(完整版)高中数学恒成立与存在性问题(难)

高中恒成立问题总结
解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分
离参数法; ④数形结合法。
核心思想:
1.恒成立问题的转化:
a?f
?
x
?
恒成立
?
a?f
?
x
?
max
;
a?f
?x
?
恒成立?a?f
?
x
?
min


2.能成立问题的转化:
a?f
?
x
?
能成立
?
a?f
?
x
?
min
;
a?f
?x
?
能成立?a?f
?
x
?
max


3.恰成立问题的转化:
若
x?D,f(x)?A
在D上恰成立
?
f(x)
在D上的最小值
f
min
(x)?A
;
若
x?D,
f(x)?B
在D上恰成立
?

f(x)
在D上的最大值
f
max
(x)?B
.
4. 设函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
，对任意的
x
1
?
?
a,b
?
，存在
x
2
?
?
c,d
?
，使得
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
，则< br>f
min
?
x
?
?g
min
?
x< br>?
;
设函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
，存在
x
1
?
?
a,b
?
，存在
x
2
?
?
c,d
?
，使得
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?，则
f
min
?
x
?
?g
max
?< br>x
?
;

5.若不等式
f
?
x
?
?g
?
x
?
在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数
y ?f
?
x
?
和图象在
函数
y?g
?
x?
图象上方;
若不等式
f
?
x
?
?g?
x
?
在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数
y?f
?< br>x
?
和图象
在函数
y?g
?
x
?
图 象下方.

6.常见二次函数
设函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
，存在
x
1
?
?
a,b
?
，存在
x
2
?
?
c,d?
，使得
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
，则
f
max
?
x
?
?g
min
?
x
?
;
f
max
?
x
?
?g
max
?
x
?
;
设函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
，对任意的
x
1
?
?
a,b
?
，存在
x
2< br>?
?
c,d
?
，使得
f
?
x
1?
?g
?
x
2
?
，则
a?0
?
a?0
）①.若二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)?0（或
?0
）在R上恒成立，则有
?
（或;
??
???0
?
??0
2
②.若二次函数
f(x)?ax?bx?c( a?0)?0
（或
?0
）在指定区间上恒成立，可以利用韦
达定理以及根的分 布等知识求解.

一﹑主参换位法
2
例1．对于满足
0?p?4
的一 切实数，不等式
x?px?4x?p?3
恒成立，试求
x
的取
值范围 ．











二﹑二次不等式恒成立问题
22
例2．已知关于
x< br>的不等式
(m?4m?5)x?4(m?1)x?3?0
对一切实数
x
恒成立，求
实数
m
的取值范围．







例3．已知函数
f
?
x
?
?2mx?2
?
4?m
?
x?1,g
?
x
?
?mx
，若对于任一实数
x
，
f(x)
与
2
g( x)
的值至少有一个为正数，则实数
m
的取值范围是（ )
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
2
例
4
．已知函数
f
?
x?
?x?2kx?2
，在
x??1
恒有
f
?
x
?
?k
，求实数
k
的取值范围。

三、分离参数法
形如 “
a?f(x)
”或“
a?f(x)
”型不等式，是恒成立问题中最基本的类 型，它的理论基
础是“
a?f(x)
在
x?D
上恒成立，则
a?[f(x)]
max
(
x?D
);
a?f(x)
在x?D
上恒成
立，则
a?[f(x)]
min
(
x?D
)”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．
例5.当
x?(1,2)< br>时，不等式
x
2
?mx?4?0
恒成立，则
m
的取值 范围是
.










2
例6．已知二次函数
f(x)?ax?x
，若
x?
?
0,1
?
时，恒有
f(x)?1
，求< br>a
的取值范围．












例7．设函数f(x)＝mx
2
－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值
范围．

例8．若不等式x
2
＋ax－2>0在区间[1,5]上有 解，则a的取值范围是( )
23
－，＋∞
?
A.
?
?
5
?
C．(1，＋∞)


















四、数形结合（对于
f(x )?g(x)
型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）
例9.若对任意x?R
,不等式
|x|?ax
恒成立，则实数
a
的取值范围是
(A)
a??1
(B)
|a|?1
(C)
|a|?1
（D）
a?1








三﹑绝对值不等式恒成立问题
例10．对于任意 实数
x
，不等式
x?1?x?2?a
恒成立，求实数
a
的取 值范围．





23
－，1
?
B.
?
?
5
?
23
－∞，－
?
D.?
5
??

例11.若对任意
x?R
,不等式|x|?ax
恒成立，则实数
a
的取值范围是
(A)
a??1
(B)
|a|?1
(C)
|a|?1
（D）
a?1









四﹑含对数﹑指数不等式恒成立问题
2
例12．当
x?(0,)
时，不等式
x?log
a
x恒成立，求
a
的取值范围．
1
2








五.形如“
f(x)?g(x)
”型不等式
例8．已知函数
f(x )?
1
lg(x?1)
，
g(x)?lg(2x?t)
，若当
x?
?
0,1
?
时，
f(x)?g(x)
恒
2< br>成立，求实数
t
的取值范围．