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高中数学立体几何大题专项突破

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 07:47
tags:高中数学立体几何

有什么好的高中数学练习册-人教版高中数学圆是必修几

2020年9月21日发(作者:安常娥)


高中数学立体几何大题专项突破
1.如图所示,四边形
ABEF
ABCD
都是直角梯形,∠
BAD
=∠
FAB
=90 °,
BC
AD,
BE
FA,
G

H
分别为
FA

FD
的中点.

(1)证明:四边形
BCHG
是平行四边形;
(2)C、
D

F

E
四点是否共面?为什么?
2.如图,在三棱锥
P

ABC
中,
PA

PB

AB
=2,
BC
=3,∠
ABC
=90° ,平面
PAB
⊥平面
ABC

D

E
分别 为
AB

AC
中点.
(Ⅰ)求证:
DE
∥面
PBC

(Ⅱ)求证:
AB

PE

(Ⅲ)求三棱锥
B

PEC
的体积.

3. 如 图,在正方体
ABCD

A
1
B
1
C
1< br>D
1
中,
S

B
1
D
1
的 中点,
E

F

G
分别是
BC

DC

SC
的中
点,求证:

(1)直线
EG
∥平面
BDD
1
B
1

(2)平面
EFG
∥平面
BDD
1
B
1
.
4.如图,
P

Q

R
分别是正方体
AB CD

A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
AA
1

BB
1

DD
1
上的三点,试作出过
P


Q

R
三点的截面 图.
5.如图所示,在空间四边形
ABCD
中,
E

F< br>分别为
AB

AD
的中点,
G

H
分别在
BC

CD
上,且
BG

GC
=< br>DH

HC
=1∶2.

求证:(1)E、
F

G

H
四点共面;
(2)EG与
HF
的交点在直线
AC
上.
6.如图(1) ,在Rt△ABC中,∠
C
=90°,
D

E
分别为
AC

AB
的中点,点
F
为线段
CD
上的一点,将△
ADE
沿
DE
折起到△
A
1
DE的位置,使
A
1
F

CD
,如图(2).

(1)求证:
DE
∥平面
A
1
CB
.
(2)求证:
A
1
F

BE
.
(3)线 段
A
1
B
上是否存在点
Q
,使
A
1
C
⊥平面
DEQ
?说明理由.
7.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩 形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角
形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积
V
;(2)求该几何体的侧面积
S
.

8.如图,在底面为直角梯形的四棱锥
P
?
ABCD
中,
AD

BC
,∠
ABC
=90°,
PA
⊥ 平面
ABCD

AC

BD

E

AD
=2,
AB
=2,
BC
=6.求证:平面
PBD⊥平面
PAC
.



9.在长方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中,< br>E

F

E
1

F
1
分别 是
AB

CD

A
1
B
1
C
1
D
1
的中点.求证:平面
A
1
EFD1
∥平面
BCF
1
E
1
.

10. 如图,正方体
ABCD

A
1
B
1
C
1< br>D
1
中,
E

F
分别是
AB
AA
1
的中点.求证:
(1)
E

C
D
1

F
四点共面;
(2)
CE

D
1
F

DA
三线共点.

11. 如图所示, 平面α∥平面β,点
A

α

C

α
,点
B

β

D

β
,点
E

F
分别在线段
AB

CD
上,且
AE

EB

CF

FD
.求证:
EF

β

EF

α
.

12.如图,平面四边形< br>ABCD
的四个顶点
A

B

C

D
均在平行四边形
A

B

C

D
′所确定的
平面α外且在平面α的同一侧,
AA
′、
BB
′、CC
′、
DD
′互相平行.求证:四边形
ABCD

平 行四边形.

13.如图所示,已知长方体
ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
为正方形,
E
为线段
AD
1
的中点,
F

线段
BD
1
的中点,
(1)求证:
EF
∥平面
ABCD


(2 )设
M
为线段
C
1
C
的中点,当
14.在四面体< br>ABCD
中,
AB

CD

积.
的比值为 多少时,
DF
⊥平面
D
1
MB
?并说明理由.

