【精品】高中数学立体几何+解析几何篇(新课标)

金师教育内部讲义




高考数学之
立体、解析几何篇





教师：陈志刚





















金师教育理科教研组编制



爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义

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重庆金师（金东方）教育：
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第 1 讲 空间几何体
求实 学习目标
1.
2.
3.
求精 知识要点
如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个
几何体。
一、构成空间几何体的基本元素
1、（构成）空间几何（体）的基本元素——点、线、面
2、从运动的观点来初步认识点、线 、面、体之间的生成关系和位置关系从静态和动态两方面对长方
体进行观察。
二、棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1、相关概念2、棱柱、棱锥、棱台的结构特征（请参考教材自己填写）


多面体 柱 体 锥 体 台 体
棱柱 直棱柱 正棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台


定义


侧棱




侧面




底面




平行于底


性
面的截面


高



对角面、



特征三棱

锥（台）
质
表面上两



点间最短
距离
侧面积

全面积
体积

三、圆柱、圆锥、圆台、球


1、旋转成体2、球：
四、直观图与三视图
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1、中心投影与平行投影：
（1）中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变
化。立体几何中很少利用中心投影原理画图。
（2）平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。分正投影、斜投影。
相关概念：平行投影、投射面、投射线。
（3）（当图形中的直线或线段不平行于投射线时，）平行投影的具有的性质。
2、直观图的斜二测画法 斜二测画法规则：
（1）建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系；
（2）画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 O’X’,O’Y’,使 ∠X 'O'Y ' =450（或
1350）， 它们确定的平面表示水平平面；
（3）画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X‘轴，且长度保持不
变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线， 图
画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
3、三视图
（1）正投影及其性质
（2）三视图：正视图:光线从几何体的前面向后面的正投影；侧视图 ：光线从几何体的左侧面向右面侧的
正投影；俯视图：光线从几何体的上底面向下底面的正投影。
（3）结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下)
三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果。→ 正视图、侧视图、俯视图。
（4）三视图中反映出的位置关系和数量关系
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
一般俯视图放在主视 图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右边，高度和主视图一样，宽度
和俯视图一样。口诀 ：主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽。
求活 例题分析

【例 1】判断下列命题的正误：



（1）各侧面是平行四边形的几何体是棱柱；

（2）底面是矩形的平行六面体是长方体；

（3）棱长相等的直四棱柱是正方体；

（4）底面是正方形的棱柱是正棱柱；

（5）每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱；

（6）对角线相等的平行六面体是直平行六面体；

（7）有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱；

（8）有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

（9）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

（10）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

（11）有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
（12）侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。
【例 2】长方体 ABCD -A1B1C1D1 的同一顶点的棱长分别为 a，b，c，求对角线的长。

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【例 3】已知正四棱锥 V –ABCD 的底面面积为 16，一条侧棱长为 2 11 ，求棱锥的高和斜高。






【例 4】已知正四棱锥 V –ABCD 的高与斜高分别为 8 和 11，求其侧棱长、底面面积。







【例 5】设正三棱台的上底面和下底面的边长分别为 2 和 5，侧棱长为 5，求棱台的高。








【例 6】已知地球半径为 R，则北纬 60° 纬线的长度为 。







【例 7】一个圆锥底面周长为 4π ，轴和母线的夹角为 30° ，则圆锥轴截面的面积为 。








【例 8】已知圆台的上下底面面积之比为1: 9 ，圆台的高为 10，求截得圆台的圆锥的高。




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【例 9】已知球的两个平行截面的面积分别为 49π、400π，且两个截面之间的距离为 9，求球的表 面积。





【例 10】设地球的半径为 R，点 A 和点 B 分别在北纬 45°西经 40°和北纬 45°东经 50°处。
（1）求 A，B 两点间纬线的长度；（2）求 A，B 两点的球面距离。







【例 11】一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比。









【例 12】求侧棱长和底面边长都为 1 的正三棱柱的体积。






【例 13】求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比。





【例14】一个圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，其母线长为
84π ，求圆台的两底面的半径。



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3，且侧面积为
6

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第2讲
空间点线面关系（1）
——垂直关系
求实 学习目标
1.
2.
3.
求精 知识要点

一、知识要点
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空
间中线面垂直的有关性质与判定。
1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直 线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一
条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射
影垂直。 注意：（1）三垂线指 PA，PO，AO 都垂直 α 内的直线
a。其实质是：斜线和平面内一条直线垂直 的判定和性质定理。
（2）要考虑 a 的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直
定义：如果一条直线 l 和一个平面 α 相交，并且和平面 α 内的任意一 条直线都垂直，我们就说直线 l
和平面α互相垂直。其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。直线
l与平面α垂直记作：l⊥α。
直线与平面垂直 的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平
面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
3．面面垂直 定义：二面角—直二面角—两面垂直
平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直
平面和平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
求活 例题分析

1．如果直线l⊥平面α,①若直线m⊥l，则mα；②若m⊥α, 则m
?
m
?
α ,则m⊥l ；④若m
?
l，则m⊥α。上述判断正确的是： （ ）
A． ①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④
的距离相等，这样的平面α 共有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3 ．已知直线 m、n与平面α,β，给出下列三个命题:①若 mα,nα,则mn
②若mα,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α, mβ,则α⊥β.其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．ABCD-A1B1C1D1 中，M、N、P 分别是棱 AB、BC、DD1 的中点，求证：PB⊥平面 B1MN


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?
l；③若
2．点 P 不在三角形 ABC 所在的平面内，过 P 作平面α ，使三角形 ABC 的三个顶点到α
；
7

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5.
α
,
β
是两个不同的平面，m、n 是平面
α
及 β 之外的两条不同直线。给出四个论断：
①m⊥n ②
α
⊥β ③n⊥β ④m⊥
α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
6.如图，在正方形 ABCD 中

，
E、F分别是BC、CD 的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、
D三点 重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A、AH⊥△EFH 所在平面 B、AD⊥△EFH 所在平面 C、HF⊥△AEF 所在平面 D、HD⊥△AEF 所在平面
7．平行四边形 ABCD
所在平面α外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO 垂直于AB
、
AD.






