高中数学典型的较难填空题

典型的较难填空题

1.已知数列
{a
n
}
中，
a
n
?n
2
?
?
n
，且
{a
n
}
是递增数列，求实数
?
的取值范围（答：
?
? ?3
）；
2.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是__ ____（答：
归纳和类比
3.函数
f(x)
由下表定义：若
a< br>1
?1
，
a
2
?5
,
a
n?2?f(a
n
),n?N
*
则
a
2008
的值_ _________．


12. 1
4.
（南通、扬州、 泰州三市2010．3模拟）
10．将正偶数按如图所示的规律排列：
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
…… 则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 ．
10．
n
2
?n?8

5.
【江苏·南通】
12．根据下面一组等式：
s
1
?1 ,
s
2
?2?3?5,
s
3
?4?5?6?15,
s
4
?7?8?9?10?34,
s
5
?11?12?13?14? 15?65,
s
6
?16?17?18?19?20?21?111,
8?d?3
）
3
x
f (x)
1
3
2
4
3
5
4
2
5
1

…………
可得
s
1
?s
3
?s
5
?????s
2n?1
?
n
4
．
12．本题是课本中的习题．考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识．
方法 一：
S
1
?1,S
1
?S
3
?16,S
1
?S
3
?S
5
?81,
猜想
S
1
?S
3
??S
2n?1
?n
4
．
方法二：先求出
S
2n?1
?(2n?1)(2n
2
?2n?1)
，然后求 和（对文科学生要求较高，不必介绍）
6.13．五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学 首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数
为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的 乘积的个位数字，则第2010个被报出的数
为 ．
13．4

1
－
7.13 ．把数列{
2n
}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2< br>k1
个数，第
1
k行的第s个数（从左数起）记为(k，s)，则

2010
可记为 ．
1
2

11
4

6

1111

8101214

11111

1618202224
…


…
（第13题图）










8.
（南京2010三模）
14.正整数按下列方法分组：
?
1?
,
?
2,3,4
?
,
?
5,6,7,8,9
?
,
?
10,11,12,13,14,15,16
?
,. ....
记
33333333
第
n
组中各数之和为
A
n
；由自然数的立方构成下列数组：
0,1,1,2,2,3,3,4,....
记 第
n
组
????????
中后一个数与前一个数的差为
B
n ,
则
A
n
?B
n
?

2n
3

1
n
1
)?(3x?)
n
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
????? a
n
x
n
，将
a
k
(0?k?n)
的23
1111
最小值记为
T
n
，则
T
2
?0,T
3
?
3
?
3
,T
4
?0,T< br>5
?
5
?
5
,???,T
n
,???
其中
T
n
=__________________ .
2323
（2010浙江理数）
（14）设
n?2,n?N,(2x?
解析：本题主要考察了 合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题
13．（10，494）


13
13.观察下列等式：
3
2
?4
2
?5
2
，
10
2< br>?11
2
?12
2
?13
2
?14
2
，
21
2
?22
2
?23
2
?24
2
?25
2
?26
2
?27
2
36
2
?37
2
?38
2
?39
2
?40
2
? 41
2
?42
2
?43
2
?44
2




2

*
由此得到第
nn?N
个等式为 .
??

知二求三
315
1
9
.数列
{ a
n
}
中，
a
n
?a
n?1
?(n?2, n?N
*
)
，
a
n
?
，前n项和
S
n
??
，则
a
1
＝_____，
n
＝_____
22
2
（答：
a
1
??3
，
n?10）；

确定基本量的取值范围（线性规划）
10.
（盐城市2010.3调研）
12. 设等差数列
?
a
n
?
的首项及公差均是正整数，前
n
项和为
S
n
，且
a
1
?1
，
a
4
?6
，
S< br>3
?12
，则
a
2010
=__ _．
12. 【4020】
11.
（苏锡常镇扬2011.3调研）
11．设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
, 若
1
≤
a
5
≤
4
，
2
≤
a
6
≤
3
，则
S
6
的取
值范围是 ；
11．
?
?12,42
?

