高一数学 三角函数化简和求值超难方法汇总

第九讲 三角函数式的恒等变形
1基本知识与基本方法
1.1基本知识介绍
①两角和与差的基本关系式
cos(
?
?< br>?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；

sin(
?
?
?
)?sin< br>?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.

1
?
tan
?
tan
?
②和差化积与积化和差公式
)
,
22
?
?
??
?
?
si n
?
?sin
?
?2cos()sin()

22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2cos()cos()

22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
??2sin()sin()
22
1
sin
?
cos
?
?
?
sin (
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?

2
1
cos
?
sin
?
?
?
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?)
?

2
1
cos
?
cos
?
?
?
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
?

2
1
sin
?
sin
?
??
?
cos(
?
?
?
)?cos(< br>?
?
?
)
?

2
sin
?
?sin
?
?2sin()cos(
?
?
??
?
?
③倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?

tan2
?
?
2tan
?
.

1?tan
2
?

④半角公式

1

(1?cos
?
)
?
?
?
,
sin
??
??
2
2
??

(1?co
?
)s
?
?
?
,
co
?
s
?
??
2
2
??
(1?cos
?< br>)
?
?
?
tan
??
?
?
(1?c os
?
)
?
2
?
=
sin
?
(1 ?cos
?
)
?.

(1?cos
?
)sin
?
⑤辅助角公式
如果
a ,b
是实数且
a
2
?b
2
?0
，则
asi n
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
，其中
?
sin
?
?< br>b
a?b
22
满足
cos
?
?
a
a ?b
22
.
1.2基本方法介绍
①变角思想
在三角化简、求值 中，往往出现较多相异的角，可根据
角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，
达到统一角的目的，使问题求解.如已知
?
、
?
均为锐角，并且
c os
?
?
41
,tan(
?
?
?
)??,
求
cos
?
53
的值.观察到目标角与已知角不
同，应寻找 它们的关系，将目标角转化为已知角，即
3310
?
?
?
?(
?
?
?
)
，所以求出
sin
?
?,cos(?
?
?
)?

510
sin(
?
?< br>?
)??
10
10
,则
cos
?
?cos
?
?
?(
?
?
?
)
?
?cos< br>?
cos(
?
?
?
)?sin
?
sin(< br>?
?
?
)

?
910
.
50
②变名思想
当条件与所求的三角函数名不一样时,可以利用三角函

2

数关系实现 弦切、弦割互化,还可通过诱导公式实现正、余
函数名的互化,使问题得到解决.如
sin50
0
(1?
000
3tan10
0
)
的值,可
3sin10
0
先将正切化成弦，即
sin50(1?3tan10)?sin50 (1?)?

cos10
0
0
cos10
0
?3s in10
0
sin100
0
0
2cos50
?sin50? sin50??1
.
000
cos10cos10sin80
0
③配对偶式法
对偶式是 指与原数学式子结构对称，或结构相似的数学
式.根据原数学式子结构，构造一个对偶式，共同参与运算 或
变换，使问题得以巧妙的解决，这种解题方法叫做对偶式法.
在化简求值或证明一些三角问题 时，如果能灵活的运用对偶
的数学思想，合理的构造出对偶式，并对原式和对偶式进行
和、差或 积的计算，则可以使问题得到巧妙的解决. 比如说
计算
cos36
0
co s72
0
的值,可以设
x?cos36
0
cos72
0,y?sin36
0
sin72
0
，则将它们
两边相乘， xy?
1111
sin72
0
sin144
0
?sin 72
0
sin36
0
?y
，
x?cos36
0
cos72
0
?
.
4444
④消元思想
对于三角变换的多元问题,需要根据题意尽量将多元
向 单元(或二元)转化,防止多元变量对我们解题的干扰.如
锐角
?
,
?
,
?
满足
sin
?
?sin
?
?sin
?
,cos
?
?cos
?
?cos
?
，求
?
?
?
的值.
考虑将
?
角消去，由条件，
sin< br>?
?sin
?
?sin
?
,cos
?
?co s
?
?cos
?
，
再将两式两边平方再相加，得
2?2c os(
?
?
?
)?1
,
cos(
?
??
)?
1
.
2

3

由条件?
?
?
?(?
?
,0)
，得
?
??
2
??
?
3
.
⑤
1
的代换 三角函数中常遇到
sin
?
?csc
?
?cos
??sec
?
?1,tan
?
?cot
?
?1