8.（2006 北京）ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC
1
A
1
。






9.已知三棱锥 P-ABC 中，PA=PB，CB⊥平面PAB，PM=MC，AN=3NB.求证：AB⊥MN.









10.如图，直三棱柱 ABC—A
1
B
1
C
1
中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA
1
＝
2
D 是A
1
B
1
中点．
（1）求证C
1
D⊥平面A
1
B；（2）当点 F在 BB
1
上什么位置时，会使得AB
1
⊥平面C
1
DF？并证明你的结论。



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第3讲
空间点线面关系（2）
-----平行关系

求实 学习目标
1.
2.
3.
求精 知识要点

一、课标要求：
以立体几何的定义、公理、定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空 间中线、
面平行、垂直的有关性质和判定。
1．空间平行直线





2．直线与平面平行





3．平面与平面的平行






求活 例题分析

例 1．判定下列命题是否正确 （未加说明时，英文大写字母表示点、小写字母表示直线、希腊字母 表示
平面）
（1）
a ⊥ c，b ⊥ c ? a b
.

（2）
a
α
，b
α
? a b
.
（3）
a
α
，b a ? b
α
.
（4）
a、b ?
α
，a
β
，b
β
?
α

β
.
（5）
a、b在
α
内的射影平行 ? a b
.
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（6）
a上有两点到
α
的距离相等 ? a
α
.
（7）
α
I
β
= a，
α
I
γ
= b，a b ?
β


.
（8）
a ⊥
α
，b ?
α
，
α

β
? a ⊥ b
.

（9）
a、b异面，过a有且只有一个平面与b垂直
.
（10）
a、b异面，点P不在a、b上，则过P有且只有一个平面与a、b平行
.
（11）
a、b、c两两相交 ? a、b、c共面
.
（12）
a、b异面，c、d与a、b均相交，
则
c、d异面
.
（13）
a
′
是a在
α
内的射影，m ⊥ a
′
，
则必有
m ⊥ a
.
（14）
a、b
异面，
a⊥
α
，b⊥
β
，
α
I
β
=m?a
、
b
的公垂线
m
.
（15）
a、b
异面，则
a、b
在平面
α
上的射影为两条相交直线..

例 2．选择题
(1)空间三个平面两两相交，它们交线的条数为（ ）
（A）一条 （B）两条 （C）三条 （D）一条或三条
）

（2)
a,b
是两条异面直线,直线
c,d
分别与
a,
b
都相交,且它们的交点都不重合,直线
c
,
d
的位 置关系为（
（A）相交 （B）平行 （C） 异面 （D）不能确定

β
=c
, 直线
c
与
a
,
b
（ ）
（3）
a
、
b
是异面直线
a?
平面

α
，
b ?
平面
β
，
α
I
（A）都相交 （B）至少一条相交 （C）至多一条相交 （D）都不相交
（4）平面外一点
A
和平面内一点
B
的连线与平面内任意一条直线的位置关系（ ）

（A）异面 （B）相交 （C） 异面或相交 （D）不能确定
（5）一个角的两边分别与另一个角的两边平行，且方向都相反，则这两个角（
（A）相等 （B）互补 （C） 相等或互补 （D）不能确定
）
（6）若直线
a
平行于平面
α
，则
a
平行于
α
内的（ ）
（A）任意的一条直线 （B）直线
b
（C）所有的直线 （D）无穷多条直线
（7）直线
a, b, c
，若
a b c
，则经过
a
的所有平面中（ ）
（A）必有一个平面同时经过
b
、
c
（B） 必有一个平面经过
b
而不经过
c
（C）必有一个平面经过
b
而不一定经过
c
（D）不存在同时经过
b
、
c
的平面
（8）正方体
12
条棱中，异面直线的对数为（ ． ）
（A）
12
（B）
24
（C）
36
（D）
48
例3.已知:空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别为边AB、 BC、CD、DA的中点.求证:E、F、G、H点共面。







例4.已知:三个平面两两相交，有三条交线， 求证：这三条交线平行或共点。
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例5.已知：直线
a
、
l
，
平面
α、β
，且
a
α ，
a
β
，
α
I
β
=l
，求证：
a l
。




例6.已 知：正方体
ABCD ? A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
、
N
分别为
A
1
B
、
AC
上的点，且
A
1
M : MB=AN:NC
，求证：
MN
平面
BB
1
C
1
C
。



例 7.已知：以 AB 为公共边的正方形 ABCD 和 ABEF 不共面，M 是 BD 上一点，N 是 AE 上一点，DM=AN
求证：MN平面 BCE。



















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第4讲 曲线与方程
求实 学习目标
1.
2.
3.
求精 知识要点

在建立了直角坐标系之后，平面内的点和有序实数对
(
x, y
) < br>之间就建立了一一对应关系，那么
曲线呢？应该是对应于符合某种条件的一切点，它的横纵坐标之 间应受到某
x, y
)
= 0 。
曲线
C
上的点集方程
f ( x, y) = 0
的解集 种条件的约束，而这种约
束就是方程
f
(
1. 曲线与方程的定义：（求曲线方程的一般步骤）
（1）在曲线 C 上任何一点的坐标
(
x, y
)
是方程
f
(
x, y
)
= 0
的解；（在合）
（2）以方程
f
（合在）那么，方程
f
(
x, y
)
= 0
叫做曲线 C
(
x, y
)
= 0
的解为坐标的点都在曲线上 C．
的方程，这条曲线叫做方程
f
(
x, y
)
= 0
的曲线．
2.曲线的交点（曲线的关系与方程组的解）

求活 例题分析

【例题分析】

例1 .写出下面曲线的方程．




例2 .画出下列方程所表示的曲线．
= x
4
（3）
( x
2
? y
2
)( x
2
+ y
2
? 1) = 0

（4）
( x
2
? y
2
)
2
+ ( x
2
+ y
2
? 1)
2
= 0


（1）
y = 2
2 log
2
x
（2）
y
2


2 2
例3.证明以原点为圆心，半径为5的圆的方程是
x+ y = 25
，并判断
M
(
3, ?4
)
, N
?2 5, 2
是
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()
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否在圆上？（引申：圆内、圆外）






例4 .动点 P 到定点 A 的距离是到定点 B 的距离的 2 倍，且
AB = 2
，求点 P 的轨迹方程．



例5.
求曲线C
1
：y?x,C
2
:x
2
?y
2
?2x的交点坐标。





例6.判断两条曲线
C
2

1
:
y = ax + 1
与
C
2
:x?y
的关系.