【解析】由题知
1 ?a
1
?4d?4,2?a
1
?5d?3

则
S< br>6
?6a
1
?15d?15
?
a
1
?4d< br>?
?9
?
a
1
?5d
?
由不等式性质知S
6
?
?
?12,42
?
或线性规划知识可得
?
1?a
1
?4d?4
，令
z?S
6
?6a
1
?15d
同样得
S
6
?
?
?12,42
?
.
?
2?a?5d?3
?
1

n
与
a
n
，
S
n
间的关系



求通项
a
n


12
.等差 数列
{a
n
}
中，
a
10
?30
，
a
20
?50
，则通项
a
n
?
（答：
2n?10
）；
13.
（2008四川卷16）
设数列?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1< br>?a
n
?n?1
，则通项
a
n
?
___________。
n
?
n?1
?
?1

2
14.已知等差数列
?
a
n
?
的首项
a
1
及公差d都是整数，前n项和为
S
n
（
n?N
）.若a
1
?1,a
4
?3,S
3
?9
，
?
则通项公式
a
n
?____________

n+1 < br>1
，，3，4???)
15.
（南通
2010.5
三模）14.
数列
?
a
n
?
满足：
a
1< br>?2，a
n
?1?
a
(n?2
，若数列
?
a
n
?
有一个形如
n?1

3

π< br>a
n
?Asin(
?
n?
?
)?B
的通项公 式，其中
A、B、
?
、
?
均为实数，且
A?0，
?
?0，
?
?
，则
a
n
?

.
2
（只要写出一个通项公式即可）

2π
n?
π
?
1


14
．3sin
332
解：
a
1
?2
，
a
2
?
?
?
11
，
a
3
??1
，a
5
?
，
a
6
??1???
故周期为3 22
14．数列
?
a
n
?
满足
a
1< br>?2,a
n?1
?pa
n
?2
n
n?
N*
,其中
p
为常数．若存在实数
p
,使得数列
?
a
n
?
为等差数列
或等比数列,则数列
?
a
n< br>?
的通项公式
a
n
?
．
14． < br>2
n
【解析】本题是等差等比数列的综合问题，可采用特殊化的方法来解决。由题意可知 :
a
2
?2p?2，a
3
=p(2p+2)+4
。若?
a
n
?
是等差数列，则2a
2
=a
1
+a
3
,得p
2
-p+1=0;若
?
a
n
?
是等比数列，则（2p+2）
2
??
=2[p(2p+2)+4],解得 p=2.故a
n
=2
n
.
点评：对于客观题可以采用特殊化的方法，避免复杂的计算。

求前
n
项和
S
n

16.
（2010天津 文数）
（15）设{a
n
}是等比数列，公比
q?
设
Tn
0
为数列{
T
n
}的最大项，则
n
0
= 。
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
S
n
为{a
n
}的前n项和。记
T
n
?
2
，
17S
n
?S
2n
,n?N
*
.a
n?1
17a
1
[1?(2)
n
]a
1[1?(2)
2n
]
?
1(2)
2n
?17(2)n
?16
116
1?21?2
n
T
n
???< br>??[(2)??17]
nn
n
1?2(2)
a
1
( 2)1?2(2)

因为
(2)?
n
16
n
≧8， 当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n
0
=4时T
n
有最大值。 (2)
n
(2)
【温馨提示】本题的实质是求T
n
取得最大值时 的n值，求解时为便于运算可以对
(2)
n
进行换元，分子、
分母都有变量的 情况下通常可以采用分离变量的方法求解.

17.6．设
f(n)?2?2?2? 2?...?2
47103n?10
(n?N)
，则
f(n)
等于
18.13．在等差数列
?
a
n
?
中，若
a
1005
?a
1006
?a
1007
?3
，则该数列的前 2011项的和为
2011
19.
【2010.5徐州三模】< br>11．在数列
?
a
n
?
中，若对任意的
n
均 有
a
n
?a
n?1
?a
n?2
为定值（
n ?N
），且
?

4

a
7
?2,a
9
?3,a
98
?4
，则此数列
?
a
n< br>?
的前100项的和
S
100
?
.299
解：此数列只有三个数：2；9；3循环
20
..已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?12n?n
2
，求数列{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
（答：
2*
?
?
12n?n(n?6,n?N)
）.
T
n
?
?
2*
?
?
n?12n?72(n?6,n?N)
类题：（2010年苏、锡、常、镇2010．3）10.
已知
{a
n
}
是等差数列，设
开始
输入n
n≤5
Y
T
n
←－n
2
＋9n

N
T
n
?|a
1
|?|a
2
|?
某学生设计了一个求< br>T
n
的部分
?|a
n
|
(n?N
?
)
．
算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对
T
n
赋值，
则空白处理框中应填入：
T
n
← ．
10．
n?9n?40


、

证明等差、等比数列
2
输出T
n

结束
（第10题图）
21
.设
{a
n
}
是等差数列， 求证：以b
n
=

a
1
?a
2
???a
n

n?N*
为通项公式的数列
{b
n
}
为等差数列。
n
等差数列的性质
22. 等差数列
{a
n
}
中 ，
S
n
是其前n项和，
a
1
??2011
，
13．
?2011
；

