高一数学较难练习题

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题号
一、综二、选
合题 择题
总分
得分

评卷人 得分
一、综合题


（每空？ 分，共？ 分）


1、已知函数 (为实常数)．
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）设在区间的最小值为，求的表达式；
（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
2、已知函数
（1）当且时，①求的值；②求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数的定义域、值域 都是，若存在，则求出的值，若不存
在，请说明理由。
3、已知函数．
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）是否存在区间，使得函数的定义域与值域均为，若存 在，请求出所有可能的区间，若不存在，
请说明理由.
4、对于整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，
记作，已知.
（Ⅰ）存在，使得，试求，的值；
（Ⅱ）若，（指集合
B
中的元素的个数 ），且存在，，，则称
B
为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”和一个含有元素8 的非“谐和集”，并求最大的，使
含的集合有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.
5、已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值.

6、（1）若某个
似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，
的解析式；
（3）对于确定 的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是
单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请 说明理由．
7、已知函数，x其中a>0.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1 时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数
g(t)在区间上的最小值。

8、设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x) =f(2+x)．f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0． (1)
试判断函数y=f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数，并证明你的结论．


9、已知矩阵，求
⑴； ⑵
10、已知集合

（1）求时，求实数a的取值范围； （2）求使的实数a的取值范围。
11、已知等比数列中，，，， ，，分别为△的三内角，，的对边，
其中为最大边，且．
（1）求数列的公比；
（2）若，，试比较与的大小．
12、已知集合，．
（I）当时，求；
（II）若，求实数的值．
13、设全集为
R
,集合
A
={∣(3-)},B={∣},
求．
14、已知集合若,求实数的取值范围。
15、已知,,

（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，试确定实数的取值范围
16、设全集为R，.
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）若?，求实数
a
的取值范围.
17、设A={x,其中xR,如果AB=B，求实数a的取值范围． （12
分）
18、已知全集，.
（1）若，求
（2）若，求实数的取值范围
19、已知全集，且
求：（1）；（2）；（3）；（4）
20、)设，求实数的取值范围。
21、设奇函数在(0，＋∞)上为增函数，且，则不等式的解集为
A
．(－1，0)∪(1，＋∞)
B
．(－
∞，－1)∪(0，1)
C
．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D
．(－1，0)∪(0，1)

22、已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式
.
（1）求，的值；
（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；
（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
评卷人 得分
二、选择题


（每空？ 分，共？ 分）


23、对于任意的两个实数对（
a
, b）和(c, d),规定（
a
, b）＝(c, d)当且仅当
a
＝c,b＝d;运算“”为：
，运算“”为： ，设，若
则( )
A. B. C. D.
24、已知集合A={x|4}，集合B={x|}。
（1）若AB，求a的范围； （2）若全集U=R且A，求a的范围。
25、 是定义在上的偶函数，满足，当时，，则等
于
( )
． ． ． ．

26、设全集是实数集，与都是的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合
为 ( )
A． B． C． D．
27、若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
28、下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是
A． B． C． D．
29、已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
30、已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax- a-x+2(a>0且a≠1),若g(2)=a,则f(2)等于(
(A)2 (B)
(C) (D)a2
31、下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )
(A)y=cos 2x,x∈R
(B)y=log2|x|,x∈R且x≠0
(C)y=,x∈R
(D)y=x3+1,x∈R
32、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
(A)y=x+1 (B)y=-x3
(C)y= (D)y=x|x|
33、已知
f
(
x
)为偶函数，且
f
(
x
＋4)＝
f
( －
x
)，当－3≤
x
≤－2时，
f
(
x
) ＝
x
，则
f
(2 013)＝( )
A. B. C．2 D．8
34、已知
A
＝{
x
|
x
＋1>0}，< br>B
＝{－2，－1,0,1}，则(?
R
A
)∩
B
＝ ( )
A．{－2，－1} B．{－2}
)
C．{－1,0,1} D．{0,1}
35、 A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（ ）
A ． {x|0≤x＜1} B． {x|0＜x≤1} C． {x|x＜0} D． {x|x＞1}
36、 设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则等于（ ）
A. {5} B. {0，3} C. {0，2，3，5} D. {0，1，3，4，5}
37、已知集合，，则等于 （ ）
A． B. C. D.

38、设在R是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、

39、的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极
大值点（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
40、设，则
（ ）
A. B. C .
D.


参考答案

一、综合题

1、解：（1）当时，，
则在上单调递增；……………………………………….3分
（2）当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
综上：……………………………………….4分
（3）
当，即，是单调递增的，符合题意；………………………..2分
当，即时，在单调递减，在单调递增，令，得
.