1
的变形，主要有
1?sin90
0
?tan45
0
,1?sin
2
?
?cos
2
?
?sec
2?
?tan
2
?
?csc
2
?
?cot
2
?
.如已
知
11
tan
?
??,
求
31?sin
?
cos
?
的值,不需求
sin
?< br>,cos
?
，可以将1看作
sin
2
?
?cos2
?
，
10
tan
?
?1
9
?
10
. 即原式=
2
sin
?
2
?cos
?
??
sin?
?cos
?
?sin
?
cos
?
tan2
?
?tan
?
?1
13
13
9
22 2
2基本知识应用
2.1基本三角公式的应用
基本三角公式向我们揭示了同角或异 角的三角函数之
间的关系，利用它们可以在已知与未知之间进行转化，帮助
我们进行化简、求值 、求角.
【例１】已知
3
??
?
?
?2
?
,?
?
?
?
,
求
22
?
?
?
cos
的值.
2
222由
3
?
?
?
?2
?
,
?
?< br>?
?
?
， 所以
?
?
?
?
?< br>?
7
?
,?
?
?
?
?
?
?
?
2224422
?
1
?
1
cos(
?< br>?)??,sin(?
?
)?
又 所
2324
?
1
?
1
co
?
?s()??,sin?
?
()?2324
，且
解： 由条件可观察得到
(
?
?
?< br>)?(
?
?
?
)?
?
?
?


以

4

sin(< br>?
?
?
2
)??
22
?
15

,cos(?
?
)?
324
所以
cos
?
?
?
2
??
22?15
??

?cos
?
(
?
?)?(?
?
)
?
??
2212< br>??
.
2
【例２】已知
?
,
?
为锐角，且
cos
?
?cos
?
?cos(
?
?
?< br>)?
3
求
?
,
?
的值.
2
配成完全平方式可得
(2cos
?
?
?
?co s
?
?
?
)
2
?sin
2
?
?< br>?
?0

222
所以
2cos
?
?
?
?cos
?
?
?
?0
且
sin
?
?
?
?0
.
222
因为
?
,
?
为锐角，所以
?
?
?
?
?
?
?
?
. 由
sin
?
?
?
?0
, 得
222
解： 由题意，得
4cos
2
?
?
?
2
?4cos
?
?
?
2
cos
?
?
?
?1?0

?
?
?
.
将
?
?
?
代入< br>2cos
?
?
?
2
3
?cos
?
?
?
2
?0
，得
cos
?
?
?
2< br>?
1
.
2
所以
?
?
?
?
2
?
. 又
?
?
?
, 得
?
?
?
?
?
.
3
在利用三角公式化简 、求值时应找出已知条件与欲求的
值之间的差异，主要是角及函数名称的差异，然后对已知式
与 欲求式施以适当的变形，消除它们的差异，以达到解决问
题的目的。求值时要注意角的范围限制对结果的 影响.
2.2辅助角公式的应用
在三角化简中经常会出现
asin
??bcos
?
的结构，我们可以
把它化成一个角的三角函数，简化三角式的结构， 这就需要
引入辅助角
?
，
asin
?
?bcos
?
?
sin
?
?
b
a?b
22
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
，其中
?
满足
cos
?
?
a
a?b
22
. 【例3】求
1?cos20
o
2cos40
0
?sin100
(1?3tan10
0
)
??
的值.

5

解： 原式 ＝
cos10
0
?3sin10
0
2cos10(2cos40?s in10)

0
cos10
000
??
3
000< br>1
00
?22
?
cos10cos40?sin10(cos10?s in10)
?

22
??
?22(cos10
0
c os40
0
?sin10
0
sin40
0
)?22cos3 0
0
?6
.
将
asin
?
?bcos
?
的结构化成一个角的三角函数，其方式并
不唯一，注意公式的正负号，另外也要熟悉公式的反用 与变
用.
３基本方法应用
3.1配对偶式法
三角函数中，正弦函数和与 余弦函数，正切函数与余切
函数，正割函数与余割函数称为互余函数，利用互余函数来
构造对偶 式，通过运算使问题获得解决.
【例４】求值：
cos
2
10??cos< br>2
50??sin40?sin80?

令x?cos
2
10 ??cos
2
50??sin40?sin80?

y?sin
2
10??sin
2
50??cos40?cos80?

则x?y? 2?(cos40
0
cos80
0
?sin40
0
sin8 0
0
)?2?cos40
0

又x?y?(cos20
0< br>?cos80
0
)?cos40
0
cos80
0
?s in40
0
sin80
0
??2sin50
0
sin(?3 0
0
)?cos120
0
?sin50
0
?
11< br>?cos40
0
?

22
所以
x?
3
.
4
两式相加得
2x?2?
13
?
,
22

某些结构特殊的三角 函数问题，如果加以观察、利用，
构造出与之匹配的对偶结构式整体求解，常常可以达到意想
不 到的效果.

