
与面ABCD所成角的大小；
（2）二面角C
1
—BD—C的正切值
D
1
C
1

（3）二面角
B
1
?BC
1
?D


A
1


B
1




D
C


A B






5、过正方形ABCD的顶点A作
PA^平面ABCD
，设PA=AB=a，
(1)求二面角
B-PC-D
的大小;
P
(2)求二面角C- PD-A

A

D



B
C

质疑再探：请同学们大胆提问， 踊跃发言，把心中的疑惑讲出来，我们
进一步探讨。
课堂练习：
1.如图：三棱锥A- BCD中，AC=AB=BD=DA=2，BC=CD=
3
，则二面

角A-BD-C的余弦值为 。二面角B-AC-D的余弦值为


A



B
D

E

C
2.如图，四边形BCEF、AFED都是矩形，且平面AFED?
平面BCEF，
?ACF?
?
,?ABF?
?
,?B AC?
?
，则下列结论中正确的是
A．
cos
?
?cos
?
cos
?
A
D
B．
sin
?
?sin
?
cos
?

C．
cos
?
?cos
?
cos
?

D．
sin
?
?sin
?
cos
?

F
E

C

B
P

3.如图，四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。求：
①二面角C-PD-B大小
D
C
②设M、N分别为AD、PC中点，
试求MN与底面AC及平面BDP所成的角
③平面PAB与平面PCD所成二面角的大小
A
B


.

4. 如图，四边形ABCD为直角梯形，ADBC
?
BAD=90?，PA
?
底 面
ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点
①求证：PB
?
DM
P
②求BD与平面ADMN所成角的大小
③求二面角A-PB-C

N
M

D
A




B
C










5.如图所示多面体是由底面为ABCD的长方 体被截面AEC
1
F所截而得到
的，其中AB=4，BC=2，C C
1
=3，BE=1
①求BF
C1
②求二面角A- EF-B

F



D
E
C


A
B

6.如 图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E在棱CC1上
①求证：AE
?
BD
②当A
1
E与面BED所成角为多大时，面A
1
BD
?
面EBD
③在（2）的结论下，求此时二面角A-A
1
D-E的大小

A1

D1


B1
C1


A
D


B
C

7.如图，在棱长AB= AD=2，AA
1
=3的长方体AC
1
中点E是平面BCC
1
B
1
上动点，点F是CD的中点
D1
①试确定E的位置，使DF
C1
1
E
?
平面AB
1
②求二面角B
1
-AF-B的大小

A1
B1

E

D
F
C


A
B



8、 如图，在四棱锥
V?ABCD
中，底面
ABCD
是正方形，侧 面
VAD
是正三
角形,平面
VAD?
底面
ABCD

（Ⅰ）证明：
AB?
平面
VAD
；
（Ⅱ）求面
VAD
与面
DB
所成的二面角的大小


.


9、如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是矩形．已知
AB?3
，
AD?2
，
PA ?2
，
PD?22
，
∠PAB?60
o
．
P
（Ⅰ）证明
AD?
平面
PAB
；
A
D
（Ⅱ）求异面直线
PC
与
AD
所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角
P?BD?A
的大小．
B
C



10、如图，已知四棱锥P-ABCD，
底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
?ABC?60?
,
E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为P D上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为
6
2
，
求二面角E—A F—C的余弦值.