例 7 ..求平面上到两个定点
F
1
, F
2
的距离和等于常数 2a（
注：渗透、理解椭圆标准方程的推导，为第8讲提前说明几件事：


















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| F
1
F
2
|< 2a
）的点的轨迹方程；
13

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第5讲 直线与直线方程
求实 学习目标
1.
2.
3.
求精 知识要点

一． 数轴上任意三点的位置关系






二． 两点间的距离公式








三． 定比分点公式








四． 直线的倾斜角、斜率





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五．





直线的方程的几种形式
求活 例题分析

一．直线方程例題分析
例题1：（倾斜角和斜率关系）
（1） 直线
l
1
,l
2
的斜率分别是
3和?1
，求两条直线的倾角；
（2） 直线
l1
的倾角
??30.
，
l
1
?l
2
， 求直线
l
2
的斜率；

（3） 已知直线
l
的倾斜角的正弦值为0.6，求直线的斜率和倾斜角。




例题2：（倾斜角和斜率关系、倍角及同角关系公式）
已知点C（ 3,5），D（0，-9），直线AB的倾斜角是直线CD倾斜角的2倍，直线EF的倾斜角是直线CD倾斜角的一半，求直线AB和CD的斜率。





例题3：（数形结合）
已知直线
l
过点P（-1,2），且与以A(- 2,-3),B(3,0)为端点的线段AB相交，求直线
l
斜率的取值范围。





例题4：（直线方程的局限、数形结合、分类思想）
求分别满足下列条件的直线方程
（1） 过（1,2）点；
（2） 原点到直线与y轴交点的距离为5；
（3） 过（1,1）、（a,b）两点；
（4） 过点A（1,2）且在x、y轴上的截距相同；（截距概念）





例题5：（数形结合、运动观点）
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已知直线L:y=kx-2k-1分别满足下列条件，求k的取值范围？
（1） 与直线y=2x+4在第二象限有交点；
（2） 与直线y=x在第一象限有交点；
（3） 与点集A={（x,y）||x|+|y||=1}有公共点。





例题6：（待定系数）
已知直线L过P（2,4）点，与x 轴、y轴的正半轴分别交于A、B点，O为坐标原点，求当三角形ABO的面积
最小时直线L的方程。





例题7：（待定系数）
直线L过点P （0，1），与直线L1：2x-y+4=0,L2:x+2y-4=0分别交于点A、B，且点P为线段AB的 中点，求直
线L的方程。





例题8：求经过点（1,3）且与原点距离为1的直线方程。说明：距离公式的应用，讨论斜率。





例题9：求与直线L1：3x-2y-6=0,L2:6x-4y-3=0 等距离的直线的方程。说明：平行线的距离






例题10：已知直线L经过点P（2,4）且与点A（1,1），B（2,5）距离相等，求直线L的方 程。说明分类讨论。









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第6讲 圆与圆的方程
求实 学习目标
1.
2.
3.
求精 知识要点

一． 圆的标准方程，圆心（a,b），半径为R




二． 圆的一般方程




三． 直线与圆的关系




四． 圆的切线方程：
（1）过点
p
0
(a,b)







（2）斜率为K





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五． 圆与圆的关系（几何）






求活 例题分析

例题分析：
例题1：（求圆的方程）根据下列条件写出圆的方程：
（1） 过点A（2,3），B（-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上；
（2） 与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为
27
。





例题2：（1）求过A（2，2），B（5,3），C（3 ，-1）的圆的方程，并求该圆的半径与圆心坐标。
（2）求经过点A（-2，-4）且与直线x+3y-26=0相切于点（8,6）的圆的方程。




例题3：a为何值时，直线L：x+y-a=0与圆C：
x< br>2
?y
2
?2
：（1）相交；（2）相切；（3）相离？




例题4：过点P（7,1）作圆
x
2
?y< br>2
?25
的切线，求切线的方程。





例题5：求与圆
x
2
?y
2
?8x?6y?0< br>相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程。






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例题6：已知圆C1：
x
2
?y
2
? 4
，圆C2：
x
2
?y
2
?2ax?4ay?5a
2
?1?0
。当a为何值时，圆C1与圆C2
相离，外切，相交，内切，内含？






例题7：已知直线L：kx-y-4 k+3=0与曲线C：
x
2
?y
2
?6x?8y?21?0

（1） 求证：不论K为何值时，直线L与曲线C恒有两个交点；
（2） 求当直线L被曲线C所截得线段最短时此线段所在的直线的方程。





例题8：已知圆C1：
x
2
?y
2
?6y?0< br>，圆C2：
(x?23)
2
?(y?1)
2
?1

(1) 求证：圆C1与圆C2外切，x轴是它们的一条外公切线；
(2) 求切点间的两弧与x轴所围成的图形的面积。


























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第7讲 直线和圆的综合
求活

考点精练

【直线与圆的方程】
例 1、直线 x + my = 2m + 2 与直线 mx + y = m +1 平行的充要条件是（ ）
（A） m =
1
2
（B） m =
?
1
2
（C） m = 1 （D） m = ?1
例 2、直线 mx + 4 y ? 2 = 0 与 2 x ? 5 y + n = 0 互相垂直，垂足为 (1, p) ，则 m ? n + p = （ ）
（A）-4 （B）0 （C）20 （D）24
例 3、若三条直线l
1
: x?y=0，l
2
:x+y?2=0，l
3
: 5x?ky?15=0围成三角形，则实数k的取值范围是（
（A） k ∈ R （B） k ∈ R 且 k ≠ ±1, k ≠ 0
（C） k ∈ R 且 k ≠ ±5, k ≠ 1 （D） k ∈ R 且 k ≠ ±5, k ≠ ?10
例 4、两条平行线Ax+By+C
1
=0与 2Ax+2By + C
2
=0间的距离为（ ）
（A）
|C
1
?C
2
|2C
1
?C
2
|C
2
|