6

3.2消元思想
在三角函数的问题中，往往会出现多个角，多个函数名，
在变角或变 名过程中，可先设法减少角（或名）的个数（种
类），这种思想称为消元思想.
【例５】已知
sinx?siny?sinz?cosx?cosy?cosz?0
，
求
S?tan(x?y?z)?tanxtanytanz
的值.
解： 由已知得
sinx?siny??sinz,cosx?cosy??cosz

平方 相加，得
2?2cosxcosy?2sinxsiny?1
，即
cos(x?y)? ?
1

2
同理
cos(y?z)??
1
，
cos(z?x)??
1
.
22
不妨设
x?y?
2
?
3
x?z?
?2k
1
?
,(k
1
?Z )

y?z?
2
?
?2k
2
?
,(k< br>2
?Z)

3
4
?
?2(k
1
?k
2
)
?
,(k
1
,k
2
?Z)

3
所以
x?y?z?3z?2(k
1
?2k
2
? 1)
?
.
4
?
2
?
)tan(z?)tanz

33
S?tan(x?y?z)?tanxtanytanz?tan3z?tan(z?
?tan3z? tan(z?
?
3
)tan(z?
?
3
)tanz?0.
【例6】设
x?y?z?
的最大值和最小值.
解
x??
12
，且
x?y?z?
?
，求乘积
cosxsiny cosz
2
：
?
2
?2?

?
12
?
2
由
?
3
已知条件，
?
2
?(y?z )?,sin(x?y)?0,sin(y?z)?0

2
于是，
cosxs inycosz?
1
cosx
?
sin(y?z)?sin(y?z)
?
?
1
cosxsin(y?z)

11
?
1< br>??
cos
2
x?cos
2
?
（当且仅当
x?,y?z?
时取等号）.
2238312
又
cos xsinycosz?
1
cosz
?
sin(x?y)?sin(x?y)< br>?
?
1
coszsin(x?y)

22
?
?
11
?
2?3
cos
2
z?cos
2
?
22128
（当且仅当
x?y?
5
?
,z?
24< br>?
12
时取等号）.
消元法可以减少三角问题中的变元，使问题的条件变得

7

简洁，能够让我们容易观察条件之间的联系，从而准确地寻
找突破口，运用相关知识进行解决.
3.3
1
的代换在三角函数中的应用
三角函数中
1
有着特殊的地位，在求值、化简中为了进一
步变形的需要，往往将
1
作灵活的代换，主 要方式有
1?sin90
0
?tan45
0
,1?sin
2
?
?cos
2
?
?sec
2
?
?tan< br>2
?
等等.
【例
sin
4
xcos
4x
7】设
a,b
是非零实数，
x?R
，若
2
?
2
?
2
1
2
，

aba?b
si n
2008
xcos
2008
x
求
2006
?2006
ab
的值.（
用a,b表示
）
si
4
nxco
4
sx1
??，

2222
aba?b
4
解： 已知
将①改写成
4
??????①
b
2
a
2
4
1?s inx?cosx?
2
sinx?
2
co
4
sx
.
ab
而
1?(sin
2
x?cos
2
x)
2
?sin
4
x?cos
4
x?2sin
2
xc os
2
x
,
所以有
b
2
a
2
4224
sinx?2sinxcosx?cosx?0
.
22
ab2
b
2
a
2
?
即
?
?
sin x?cosx
?
?0
,
b
?
a
?
也即
sin
4
xcos
4
x
?，
将该值记为
a
4
b
4
C. 则
由（1）知，
a< br>2
C?b
2
C?
1
a
2
?b
2。于是有，
C?
1
(a
2
?b
2
)
2
.
.
sin
2008
xcos
2008
x< br>而
2006
?
2006
?a
2
C
502?b
2
C
502
?(a
2
?b
2
)< br>2
1
21004
?
2
1
21003
ab(a ?b)(a?b)

1
的代换方法可以帮助我们改变三角式的结构特点，使之
向易于变形的结构转化，或者变为特定结构、凑成公式的结

8

构等等.
3.4函数思想
以运动变化的观点，分析和研究具体问题的数量关系，
通过函数的形 式，把这种函数关系表示出来并加以研究，从
而使问题获得解决,这种思想叫函数思想.
【例
?
x
3
?sinx?2a?0
??
?
?
8 】已知
x,y
?
?
且求
?,,a?R
?
3
1
??
44
??
?
4y?sin2y?a?0
2
?
cos(x?2y)
的值.
解：
3
?
?
x?sinx?2a
原方程组可化为
?
< br>3
?
?
(?2y)?sin(?2y)?2a
??
??
??
?
考察函数
f(t)?t
3
?sint
在
?
上单调递增，且
?,x,?2y?
???
?,
?

