高中数学立体几何(北京题型)精选

2．如图，已知正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C< br>1
D
1
的底面边长为3，侧棱长为4，连结A
1
B，过A作A F⊥A
1
B垂足为F，且AF的延长
线交B
1
B于E。
（Ⅰ）求证：D
1
B⊥平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；
（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.



5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；
（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.





7．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点 M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥
平面AMN.
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；
（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.




8．如图，在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中， ∠ACB=90°. BC=CC
1
=a，AC=2a.


（I）求证：AB
1
⊥BC
1
；
（II）求二面角B—AB
1
—C的大小；
（III）求点A
1
到平面AB
1
C的距离.





9．在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB=BC=2，BB
1
=3，连接BC
1
，过B
1
作B
1
E⊥BC
1
交CC1
于点E
(Ⅰ)求证：AC
1
⊥平面B
1
D
1
E；
(Ⅱ )求三棱锥C
1
－B
1
D
1
E
1
的体积；
(Ⅲ)求二面角E－B
1
D
1
－C
1
的平面角大小

11．直三棱柱AB C－A
1
B
1
C
1
中，AC＝CB＝AA
1
＝2，∠ACB＝90°，E是BB
1
的中点， D∈AB，∠A
1
DE＝90°.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB
1
A
1
；
（Ⅱ）求二面角D－A
1
C－A的大小.






16．如图，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C< br>1
，BC=BB
1
=1，D为BC上一点，且满足AD⊥C
1
D.
（I）求证：截面ADC
1
⊥侧面BC
1
；
（II）求二面角C—AC
1
—D的正弦值；
（III）求直线A
1
B与截面ADC
1
距离.





23． 已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABC D是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=
1
GD，
3
BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为
（Ⅰ）求异面直线 GE与PC所成的角；
（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；
（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求





8
.
3
PF
的值.


FC
2 4．如图，已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，M、N分别为AA
1
、BB
1
的中点，求：
（I）CM与D
1
N所成角的余弦值；
（II）异面直线CM与D
1
N的距离．

25．如图，四棱锥P—ABCD的底面是 正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平
面AMN .
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；
（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.








28．如图，在斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1

中，侧面AA
1
B
1
B⊥底面ABC， 侧棱AA
1
与底面ABC成60
0
的角， AA
1
= 2． 底
面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC
1
上一点，且BE=
（１）求证： GE∥侧面AA
1
B
1
B ；
（２）求平面B
1
GE与底面ABC所成锐二面角的大小











1
BC
1
．
3