BC

AD
=2,
BD

AC
=5,求四 面体
ABCD
的体
15.如图,在底面为平行四边形的四棱锥
P
?< br>ABCD
中,
AB

AC

PA
⊥平面ABCD
,且
PA

AB


E
是< br>PD
的中点.

(1)求证:
AC

PB

(2)求证:
PB
∥平面
AEC

(3)求二面角
E
?
AC
?
B
的大小.
16.如图,已知平面α∩β=
l
,点
A

α
,点
B

α
,点
C

β
,且
A
?l

B
?
l
,直线
AB

l

平行,那么平面
ABC
与平面
β
的交线与
l
有什 么关系?证明你的结论.

17.如图,
PA
垂直于矩形
ABCD
所在的平面,
AD
=PA=2,
中点.
(Ⅰ)求证:
AF
∥平面
PCE

(Ⅱ)求证:平面
PCE
⊥平面
PCD

(Ⅲ)求二面角
F

EC

D
的大小.

E

F
分别是
AB

PD


18.如图所示,在正方体
ABCD

A
1
B
1< br>C
1
D
1
中,
E

F
分别是棱B
1
C
1

B
1
B
的中点.
求证:
CF
⊥平面
EAB
.



1 9.如图,已知
AB
⊥平面
BCD

BC

CD< br>,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?

20.如图,
A

B

C

D
四点都在平面
a

b
外,它们在
a
内的射影
A
1

B
1
,< br>C
1

D
1
是平行四边
形的四个顶点,在
b
内的射影
A
2

B
2

C
2
D
2
在一条直线上,求证:
ABCD
是平行四边形.

21.如图所示,在正方体
ABCD
?
A
1
B< br>1
C
1
D
1
中,
O
为底面
ABCD
的中心,
P

DD
1
的中点,设
Q
CC
1
上的点,问:当点
Q
在什么位置时,平面
D
1< br>BQ
∥平面
PAO
?

22.如图所示,在正方体
A
1
B
1
C
1
D
1
?
ABCD< br>中,
EF
与异面直线
AC

A
1
D
都垂直相交.
求证:
EF

BD
1


23.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长10cm.求:圆
锥的母 线长.



24.在四棱柱
P

ABCD
中 ,底面
ABCD
是直角梯形,
AB

CD
,∠
AB C
=90°,
AB

PB

PC

BC< br>=
2CD=2,平面
PBC
⊥平面
ABCD

(1)求证:
AB
⊥平面
PBC

(2)求三棱锥
C

ADP
的体积;
(3)在棱
PB
上是否存在点
M
使
CM
∥平面
PAD
?若存在 ,求
由.
的值.若不存在,请说明理












答案解析
1.【答案】
(1)证明 由已知
FG

GA

FH

HD

可得
GH
AD.又
BC
AD,∴
GH
BC,
∴四边形
BCHG
为平行四边形.
(2)由
BE
AF,< br>G

FA
的中点知,
BE
FG,
∴四边形
BEFG
为平行四边形,∴
EF

BG
.
由(1)知
BG
CH,

EF

CH
, ∴
EF

CH
共面.

D

FH
,∴
C

D

F

E
四点共面.
【解析】
2.【答案】
解:(
I
)∵△
ABC
中 ,
D

E
分别为
AB

AC
中点,∴DE

BC


DE
?面
PBC
且< br>BC
?面
PBC
,∴
DE
∥面
PBC


II
)连结
PD


PA

P B

D

AB
中点,∴
PD

AB


DE

BC

BC

AB
,∴
DE

AB

又∵
PD

DE是平面
PDE
内的相交直线,∴
AB
⊥平面
PDE
< br>∵
PE
?平面
PDE
,∴
AB

PE


III
)∵
PD

AB
,平面
P AB
⊥平面
ABC
,平面
PAB
∩平面
ABC
=< br>AB


PD
⊥平面
ABC
,可得
PD是三棱锥
P

BEC
的高
又∵
PD
=,S

BEC

S

ABC
=.
∴三 棱锥
B

PEC
的体积
V

V
P

BEC

S

BEC
×
PD
=.

