高中数学数列接触知识以及解题技巧总结(不涵盖高考中超级难的压轴题)

高中数学数列基础知识及其解题技巧总结
1.
数列中的中项
中项 的概念在数列解题中是超级重要的，当我们遇到一道数
列题目时，我们首先要想到的就是数列的中项。
（1） 等差中项
已知{a
n
}是等差数列，则
三项成等差 a
n
+a
m
=a
p
其中m + n = 2p
四项成等差 a
m
+a
n
=a
p
+a
q
其中 m + n = p + q
(2) 等比数列
已知{a
n
}是等比数列，则
三项成等比 a
n
*a
m
=a
2
p
其中m + n = 2p
四项成等比 a
m
*a
n
=a
p
*a
q
其中 m + n = p + q
2. 数列中的通项
如果题目中，中项无法使我们找到解题的思路 ，那么我们需
要将其中的某一项变成通项。因此，我们需要了解通项的形
式。
（1） 等差数列的通项
已知{a
n
}是等差数列，d是公差，那么
a
n
= a
1
+（n-1）d
这种形式的通项，并不能 满足我们在解题中对速度的
要求，因为，这并不是最简式，因此我们需要把它变
成以下形式

a
n
= a
1
-d+ n*d
从该式中我 们可以看到，是一个以n为变量的一次函
数形式，只要我们在题目中求出现了a
1
和公 差d，那
么等差数列的通项，我们就可以直接写出来，从而大
大增加了我们的解题速度。
（2） 等比数列的通项
已知{a
n
}是等比数列，公比是q，则
a
n
= a
1*
q
n-1

这个公式和我们的教材中是一样的。
3. 数列中的求和公式
数列题目中的通项，经常伴随 着前n项和的综合运用，因此，
我们继续对前n项和进行详细的阐述。
（1） 等差数列的求和
等差数列的求和，是数列题目中最为灵活多变，技巧
性最强的一种求和方式。
已知{a
n
}是等差数列，d是公差，我们首先看题目中的
和是什么形式，
当求S
2n-1
时，前n项和是奇数时，S
2n-1
=
而a
1
+a
2n-1
=2a
n
，代入S
2n-1< br>= a
n
n
此公式在小题中常用，请大家务必牢记，
比如，当题目中出现S
7
时，我们可以马上反应出
S
7
=7a
4
从而，我们的计算又方便，又准确。

（a
1
+a
2n-1
）n
2

而当我们的题目中要求S
2n
这种题目的时候，我们有
如下公式

S
2n
=
（a
1
+a
2n
）n
2
相信大家对这个公式并不陌生，可是在我们的题目
中，它却常常和四项成等差数列联系在一起使用，即
a
1
+a
2n
=a
2
+a< br>2n-1
=a
3
+a
2n-2
=…………..
这也 恰恰是我们数列小题方法灵活多变的一个重要原因，因为它
可以不用a
1
和d而表示数 列的前n项和。
最后要讲的，就是大家最熟悉，同样也是最传统的等
差数列前n项和公式

S
n
=
a
1
n+ n（n-1）d
2
同样这个公式依然不能满足我们对做题速度的要求，我们需要把
它改写成关于n的二次函数 的形式

S
n
=

1
2
下面我们来看一道书后的练习题（人教版必修5习题2-2B 第三
题）
等差数列{a
n
}的前n项和是S
n
，已知S
9
< 0，S
10
> 0，则此等差
数列的前n项和中，n是多少的时取得最小值？
分析：当看到这道题的时候，很 多同学都会想到S
n
的表达式是一个关于n的二
次函数，我们可以利用二次函数的最小 值去确定n，可是这个思路在S
9
< 0，S
10
>
0这个条件面前去分析最小值有一定的困难，我们不妨利用我们上面的求和公
式，这样去做

S
9
=9a
5
<0，即a
5
<0，

（
S
10
=
a

1
+a

10

）

10


即a
1
+a
10
>0，表面上来看此条件和a
5
<0没有
2
联系，可是当我们进行如下的转化之后，就可以看到思路
a
1
+a
10
=a
5
+a
6
>0，由此 ，我们可以了解到这个单增的等差数列中，
第五项a
5
<0，而a
6
>0，因此当n=5时，前5项和取得最小值。