A
2
?B
2
（B）
|
A
2
?B
2
（C）
|C
1
?2
A
2
?B
2
（D）
|2C
1
?C
2
|
2A
2
?B2

例 5、过 P (1, 2) 引直线 l，使它与两点 A (2, 3) ， B (4,?5) 的距离相等，则l的方程为（ ）
（A） 4 x + y ? 6 = 0（B） x + 4 y ? 6 = 0
（C） 3x + 2 y ? 7 = 0 或 4 x + y ? 6 = 0
（D） 2 x + 3 y ? 7 = 0 或 x + 4 y ? 6 = 0
例 6、点 P (a, b) 关于直线 x ? y +1 = 0 的对称点坐标为（ ）
（A） (b, a) （B） (b ?1, a +1) （C） (a +1, b ?1) （D） (a +1, b)
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20


）

例 7、已知 A(?3, 3) ， B(5, 1) ，P 为 x 轴上一点，若使 | AP | ? | PB | 最大，则 P 点坐标为（
（A） (3, 0) （B） (0, 3) （C） (0, 0) （D） (9, 0)
）条件
）
例 8、( x ?1)
2
+ ( y ?1)
2
≤ 1是 | x ?1 | + | y ?1 |≤ 1的（
（A）必要不充分 （B）充分不必要 （C）充要 （D）既不充分也不必要
例 9、已知直线 l:ax + by + c = 0 和圆 O:x
2
+ y
2
= 1, 那么 a
2
+ b
2
≥ c
2
是直线 l 和圆相交的（ ）条件
（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C） 充要 （D）既非充分也非必要
）个. 例10、圆 (x?3)
2
+(y?3)
2
=9上到直线3x+4y?11=0的距离等于1的点有（
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
x
2
例 11、与方程
?1
= 0 所表示的曲线相同的方程为（ ）
y
（A） | x | ? y = 0 （B） x? | y |= 0 （C）
x|x|
?
1
=0 （D）
?1
=0
|y|y
2
例 12、方程 | x | ?1 =
1?(y?1)
表示的曲线是（ ）
（A）半个圆 （B）两个圆 （C）两个半圆 （D）两条相交直线
例 13、方程 x
2
+ y
2
+ 4ax ? 2 y + 5a = 0 表示圆，则有（ ）
（A）
111
< a <1 （B） a <或 a > 1 （C） a ∈ R （D） a =或 a = 1
444
例 14、以 A (?1, 3) ， B (3, 1) 为直径端点的圆与两坐标轴的交点个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
例 15、若圆 x
2
+ y
2
+ Dx + Ey + F = 0 与 x 轴切于原点，则（ ）
（A） D = E = F = 0 （B） D = F = 0, E ≠ 0
（C） D ≠ 0, E = F = 0 （D） D = E = 0, F ≠ 0
例 16、直线 y = x + k 与曲线 y =1 ? x2 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是（ ）
（A） | k |<
2
（B） | k |>
2
（C）1 < k <
2

（D）1 ≤ k <
2

例 17、将直线 2 x ? y + λ = 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆 x
2
+ y
2
+ 2 x ? 4 y = 0 相切，
则实数 λ 的值为（

）

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（A）-3 或 7 （B）-2 或 8 （C）0 或 10 （D）1 或 11例
18、过圆 x
2
+ y
2
= 1和圆 x
2
+ y
2
? 2x ? 2 y +1 = 0的交点的直线方程是（ ）
（A） 2 x + 2 y ?1 = 0 （B） x + y +1 = 0
（C） x + y ?1 = 0 （D） 2 x + 2 y +1 = 0
例 19、直线 l 的倾斜角是连接点 A(3,?5), B(0,?9) 的直线的倾斜角的两倍， l 的斜率为（ ）
(A)
8
24724
(B) (C)
?
(D)
?

3
25257
3
y + 1 = 0 的倾斜角的范围为 . 例20、（1）直线 x sin θ ?
例21、过两条直线 x + 3 y ?10 = 0 与 3x ? y = 0 的交点且与原点距离为 1 的直线方程为 .
例22、若一动圆过定点（0，-3）且与直线 y ? 3 = 0 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
例23、从圆 C： x
2
+ y
2
? 4x ? 6 y +12 = 0 外一点 P 向圆 C 引切线，切点为 M，O 为原点，且满足
| PM |=| PO | ，则动点 P 的轨迹方程是 。
例24、圆 x
2
+ y
2
+ 6x ? 2 y ?15 = 0 上的点到原点距离的最大值是 .
例25、圆心在点 O (2, ?1) ，且在直线 x ? y ?1 = 0 上截得的弦长为 2
2
的圆的方程是 .
例26、过点 P (?1, 2) 的直线 l 与圆 x
2
+ y
2
? 2 y ? 3 = 0 交于 A、B 两点，若使 | AB | 最小，则直线 l
的方程是 .
例27、直线l过点A(0, 2)且与半圆 C :( x ?1)
2
+y
2
=1( y≥0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围
是 .
例28、已知直线 ax + by + c = 0 与圆 O : x
2
+ y
2
=1
????????
OB
=
相交于 A 、 B 两点，且| AB |=
3
,则
OA
?
例29、等腰直角三角形一条直角边所在直线方程为y=2x ，斜边中点坐标为(4, 2)，求另两条边所在直线方程.
例30、直线 l : 2mx ? y ? 8m ? 3 = 0,圆 C : x
2
+ y
2
? 6x + 12 y + 20 = 0
（1） 证明 m ∈ R, l 与 C 恒相交；
（2） m 取何值，l被C截得的弦最短，求此弦长。




2

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【直线与圆的位置关系】
求活

考点精练

例 1、求与直线 x ? y ? 2 = 0 关于直线 3x ? y + 3 = 0 对称的直线方程.