等差数列等比数列综合
S
20 12
S
2010
??2
，则
S
2011
的值为__ ___________
20122010
a
2
?c
2
2 3．已知
a,b,c(a?b?c)
成等差数列，将其中的两个数交换，得 到的三数依次成等比数列，则
b
2
的值为 ．
14．20
例题13.设等比数列
?
a
n
?
的前 n项和为S
n
，若
S
2n
?3(a
1
?a
3
???a
2n?1
)
，
a
1
a
2
a
3
?8
则
a
n
＝_________.
分析 ：本题要求等比数列
?
a
n
?
的通项
a
n
，可以先由
a
1
a
2
a
3
?8
求出
a
2
，再利用
S
2n
?3(a
1
?a
3
???a
2n?1
)
求出公比q..思路正确，问题在怎样求出q？如果将< br>S
2n
?3(a
1
?a
3
???a
2n?1
)
的两边分别求和，得到q的方程，再解方程求出q
，
显然计算量大，容易出
错.如果仔细观察命题，可以发现
S
2n
是等比数列前2n项的和，

5

S
2n
?(a
1
?a
3
???a
2n?1
)?(a
2
?a
4
??a
2n
)
其中
a
1
?a
3
???a
2n?1是前2n项中所有奇数项的和，
a
2
?
a
4
??
a
2n
是前2n项中所有偶数项的和，从整体考虑，可以发现在等比数列中
a
2
?
a
4
??
a
2n
＝
（
a< br>1
?a
3
???a
2n?1
）q，利用这个关系可使结构简单，便于求解.
2
解：由
?
a
n< br>?
是等比数列，得
a
1
a
3
?a
2
，因为
a
1
a
2
a
3
?8
，所以
a
2
＝2.
由
S
2n
?3(a
1
?a< br>3
???a
2n?1
)
，得
a
2
?
a
4
??
a
2n
＝2（
a
1
?a
3
???a
2n?1
），因为
a
2
?
a
4
??
a
2n
＝（
a
1
?a
3
?? ?a
2n?1
）q，所以q=2.
a
n
?2
n?1
.

（2010湖南理数）15．若数列
?
a
n
?
满足：对任意的
n?N
?
，只有有限个正整数
m
使得
a
m
＜n
成立，记这 样
??
的
m
的个数为
(a
n
)
?
，则得到一个新数列
(a
n
)
．例如，若数列
?
a
n
?
是
1,2,3…，n,…
，则数列
(a
n
)< br>????
是
0,1,2,…，n?1,…
．已知对任意的
n?N
，
a
n
?n
2
，则
(a
5
)
?
?
，
((a
n
)
?
)
?
?
．

?

（扬州2010.1一模）
14．已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1
，
a
2?x
（
x?N
?
），
a
n?2
?a
n ?1
?a
n
，若前
2010
项
中恰好含有
666< br>项为
0
，则
x
的值为 .
14、
8
或
9

解:必然存在一个
n
0< br>?N
*
,当
n?n
0
时,数列
?
a
n
?
为0,1,1, 0,1,10,1,1,0,1,1
???
,
若
a
2010
?0,a
2009
?1,a
2008
?1
，则
a
2010?665?3
?a
15
?0
，
a
2
?9?x
;
若
a
2010
?1, a
2009
?1,a
2008
?0
，
a
2
?1
，不成立;
若
a
2010
?1,a
2009
?0
，
a
2009?665?3
?a
14
?0
，< br>a
2
?8?x
;

6

数列的递推关系
24.
（2010辽宁理数）
（16）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?33,a
n?1
?a
n
?2n,
则
【答案】
a
n
的最小值为__ ________.
n
21

2
【命题立意】本题考查了递推数列 的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学
们综合运用知识解决问题的能力。
【解析】a
n
=(a
n
-a
n-1
)+(a
n-1
-a
n-2
)+…+(a
2
-a
1
)+a
1
=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n
2
-n
a
n
33
??n?1

nn
33?33
? n?1
，令
f(n)?
2
?1?0
，则
f(n)
在
(33,??)
上是单调递增，在
(0,33)
上是递减设
f(n) ?
nn
所以
的，因为n∈N
+
,所以当n=5或6时
f(n )
有最小值。
又因为

14.数列
{a
n
}满足下列条件：
a
1
?1
，且对于任意的正整数
n
，恒 有
a
2n
?a
n
?n
，则
a
2
1 4.