综上所述：..………………………………………………………………….3分
2、 解：（1） ∵
∴在上为减函数，在上是增函数．
①由，且，可得且．所以．
②由①知 ∴
∵且 ∴
∴
（2）不存在满足条件的实数．
若存在满足条件的实数， 则
① 当时，在上为减函数．
故即解得
故此时不存在适合条件的实数.
② 当时，在上是增函数．
故即

此时

是方程

的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数．
当时，由于，而，
故此时不存在适合条件的实数．
综上可知，不存在适合条件的实数.
3、（1） 作函数图像（图像略），可知函数在区间
上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，又，，函 数在区间
上的最大值为.
（2）

1）当时，则在区间上单调递增，故，
，矛盾
2）当时，
若，则，此时在区间
上单调递增，故，，符合题意
若，即，此时在区间上的最大值为与中较大者，而，
，即，解得
在区间上的最小值为与中较小者，
若，此时，符合题意
若，则且，解得.符合题意
综上,满足题意的区间有两个:和.
4、【解析】（Ⅰ）因为，所以. …………………2分
又因为，所以. ……………………………4分
（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”.…5分
含有元素8的一个非“和谐集”.…7分
当时，记，，
记，则.
显然对任意，不存在，使得成立. 故是非“和谐集”，此时
.
同理，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.
因此. …………………………………………………10分
下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.
设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集” .
现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，
，，，.…12分
以上每个集 合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，
中剩下6个元素必须从这5个集 合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合
中至少有两个元素存在倍数关系.
综上，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.

5、解：（Ⅰ）
令，
因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.
又因为，所以时，g(x)>0,即，
当时,g(x)<0 ,即，
所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．

6、解：因为关于原点对称，……………………………………………………1分
又函数的图像关于直线对称，所以
① ………………………………………………………2分
又，
用代替得③ ……………………………………………3分
由①②③可知，
．即函数是偶函数；…………………………………………4分

7、
8、解：由

f(2-x)=f(2+x)
f(7-x)=f(7+x)
?
f(x)=f(4-x)
f(x)=f(14-x)
?f（4-x）=f（14-x）?f（x）=f（x+10），
又f（3）=0，而f（7）≠0，?f（-3）=f（7）≠0?f（-3）≠f（3），f（-3） ≠-f（3）
故函数y=f（x）是非奇非偶函数；
（II）由由
f(2-x)=f(2+x)
f(7-x)=f(7+x)
?
f(x)=f(4-x)
f(x)=f(14-x)
?f（4-x）=f（14-x）?f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0?f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
因为在 闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，又f（7-x）=f（7+x） ，故在[7，10]上无零
点，故在[0，10]上仅有两个解
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在 [0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解，
所以函数y=f（x）在[-2005，2005]上有802个解．

9、解：⑴ ------------------3分
⑵------------------ 5分
10、解：（1）若……………4分
∴当的取值范围为……………6分
（2）∵……………7分
①当
要使……………10分
②当……………11分

③当
要使……………13分
综上可知，使的实数a的取值范围是[2，3] ……………14分
11、解：（1）由条件，，且数列的公比，又由及余弦定理得

∴，∴
∴，解得或，
又，∴，
∴．
（2） 由（1）知，，∴，．
下面证明不等式对任意的恒成立．
设，则．
∴当时，；当时，．
∴在上有唯一的极小值，也是最小值．
∵，∴，∴．
∴，即对任意的恒成立．
综上，＞．
12、解：（I）∵，
又当时，，
∴＝＝．
（II）由（I）知，
而，且，
∴4是方程的一个根，即，
∴．此时，符合题意，故实数的值为8．
13、解：
A
=[-1,3) ……3分
, B=(-2,3]
分
……6

[-1,3) ……9分
……14分
14、解：可化简为，
①当时,
②当时，令的两根在内，则有
解得：；
综上所述，的取值范围为。
15、解: （Ⅰ）依题意得：或，
（Ⅱ）∴①若，则不满足 ∴
①若，则，由得
②若，则，由得
综上，实数的取值范围为
16、解：（Ⅰ）；或
（Ⅱ）①时，，；
②时，，；或,即或
综上所述或
17、解：由，而，
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得
∴
18、解： ……………………………………2分
（Ⅰ）当时，，
……………………………………4分
……6分

（Ⅱ）当时，即，得，此时有；………7分
当时，由得：…………………………10分
解得
综上有实数的取值范围是 ……………………………12分
19、解：……………2分
………………4分
（1） ……………6分
（2） ………………………8分
（3）………………10分
（4）……………12分
20、
21、
D


22、解：（1）∵，且在区间[0,2]时
∴
由得
∴
（2）若，则

∴当时，

若，则 ∴
∴
若，则 ∴
∴
∵
∴当时，
∵,∴当时，，由二次函数的图象可知，为增函数；
当时，，由二次函数的图象可知，当时，为增函数，当
时，为减函数；
当时，，由二次函数的图象可知，当时，为减函数；当时，
为增函数；
当时，，由二次函数的图象可知，为增函数。
（3）由（2）可知，当时，最大值和最小值必在或处取得。（可画图分析）
∵，，，
∴当时，;
当时，
当时，.
二、选择题

23、A
24、解： （1）A={
x
|－4 B={
x
|
要使，则，
a
的取值范围是（－，－4]
（2）|
x
<，要使，则
a
的取值范围是（
25、C

26、A
27、B.
28、
【解析】四个函数中，是偶函数的有，又在内单调递增，故选．

29、B 因为函数为偶函数,所以,即函数关于对称,
所以区间关于对称,所以,即,所以选B．
30、C
31、B
32、D
33、D

34、A
35、D

36、B

37、 C

38、C

39、B

40、C