例 2、ΔABC 的一个顶点为 A(?4, 2) ，两条中线所在直线方程为3x?2y+2=0和 x+5y?12=0，求 直线 BC 的方程.




例 3、直线l左移2个单位，在向上平移3个单位，恰好与原直线l重合，求l的斜率.




例 4、原点O和点(1，2)分别在直线 3x ? y + m = 0 的两侧，求实数 m 的取值范围.


3

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例 5、直线 y = kx + 2k + 1与直线 y =
?



例 6、已知△ABC 中，顶点 A（4，－1），其两个内角平分线方程分别为x?y?1=0 和x=1，求 BC边所在直线方程.



例 7、直线过点 P（2，3），被两平行线3x+4y?7=0和3x+4y+8=0 截得线段长为3
2
，求此直线方程.



例 8、直线过点 P（2，1），与 x、y 轴正半轴交于 A、B 两点，O 为原点,求满足下列条件的直线 l 方程；
（1）△ABC 面积最小；
（2）| OA| +| OB| 最小；
（3）| PA| ?| PB| 最小；
（4） |AB| 最小.


例 9、点A（1，4）发出的光线l
1
射到直线l2：x+y?2=0上被反射，反射线恰与圆( x?3)
2
+(y?1)
2
=1相切，求l
1
方程.

1
x + 2 交点恒在第一象限内，求实数 k 的取值范围.
2

4

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第8讲 线性规划

求精

知识要点

1.
2.
3.
求活

考点精练


?
?
x?0
例 1. （2009 安徽卷理）若不等式组
?
?
?
x?3y?4
所表示的平面区域被直线 y = kx +
4
?
?
3x?y?4
3
分为面积相等
的两部分，则 k 的值是（ ）表示的平面区域.
A.
7
3
B.
3
7
C.
43
3
D.
4

?
?
x?y?6?0
例2. 画出不等式组
?
?
x?y?0
3
表示的平面区域
?
y?
?
?
x?5



例 3. 求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤ 2 表示的平面区域的面积.





5

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例 4. 画出以 A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区 域所表示的二元一
次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数 z = 3x－2y 的最大值和最小值.





例 5. 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 300 万吨，需经过东车站和西车站两个车站运 往外地.东车站
每年最多能运 280 万吨煤，西车站每年最多能运 360 万吨煤，甲煤矿运往东车站和西 车站的运费价格分别为 1 元吨
和 1.5 元吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8 元吨 和 1.6 元吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总
运费最少?

例 6. 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员.此 车队每天至
少要运 360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返8 次.甲型卡车每辆每天的成
本费为 252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元.问每天派出甲型车 与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
例 7. 实系数方程 f（x）=x
2
+ax+2b=0 的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：
（1）




例 8. 设实数 x、y 满足不等式组
?
b?2
的取值范围；（2） (a ? 1)
2
+ (b ? 2)
2
的取值范围；（3） a + b ? 3 的取值范围.
a?1
?
1?x?y?4

?
y?2?|2x?3|
6

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（1）求点（x,y）所在的平面区域；（2）设 a > ?1，在（1）所求的区域内，求函数 f ( x, y) = y ? ax 的最值.





练习题
1.（2009 四川卷文）某企业生产 甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品
要用A原料1吨， B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产
周期 内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨那么该企业可获得最大利润是（ ）
A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元
?
2x?y?4
?
?
2.（2009 宁夏海南卷理）设 x，y 满足
?
x?y??1
, 则z = x + y （ ）
?
x?2y?2
?
A. 有最小值 2，最大值 3 B. 有最小值 2，无最大值
C. 有最大值 3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值
3.（2009 湖南卷理）已知 D 是由不等式组
?
D 内的弧长为（
A.
）
?
x?2y?0
，所确定的平面区域，则圆 x
2
+ y
2
= 4 在区域
?
x?3y?0
??
3
?
B. C.
424
D.
3
?

2










7

第9讲 椭圆与椭圆方程
求实 学习目标
1.
2.
3.
求精 知识要点
1.给出椭圆的标准方程后说明几点
2.椭圆的几何性质
3.椭圆的代数性质
4.能根据条件确定椭圆的标准方程
求活 例题分析
例 1 ． 已知椭圆过两点 (1 ，
2
5
5
)、(2 ，
?
5
5
)，求椭圆的标准方程。



例2． 求焦点为(0,4)和(0,-4)且过点(
5
,
?33
)的椭圆方程。




例3． 求焦距为
25
且过点（3，-2）的椭圆标准方程。




例4． 如果方程x
2
+ky
2
=2表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数k的取值范围。


~ 第 2 页

~
2

例 5． 已知ΔABC的一边BC长为6，周长为16，求顶点A的轨迹图形。




x
2
y
2
5
??1
上有一点P，它到左 准线的距离为
，求其到右焦点的距离. 例 6． 椭圆
2
259



例7． 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，两条准线间距离为4，求此椭圆方程.



例8． 求经过定点M（1，2），以Y轴为准线，离心率为



例9． 已知椭圆的焦点为 F
1
(0,?2
2
),
F
2
(0,2
2
)，长轴长为 6，过焦点的弦长等于短轴长，求焦点弦的倾斜角.




