高中数学人教a版必修四优质导学案-高中数学讲课录像
重点高中数学恒成立与存在性
问题(难)
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2
高中恒成立问题总结
解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法;
③分
离参数法; ④数形结合法。
核心思想:
1.恒成立问题的转化: a?f
?
x
?
恒成立
?
a?f
?
x<
br>?
max
;
a?f
?
x
?
恒成立?a?f
?
x
?
min
2.能成立问题的转化: <
br>a?f
?
x
?
能成立
?
a?f
?
x
?
min
;
a?f
?
x
?
能成立?a?
f
?
x
?
max
3.恰成立问题的转化: <
br>若
x?D,f(x)?A
在D上恰成立
?
f(x)
在D上的最
小值
f
min
(x)?A
;
若
x?D,
f(x)?B
在D上恰成立
?
f(x)
在D上的最大值
f
max
(x)?B
.
4. 设函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
,对任意的
x
1
?
?
a,b
?
,存在
x
2
?
?
c,d
?
,使得
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
,则<
br>f
min
?
x
?
?g
min
?
x<
br>?
;
设函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
,存在
x
1
?
?
a,b
?
,存在
x
2
?
?
c,d
?
,使得
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?,则
f
min
?
x
?
?g
max
?<
br>x
?
;
5.若不等式
f
?
x
?
?g
?
x
?
在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数
y
?f
?
x
?
和图象在
函数
y?g
?
x?
图象上方;
若不等式
f
?
x
?
?g?
x
?
在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数
y?f
?<
br>x
?
和图象
在函数
y?g
?
x
?
图
象下方.
6.常见二次函数
设函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
,存在
x
1
?
?
a,b
?
,存在
x
2
?
?
c,d?
,使得
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
,则
f
max
?
x
?
?g
min
?
x
?
;
f
max
?
x
?
?g
max
?
x
?
;
设函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
,对任意的
x
1
?
?
a,b
?
,存在
x
2<
br>?
?
c,d
?
,使得
f
?
x
1?
?g
?
x
2
?
,则
a?0
?
a?0
)①.若二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)?0(或
?0
)在R上恒成立,则有
?
(或;
??
???0
?
??0
2
②.若二次函数
f(x)?ax?bx?c(
a?0)?0
(或
?0
)在指定区间上恒成立,可以利用韦
达定理以及根的分
布等知识求解.
3
一﹑主参换位法
2
例1.对于满足
0?p?4
的一切实数,不等式
x?px?4x?p?3
恒成立,试求
x的取
值范围.
二﹑二次不等式恒成立问题
22
例2.
已知关于
x
的不等式
(m?4m?5)x?4(m?1)x?3?0
对一切实
数
x
恒成立,求
实数
m
的取值范围.
例3.已知函数
f
?
x
?
?2mx?2
?
4?m
?
x?1,g
?
x
?
?mx
,若对于任一实数
x
,
f(x)
与<
br>2
g(x)
的值至少有一个为正数,则实数
m
的取值范围是( )
A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8)
D.(-∞,0)
2
例
4
.已知函数
f
?
x?
?x?2kx?2
,在
x??1
恒有
f
?
x
?
?k
,求实数
k
的取值范围。
4
三、分离参数法
形如“
a?f(x)
”或“
a?f(x)
”型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,它的理论基
础是“
a?f(x)
在
x?D
上恒成立,则
a?[f(x)]
ma
x
(
x?D
);
a?f(x)
在
x?D
上恒成立,则
a?[f(x)]
min
(
x?D
)”.许多复杂的恒成
立问题最终都可归结到这一类型.
例5.当
x?(1,2)
时,不等式
x<
br>2
?mx?4?0
恒成立,则
m
的取值范围是
.
2
例6.已知二次函数
f(x)?ax?x
,若
x?
?0,1
?
时,恒有
f(x)?1
,求
a
的取值范围.
例7.设函数f(x)=mx
2
-mx-1(m≠0),若对于
x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值
范围.
5
例8.若不等式x
2
+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(
)
23
-,+∞
?
A.
?
?
5
?
C.(1,+∞)
四、数形结合(对于
f(x
)?g(x)
型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理)
例9.若对任意x?R
,不等式
|x|?ax
恒成立,则实数
a
的取值范围是
(A)
a??1
(B)
|a|?1
(C)
|a|?1
(D)
a?1
三﹑绝对值不等式恒成立问题
例10.对于任意
实数
x
,不等式
x?1?x?2?a
恒成立,求实数
a
的取
值范围.
23
-,1
?
B.
?
?
5
?
23
-∞,-
?
D.
?
5
??
6
例11.若对任意
x?R
,不等式
|
x|?ax
恒成立,则实数
a
的取值范围是
(A)
a??1
(B)
|a|?1
(C)
|a|?1
(D)
a?1
四﹑含对数﹑指数不等式恒成立问题
2
例12.当
x?(0,)
时,不等式
x?log
a
x恒成立,求
a
的取值范围.
1
2
五.形如“
f(x)?g(x)
”型不等式
例8.已知函数
f(x
)?
1
lg(x?1)
,
g(x)?lg(2x?t)
,若当
x?
?
0,1
?
时,
f(x)?g(x)
恒
2<
br>成立,求实数
t
的取值范围.
7
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