?
22
??
22
?
由
f(x)?f(?2y)
，得
x??2y
所以
cos(x?2y)?1
.
有时根据所给条件 的结构特点，把三角式的局部或整体
作为一个函数式来研究，充分发挥函数性质的优势，能轻巧
地解决问题.
3.5三角的综合应用
三角函数问题，通常是从“名”，“角”的变化，结合 三
角公式进行思考，但有时要结合形式特征，运用代数方法解
题.
【例9】设
?
,
?
为方程acosx?bsinx?c?0(a
2
?b
2
?0)
的相异两
根，且
?
?
?
?k
?
(k?Z)
，求证：
cos
2
?
?
?
2
c
2
?
2
a?b
2
.

9

证明: 由题意得
?
?
acos
?
?bsin
?
?c

?
acos
?
?bsin
?
?c
因
s in
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?s in(
?
?
?
)?0
,则解上述方程组,得
a?
c(sin
?
?sin
?
)
,
sin(
?
?
?
)
2

b?
c(cos
?
?cos
?
)

sin (
?
?
?
)
2
于是
a?b?
2
c
2
cos
2
?
?
?
, 即
cos
?
?
?
2
c
2
?
2
a?b
2< br>.
2
三角恒等变形的公式很多,变形方法灵活,在解题运用中,
常常通过“名 ”，“角”的变化寻求解题的突破口.同时，三角
恒等变形能把一种表达式转换成另一种表达式，起到沟 通已
知与未知转化的通道，这中间要注意函数方程思想的作用.













10

教育感言: 数学知识不仅是一种有力的工具，同时还训练我们的思维.在数学问题
的研究中， 我们体验了最纯粹的逻辑思维活动，欣赏着最高级的智能活力的美.
──────────王晓峰





11

习 题
1.
sin20
0
sin40
0
sin80
0的值为
__________

1
，则
cos(
??
?
)
的值为
___________

226
3.已知
?
为锐角，且
cos3
?
?
1
，则sin3
?
的值为
___________

cos
?
3sin
?
2.已知
tan
?
??
4.若
sin
?
?sin
?
?
___________

5.已知
3
(cos
?
?cos
?
),
?
,
?
?
?
0,
?
?
，则
?
??
的值为
3
si
?
n?si
?
n?si1n6
0
,5co
?
s?co
?
s?co1s6
0
5
，则
cos(
?
?
?
)
及
cos(< br>?
?
?
)

的值分别为
_________________

6.求
cos< br>2
?
5
?cos
4
?
5
的值.
7.设
?
,
?
,
?
为任意三角形的三个内角, < br>求证:
x
2
?y
2
?z
2
?2xycos< br>?
?2yzcos
?
?2zxcos
?
.
8.求< br>sin
2
20
0
?cos
2
80
0
?
9.设
?
、
?
、
?
3sin20
0cos80
0
的值.
0?
?
?
?
?
?
?2
?
满足，若对于任意
x?R,cos(x?
?
)?c os(x?
?
)

?cos(x?
?
)?0
，求< br>?
?
?
的值.












12

习 题
1.求值
sin20
0
sin40
0
sin80
0

解：
8sin20
0
sin40
0
sin80< br>0
?4(cos20
0
?cos60
0
)sin80
0

?4sin80
0
cos20
0
?2sin80
0
?2(sin100
0
?sin60
0
)?2sin80
0
?2sin60
0
?3
，
所以
sin20
0
sin40
0
sin80
0
?
2.已知
tan?
2
??
3
.
8
1
，求
cos(< br>?
?
?
)
的值.
26
解：
cos(
?
?
?
)?
6
31
cos
?
?sin< br>?
22
2
??

由万能公式及条件
tan
?
所以
cos(
?
?
?
)?
?4?3
610
3
1
可得
sin
?
??
4
,cos?
?
3

255
.
?
1
，求
sin3
?
3sin
?
3.已知
?
为锐角，且
c os3
?
cos
?
的值.
.
5
cos3
?
4cos
3
?
?3cos
?
1
??4cos< br>2
?
?3?
，所以
cos
2
?
?
解 ：
6
cos
?
cos
?
3
7
sin3?
3sin
?
?4sin
3
?
??3?4sin
2
?
??1?4cos
2
?
?
而
3
si n
?
sin
?
.
4.若
sin
?
?si n
?
?
3
(cos
?
?cos
?
),?
,
?
?
?
0,
?
?
，求
?
?
?
的值.
3
解：已知等式两边和差化积得：
2sin< br>?
?
?
2
cos
?
?
?
2
?
23
?
?
??
?
?
sinsin
322
2