~ 第 3 页
~
1
的椭圆的左顶点的轨迹方程。
2
3

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例10． 在△ABC中，点A(-1，0)，C(1，0)，三边a，b，c成等差数列，求顶点B的轨迹方程．


































第10讲 双曲线与双曲线方程

求实 学习目标
1.
2.
3.
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求精 知识要点
1.双曲线的概念
2.双曲线的性质
求活 例题分析
例 1. 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
（1）焦点为 F
1
(5, 0), F
2
(?5, 0) ，双曲线上的一点 P 到 F
1
, F
2
的距离差的绝对值等于 6
x
2
y
2
?
（2）与椭圆
= 1 共焦点,且过点 (3
2
,
2
) ；
255
（3）焦点在 y 轴上，经过点 P
1
(3, ?4
2
), P2 (
9
, 5)
4
（4）一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5: 4 。



例 2. 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线为 3x+5y=0。
（1）求离心率；（2）若双曲线过点 (5
3
, 3
2
) ,求双曲线方程

x
2
y
2
233
例 3. 已知双曲线
2
?
2
?1
(a > 0, b > 0)的离心率e =
，过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点间距离为，求
ab
32
双曲线的方程。


x
2
y
2
??1
的右支上一点，M、N分别是圆 （x＋5）
2
＋y
2
＝4和（x－5）
2
＋y
2< br>＝1上的点，则|PM|例 4. P是双曲线
916
－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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例 5. 试确定直线 y=k(x-1),(k∈R)与双曲线 x
2
-y
2
=4 的公共点的个数。



x
2
y
2
例 6．（1）已知双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b<0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有
ab
一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
D. (2,+∞) A. (-1,2) B. (1,2) C. [2,+∞)


（2）过双曲线 M:
x?
2
y
?1
的右顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于 B、C,且
2
b
)
2
2
|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 (
A.10



B.5 C.10 D.5
y
2
?1
，过点P(1,2)作直线l 交双曲线于A、B 两点，若P 为AB 的中点。
例 7. 已知双曲线
x?
2
2
(1)求直线AB 的方程；
(2)若Q(1,1)，证明不存在以Q 为中点的弦。

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第11讲 圆锥曲线的方程和性质

求实 学习目标
1.
2.
3.
求精 知识要点
1.
2.
求活 例题分析
x
2
y
2
??1
的左，右焦点分别为 F
1
、F
2
，点 P 是椭圆上任一点，点 A(1，1)，则|PA|+|PF
1
|满足（ 例1.椭圆
95
(A)最大值 6 +
2
, 最小值6 ?
2
(B)最大值 3 +
2
，最小值3 ?
2

(C)最大值 6 +
2
，无最小值 (D)最小值 6-
2
，无最大值
）
x
2
y
2
例2.椭圆
2
?
2
?1
(a > b > 0) 左，右焦点为 F
1
，F
2
，A
1
A
2
为长轴，点 P 是椭圆上任一点，则分别以|PF
1
|，|PF
2
|为ab
直径的圆与|A
1
A
2
|为直径的圆满足（ ）
(A)两两相交 (B)有 2 组圆内切
(C)至多有一组圆内切 (D)三个圆交于一点
x
2
y
2
例3.椭圆
2
?
2
?1
离心率为e，点P是椭圆上非顶点的任一点，F1，F2 为两焦点，Q点是△PF1F2|QM|内心，直线 PQ
ab
与F
1
F< br>2
交于M点，则等于
|QM|
（ ）
|PQ|
(A)
e
1
(B)
e
(C) e (D)
2
e
） 例4.椭圆两焦点为 F< br>1
，F
2
，以|F
1
F
2
|为直径的圆与椭 圆的一个交点为 P，且∠PF
1
F
2
=5∠PF
2
F1
，则椭圆的离心率为（
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(A)
23
(B)
22
(C)
26
(D)
33
x
2
y
2
??1
上一点P及焦点F
1
，F
2
，若△PF
1
F
2
的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，则点P纵坐标是（例5.椭圆
2516
）
(A)
85
( B) (C)
23
(D)3
33
x
2
y
2
例6.已知椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)，F为左焦点，作过F不与x轴重合的直线l，则椭圆上关于l对称的不点（ ）
ab
（A）只有一对 （B）有2对 （C）有无穷多对 （D）不存在
x
2
y
2
例7.椭圆
2
?
2
?1
的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆上 不同于A，B的任一点，直线AP，BP分别与右准线交
ab
于M，N两点，F为右焦点，则∠ MFN等于（ ）
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
例8.椭圆的离心e=
5?1
时，称 椭圆为“优美椭圆”，若F为椭圆左焦点，A为右顶点，B为短轴端点，则在“优美椭
2
） 圆”中，∠ABF 等于（
(A)120° (B)90° (C)60° (D)45°
x
2
y
2
例9.设B
1
，B
2
是椭圆
2
?
2
?1
的两 个短轴端点，M是椭圆上不同于B
1
，B
2
的一点，直线 B
1
M，B
2
M 分别与x轴于
ab
N，K两点，O为原点，则|ON|·|OK|为（
(A)a
2

综合练习题
10.已知双曲线 2mx
2
– my
2
= 2 的一条准线方程是 y = 1，则 m 等于（
(A)
?
）
）
(D)不确定 (B)b
2
(C)ab
1
431
(B)
?
(C)
(D)
?

3
343
x
2
y
2
x
2
y
2
22
11.双曲线
2
?
2
?1
与
2
?
2
?1
(a > 0, b > 0) 的离心率分别为 e
1
，e
2
，当 a，b 变化时，
e
1
=（ ）
?e
2
abba
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2

(A) 4
2
(B) 4 (C) 2 (D)
2

x
2
y
2
12.设双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线分别交于A，B两 点，与准线对应的焦点为F，若以|AB|
ab
为直径的圆恰好经过点F，则双曲线离心率为（ ）
(A)
2
(B)
3
(C)2 (D)
23

3
x
2
y
2
13. 设双曲线
2
?
2
?1
与它的共轭双曲线的四个顶点确定的四边形面积为 S
1
，四个焦点确定的四边形面积为 S
2
，则
ab
S
1
：S
2
的最大值是（ ）
(A)
11
(B) (C)1 (D)2
42
14.双曲线的左、右顶点为A，B，右焦点为 F，点P是双曲线上不同于 A，B的一点。直线PA，PB与双曲线的右准线
分别交于 M，N 两点，则∠MFN 等于（
(A)45°
）
(D)120° (B)60° (C)90°
x|x|y
2
??1
的公共点个数是（ ）
15.直线y=x+3与曲线
?
49
(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个
x
2
x
2
2
16.已知椭圆
?y?1
和双曲线
?y
2
?1
有相同的焦点F
1
，F
2
，P是两曲 线的一个公共点，则△PF
1
F
2
的面积为（）
m
n
(A)1 (B)2 (C)mn (D)
mn

17.等轴双曲线x
2
–y
2
=a
2
的任一条与虚轴平行的弦MN，A，B是双曲线的顶 点，则∠MAN+∠MBN等于（ ）
(A)
2
?
??
(B) (C) (D)
?