【解析】
3.【答案】
证明 (1)如图,连接
SB



E

G
分别是
BC

S C
的中点,

EG

SB
.

又∵
SB
?平面
BDD
1
B
1

EG
?平面
BDD
1
B
1

∴直线
EG
∥平面
BDD
1
B
1
.
(2)连接
SD


F

G
分别是DC

SC
的中点,

FG

SD
.
又∵
SD
?平面
BDD
1
B
1

FG
?平面
BDD
1
B
1


FG
∥平面
BDD
1
B
1
,且
EG
?平面
EFG

FG
?平面
EFG

EG
∩< br>FG

G

∴平面
EFG
∥平面
BDD
1
B
1
.
【解析】
4.【答案】
作法:(1)连接
PQ
,并延长之交
A
1
B
1
的延长线于
T

(2)连接
PR
,并延长之交
A
1
D
1
的延长线于
S

(3)连接
ST

C
1
D
1

B
1
C
1
分别于
M

N
,则线段
MN

为平面
PQR
与面
A
1
B
1C
1
D
1
的交线.
(4)连接
RM

QN
,则线段
RM

QN
分别是平面
PQR
与面
DCC
1
D
1


BCC
1
B
1
的交线.得到的五边形
PQNMR
即为所求的截面图(如图).

【解析】
5.【答案】
证明 (1)∵BG∶GC=
DH

HC
,∴
GH

BD
.


∵E,
F
分别为
AB

AD
的中点,

EF

BD
,∴
EF

GH


E

F

G

H
四点共面.
(2)∵G,
H
不是
BC

CD
的中点,

EF

GH
,且
EF

GH
,故EFHG
为梯形.

EG

FH
必相交,设交点为
M


EG
?平面
ABC

FH
?平面
ACD


M
∈平面
ABC
,且
M
∈平面
ACD< br>,

M

AC
,即
GE

HF< br>的交点在直线
AC
上.
【解析】
6.【答案】
(1)证明 因为
D

E
分别为
AC

AB
的中点,
所以
DE

BC
.
又因为
DE
?平面
A
1
CB

所以
DE
∥平面
A
1
CB
.
(2)证明 由已知得
AC

BC

DE

BC

所以
DE

AC
.
所以
DE

A
1
D

DE

CD
.
所以
DE
⊥平面
A
1
DC
.

A
1
F
?平面
A
1
DC

所以
DE

A
1
F
.
又因为
A
1
F

CD
,所以
A
1
F
⊥平面
BCDE

所以
A
1
F

BE
.

(3)解 线段
A
1
B
上存在点
Q
,使
A
1
C
⊥平面
DEQ
.理由如下:
如图,分别取
A
1
C

A
1
B
的中点
P

Q
,则
PQ

BC
.
又因为
DE

BC

所以
DE

PQ
.


所以平面
DEQ
即为平面
DEP
.
由(2)知,
DE
⊥平面
A
1
DC

所以
DE

A
1
C
.
又因为
P
是等腰三角形
DA
1
C
底边
A
1
C
的中点,
所以
A
1
C

DP
.所以
A
1
C
⊥平面
DEP
.
从而
A
1
C
⊥平面
DEQ
.
故线段A
1
B
上存在点
Q
,使得
A
1
C⊥平面
DEQ
.
【解析】
7.【答案】
(1)64(2)40+24
【解析】
由已知可得该几何体是 一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的射影是矩形中心
的四棱锥
V
?
ABC D
.
(1)V=×(8×6)×4=64.
(2)该四棱锥有两个侧面
V AD

VBC
是全等的等腰三角形,且
BC
边上的高为
h< br>1

=4,另两个侧面
VAB

VCD
也是全等的等 腰三角形,
AB
边上的高为
h
2
==5.
因此
S
=2=40+24
8.【答案】
证明 ∵
PA⊥平面
ABCD

BD
?平面
ABCD
,∴
B D

PA
.又tan∠ABD=
tan∠BAC==,
=,
∴∠
ABD
=30°,∠
BAC
=60°,
∴∠
AEB
=90°,即
BD

AC
.

