高中数学较难(含答案)

东莞龙文教育高中数学试卷（23）

选择题部分
（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给也的四个选项中，只有 一项
是符合题目要求的。
（1）若
P?{xx?1},Q{xx?1}
，则
A．
P?Q
B．
Q?P
C．
C
R
P?Q
D．
Q?C
R
P

（2）若复数
z?1?i
，
i
为虚数单位，则
(1?i)? z?

A．
1?3i
B．
3?3i
C．
3?i
D．3 ?
x?2y?5?0,
?
（3）若实数x
，
y满足不等式组?
2x?y?7?0,
则3x+4y的最小值是
?
x?0,y?0,
?
A．13 B．15 C．20 D．28
（4）若直线
l
不平行于平面
a
，且
l?a
，则
A．
a
内的所有直线与异面 B．
a
内不存在与
l
平行的直线
C．
a
内存在唯一的直线与
l
平行 D．
a
内的直线与
l
都相交
（5）在
?ABC
中 ，角
A,B,C
所对的边分
a,b,c
．若
acosA?bsinB
，则
sinAcosA?cos
2
B?

1

2
1
（6）若
a,b
为实数，则 “0a
A．- B．
1

2
C． -1 D．1
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
A．
13
B．
1010
C．
3

5
D．
9

10
x
2
y
2
y
2
2
?1
有公共的焦点，C
2
的一条渐（9）已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?1
（a＞b＞0）与双曲 线
C
2
:x?
ab4

近线与以C
1
的长轴为直径的圆相交于
A,B
两点．若C
1
恰好将线段
AB
三等分，则
A．a
2
=
131
B．a
2
=13 C．b
2
=
22
2
D．b
2
=2
2
（10）设函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
?
a,b,c?R
?< br>，若
x??1
为函数
f
?
x
?
e
的 一个极值点，则下列
图象不可能为
y?f
?
x
?
的图象是


非选择题部分
（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（11）设函数
k
f(x)?
4
,若
f(a)?2
,则实数
a
=________________________
1?x
（12）若直线
x?2y?5?0
与直线
2x?my?6?0
互相垂直，则 实数
m
=_____________________
（13）某小学为了解学生 数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200
名学生的某次数学考试成 绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图推
测3000名学生在该次数学考试中 成绩小于60分的学生数是_____________________




（14）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的
k
的值是_____ ________________。

（15）若平面向量α、β 满足
?< br>?1
?
?1
，且以向量α、β为邻边的平行
四边形的面积为
1
，则α和β的夹角 θ的取值范围是
2
22
_______________ _____________。
（16）若实数
x,y
满足
x?y?xy? 1
，则
x?y
的最大值是
_______________________ ____。
（17）若数列
?
n(n?4)()
?
中的最大项是第
k
项，则
?
?
2
n
?
3
?
k
=_______________。
三、解答题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（18）（本题满分1 4分）已知函数
f(x)?Asin(
?
3
x?
?
)
，
x?R
，
A?0
，
0?
?
?
?
2
．
y?f(x)
的部分图像，如图所示，
P
、
Q
分别为该图
像的最高点和最低点，点
P
的坐标为
(1,A)
．
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期及
?
的值；
（Ⅱ）若点< br>R
的坐标为
(1,0)
，
?PRQ?
值．




（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列
{a
n
}
的首项为
a(a?R)
，且
成等比数列．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）对
n?N
，试比较







*
2
?
，求
A
的
3
111
，，
a
1
a
2
a
4
11111?
2
?
3
?...?
n
与的大小．
a
2
a
2
a
2
a
1
a
2

< br>
（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥
P?ABC
中，
AB? AC
，
D
为
BC
的中点，
PO
⊥平
面ABC
，垂足
O
落在线段
AD
上．
（Ⅰ）证明：
AP
⊥
BC
；
（Ⅱ）已知
BC?8
，
PO?4
，
AO?3
，
OD?2
．求二面角B?AP?C
的大小．






（21）（本小题满分15分）设函数
f(x)?alnx?x?ax
，
a?0
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数
a
，使
e?1?f(x)?e
对
x?[1,e]
恒成立．





注：
e
为自然对数的底数．
2
22
（22）（本小题满分15分）如图，设P是抛物线
C
1
：x?y
上的动点。
过点
P
做圆
C
2
:x?(y ?3)?1
的两条切线，交直线
l
：
y??3
于
22
2
A,B
两点。
（Ⅰ）求
C
2
的圆心
M
到抛物线
C
1
准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点
P
，使线段
AB
被抛物线
C
1
在点
P
处得切线平分，
若存在， 求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由。



东莞龙文教育高中数学试卷（23）
参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1—5CAABD 6—10DBDCD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．-1 12．1 13．600 14．5 15．
[
?
5
?
66
,]
16．
23
17．4
3
三、解答题：本大题共5小题，其72分。
（1）本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识。满分14分。
（Ⅰ）解：由题意得，
T?
2
?
?
3
?6.





因为
P(,A)在y?Asin(
所以< br>sin(
?
3
x?
?
)
的图象上，
?
3
,?
?
)?1.

又因为
0?
?
?
所以
?
?
?
2
，
?
6

（Ⅱ）解：设点Q的坐标为
(x
0
,?A)




3
?
，得
x
0
?4,所以Q(4,?A)

362
2
?
连接PQ，在
?PRQ中,?PRQ?
，由余弦定理得
3
由题意可知
?
x
0
?
?
?
RP
2
?RQ
2
?PQ
2
A
2
?9?A
2
?(9?4A
2
)1
cos?PRQ????.

2RP?RQ2
2A?9?A
2
解得
A?3.