3
32
） 18.过抛物线 y
2
= 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x
1
，y
1
)，B(x
2
， y
2
)，若 x
1
+ x
2
= 6，则|AB|等于（
(A)10 (B)8 (C)6 (D)4
19.若抛物线y
2
=2x上两点 A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)关于直线 y =x+m对称,且x
1
x
2
=
?
(A)
3
(B)
5
(C)2 (D)3
2
1
，则m的值是（ ）
2
2

2

20.过抛物线 y
2
=2px(p>0)的焦点任作一条弦AB,由A,B向准线引两垂线,垂足为C,D,若 焦点为F,则∠CFD等于（ ）
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
21.F是抛物线y
2
= 2px(p>0)的焦点，设M是抛物线上任一点，MN垂直准线，N为垂足，则线段NF。



22.在抛物线
y
=2px(p>0)的对称轴两侧各取抛物线 上点A，B，它们到焦点F的距离分别是4和10，过弦AB中点作
抛物线对称轴的垂线与抛物线交于C ，D两点，则|FC|·|FD|等于（
(A)196 (B)49 (C)36 (D)9
）
2
23.已知抛物线y
2
=2px (p>0)，CD是其一条长为4p的弦，M是CD的中点，则M到y轴的最小距离为（ ）
(A)p (B) 3 p (C)2p (D)4p
24.已知抛物线x
2
=y,若其上总存在两个不同的点M,N关于直线y=?kx +
9
对称,则实数k的取值范围是（ ）
2
11
11
11
11
(A)
(??,?)?(,??)
(B)
(?,)
(C)
(??,?]?[,??)
(D)
[?,]
44
44
44
44







第12讲 圆锥曲线的综合（1）
求实 学习目标
1.
2.
3.

3

求精 知识要点
1.
2.
求活 例题分析
22
例1.椭圆
x
?
y
?1
的左，右焦点分别为 F
1
、F
2
，点P是椭圆上任一点，点A (1，1)，则|PA|+|PF
1
|满足( )
95
(A) 最大值 6 +
2
, 最小值6 ?
2
(B) 最大值 3 +
2
，最小值3 ?
2

(C) 最大值 6 +
2
，无最小值
ab
(D) 最小值 6 -
2
，无最大值
22
例2.椭圆
x
?
y
?1
(a>b>0)左，右焦点为F
1
，F
2
，AA
2
为长轴，点P是椭圆上任一点，则分别以|PF
1
|，|PF
2< br>|为直径
22
的圆与|A
1
A
2
|为直径的圆满足( )
(A) 两两相交 (B) 有 2 组圆内切 (C) 至多有一组圆内切 (D) 三个圆交于一点
22
xy
例3.椭圆
2
?
2
?1
离心率为e，点P是椭圆上非顶点的任一点，F
1 ，F
2
为两焦点，Q点是△PF
1
F
2
的内心，直线PQ
ab
与 F
1
F
2
交于M点，则
|QM|
等于( )
|PQ|
(A)
(B)
e
(C) e (D)
例4.椭圆两焦点为F
1
，F
2
，以|F
1F
2
|为直径的圆与椭圆的一个交点为 P，且∠PF
1
F
2< br>=5∠PF
2
F
1
，则椭圆的离心率为( )
(A)
2
2
(B)
2
3
(C)
3
2
(D)
3
6

22
xy
例5.椭圆
??1
上一点P及焦点F1F2,若△PF1F 2的内切圆半径为1,当点P在第一象限时,则点P纵坐标是( )
2516
(A) (B) (C)
23
(D) 3
22
例6.已知椭圆
x
2
?
y
2?1
(a>b>0),F为左焦点,作过F不与x轴重合的直线l,则椭圆上关于l对称的不同点(
ab
)
(A) 只有一对 (B) 有 2 对 (C) 有无穷多对 (D) 不存在
x
2
y
2
例 7.椭圆
2
?
2
?1
的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆上不同 于A，B的任一点，直线 AP，BP分别与右准线交
ab
于 M，N两点，F为右焦点，则∠MFN 等于( )
(A) 45° (B) 60° (C) 90° (D) 120°
例8.椭圆的离心率e =
5?1
时，称椭圆为“优美椭圆”，若F为椭圆 左焦点，A为右顶点，B为短轴端点，则在“优
2
美椭圆”中，∠ABF 等于( )

4

(A) 120° (B) 90° (C) 60°
ab
(D) 45°
22
例9.设B
1
，B
2< br>是椭圆
x
?
y
?1
的两个短轴端点，M是椭圆上不同于B1
，B
2
的一点，直线 B
1
M，B
2
M分别 与x轴相
22
交于N，K两点，O为原点，则|ON|·|OK|为( )
(A) a
2
(B) b
2
(C) ab
综合练习题
10.已知双曲线 2mx
2
? my
2
=2的一条准线方程是y=1，则 m 等于(
34
(D) 不确定
)
1
3
(A)
?
4
(B)
?
3
(C) (D)
?