PA

AC

A


BD
⊥平面
PAC
.
∵BD?平面
PBD
,平面
PBD
⊥平面
PAC
.
【解析】
9.【答案】
证明 ∵
E

E
1
分别是
AB

A
1
B
1
的中点,
∴< br>A
1
E
1

BE

A
1
E
1

BE
.


∴四边形
A
1
EBE
1
为平行四边形.

A
1
E

BE
1
.
∵A
1
E?平面
BCF
1
E
1

BE
1
?平面
BCF
1
E
1
.
∴A
1
E∥平面
BCF
1
E
1
.
同理
A
1
D
1
∥平面
BCF
1
E
1

A
1
E

A
1
D
1
A
1

∴平面
A
1
EFD
1∥平面
BCF
1
E
1
.
【解析】
10.【 答案】
证明:(1)连接
EF

A
1
B

D
1
C


E

F
分别是
AB

AA
1
的中点,

EF

A
1
B

A
1
B

D
1
C


EF

D
1
C

∴由两条平行线 确定一个平面,得到
E

C

D
1

F< br>四点共面.
(2)分别延长
D
1
F

DA
,交于点
P


P

DA

DA
?面
ABCD


P
∈面
ABCD


F

AA
1
的中点,
FA

D
1
D


A

DP
的中点,
连接
CP
,∵
AB

DC


CP∩AB
=E,

CE

D
1F

DA
三线共点于
P


【解析】


11.【答案】
证明 ①当
AB

CD
在同 一平面内时,由α∥β,α∩平面
ABDC

AC

β
∩平 面
ABDC

BD


AC

BD,∵
AE

EB

CF

FD
,∴< br>EF

BD


EF
?
β
BD
?
β
,∴
EF

β
.
②当AB

CD
异面时,设平面
ACD

β
l
,在
l
上取一点
H
,使
DH

AC
.


α

β

α
∩平面ACDH

AC


AC

DH

∴四边形
ACDH
是平行四边形.

AH
上取一点
G

使
AG

GH

CF

FD

又∵
AE

EB

CF

FD


GF

HD

EG

BH


EG

GF

G

BH
HD

H

∴平面
EFG
∥平面β.
∵EF?平面
EFG
,∴
EF

β
.
综上,
EF

β
.
∵α∥β,
EF
∥< br>β

EF
?
α
,∴
EF

α
.
【解析】
12.【答案】
证明 ∵
AA
′∥
BB< br>′∥
CC
′∥
DD
′,
BB
′?平面
AA< br>′
D

D

AA
′?平面
AA
′< br>D

D


BB
′∥平面
AA

D

D
.
∵四边形
A

B

C

D
′是平 行四边形,

B

C
′∥
A

D
′. ∵B′C′?平面
AA

D

D

A

D
′?平面
AA

D

D


B

C
′∥平面
AA

D

D
.
又∵
BB
′∩
B

C
′=
B
′,
BB
′?平面
BB

C

C

B

C
′?平面
BB

C

C

∴平面
AA

D

D
∥平面
BB

C

C
.
∵平面
AA

D

D
∩平面
ABCD

AD
,平面
BB

C

C
∩平面
ABCD

BC



AD

BC
.同理
AB
∥< br>DC

∴四边形
ABCD
是平行四边形.
【解析】
13.【答案】
(1)证明 ∵
E
为线段
AD
1
的 中点,
F
为线段
BD
1
的中点,∴
EF

AB
.∵EF?平面
ABCD

AB
?平面
ABCD


EF
∥平面
ABCD
.
(2) 当=时,
DF
⊥平面
D
1
MB
.
∵ABCD是正方形,∴
AC

BD
.
∵D
1< br>D⊥平面
ABC
,∴
D
1
D

AC
.
∴AC⊥平面
BB
1
D
1
D
,∴
AC

DF
.
∵F,
M
分别是
BD
1

CC
1
的中点,

FM

AC
.∴DF⊥FM.
∵D
1
D=
AD
,∴
D
1
D

BD
.
∴矩形
D
1
DBB
1
为正方形.

