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高中数学难题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 08:02
tags:高中数学难

高中数学函数知识点公式大全下载-高中数学必修一 二公式

2020年9月21日发(作者:徐光启)


高中数学

1、等差数列 公差d不等于零,a1 a3 a9 成等比数列,
(a1+a3+a9)(a2+a4+a10)=?
方法1:设an的公差是d
∴a3=a1+2d,a9=a1+8d
a2=a1+d,a4=a1+3d,a10=a1+9d
∴a1+a3+a9=3a1+10d,a2+a4+a10=3a1+13d
∵a1,a3,a9依次成等比数列
∴a3a1=a9a3
∴a1^2+4d^2+4a1d=a1^2+8a1d
∴a1=d
∴(a1 +a3+a9)(a2+a4+a10)=(3a1+10d)(3a1+13d)=13d16d=1316
方法二:用特值法是最好的方法。
考查a1,a3,a9,我们发现,1,3,9正好是等 比数列,而自然数列正好是最
典型的等差数列,
那么,我们把a1,a2,a3……跟1,2,3……分别对应起来,
所以 (a1+a3+a9)(a2+a4+a10)=(1+3+9)(2+4+10)=1316

点评:在解决选择填空的时候,有时候,特值法是比较好的一个方法。

2、已知f(x)=-x^3+ax^2-4
1) 若f(x)在x=43处取得极值 求a的值
2) 在1)的条件下,若关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实 数根,
求实数m的取值范围
3) 若存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)>0能成立,求a的取值范围

答:设函数f(x)的倒函数是G(x)
所以G(x)=-3x^2+2ax
第1个: 因为f(x)在x=43处取得极值 所以G(x)在x=43处时G(43)
=0
即a=-2
第2个:f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根
设K(x)=-x^3+ax^2-4 N(x)=m
即K(x)与N(x)在[-1,1]上恰有两个不同的交点!
设M(x)为K(x)的倒函数
M(x)=G(x)=-3x^2+2ax
令 M(x)=0 即X1=2a3 X2=0
所以K(x)在x=X1和x=X2处取得极值



由M(x)的图像做出K(x)的草图
再在草图上画出任意1条与X轴平行的直线
X=2a3时,K(2a3)=4a^327-4
X=0时,K(0)=-4(画好这点)
X=-1时,K(-1)=a-3
X=1时,K(1)=a-5
可列出方程来解答:
1:2a3≤-1,即a≤-32时,由草图得{ma-3≤m<-4}
2:2a3≥1,即a≥32时,由草图得{m-4<m≤a-5}
3:-1<2a3<1,即-32<a< 32时, 由
草图( 因为X=0时,K(0)=-4 所以此时X=2a3的点必需在X=0的左边)
得2a3>0,即0<a<32,可代a=1精确画出K(x)在[-1,1]上的图像
得m=K(2a3)=4a^327-4
分步回答就行啦!
第3个:由2得只有在2a3>0时才符合题意,所以只需令f(2a3)>0就行
啦!
即4a^327-4>0 {aa>3}



3、在棱长为1的 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、BB1的中点,G为
棱A1B1上的一 点,且A1G=λ(0≤λ≤1),求点G到平面D1EF的距离?请写出详尽的步骤
才能理解

解:过A1作D1E垂线,交D1E于H,连结BH。
因为E,F分别为AA1,BB1中点
所以A1B1EF
因为EF在面D1EF内
所以A1B1面D1EF
因为EFA1B1
且A1B1垂直面AA1D
所以面D1EF垂直面AA1D
因为A1H垂直
所以A1H垂直面D1EF
因为A1H在面A1B1H内
所以面A1B1H垂直面D1EF
因为A1B1面D1EF
A1B1上任意点距离都相等且等于A1H
即G到面距离也等于A1H
因为A1E=12,A1D=1


所以D1E=(根号5)2
A1H=(根号5)5
答G到面D1EF距离为五分之根号五。
四、
1、若0≤x^2+ax+5≤4有且只有一个解,则实数a的值是多少。
2、已知关于x的不等式(x-a)(x-b)(x-c)≥0的解为
-1≤x<2或x≥3,则不等式(x-c)(x-a)(x-b)≤0的解集为?
3、已 知(a+b)x+(2a-3b)<0的解为x<-13,则不等式(a-3b)x+b-2a>0的解集为?
4、不等式(3x^2+kx+2k)(x^2+x+2)>2的解集为R,则k的取值范围是?

答:1、若0≤x^2+ax+5≤4有且只有一个解,则实数a的值是多少。
先求有解的条件:
(1)抛物线y=x^2+ax+5开口向上,总存在x使y≥0
∴0≤x^2+ax+5对任意的a总有解
(2)x^2+ax+5≤4有解满足抛物线y=x^2+ax+1与x轴必须有交点
∴△=a?-4≥0
当a=±2时y=x^2+ax+1与x轴只有一个交点,x^2+ax+5 ≤4只有一解,同时0≤x^2+ax+5≤4
也只有一解
综上:a=±2

2、已知关于x的不等式(x-a)(x-b)(x-c)≥0的解为
-1≤x<2或x≥3,则不等式(x-c)(x-a)(x-b)≤0的解集为?
不妨设a>b
∵(x-a)(x-b)(x-c)≥0的解为 -1≤x<2或x≥3
∴a=3 b=-1 c=2
∴(x-c)(x-a)(x-b)≤0为(x-2)(x-3)(x+1)≤0
用穿针引线法解得:x<-1或2≤x<3

3、已知(a+b)x+(2a-3 b)<0的解为x<-13,则不等式(a-3b)x+b-2a>0的解集为?
∵(a+b)x+(2a-3b)<0的解为x<-13
∴a+b>0且(2a-3b)(a+b)=13
即得a=2b>0
∴不等式(a-3b)x+b-2a>0为:-bx+(-3b)>0
解得:x<-3

4、不等式(3x^2+kx+2k)(x^2+x+2)>2的解集为R,则k的取值范围是?
∵x^2+x+2恒>0
∴去分母得:3x^2+kx+2k>2x^2+2x+4恒成立
即x^2+(k-2)x+2k-4>0恒成立
∴△=(k-2)^2-4(2k-4)<0
解得:2<k<10

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