2222
11.双曲线与
x
?
y
?1
与
y
?
x
?1
(a>0, b>0)的离心率分别为e
1
，e
2
,当 a，b变化时,
e
1
2
?e
2
2
的最小值是( )
2222
abba
(A)
4
a
2
( B)4 (C)2 (D)
2

b
22< br>12.设双曲线
x
?
y
?1
(a>0,b>0)的一条准线与 两条渐近线分别交于A，B两点，与准线对应的焦点为F，若以|AB|为
22
直径的圆恰好经 过点F，则双曲线离心率为( )
(A)
2
(B)
3
(C)
2
(D)
2
3
3

22
13. 设双曲线
x
?
y
?1
与它的共轭双曲线的四个顶点确定的四边形面积为S
1
， 四个焦点确定的四边形面积为S
2
，则 S
1
22
ab
:S
2
的最大值是( )
(A)
(B) (C) 1 (D) 2
14.双曲线的左、右顶点为A，B，右焦点为F，点P是双曲线上不同于A，B 的一点。直线 PA，PB与双曲线的右准线
分别交于M，N两点，则∠MFN 等于(
(A) 45° (B) 60°
49
)
(C) 90° (D) 120°
2
15.直线y=x+3与曲线
?
x|x|
?
y
?1
的公共点个数是( )
(A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个
x
2
x
2
2
?y?1
和双曲线
?y
2
?1
有相同 的焦点F
1
,F
2
,P是两曲线的一个公共点,则△PF1F2的面积为( ) 16.已知椭圆
m
n
(A) 1 (B) 2 (C) mn (D)
mn

17.等轴双曲线 x
2
? y
2
=a
2
的任一条 与虚轴平行的弦MN，A，B是双曲线的顶点，则∠MAN+∠MBN等于( )

5

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(A)
?
3
(B)
?
2
(C)
2
?
(D)π
3
1 8.过抛物线y
2
=4x的焦点作直线交抛物线于A(x
1
，y
1< br>)，B(x
2
，y
2
)，若x
1
+x
2=6，则|AB|等于( )
(A) 10 (B) 8 (C) 6 (D) 4
2
19.若抛物线y=2x
2
上两点A(x
1
，y
1
),B(x
2
，y
2
)关于直线y=x+m对称，且x
1
x
2
=
?
1
，则 m 的值是( )
(A)
(B) (C) 2 (D) 3
20.过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点任作一条弦AB,由A, B向准线引两垂线,垂足为C,D,若焦点为 F,则∠CFD 等于( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°
21.F是抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点，设M是抛物线上 任一点，MN垂直准线，N为垂足，则线段NF的垂直平分线l
与抛物线位置关系是( )
(A) 相交 (B)相切 (C) 相离 (D) 不确定
22.在抛物线y2=2px (p>0)的对称轴两侧各取抛物线上点A，B，它们到焦点F的距离分别是 4和10，过弦AB中点作
抛物线对称轴的垂线与抛物线交于C，D两点，则|FC|·|FD|等于( )
(A) 196 (B) 49 (C) 36 (D) 9
) 23.已知抛物线 y
2
=2px(p>0)，CD是其一条长为4p的弦，M是CD的中点，则M到y轴的最小距 离为(
(A) p (B)
3
p

2
(C) 2p (D) 4p
24.已知抛物线x
2
=y，若其上总存在两个不同的点M，N关于直线y = ?kx + 对称，则实数k的取值范围是(
)
(A)
(???,)?(,??)
(B)
1
4
1
4< br>(?
11
11
??,]?[,??)
(D)
[?
1
,
1
]

,)
(C)
(?
44
44
44








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第12讲 圆锥曲线综合（2）

x
2
1、（轨迹方程问题）设椭圆 C：
y
2
例
a
2
?
b
2
?1
(a > b > 0) 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相
交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为
600
，
?
A
?
F
??
?2
?
F
?
B
??
.
(1)求椭圆 C 的离心率； (2)如果|AB|=
15
4
,求椭圆 C 的方程.





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~
2

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例 2、（探索性问题）已知动圆过定点 P（1，0），且与定直线 l：x＝－1 相切，点 C 在 l 上．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹 M 的方程；
（Ⅱ）设过点 P，且斜率为 ?
3
的直线与曲线 M 相交于 A，B 两点．
（ⅰ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由；
（ⅱ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围．








?
x?y?0
例 3、设不等式组
?
表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x + y = 0 和直线x ? y = 0 的
x?y?0
?
距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C ，若过点 F (2
2
，0) ，斜率是 k的直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两
点，若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求直线 l 的斜率 k的值。




3

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x
2
y
2
例 4、（方程与定性问题）设 A, B 分别为椭圆
2
?
2
?1
(a, b > 0) 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 x =
ab
4 为它的右准线。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的
点 M、N ，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。










例 5、（轨迹与最值问题）已知点 M(－2,0),N(2,0),动点 P 满足条件|PM|－|PN|=2
2
. 记动点 P 的轨迹 为 W.
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~
4

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(Ⅰ)求 W 的方程;
????????
(Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求
OA
?
OB
的最小值.










1、（轨迹与方程问题）已知椭圆
x
2
例
2
?y
2
?1
，
（1）求斜率 k = 2 时的平行弦中点的轨迹；
（2）求过点 A (2, 1) 的弦中点的轨迹；
（3）求以点 P ( ,) 为中点的弦所在直线的方程.




、（探索与存在性问题）已知椭圆
x
2
例 2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F
1
（－c，0）、F
2s
（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足
|
????
F
1
Q|
= 2a. 点 P 是线段 F
1
Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F
2
Q
上，并且满足
?
P
?
T
??
?
T
??
F
??
?????
2
= 0,
|TF
2
|
≠ 0.
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2

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?????
（1）设 x 为点 P 的横坐标，证明
|F
1
P|
= a +x ；
（2）（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；
（3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使△F
1
MF
2
的面积 S = b
2
.若存在，求∠F
1
MF
2
的正 切值；
若不存在，请说明理由.













x
2
y
2
例 3、（方程与定性问题）设 A, B 分别为椭圆
2
?
2
?1
= 1(a, b > 0) 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等
ab
于焦距，且 x = 4 为它的右准线。
（1）求椭圆的方程；
（2）设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的点 M、N ，
证明点 B 在以 MN 为直径的圆内.
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例 4、（方程与最值问题）在平面直角坐标系 xoy 中，有一个以 F
1
(0, ?
3
)和 F2 (0,
3
) 为焦点、离心率
为3 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的
交点分别为 A、B，且向量
O
????
M
?
= +
O
???
B
?
，求：
（1）点 M 的轨迹方程；（2）|
????
OM
?
|的最小值.








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