F< br>为
BD
1
的中点,∴
DF

BD
1
.
∵FM∩BD
1

F
,∴
DF
⊥平面
D
1
MB
.
【解析】
14.【答案】
8
【解析】
以四面体的各棱为对角线还原为长方体,如图.

设长方体的长、宽、高分别为
x

y

z



VD?ABE

DE
·
S

ABE

V
长方体

同理
VC?ABF
VD?ACG

VD?BCH

V
长方体,

< br>∴
V
四面体
ABCD

V
长方体
-4×V
长方体


V
长方体.

V
长方体
=2×3×4=24,

V
四面体
ABCD
=8.
15.【答案】
(1)证明 由
PA
⊥平面
ABCD
可得
PA

AC
.

AB

AC
,所以
AC
⊥平面
PAB< br>,所以
AC

PB
.
(2)证明 如图,连接
BD

AC
于点
O
,连接
EO
,则
EO
是△
PDB
的中位线,


EO

PB
.又
EO
?平面
AEC

PB
?平面
AEC

PB
∥平面
AEC
.
(3)解 如图,取AD
的中点
F
,连接
EF

FO


EF
是△
PAD
的中位线,∴
EF

PA
.

PA
⊥平面
ABCD


EF
⊥平面
ABCD
.
同理,
FO
是△
ADC
的中位线,

FO

AB
,∴
FO

AC
.
因此,∠
EOF
是二面角
E
?
AC
?
D< br>的平面角.

FO

AB

PA

EF

∴∠
EOF
=45°.而二面角
E
?
AC
?
B
与二面角
E
?
AC
?
D
互补,故所求二面角< br>E
?
AC
?
B
的大小为
135°.
【解析】
16.【答案】
平面
ABC
与β的交线与
l相交.证明如下:

AB

l
不平行,且
AB
?
α

l
?
α


AB
与< br>l
一定相交.设
AB

l

P


P

AB

P

l
.
又∵
AB
?平面
ABC

l
?
β


P
∈平面
ABC

P

β
.


∴点
P
是平面
ABC
与β的一个公共点,而点
C
也是平面
ABC
与β的一个公共点,且
P

C

不同的两点,
∴直线
PC
就是平面
ABC
与β的交线,
即平面
ABC

β

PC
,而
PC

l

P

∴平面
ABC
与β的交线与
l
相交.
【解析】
17.【答案】
解:(Ⅰ)证明:设
G

PC
的中点,连接
FG

EG


F

PD
的中点,E

AB
的中点,

FGCD

AECD


FGAE
,∴
AF

GE


GE
?平面
PEC


AF
∥平面
PCE

(Ⅱ)证明:∵
PA
=AD=2,∴
AF

PD

又∵
PA
⊥平面
ABCD

CD
?平面
A BCD


PA

CD
,∵
AD
CD

PA

AD
=A,

CD
⊥平面
PAD


AF
?平面< br>PAD
,∴
AF

CD


PD

CD
=D,∴
AF
⊥平面
PCD


GE
⊥平面
PCD


GE
?平面
PEC

∴平面
PCE
⊥平面
PCD

(Ⅲ)取
AD的中点
M
,连接
FM

EM

MC

因为
F

PD
的中点;

FM

PA


FM
⊥平面
ABCD
;?
EC

FM

在三角形
EMC
中,
因为
MC
=;
ME
=;
EC
=;



MC
=ME
2
+EC
2

2

EM

EC
②;
∴由①②得
EC
⊥平面
FME


EC

FE

即∠
FEM
为二面角< br>F

EC

D
的平面角,

tan

FEM
=
∴∠
FEM
=30°.
故二面角
F

EC

D
为30°.