又
A?0,所以A?
2


3.

（19 ）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同
时考查运算求 解能力及推理论证能力。满分14分。
（Ⅰ）解：设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，由题意可知
(
22
即
(a
1
?d)?a
1
(a
1
?3d)
，从而
a
1
d?d

1
2
11
)??

a
2
a
1
a
4



因为
d?0,所以d?a
1
?a.

故通项公式
a
n
?na.

（Ⅱ）解：记
T
n
?
111
??L?,因为a
2
n
?2
n
a

a
2
a
2
2
a
2
n

11
(1?()
n
)
11111112
所以
T
n
?(?
2
?
L
?
n
)??
2
?[1?()
n
]

1
a2< br>2
aa2
2
1?
2
从而，当
a?0
时，T
n
?

11
；当
a?0时,T
n
?.

a
1a
1
（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查 空间想象能
力和推理论证能力。满分14分。
（Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC中点，得
AD?BC
，
又
PO?
平面ABC，，得
PO?BC

因为
PO?AD ?O
，所以
BC?
平面PAD，故
BC?PA.

（Ⅱ）解：如图，在平面PAB内作
BM?PA
于M，连CM。







因为
BC?PA,得PA?
平面BMC，所以AP
?
CM。
故
?BMC
为二面角B—AP—C的平面角。
222
在
Rt?ADB中,AB?AD?BD?41,得AB?41

在
Rt?POD中,PD?PO?OD
，
在
Rt?PDB
中，
PB
2
?PD
2
?BD
2
，
所以
PB?PO?OD?BD?36,得PB?6.

在
Rt?POA中,PA?AO?OP?25,得PA?5.

222
2222
222


PA
2
?PB
2
?AB
2
122
?,从而sin?BPA?
又
c os?BPA?

2PA?PB33
故
BM?PBsin?BPA?42

同理
GM?42.

因为
BM?MC?BC

222



所以
?BMC?90?

即二面角B—AP—C的大小为
90?.


（21）本题主要考查函数的单 调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、
推理论证能力。满分15分。
（Ⅰ）解：因为
f(x)?alnx?x?ax.其中x?0

22

a
2
(x?a)(2x?a)
?2x?a??
所以
f
?
(x)?

xx

由于
a?0
，所以
f(x)
的增区间为
(0,a)
，减区间为
( a,??)

（Ⅱ）证明：由题意得，
f(1)?a?1?c?1,即a?c




由（Ⅰ）知
f(x)在[1,e]
内单调递增，
要使
e?1?f(x)?e对x?[1,e]
恒成立，
只要
?2
?
f(1)?a?1?e?1,
?
f(e)?a?e?ae?e
222

解得
a?e.

（22）本题主要考查抛物线几何性质 ，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何
的基本思想方法和运算求解能力。满分15分 。
（Ⅰ）解：因为抛物线C
1
的准线方程为：
y??
所以圆心M到抛物线C
1
准线的距离为：
|?
2
1

4
111
?(?3)|?.

44
（Ⅱ）解：设点P 的坐标为
(x
0
,x
0
)
，抛物线C
1
在 点P处的切线交直线
l
于点D。












再设A，B，D的横坐标 分别为
x
A
,x
B
,x
C

过点
P(x
0
,x
0
)
的抛物线C
1
的切线方程为：
2
y?x
0
?2x
0
(x?x
0
)

2
（1）
当
x
0
?1
时，过点P（1，1 ）与圆C
2
的切线PA为：
y?1?
可得
x
A
??
15
(x?1)

8
17
,x
B
?1,x
D
??1,x
A
?x
B
?2x
D

15
15
(x?1)

8
当
x
0
??1
时，过点P（—1，1）与圆C
2
的切线PA为：
y?1?
可 得
x
A
??1,x
B
?
17
,x
D
?1,x
A
?x
B
?2x
D

15
x< br>A
??
17
,x
B
?1,x
D
??1,x< br>A
?x
B
?2x
D

15
2
所以
x
0
?1?0

设切线PA，PB的斜率为
k
1
,k
2
，则
2< br>PA:y?x
0
?k
1
(x?x
0
)

2
PB:y?x
0
?k
2
(x?x
0
)< br>
（2）
（3）

将
y??3
分别代入（1），（2），（3）得
222
x
0
?3x
0
?3x
0
?3
x
D
?(x
0< br>?0);x
A
?x
0
?;x
B
?x
0
??(k
1
,k
2
?0)

2x
0
k
1
k
1

从而
xA
?x
B
?2x
0
?(x
0
?3)(
2
|?x
0
k
1
?x
0
?3|
2
11
?).

k
1
k
2
又
k?1
2
1
?1




22 222
即
(x
0
?1)k
1
?2(x
0
? 3)x
0
k
1
?(x
0
?3)?1?0

22222
同理，
(x
0
?1)k
2
?2(x
0< br>?3)x
0
k
2
?(x
0
?3)?1?0

22222
所以
k
1
,k
2
是方程
(x< br>0
?1)k?2(x
0
?3)x
0
k?(x
0
?3)?1?0
的两个不相等的根，从而
222
2(3?x
0
)x
0
(3?x
0
)?1
k
1
?k
2
?,k?k?.

12
22
x
0
?1x
0
?1
因为
x
A
?x
B
?2x
0

2
x
0
?3
11111
所以
2x
0
?(3?x)(?) ?,即??.

k
1
k
2
x
0
k
1
k
2
x
0
2
0
2
2(3?x
0
)x
0
1
从而
2

?
(x
0
?3)
2
?1
x
0




4
进而得
x
0
?8,x
0
??
4
8

综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为
(?
4
8,22).