综合交叉问题

25.
(南通2009.3二模)
13. 设函数
f(x)?x
1
n
a5
53
a
6
6321
aa
21
???
，，所以，
n
的最小值为
6
?

n
5566262
100
的值为
2
4950

?
2
?
?
x
1
?1
, A0为坐标原点， An为函数y=f（x）图象上横坐标
x
n
5
为
n(n?N)
的点，向量
a
n
?
?
A
k?1
A
k，向量i=（1，0），设
?
n
为向量
a
n
与向量i的 夹角，则满足
?
tan
?
k
?
3

k?1
k?1
*
的最大整数n是

．

13.3
n
nn
n
?
1
?
11
?
1
?
?
1
??
1
?
解:
an
?
?
A
k?1
A
k
?OA
n
?
?
n,n
??
?
所以
tan
?
k?
??
?
,
?
tan
?
k
?2???
?
,
?
??
?
2
?
n?1
?
k?1
?
2
?
n?1
k?1
?
2?
n?1
?
n
11
?
1
??
1
?
又
??
?
是关于
n
的单调递减函数,所以
2?
??
?
单调递增,当
n
＝1,2,3时
?
2
?
n?1
?
2
?
n?1
151
?
1??
1
??
1
?
15
2?
??
??< br>,满足题意,当
n
＝4时,
2?
??
??2?
??< br>??
,从而当
n?4
时
?
2
?
n?13?
2
?
n?1
?
2
?
53
n
n
n
n4

7

n
5
15
?
1
?
2?
??
??
,所以满足
?
tan
?
k
?
的最大整数
n
是3.
3
?
2
?
n?13
k?1
n
?
a
n
?
是公比为
q
的等比数列，
|q|?1
，令
b
n
? a
n
?1(n?1,2,
合
?
?53,?23,19,37,82< br>?
中，则
6q?
.【答案】
?9

26.设
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.
)< br>若数列
?
b
n
?
有连续四项在集
S
n
2
2
27.
(南师附中2009．5模拟）
12．设首项不为零的等差数 列
{a
n
}
前
n
项之和是
S
n
， 若不等式
a
n
?
2
?
?
a
1
n< br>2
对任意
{a
n
}
和正整数
n
恒成立，则实 数
?
的最大值为 .
12．
1

5
2
?
n(a
1
?a
2
)
?
??< br>5
2
a
1
a
n
a
1
2
2< br>??
2
?a
n
??
解:由不等式得
a
n?
?
?
a
1
2

2
n
424
5
?
a
n
?
1
a
n
15
?
a
n
1
?
1
1
?
?
由于
a
1
?0
,所以
??
????
?
?
?< br>?
，所以
?
?

5
4
?
a
1
?
2a
1
44
?
a
1
5
?5
苏州中学2011届高三年3月份调研考试
22
a
1
?11
，
3a
n
2?(
10．在数列
?
a
n?
中，且
3a
n?1
?n?)N
*
，则该数列中相邻两 项乘积的最小值为__________.
13．从等腰直角三角形纸片
ABC
上， 按图示方式剪下两个正方形，其中
BC?2
，
?A?90
o
，则这两 个正方形的面积之和的最小值为
13．6
14、已知函数y?f(x)
是定义在
R
上恒不为0的单调函数，对任意的
x,y?R
，总有
f
?
x
?
f
?
y
?
?f
?
x?y
?
成立．若数列
{a
n
}< br>的n项和为
S
n
，且满足
a
1
?f(0)
，
f
?
a
n?1
?
?
1
f
?
3
n?1
?2a
n
?
(n?N
?
)
，则
S
n
= .
14、
S
n
?5?2
n?1
3
n?2
-
?11
2
.
【扬州2010.5四模】
14．已知等差数列
{a
n
}
的前n项和 为
S
n
，若
(a
2
?1)
3
?2010( a
2
?1)?1
，
(a
2009
?1)
3
?2010(a
2009
?1)??1
，则下列四个命题中真命题的序号为 .
①
S
2009
?2009
； ②
S
2010
?2010
； ③
a
2009
?a
2
； ④
S
2009
?S
2

18. 数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?

m
1
?
222
S?S?
n?N
（）， 记，若
S?a?a???a
?4?1
2n?1n
n12n
2
30
a
n
8

对
n?N
恒成立，则正整数
m
的最小值为
18. 10

类题：
?
10、等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3
，
a
6< br>?33
，函数
f(x)?x(x?a
1
)(x?a
2
)(x?a
6
)
，则
f
'
(0)?

12、设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
m?n
，
S
m
?m
2< br>，
S
n
?n
2
，则
S
m?n
?


9