【解析】
18.【答案】
证明 在平面
B
1
BCC
1
中,

E

F
分别是
B
1
C
1

B
1
B< br>的中点,
∴△
BB
1
E
≌△
CBF

∴∠
B
1
BE
=∠
BCF

∴∠
BCF
+∠
EBC
=90°,∴
CF

BE


AB
⊥平面
B
1
BCC
1

C F
?平面
B
1
BCC
1


AB

CF
,又
AB

BE

B


CF
⊥平面
EAB
.
【解析】
19.【答案 】

ABC
⊥面
BCD
,面
ABD
⊥面
B CD
,面
ACD
⊥面
ABC

【解析】

ABC
⊥面
BCD
,面
ABD
⊥面
BCD
,面ACD
⊥面
ABC
.
由于
AB
⊥平面
BCD

AB
?面
ABC
,所以面
ABC
⊥面
B CD


由于
AB
?面
ABD
,所以面ABD
⊥面
BCD

由于
BC

CD
,也易知
AB

CD


AB

BC

B

所以
CD
⊥面
ABC

CD
?面
ACD

所以面
ACD
⊥面
ABC
.
20.【答案】
证明 :∵
A

B

C

D
四点在
b< br>内的射影
A
2

B
2

C
2

D
2
在一条直线上,

A

B

C

D
四点共面.

A

B

C

D
四点在
a
内的射影
A
1

B
1

C
1

D
1
是平行四边形的四个顶点,
∴平面
ABB
1
A
1
∥平面
CDD
1
C
1


AB

CD
是平面
ABCD
与平面
ABB
1
A
1
,平面
CDD
1
C
1
的交线.

AB

CD
.同理
AD

BC

∴四边形
ABCD
是平行四边形.
【解析】
21.【答案】

Q

CC
1
的中点时,平面
D
1
BQ
∥平面
PAO
.
理由如下:

Q
CC
1
的中点,
P

DD
1
的中点,连接PQ
,则
PQ

DC

AB
,∴四边形
PABQ
为平行四边形,

QB

PA
.
∵P,
O
分别为
DD
1

DB
的中点,

D
1
B

PO
.

PO?平面
PAO

PA
?平面
PAO

D
1
B
∥平面
PAO

QB
∥平面
P AO
.又
D
1
B

QB

B

∴平面
D
1
BQ
∥平面
PAO
.
【解析】
22.【答案】
证明 如图所示:

连接
AB
1

B
1
D
1

B
1
C
1

BD
.
∵DD
1
⊥平面
ABCD


AC
?平面
ABCD
,∴
DD
1

AC
.

AC

BD

DD
1

BD
=< br>D


AC
⊥平面
BDD
1
B
1
.

BD
1
?平面
BDD
1
B
1
,∴
AC

BD
1
.
同理可证
BD
1
⊥< br>B
1
C
.又
B
1
C

AC

C


BD
1
⊥平面
AB
1
C
.
∵ EF⊥AC,
EF

A
1
D
,又
A
1D

B
1
C
,∴
EF

B
1
C
.又
AC

B
1
C

C
,∴
EF
⊥平面
AB
1
C
,∴
EF
∥< br>BD
1
.
【解析】
23.【答案】
解:设圆锥的母线长为
l
,圆台上、下底半径为
r

R

,
【解析】

24.【答案】
(1)证明:因为∠
ABC
=90°,所以
AB

BC

因为平面
PBC< br>⊥平面
ABCD
,平面
PBC
∩平面
ABCD
BC

AB
?平面
ABCD

所以
AB
⊥平面
PBC

(2)解:取
BC
的中点
O
,连接
PO



PB

PC
,∴
PO

BC

∵平面
PBC
⊥平面
ABCD
,平面
PBC
∩平面
ABCD

BC


PO
⊥平面
ABCD

在等边三角形
PBC
中,
PO

∴.
(3)解 :在棱
PB
上存在点
M
使得
CM
∥平面
PAD,此时=.理由如下:

AB
的中点
N
,连接
CM< br>,
CN

MN
,则
MN

PA
,< br>AN

AB


因为
AB
=2CD, 所以
AN

CD

因为
AB

CD,所以四边形
ANCD
是平行四边形.
所以
CN

AD

因为
MN

CN

N

PA

AD

A
,所 以平面
MNC
∥平面
PAD

因为
CM
?平面MNC
,所以
CM
∥平面
PAD

【解析】

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