?
?
?
2
?3
. 因为
0?
?
?
?
?2
?
所以
sin
?
?
?
?0
所以
tan
又注意到
cos
?
?cos
?
?0
所以
?
?
?
, 所以
?
?
?
?(0,
?
)
.
由
tan
?
?
?
2
?3
, 得
?
?
?
?
2
?
3
.
求
co
?
s?(
?
)
5.已知
si
?
n? si
?
n?si1n6
0
,5co
?
s?co
?< br>s?co1s6
0
5
，及

13

cos(
?
?
?
)

的值.
解：已知两式平方相加得
2?2cos(
?
?
?
)?1, 即cos(
?
?
?
)??
1
.
2
已知两式平方相减得
cos2
?
?cos2
?
?2cos(
?
?
?
)?cos330
0
,
所以
2cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?)?2cos(
?
?
?
)?cos30
0
,
所以
2cos(
?
?
?
)(?
1
)?2cos(< br>?
?
?
)?
2
3
, 所以
cos(
?
?
?
)?
3
.
2
2
6.求
cos
2
?
5
?cos
4
?< br>5
的值.
5
?cos
4
?
5
解：构造方程 ：设
cosx?cos2x?cos
2
?
所以
2cos
2< br>x?cosx?(1?cos
2
?
5
55
?cos

4
?
)?0
,
5
5
?cos
4
?
)?0
的两个
5
这说明
cos
2
?
,c os
4
?
是方程
2y
2
?y?(1?cos
2?
根.
由韦达定理，得
cos
2
?
5
?co s
4
?
1
??
.
52
7.设
?
,
?
,
?
为任意三角形的三个内角,
求证:
x
2
?y
2
?z
2
?2xycos
?
?2yzcos< br>?
?2zxcos
?

证明:设
f(x)?x
2?y
2
?z
2
?2xycos
?
?2yzcos
?
?2zxcos
?
,
可以整理成关于
x
的二次函数< br>f(x)?x
2
?2(ycos
?
?zcos
?
)x ?(y
2
?z
2
?2yzcos
?
)

其 开口向上,而判别式
??4(ycos
?
?zcos
?
)
2
?4(y
2
?z
2
?2yzcos
?
)

??4(ysin
?
?zsin
?
)
2
?0
,故
f(x)?0
,原不等式成立.
8.求
sin
2
2 0
0
?cos
2
80
0
?3sin20
0
cos80
0
的值.
3sin20
0
cos80
0
解：设
x?sin
2
20
0
?cos
2
80
0
?
y?cos
2
20
0
?sin
2
80
0
?3cos2 0
0
sin80
0


14

则
x?y?2?3sin60
0
?
1

2< br>x?y??cos40
0
?cos160
0
?3sin100
0
??2sin100
0
sin60
0
?3sin100
0
?0

所以
x?y?
1
.
4
9.设?
、
?
、
?
满足
0?
?
?
?
?
?
?2
?
，若对于任意
x?R,cos(x?
?
)?cos(x?
?
)

?cos(x?
?
)?0
，则求
?
?
?
的值.
解：设
f(x)?cos( x?
?
)?cos(x?
?
)?cos(x?
?
)

由
x?R,f(x)?0
知
f(?
?
)?0,f(?
?
)?0,f(?
?
)?0

即
cos(
??
?
)?cos(
?
?
?
)??1,cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)??1
< br>cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)??1

cos(
?
?
?
)?cos(
??
?
)?cos(
?
?
?
)??
1
2

因为
0?
?
?
?
?
?
?
2
?
4
?
?
?2
?
，所以
?
?
?
,
?
?
?
,
?
?
?
?
?
,
?
，
?
33
?
2
?4
?
，
?
?
?
?
33
.
2
?
4
?
有
?
?
?
?，
?
?
?
?
另一方面，当
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
，
333

2
?2
?
?x?R
，
记x?
?
?
?
，(cos
?
,sin
?
),(cos(
?
?),sin (
?
?))
，
33
4
?
4
?
( cos(
?
?),sin(
?
?))
构成单位圆
x
2
?y
2
?1
上正三角形的三个顶
33
点.其中心位于原点 ，显然有
cos
?
?cos(
?
?
2
?
) ?cos(
?
?
4
?
)?0
，即

33< br>又
?
?
?
?
?
?
?
,
?< br>?
?
?
?
?
?
,
只有
?
?
?
?
?
?
?
?
cos(x?
?
) ?cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?0






15